Consejo: quita primero el cargo fijo del presupuesto y luego divide lo que queda entre la tasa por unidad.
Ver en español
Pregunta
Un taxi cobra un cargo de $3 por recogerte más $2 por milla. Ron tiene $25. ¿Cuál es el mayor número de millas que puede viajar?
_____ millas
Pista
El costo total es el cargo por recogerte más el costo de las millas. Ese total no puede ser más de $25.
Pregunta 3 de 36
Kai earns $15 per hour at his summer job. He wants to earn at least $350. What is the least number of whole hours he must work?
Pista
Write an inequality with \ge. Then decide: does rounding down give him enough money?
Solución paso a paso
Let h = hours worked. Earnings = 15h.
He needs at least $350:
15h \ge 350
Divide by 15:
h \ge \frac{350}{15} = 23.\overline{3}
He must work whole hours, and 23 hours is less than 23.\overline{3}, so 23 is not enough. Round up to 24.
Answer: 24 hours
Check:24 \times 15 = 360 \ge 350 ✓. 23 \times 15 = 345, which is less than $350 ✗.
Tip: For "the least you need to reach a goal", always round up — even when the decimal is small, like .3.
Explicación
Sea h = horas trabajadas. Ganancias = 15h.
Necesita por lo menos $350:
15h \ge 350
Divide entre 15:
h \ge \frac{350}{15} = 23.\overline{3}
Debe trabajar horas completas, y 23 horas es menos que 23.\overline{3}, así que 23 no alcanza. Redondea hacia arriba a 24.
Respuesta: 24 horas
Comprobación:24 \times 15 = 360 \ge 350 ✓. 23 \times 15 = 345, que es menos de $350 ✗.
Consejo: en las preguntas de "lo mínimo que necesitas para llegar a una meta", redondea siempre hacia arriba, aunque el decimal sea pequeño, como .3.
Ver en español
Pregunta
Kai gana $15 por hora en su trabajo de verano. Quiere ganar por lo menos $350. ¿Cuál es el menor número de horas completas que tiene que trabajar?
Opciones
A. 23
B. 23.3
C. 24
D. 335
Pista
Escribe una desigualdad con \ge. Luego decide: si redondeas hacia abajo, ¿le alcanza el dinero?
Pregunta 4 de 36
A small ferry can carry at most 2,000 lb of cargo. Each crate of produce weighs 85 lb. What is the greatest number of crates the ferry can carry?
Pista
Write an inequality for the total weight of the crates. Can the ferry carry part of a crate?
Solución paso a paso
Let c = the number of crates. Each crate weighs 85 lb, so the cargo weighs 85c pounds.
The cargo can be at most 2,000 lb:
85c \le 2000
Divide both sides by 85:
c \le \frac{2000}{85} \approx 23.53
Crates come in whole numbers, and a maximum must stay under the limit, so round down to 23.
Answer: 23 crates
Check:23 \times 85 = 1{,}955 lb, and 1{,}955 \le 2{,}000 ✓. With 24 crates: 24 \times 85 = 2{,}040 lb, which is over the limit ✗.
Tip: For any "greatest number that fits" question, round down — even when the decimal is .5 or more.
Explicación
Sea c = el número de cajas. Cada caja pesa 85 lb, así que la carga pesa 85c libras.
La carga puede ser como máximo 2,000 lb:
85c \le 2000
Divide ambos lados entre 85:
c \le \frac{2000}{85} \approx 23.53
Las cajas vienen en números enteros, y un máximo debe quedar por debajo del límite, así que redondea hacia abajo a 23.
Respuesta: 23 cajas
Comprobación:23 \times 85 = 1{,}955 lb, y 1{,}955 \le 2{,}000 ✓. Con 24 cajas: 24 \times 85 = 2{,}040 lb, que pasa el límite ✗.
Consejo: En cualquier pregunta de "el mayor número que cabe", redondea hacia abajo, aunque el decimal sea .5 o más.
Ver en español
Pregunta
Un ferry pequeño puede llevar como máximo 2,000 lb de carga. Cada caja de frutas y verduras pesa 85 lb. ¿Cuál es el mayor número de cajas que puede llevar el ferry?
Opciones
A. 23
B. 23.53
C. 24
D. 1,915
Pista
Escribe una desigualdad para el peso total de las cajas. ¿Puede el ferry llevar parte de una caja?
Pregunta 5 de 36
Completar
A nurse has a bottle with 250 mL of liquid medicine. Each full dose is 15 mL. What is the greatest number of full doses she can give from the bottle?
doses
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The total of all the doses can be no more than what is in the bottle. A partial dose does not count as a full dose.
Solución paso a paso
Let d = the number of full doses. The doses use 15d mL.
They cannot use more than the bottle holds:
15d \le 250
Divide both sides by 15:
d \le \frac{250}{15} = 16.\overline{6}
Only full doses count, so round down to 16. (The leftover is 250 - 240 = 10 mL, which is not enough for another dose.)
Answer: 16 doses
Check:16 \times 15 = 240 mL \le 250 mL ✓. Seventeen doses would need 17 \times 15 = 255 mL > 250 ✗.
Tip: Ask "Does a leftover piece count?" If not, the whole-number answer is always the number below the decimal.
Explicación
Sea d = el número de dosis completas. Las dosis usan 15d mL.
No pueden usar más de lo que contiene el frasco:
15d \le 250
Divide ambos lados entre 15:
d \le \frac{250}{15} = 16.\overline{6}
Solo cuentan las dosis completas, así que redondea hacia abajo a 16. (Sobran 250 - 240 = 10 mL, que no alcanzan para otra dosis).
Respuesta: 16 dosis
Comprobación:16 \times 15 = 240 mL \le 250 mL ✓. Diecisiete dosis necesitarían 17 \times 15 = 255 mL > 250 ✗.
Consejo: Pregúntate: "¿Cuenta un pedazo sobrante?". Si no cuenta, la respuesta entera siempre es el número anterior al decimal.
Ver en español
Pregunta
Una enfermera tiene un frasco con 250 mL de medicina líquida. Cada dosis completa es de 15 mL. ¿Cuál es el mayor número de dosis completas que puede dar con el frasco?
_____ dosis
Pista
El total de todas las dosis no puede ser más de lo que hay en el frasco. Una dosis incompleta no cuenta como dosis completa.
Pregunta 6 de 36
To graduate with honors, Tasha must complete at least 120 hours of community service. She volunteers 7 hours each week. What is the least number of whole weeks she must volunteer?
Pista
Write an inequality using "at least." Will rounding down give her enough hours?
Solución paso a paso
Let w = the number of weeks. She volunteers 7w hours.
She needs at least 120 hours:
7w \ge 120
Divide both sides by 7:
w \ge \frac{120}{7} \approx 17.14
She must reach the goal, and 17 weeks is not quite enough, so round up to 18.
Answer: 18 weeks
Check:18 \times 7 = 126 hours, and 126 \ge 120 ✓. In 17 weeks she has only 17 \times 7 = 119 hours ✗ — one hour short.
Tip: For "at least / minimum to reach a goal" questions, round up. Rounding down always leaves you just short.
Explicación
Sea w = el número de semanas. Hace trabajo voluntario 7w horas.
Necesita por lo menos 120 horas:
7w \ge 120
Divide ambos lados entre 7:
w \ge \frac{120}{7} \approx 17.14
Tiene que alcanzar la meta, y 17 semanas no alcanzan del todo, así que redondea hacia arriba a 18.
Respuesta: 18 semanas
Comprobación:18 \times 7 = 126 horas, y 126 \ge 120 ✓. En 17 semanas solo tiene 17 \times 7 = 119 horas ✗: le falta una hora.
Consejo: En las preguntas de "por lo menos / el mínimo para alcanzar una meta", redondea hacia arriba. Redondear hacia abajo siempre te deja un poco corto.
Ver en español
Pregunta
Para graduarse con honores, Tasha tiene que completar por lo menos 120 horas de servicio comunitario. Hace trabajo voluntario 7 horas cada semana. ¿Cuál es el menor número de semanas completas que tiene que hacer trabajo voluntario?
Opciones
A. 17
B. 17.14
C. 18
D. 840
Pista
Escribe una desigualdad con "por lo menos". ¿Le alcanzan las horas si redondeas hacia abajo?
Pregunta 7 de 36
An elevator can safely carry at most 1,500 lb. The operator weighs 180 lb. Each box of supplies weighs 45 lb. What is the greatest number of boxes the operator can take in the elevator in one trip?
Pista
The total weight includes the operator. Write an inequality, solve, and think about whole boxes.
Solución paso a paso
Let b = number of boxes. Total weight = 180 + 45b.
"At most 1,500 lb":
180 + 45b \le 1500
Subtract 180:
45b \le 1320
Divide by 45:
b \le \frac{1320}{45} = 29.\overline{3}
Consejo: la cantidad fija (el operador) usa parte del límite antes de cargar la primera caja: réstala primero.
Ver en español
Pregunta
Un elevador puede cargar con seguridad como máximo 1,500 lb. El operador pesa 180 lb. Cada caja de materiales pesa 45 lb. ¿Cuál es el mayor número de cajas que el operador puede llevar en el elevador en un solo viaje?
Opciones
A. 29
B. 30
C. 33
D. 37
Pista
El peso total incluye al operador. Escribe una desigualdad, resuélvela y piensa en cajas completas.
Pregunta 8 de 36
Completar
Keisha's first three quiz scores are 82, 76, and 91. She wants the mean (average) of her four quiz scores to be at least 85. What is the lowest score she can earn on the fourth quiz?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
A mean of at least 85 on 4 quizzes means the total of the 4 scores must be at least how much?
Solución paso a paso
Mean = \dfrac{\text{sum}}{4} (on the formula sheet). For the mean to be at least 85, the sum must be at least 4 \times 85:
\frac{82 + 76 + 91 + s}{4} \ge 85 \quad\Rightarrow\quad 82 + 76 + 91 + s \ge 340
Add the known scores: 82 + 76 + 91 = 249.
249 + s \ge 340
Tip: Turn a mean goal into a total goal: total needed = goal mean × number of items. Then subtract what you already have.
Explicación
Media = \dfrac{\text{suma}}{4} (en la hoja de fórmulas). Para que la media sea por lo menos 85, la suma debe ser por lo menos 4 \times 85:
\frac{82 + 76 + 91 + s}{4} \ge 85 \quad\Rightarrow\quad 82 + 76 + 91 + s \ge 340
Suma los puntajes conocidos: 82 + 76 + 91 = 249.
249 + s \ge 340
Consejo: convierte una meta de media en una meta de total: total necesario = media meta × número de datos. Luego resta lo que ya tienes.
Ver en español
Pregunta
Los tres primeros puntajes de prueba corta de Keisha son 82, 76 y 91. Quiere que la media (promedio) de sus cuatro puntajes sea por lo menos 85. ¿Cuál es el puntaje más bajo que puede sacar en la cuarta prueba corta?
Pista
Una media de por lo menos 85 en 4 pruebas cortas significa que el total de los 4 puntajes debe ser por lo menos ¿cuánto?
Pregunta 9 de 36
A phone company offers two monthly plans:
Plan A: $25 per month plus $0.15 per text message
Plan B: $40 per month with unlimited texts
For which numbers of texts t is Plan A cheaper than Plan B?
Pista
'Plan A is cheaper' means the cost of A is less than the cost of B. Write that as an inequality.
Solución paso a paso
Cost of Plan A = 25 + 0.15t. Cost of Plan B = 40.
Plan A is cheaper when
25 + 0.15t < 40
Subtract 25:
0.15t < 15
Divide by 0.15:
t < 100
Answer: fewer than 100 texts (t < 100).
Check: At 80 texts, A costs 25 + 12 = 37 < 40 ✓. At 120 texts, A costs 25 + 18 = 43 > 40 ✓. At exactly 100 texts both cost $40 (a tie).
Tip: The break-even point (where the costs are equal) is the boundary. Test one number on each side to see which plan wins where.
Explicación
Costo del Plan A = 25 + 0.15t. Costo del Plan B = 40.
El Plan A es más barato cuando
25 + 0.15t < 40
Resta 25:
0.15t < 15
Divide entre 0.15:
t < 100
Respuesta: menos de 100 mensajes (t < 100).
Comprobación: con 80 mensajes, A cuesta 25 + 12 = 37 < 40 ✓. Con 120 mensajes, A cuesta 25 + 18 = 43 > 40 ✓. Con exactamente 100 mensajes, los dos cuestan $40 (un empate).
Consejo: el punto de equilibrio (donde los costos son iguales) es el límite. Prueba un número a cada lado para ver qué plan gana en cada parte.
Ver en español
Pregunta
Una compañía telefónica ofrece dos planes mensuales:
Plan A: $25 al mes más $0.15 por mensaje de texto
Plan B: $40 al mes con mensajes ilimitados
¿Para qué cantidades de mensajes t es más barato el Plan A que el Plan B?
Opciones
A.t < 100
B.t > 100
C.t < 267
D.t < 433
Pista
'El Plan A es más barato' significa que el costo de A es menor que el costo de B. Escríbelo como una desigualdad.
Pregunta 10 de 36
Varias respuestas
A youth team holds a car wash. It charges $6 per car. Soap and other supplies cost $85. The team wants a profit of at least $400.
Select all numbers of cars that would meet the goal.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Profit = car wash money − supply cost. Write an inequality and find the smallest whole number of cars.
Solución paso a paso
Let c = cars washed. Profit = 6c - 85.
Goal: 6c - 85 \ge 400.
Add 85: 6c \ge 485.
Divide by 6: c \ge 80.8\overline{3}, so at least 81 cars (round up).
Check each choice:
78: 468 - 85 = 383 ✗
80: 480 - 85 = 395 ✗
81: 486 - 85 = 401 ✓
85: 510 - 85 = 425 ✓
95: 570 - 85 = 485 ✓
Answer: 81, 85, and 95
Check: 81 is the first whole number above 80.8\overline{3}, and its profit, $401, is at least $400 ✓.
Tip: In select-all items, find the boundary once, then every choice on the correct side of it is selected.
Explicación
Sea c = autos lavados. Ganancia = 6c - 85.
Meta: 6c - 85 \ge 400.
Suma 85: 6c \ge 485.
Divide entre 6: c \ge 80.8\overline{3}, así que por lo menos 81 autos (redondea hacia arriba).
Revisa cada opción:
78: 468 - 85 = 383 ✗
80: 480 - 85 = 395 ✗
81: 486 - 85 = 401 ✓
85: 510 - 85 = 425 ✓
95: 570 - 85 = 485 ✓
Respuesta: 81, 85 y 95
Comprobación: 81 es el primer número entero mayor que 80.8\overline{3}, y su ganancia, $401, es por lo menos $400 ✓.
Consejo: en las preguntas de seleccionar todas, encuentra el límite una vez; luego se seleccionan todas las opciones que están del lado correcto.
Ver en español
Pregunta
Un equipo juvenil organiza un lavado de autos. Cobra $6 por auto. El jabón y otros materiales cuestan $85. El equipo quiere una ganancia de por lo menos $400.
Selecciona todas las cantidades de autos con las que se cumpliría la meta.
Opciones
A. 78
B. 80
C. 81
D. 85
E. 95
Pista
Ganancia = dinero del lavado de autos − costo de los materiales. Escribe una desigualdad y encuentra el menor número entero de autos.
Pregunta 11 de 36
Menú
Lena's car has a 14-gallon gas tank that already holds 3 gallons. Gas costs $3.60 per gallon, and she has $30 to spend.
The greatest number of whole gallons she can buy is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Two things limit her: the money and the space left in the tank. Find both limits.
Solución paso a paso
Money limit. Let g = gallons bought. Cost = 3.60g \le 30.
g \le \frac{30}{3.60} = 8.\overline{3}
Whole gallons → at most 8 (round down).
Tank limit. The tank has room for 14 - 3 = 11 more gallons, so g \le 11.
Both limits must be met, so use the smaller one: 8.
Answer: 8 gallons
Check:8 \times 3.60 = 28.80 \le 30 ✓, and 8 gallons fit in the 11 gallons of space ✓. 9 gallons cost 32.40 > 30 ✗.
Tip: When a story gives two limits, solve each one and keep the stricter (smaller maximum) result.
Explicación
Límite de dinero. Sea g = galones comprados. Costo = 3.60g \le 30.
g \le \frac{30}{3.60} = 8.\overline{3}
Galones completos → como máximo 8 (redondea hacia abajo).
Límite del tanque. Al tanque le caben 14 - 3 = 11 galones más, así que g \le 11.
Se deben cumplir los dos límites, así que usa el menor: 8.
Respuesta: 8 galones
Comprobación:8 \times 3.60 = 28.80 \le 30 ✓, y 8 galones caben en el espacio de 11 galones ✓. 9 galones cuestan 32.40 > 30 ✗.
Consejo: cuando una historia da dos límites, resuelve cada uno y quédate con el más estricto (el máximo más pequeño).
Ver en español
Pregunta
El carro de Lena tiene un tanque de gasolina de 14 galones que ya tiene 3 galones. La gasolina cuesta $3.60 por galón, y ella tiene $30 para gastar.
El mayor número de galones completos que puede comprar es _____.
Opciones
8
9
8.33
11
Pista
Hay dos cosas que la limitan: el dinero y el espacio que queda en el tanque. Encuentra los dos límites.
Pregunta 12 de 36
Food safety rules say a refrigerator must stay at 41°F or colder. The formula F = \dfrac{9}{5}C + 32 converts degrees Celsius (C) to degrees Fahrenheit (F).
Which inequality gives the safe refrigerator temperatures in degrees Celsius?
Pista
'41°F or colder' means F \le 41. Replace F with the formula and solve for C.
Solución paso a paso
"41°F or colder" means F \le 41. Substitute the formula:
\frac{9}{5}C + 32 \le 41
Subtract 32:
\frac{9}{5}C \le 9
Multiply by the reciprocal \dfrac{5}{9} (positive, no flip):
C \le 9 \cdot \frac{5}{9} = 5
Answer: C \le 5
Check:C = 5: \tfrac{9}{5}(5) + 32 = 9 + 32 = 41 ✓ (exactly the limit). C = 0: 32 \le 41 ✓, which makes sense — 0 °C is freezing.
Tip: "Or colder" / "or less" / "at most" all mean \le. Substitute the formula, then solve like any inequality.
Explicación
"41°F o menos" significa F \le 41. Sustituye la fórmula:
\frac{9}{5}C + 32 \le 41
Resta 32:
\frac{9}{5}C \le 9
Multiplica por el recíproco \dfrac{5}{9} (es positivo, no se invierte el signo):
C \le 9 \cdot \frac{5}{9} = 5
Respuesta: C \le 5
Comprobación:C = 5: \tfrac{9}{5}(5) + 32 = 9 + 32 = 41 ✓ (justo el límite). C = 0: 32 \le 41 ✓, lo cual tiene sentido: 0 °C es el punto de congelación.
Consejo: "o menos", "o más frío" y "como máximo" significan \le. Sustituye la fórmula y luego resuelve como cualquier desigualdad.
Ver en español
Pregunta
Las reglas de seguridad de alimentos dicen que un refrigerador debe mantenerse a 41°F o menos. La fórmula F = \dfrac{9}{5}C + 32 convierte grados Celsius (C) a grados Fahrenheit (F).
¿Qué desigualdad da las temperaturas seguras del refrigerador en grados Celsius?
Opciones
A.C \ge 5
B.C \le 22.8
C.C \le 16.2
D.C \le 5
Pista
'41°F o menos' significa F \le 41. Reemplaza F con la fórmula y despeja C.
Pregunta 13 de 36
Completar
A home baker sells muffins at a farmers market for $2.25 each. The ingredients for each muffin cost $0.60. She wants to make a profit of at least $100 this weekend. What is the least number of muffins she must sell?
muffins
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find the profit she makes on one muffin first. Then write an "at least" inequality.
Solución paso a paso
Profit on one muffin = 2.25 - 0.60 = 1.65 dollars.
Let m = muffins sold. Total profit = 1.65m.
She wants at least $100:
1.65m \ge 100
Divide both sides by 1.65:
m \ge \frac{100}{1.65} \approx 60.61
She must reach the goal, so round up to 61.
Answer: 61 muffins
Check:61 \times 1.65 = 100.65 \ge 100 ✓. With 60 muffins: 60 \times 1.65 = 99.00, which is $1 short ✗.
Tip: When each item has both a price and a cost, subtract to get the profit per item first — then the problem is a simple one-step inequality.
Explicación
Ganancia por un panecillo = 2.25 - 0.60 = 1.65 dólares.
Sea m = los panecillos vendidos. Ganancia total = 1.65m.
Quiere por lo menos $100:
1.65m \ge 100
Divide ambos lados entre 1.65:
m \ge \frac{100}{1.65} \approx 60.61
Tiene que alcanzar la meta, así que redondea hacia arriba a 61.
Respuesta: 61 panecillos
Comprobación:61 \times 1.65 = 100.65 \ge 100 ✓. Con 60 panecillos: 60 \times 1.65 = 99.00, le falta $1 ✗.
Consejo: Cuando cada artículo tiene un precio y un costo, resta primero para obtener la ganancia por artículo; así el problema es una desigualdad sencilla de un solo paso.
Ver en español
Pregunta
Una panadera casera vende panecillos (muffins) en un mercado de agricultores a $2.25 cada uno. Los ingredientes de cada panecillo cuestan $0.60. Quiere tener una ganancia de por lo menos $100 este fin de semana. ¿Cuál es el menor número de panecillos que tiene que vender?
_____ panecillos
Pista
Primero encuentra la ganancia que obtiene con un panecillo. Luego escribe una desigualdad de "por lo menos".
Pregunta 14 de 36
Luis bowled three games this week with scores of 142, 158, and 135. He wants the mean (average) of his four games to be greater than 150. Scores are whole numbers. What is the lowest score he can bowl in the fourth game?
Pista
What total would four games need for the mean to be exactly 150? Does "greater than" allow exactly 150?
Solución paso a paso
Let x = the fourth score. The mean of four games is \dfrac{142 + 158 + 135 + x}{4}.
The mean must be greater than 150:
\frac{435 + x}{4} > 150
Multiply both sides by 4:
435 + x > 600
Subtract 435:
x > 165
The inequality is strict, so 165 itself does not work. The lowest whole score is 166.
Answer: 166
Check:\dfrac{435 + 166}{4} = \dfrac{601}{4} = 150.25 > 150 ✓. With 165: \dfrac{600}{4} = 150, which is not greater than 150 ✗.
Tip: For mean goals, multiply the target mean by the total number of values to get the needed sum, then subtract what you already have.
Explicación
Sea x = el cuarto puntaje. La media de cuatro partidas es \dfrac{142 + 158 + 135 + x}{4}.
La media debe ser mayor que 150:
\frac{435 + x}{4} > 150
Multiplica ambos lados por 4:
435 + x > 600
Resta 435:
x > 165
La desigualdad es estricta, así que 165 no funciona. El puntaje entero más bajo es 166.
Respuesta: 166
Comprobación:\dfrac{435 + 166}{4} = \dfrac{601}{4} = 150.25 > 150 ✓. Con 165: \dfrac{600}{4} = 150, que no es mayor que 150 ✗.
Consejo: Para metas de media, multiplica la media deseada por el número total de valores para obtener la suma necesaria, y luego resta lo que ya tienes.
Ver en español
Pregunta
Luis jugó tres partidas de boliche esta semana con puntajes de 142, 158 y 135. Quiere que la media (promedio) de sus cuatro partidas sea mayor que 150. Los puntajes son números enteros. ¿Cuál es el puntaje más bajo que puede hacer en la cuarta partida?
Opciones
A. 15
B. 150
C. 165
D. 166
Pista
¿Qué total necesitarían las cuatro partidas para que la media sea exactamente 150? ¿"Mayor que" permite exactamente 150?
Pregunta 15 de 36
Completar
Dev's doctor suggests he average at least 8,000 steps per day over 5 days. His step counts for the first 4 days are shown.
Day
Mon
Tue
Wed
Thu
Steps
7,200
9,100
6,800
8,500
What is the least number of steps he must take on Friday?
steps
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find the total number of steps that 5 days at 8,000 per day would give. How much of it does he already have?
Solución paso a paso
Let s = Friday's steps. The 5-day mean must be at least 8,000:
\frac{7200 + 9100 + 6800 + 8500 + s}{5} \ge 8000
Add the known days: 7{,}200 + 9{,}100 + 6{,}800 + 8{,}500 = 31{,}600.
\frac{31600 + s}{5} \ge 8000
Multiply both sides by 5:
31600 + s \ge 40000
Subtract 31,600:
s \ge 8400
Answer: 8,400 steps
Check:\dfrac{31{,}600 + 8{,}400}{5} = \dfrac{40{,}000}{5} = 8{,}000, and 8{,}000 \ge 8{,}000 ✓ — "at least" includes exactly 8,000.
Tip: Needed total = target mean \times number of values. The missing value is that total minus the sum you already have.
Explicación
Sea s = los pasos del viernes. La media de los 5 días debe ser por lo menos 8,000:
\frac{7200 + 9100 + 6800 + 8500 + s}{5} \ge 8000
Suma los días conocidos: 7{,}200 + 9{,}100 + 6{,}800 + 8{,}500 = 31{,}600.
\frac{31600 + s}{5} \ge 8000
Multiplica ambos lados por 5:
31600 + s \ge 40000
Resta 31,600:
s \ge 8400
Respuesta: 8,400 pasos
Comprobación:\dfrac{31{,}600 + 8{,}400}{5} = \dfrac{40{,}000}{5} = 8{,}000, y 8{,}000 \ge 8{,}000 ✓; "por lo menos" incluye exactamente 8,000.
Consejo: Total necesario = media deseada \times número de valores. El valor que falta es ese total menos la suma que ya tienes.
Ver en español
Pregunta
El médico de Dev le sugiere un promedio de por lo menos 8,000 pasos al día durante 5 días. Se muestran sus pasos de los primeros 4 días.
Día
Lun
Mar
Mié
Jue
Pasos
7,200
9,100
6,800
8,500
¿Cuál es el menor número de pasos que tiene que dar el viernes?
_____ pasos
Pista
Encuentra el total de pasos que darían 5 días a 8,000 por día. ¿Cuánto de eso ya tiene?
Pregunta 16 de 36
Two gyms offer monthly deals:
Gym A: $10 per month plus $5 per fitness class
Gym B: $45 per month with unlimited classes
For which numbers of classes c is Gym A cheaper than Gym B?
Pista
Write the monthly cost of each gym. "Gym A is cheaper" means Gym A's cost < Gym B's cost.
Solución paso a paso
Cost of Gym A = 10 + 5c. Cost of Gym B = 45.
Gym A is cheaper:
10 + 5c < 45
Subtract 10 from both sides:
5c < 35
Divide by 5:
c < 7
Answer: c < 7 (fewer than 7 classes a month)
Check: At 6 classes, Gym A costs 10 + 30 = \$40 < \$45 ✓. At 7 classes, Gym A costs 10 + 35 = \$45 — a tie, not cheaper. At 8 classes, Gym A costs $50 — more ✓.
Tip: Find the break-even number (where the costs are equal), then think: the plan with the lower fixed fee wins for small amounts of use.
Explicación
Costo del Gimnasio A = 10 + 5c. Costo del Gimnasio B = 45.
El Gimnasio A es más barato:
10 + 5c < 45
Resta 10 de ambos lados:
5c < 35
Divide entre 5:
c < 7
Respuesta: c < 7 (menos de 7 clases al mes)
Comprobación: Con 6 clases, el Gimnasio A cuesta 10 + 30 = \$40 < \$45 ✓. Con 7 clases, el Gimnasio A cuesta 10 + 35 = \$45: un empate, no es más barato. Con 8 clases, el Gimnasio A cuesta $50: más caro ✓.
Consejo: Halla el número de equilibrio (donde los costos son iguales) y luego piensa: el plan con el cargo fijo más bajo gana cuando se usa poco.
Ver en español
Pregunta
Dos gimnasios ofrecen planes mensuales:
Gimnasio A: $10 al mes más $5 por clase de ejercicio
Gimnasio B: $45 al mes con clases ilimitadas
¿Para qué cantidades de clases c es más barato el Gimnasio A que el Gimnasio B?
Opciones
A.c < 7
B.c > 7
C.c < 9
D.c < 11
Pista
Escribe el costo mensual de cada gimnasio. "El Gimnasio A es más barato" significa costo del Gimnasio A < costo del Gimnasio B.
Pregunta 17 de 36
A shipping box can hold at most 24 jars because of its size, and the packed box can weigh at most 50 lb. The empty box weighs 4 lb, and each jar of honey weighs 2.2 lb. What is the greatest number of jars that can be packed in the box?
Pista
There are two limits here — space and weight. Find the maximum allowed by each one.
Solución paso a paso
Weight limit. Let j = jars. Box plus jars: 4 + 2.2j \le 50.
Subtract 4: 2.2j \le 46
Divide by 2.2: j \le 20.\overline{90}, so at most 20 whole jars (round down).
Space limit. At most 24 jars fit: j \le 24.
Both limits must be met, so use the smaller maximum: 20.
Answer: 20 jars
Check:4 + 2.2(20) = 4 + 44 = 48 lb \le 50 ✓, and 20 jars fit in the box ✓. With 21 jars: 4 + 46.2 = 50.2 lb > 50 ✗.
Tip: When there are two limits, solve each one separately. The answer is the one that runs out first (the smaller maximum).
Explicación
Límite de peso. Sea j = los frascos. Caja más frascos: 4 + 2.2j \le 50.
Resta 4: 2.2j \le 46
Divide entre 2.2: j \le 20.\overline{90}, así que como máximo 20 frascos enteros (redondea hacia abajo).
Límite de espacio. Caben como máximo 24 frascos: j \le 24.
Se deben cumplir los dos límites, así que usa el máximo más pequeño: 20.
Respuesta: 20 frascos
Comprobación:4 + 2.2(20) = 4 + 44 = 48 lb \le 50 ✓, y 20 frascos caben en la caja ✓. Con 21 frascos: 4 + 46.2 = 50.2 lb > 50 ✗.
Consejo: Cuando hay dos límites, resuelve cada uno por separado. La respuesta es el que se agota primero (el máximo más pequeño).
Ver en español
Pregunta
Una caja de envío puede contener como máximo 24 frascos por su tamaño, y la caja llena puede pesar como máximo 50 lb. La caja vacía pesa 4 lb, y cada frasco de miel pesa 2.2 lb. ¿Cuál es el mayor número de frascos que se pueden empacar en la caja?
Opciones
A. 20
B. 21
C. 22
D. 24
Pista
Aquí hay dos límites: el espacio y el peso. Encuentra el máximo que permite cada uno.
Pregunta 18 de 36
Ana can spend at most $100, including 8% sales tax, on a new pair of work boots. What is the highest price before tax she can afford?
Pista
Price plus 8% tax is the same as 1.08 \times price. Be careful with rounding money near a limit.
Solución paso a paso
Let p = the price before tax. With 8% tax, she pays p + 0.08p = 1.08p.
She can spend at most $100:
1.08p \le 100
Divide both sides by 1.08:
p \le \frac{100}{1.08} = 92.592\ldots
Prices are in cents. Rounding up to $92.60 would go over the limit, so round down to $92.59.
Answer: $92.59
Check:92.59 \times 1.08 = 99.9972 \approx \$100.00, which is within $100 ✓. 92.60 \times 1.08 = 100.008, which is $100.01 after rounding — just over ✗.
Tip: "Price including tax" means multiply by (1 + \text{rate}). To work backwards, divide by (1 + \text{rate}) — do not subtract the tax rate from the total.
Explicación
Sea p = el precio antes de impuestos. Con 8% de impuesto, paga p + 0.08p = 1.08p.
Puede gastar como máximo $100:
1.08p \le 100
Divide ambos lados entre 1.08:
p \le \frac{100}{1.08} = 92.592\ldots
Los precios van en centavos. Redondear hacia arriba a $92.60 pasaría el límite, así que redondea hacia abajo a $92.59.
Respuesta: $92.59
Comprobación:92.59 \times 1.08 = 99.9972 \approx \$100.00, que está dentro de los $100 ✓. 92.60 \times 1.08 = 100.008, que redondeado es $100.01: apenas se pasa ✗.
Consejo: "Precio con impuesto incluido" significa multiplicar por (1 + \text{tasa}). Para trabajar hacia atrás, divide entre (1 + \text{tasa}); no restes la tasa de impuesto del total.
Ver en español
Pregunta
Ana puede gastar como máximo $100, incluido el 8% de impuesto sobre la venta, en un par nuevo de botas de trabajo. ¿Cuál es el precio más alto antes de impuestos que puede pagar?
Opciones
A. $92.00
B. $92.59
C. $92.60
D. $108.00
Pista
El precio más el 8% de impuesto es lo mismo que 1.08 \times precio. Ten cuidado al redondear dinero cerca de un límite.
Pregunta 19 de 36
Rosa is building a rectangular dog pen with fence on all four sides. The pen will be 30 ft long, and she has at most 100 ft of fencing. Which inequality gives the possible widths w of the pen, in feet?
Pista
Perimeter of a rectangle = 2l + 2w. Both lengths and both widths need fence.
Solución paso a paso
Perimeter of a rectangle: P = 2l + 2w. With l = 30:
P = 2(30) + 2w = 60 + 2w
The fence can be at most 100 ft:
60 + 2w \le 100
Subtract 60 from both sides:
2w \le 40
Divide by 2:
w \le 20
Answer: w \le 20 (the width can be at most 20 ft)
Check: With w = 20: P = 60 + 40 = 100 ft \le 100 ✓. With w = 21: P = 102 ft — not enough fence ✗.
Tip: A rectangle has two lengths and two widths. Subtract both lengths from the total, then split what is left between the two widths.
Explicación
Perímetro de un rectángulo: P = 2l + 2w. Con l = 30:
P = 2(30) + 2w = 60 + 2w
La cerca puede medir como máximo 100 ft:
60 + 2w \le 100
Resta 60 de ambos lados:
2w \le 40
Divide entre 2:
w \le 20
Respuesta: w \le 20 (el ancho puede ser como máximo 20 ft)
Comprobación: Con w = 20: P = 60 + 40 = 100 ft \le 100 ✓. Con w = 21: P = 102 ft: no alcanza la cerca ✗.
Consejo: Un rectángulo tiene dos largos y dos anchos. Resta los dos largos del total y luego reparte lo que queda entre los dos anchos.
Ver en español
Pregunta
Rosa está construyendo un corral rectangular para su perro con cerca en los cuatro lados. El corral medirá 30 ft de largo, y ella tiene como máximo 100 ft de cerca. ¿Qué desigualdad da los anchos posibles w del corral, en pies?
Opciones
A.w \le 35
B.w \le 20
C.w \le 40
D.w \le 70
Pista
Perímetro de un rectángulo = 2l + 2w. Los dos largos y los dos anchos necesitan cerca.
Pregunta 20 de 36
Completar
Kim must drive 260 miles to a job interview and arrive in at most 4 hours. In the first hour she drives 55 miles. What is the least whole-number average speed, in miles per hour, she must drive for the rest of the trip?
mph
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
How many miles and how many hours are left after the first hour? Use distance = rate \times time.
Let r = her average speed for the rest of the trip. In 3 hours she covers 3r miles (from d = rt).
She must cover at least the 205 miles left:
3r \ge 205
Divide by 3:
r \ge 68.\overline{3}
A speed of 68 mph is too slow, so round up to 69 mph.
Answer: 69 mph
Check:3 \times 69 = 207 miles \ge 205 ✓. At 68 mph she covers only 204 miles in 3 hours — 1 mile short ✗.
Tip: In multi-part trips, subtract what is already done (distance and time) before you set up the inequality for the rest.
Explicación
Millas que faltan: 260 - 55 = 205 millas. Horas que quedan: 4 - 1 = 3 horas.
Sea r = su velocidad promedio en el resto del viaje. En 3 horas recorre 3r millas (por d = rt).
Debe recorrer por lo menos las 205 millas que faltan:
3r \ge 205
Divide entre 3:
r \ge 68.\overline{3}
Una velocidad de 68 mph es muy lenta, así que redondea hacia arriba a 69 mph.
Respuesta: 69 mph
Comprobación:3 \times 69 = 207 millas \ge 205 ✓. A 68 mph recorre solo 204 millas en 3 horas: le falta 1 milla ✗.
Consejo: En los viajes de varias partes, resta lo que ya se hizo (distancia y tiempo) antes de plantear la desigualdad para el resto.
Ver en español
Pregunta
Kim tiene que manejar 260 millas hasta una entrevista de trabajo y llegar en como máximo 4 horas. En la primera hora maneja 55 millas. ¿Cuál es la menor velocidad promedio en número entero, en millas por hora, a la que tiene que manejar el resto del viaje?
_____ mph
Pista
¿Cuántas millas y cuántas horas quedan después de la primera hora? Usa distancia = velocidad \times tiempo.
Pregunta 21 de 36
Varias respuestas
A hiker carries 4 liters of water. She plans to drink 0.5 liter per hour of hiking and wants to keep 1 liter in reserve for emergencies.
Select all hiking times (in hours) she can plan without using her reserve.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Water used while hiking plus the reserve must be no more than 4 liters. Find the boundary first.
Solución paso a paso
Let h = hours of hiking. Water used = 0.5h; plus the 1-liter reserve.
Total must be at most 4 liters:
0.5h + 1 \le 4
Subtract 1: 0.5h \le 3.
Divide by 0.5: h \le 6.
Test each choice:
4 h: 0.5(4) + 1 = 3 \le 4 ✓
5.5 h: 0.5(5.5) + 1 = 3.75 \le 4 ✓
6 h: 0.5(6) + 1 = 4 \le 4 ✓ (exactly at the limit is allowed)
6.5 h: 4.25 > 4 ✗
8 h: 5 > 4 ✗
Answer: 4, 5.5, and 6 hours
Check: At 6 hours she drinks 3 L and still has her 1-L reserve — exactly 4 L ✓.
Tip: Times do not have to be whole numbers. Only round when the story says the items come in whole units.
Explicación
Sea h = las horas de caminata. Agua usada = 0.5h, más la reserva de 1 litro.
El total debe ser como máximo 4 litros:
0.5h + 1 \le 4
Resta 1: 0.5h \le 3.
Divide entre 0.5: h \le 6.
Prueba cada opción:
4 h: 0.5(4) + 1 = 3 \le 4 ✓
5.5 h: 0.5(5.5) + 1 = 3.75 \le 4 ✓
6 h: 0.5(6) + 1 = 4 \le 4 ✓ (quedar exactamente en el límite está permitido)
6.5 h: 4.25 > 4 ✗
8 h: 5 > 4 ✗
Respuesta: 4, 5.5 y 6 horas
Comprobación: A las 6 horas ha tomado 3 L y todavía tiene su reserva de 1 L: exactamente 4 L ✓.
Consejo: Los tiempos no tienen que ser números enteros. Redondea solo cuando la situación diga que las cosas vienen en unidades enteras.
Ver en español
Pregunta
Una excursionista lleva 4 litros de agua. Piensa tomar 0.5 litro por hora de caminata y quiere guardar 1 litro de reserva para emergencias.
Selecciona todos los tiempos de caminata (en horas) que puede planear sin usar su reserva.
Opciones
A. 4
B. 5.5
C. 6
D. 6.5
E. 8
Pista
El agua usada al caminar más la reserva no puede ser más de 4 litros. Primero encuentra el límite.
Pregunta 22 de 36
A pharmacy cooler must keep a vaccine between 2°C and 8°C, inclusive. When the cooler is switched on, the vaccine is at 14°C, and its temperature drops 1.5°C per minute. For which numbers of minutes t after switching on is the vaccine in the safe range?
Pista
The temperature after t minutes is 14 - 1.5t. Put it between 2 and 8, and remember what happens when you divide by a negative.
Solución paso a paso
Temperature after t minutes: 14 - 1.5t.
It must be between 2 and 8, inclusive:
2 \le 14 - 1.5t \le 8
Subtract 14 from all three parts:
-12 \le -1.5t \le -6
Divide all three parts by -1.5 and flip both signs:
8 \ge t \ge 4
Rewrite from smallest to largest: 4 \le t \le 8.
Answer: 4 \le t \le 8 (from 4 to 8 minutes)
Check: At t = 4: 14 - 6 = 8°C ✓. At t = 8: 14 - 12 = 2°C ✓. At t = 6: 14 - 9 = 5°C, inside the range ✓.
Tip: A compound inequality is solved like a regular one — just do every step to all three parts. Dividing by a negative flips both symbols.
Explicación
Temperatura después de t minutos: 14 - 1.5t.
Debe estar entre 2 y 8, inclusive:
2 \le 14 - 1.5t \le 8
Resta 14 de las tres partes:
-12 \le -1.5t \le -6
Divide las tres partes entre -1.5 e invierte los dos signos:
8 \ge t \ge 4
Vuelve a escribirla de menor a mayor: 4 \le t \le 8.
Respuesta: 4 \le t \le 8 (de 4 a 8 minutos)
Comprobación: Con t = 4: 14 - 6 = 8°C ✓. Con t = 8: 14 - 12 = 2°C ✓. Con t = 6: 14 - 9 = 5°C, dentro del rango ✓.
Consejo: Una desigualdad compuesta se resuelve como una normal; solo haz cada paso en las tres partes. Dividir entre un número negativo invierte los dos símbolos.
Ver en español
Pregunta
Un refrigerador de farmacia debe mantener una vacuna entre 2°C y 8°C, inclusive. Cuando se enciende el refrigerador, la vacuna está a 14°C, y su temperatura baja 1.5°C por minuto. ¿Para qué números de minutos t después de encenderlo está la vacuna en el rango seguro?
Opciones
A.4 \le t \le 8
B.1.33 \le t \le 5.33
C.-8 \le t \le -4
D.10.67 \le t \le 14.67
Pista
La temperatura después de t minutos es 14 - 1.5t. Ponla entre 2 y 8, y recuerda lo que pasa cuando divides entre un negativo.
Pregunta 23 de 36
Completar
A salesperson earns $500 per week plus a 6% commission on her weekly sales. How much must she sell in one week to earn at least $1,100?
$ (minimum weekly sales)
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Write 6% as a decimal. Weekly pay = base pay + commission.
Solución paso a paso
Let s = weekly sales in dollars. Commission = 0.06s, so pay = 500 + 0.06s.
She wants at least $1,100:
500 + 0.06s \ge 1100
Subtract 500:
0.06s \ge 600
Divide by 0.06:
s \ge \frac{600}{0.06} = 10{,}000
Answer: $10,000 in sales.
Check:500 + 0.06(10{,}000) = 500 + 600 = 1{,}100 ✓ — exactly the goal. With $9,000: 500 + 540 = 1{,}040, not enough ✓.
Tip: Always convert a percent to a decimal (6% = 0.06) before solving. Forgetting the base pay would give $18,333 — far too much.
Explicación
Sea s = ventas semanales en dólares. Comisión = 0.06s, así que el pago = 500 + 0.06s.
Quiere ganar por lo menos $1,100:
500 + 0.06s \ge 1100
Resta 500:
0.06s \ge 600
Divide entre 0.06:
s \ge \frac{600}{0.06} = 10{,}000
Respuesta: $10,000 en ventas.
Comprobación:500 + 0.06(10{,}000) = 500 + 600 = 1{,}100 ✓: justo la meta. Con $9,000: 500 + 540 = 1{,}040, no alcanza ✓.
Consejo: convierte siempre un porcentaje a decimal (6% = 0.06) antes de resolver. Olvidar el pago base daría $18,333, demasiado.
Ver en español
Pregunta
Una vendedora gana $500 por semana más una comisión del 6% sobre sus ventas semanales. ¿Cuánto tiene que vender en una semana para ganar por lo menos $1,100?
$_____ (ventas semanales mínimas)
Pista
Escribe el 6% como decimal. Pago semanal = pago base + comisión.
Pregunta 24 de 36
A caterer charges a $250 setup fee plus $18 per guest. Dana's budget for catering is $1,500, and her party room holds at most 75 people. What is the greatest number of guests she can invite?
Pista
Find the most guests the budget allows. Then compare with the room limit.
Solución paso a paso
Let g = guests. Cost = 250 + 18g.
Budget limit: 250 + 18g \le 1500.
Subtract 250: 18g \le 1250.
Divide by 18: g \le 69.\overline{4} → at most 69 whole guests (round down).
Room limit: g \le 75.
Both conditions must hold, so take the smaller maximum: 69.
Consejo: cuando hay dos límites, decide el más estricto. Revisa cada condición de la historia antes de elegir.
Ver en español
Pregunta
Un servicio de banquetes cobra un cargo de preparación de $250 más $18 por invitado. El presupuesto de Dana para la comida es de $1,500, y su salón de fiestas tiene capacidad para como máximo 75 personas. ¿Cuál es el mayor número de invitados que puede invitar?
Opciones
A. 69
B. 70
C. 75
D. 83
Pista
Encuentra el máximo de invitados que permite el presupuesto. Luego compáralo con el límite del salón.
Pregunta 25 de 36
Completar
A restaurant server is paid $3.50 per hour for an 8-hour shift. She also earns tips that average 18% of the food bills of the tables she serves. She wants to earn at least $150 for the shift. What is the least whole-dollar amount of food bills she must serve?
$
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
First find her hourly pay for the whole shift. Then write the tips as a decimal times the food bills.
Solución paso a paso
Hourly pay for the shift: 3.50 \times 8 = 28 dollars.
Let b = total food bills. Tips = 0.18b. Total earnings = 28 + 0.18b.
She wants at least $150:
28 + 0.18b \ge 150
Subtract 28 from both sides:
0.18b \ge 122
Divide by 0.18:
b \ge \frac{122}{0.18} = 677.\overline{7}
She must reach the goal, so round up to the next whole dollar: $678.
Consejo: Convierte el porcentaje a decimal (18\% = 0.18) y trátalo como cualquier otra tasa. Quita primero el pago fijo y luego divide.
Ver en español
Pregunta
A una mesera de restaurante le pagan $3.50 por hora en un turno de 8 horas. También gana propinas que en promedio son el 18% de las cuentas de comida de las mesas que atiende. Quiere ganar por lo menos $150 en el turno. ¿Cuál es la menor cantidad en dólares enteros de cuentas de comida que tiene que atender?
$_____
Pista
Primero encuentra su pago por hora de todo el turno. Luego escribe las propinas como un decimal por las cuentas de comida.
Pregunta 26 de 36
Menú
A party rental company charges a $40 delivery fee plus $2.50 per folding chair. Mr. Okafor's budget for chairs is $150.
Renting 45 chairs within his budget, because the total cost would be .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Substitute 45 for the number of chairs in the total-cost expression and compare with $150.
Solución paso a paso
Total cost for n chairs: 40 + 2.50n. The budget condition is 40 + 2.50n \le 150.
Compara: 152.50 \le 150 es falso, así que 45 sillas no están dentro del presupuesto.
Al resolver la desigualdad se ve el límite real: 2.50n \le 110, así que n \le 44.
Respuesta: Alquilar 45 sillas no está dentro de su presupuesto; el costo total sería de $152.50.
Comprobación: 44 sillas: 40 + 110 = \$150, exactamente el presupuesto ✓. Con 45 sillas se pasa por $2.50 ✗.
Consejo: Para probar si un valor es una solución, sustitúyelo en la expresión original —incluido el cargo fijo— y compáralo con el límite.
Ver en español
Pregunta
Una compañía de alquiler para fiestas cobra un cargo de entrega de $40 más $2.50 por silla plegable. El presupuesto del Sr. Okafor para sillas es de $150.
Alquilar 45 sillas _____ dentro de su presupuesto, porque el costo total sería de _____.
Opciones
no está
está
$152.50
$112.50
$150.00
Pista
Sustituye 45 como el número de sillas en la expresión del costo total y compáralo con $150.
Pregunta 27 de 36
Completar
A fitness guide says a safe workout heart rate is between 50% and 85%, inclusive, of a person's maximum heart rate. Maximum heart rate is estimated as 220 - \text{age} beats per minute.
For a 40-year-old, complete the inequality for the safe workout heart rate h (beats per minute).
\le h \le
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find the maximum heart rate first. Then take 50% and 85% of it.
Solución paso a paso
Maximum heart rate for a 40-year-old: 220 - 40 = 180 beats per minute.
Lower limit (50%): 0.50 \times 180 = 90.
Upper limit (85%): 0.85 \times 180 = 153.
"Between, inclusive" means both limits are allowed:
90 \le h \le 153
Answer: 90 \le h \le 153
Check:\dfrac{90}{180} = 0.50 ✓ and \dfrac{153}{180} = 0.85 ✓. A heart rate of 120 is inside the range: 90 \le 120 \le 153 ✓.
Tip: A range question has two boundaries. Compute each one separately, then write them with the smaller number on the left.
Explicación
Ritmo cardíaco máximo para una persona de 40 años: 220 - 40 = 180 latidos por minuto.
Límite inferior (50%): 0.50 \times 180 = 90.
Límite superior (85%): 0.85 \times 180 = 153.
"Entre, inclusive" significa que se permiten los dos límites:
90 \le h \le 153
Respuesta: 90 \le h \le 153
Comprobación:\dfrac{90}{180} = 0.50 ✓ y \dfrac{153}{180} = 0.85 ✓. Un ritmo cardíaco de 120 está dentro del rango: 90 \le 120 \le 153 ✓.
Consejo: Una pregunta de rango tiene dos límites. Calcula cada uno por separado y luego escríbelos con el número más pequeño a la izquierda.
Ver en español
Pregunta
Una guía de ejercicio dice que un ritmo cardíaco seguro al hacer ejercicio está entre el 50% y el 85%, inclusive, del ritmo cardíaco máximo de la persona. El ritmo cardíaco máximo se estima como 220 - \text{edad} latidos por minuto.
Para una persona de 40 años, completa la desigualdad del ritmo cardíaco seguro al hacer ejercicio h (latidos por minuto).
_____ \le h \le _____
Pista
Primero encuentra el ritmo cardíaco máximo. Luego calcula el 50% y el 85% de ese número.
Pregunta 28 de 36
The table shows the cost of parking in a downtown garage.
Hours parked
1
2
3
4
Total cost
$7
$10
$13
$16
The cost keeps following the same pattern. Ben can spend at most $30 on parking. What is the greatest number of whole hours he can park?
Pista
How much does the cost go up each hour? What would 0 hours cost if the pattern continued backwards?
Solución paso a paso
Rate: each extra hour adds 10 - 7 = 3 dollars.
Starting value: going back one hour from $7 gives 7 - 3 = 4 dollars. So cost = 4 + 3h. (Check: 4 + 3(1) = 7 ✓, 4 + 3(4) = 16 ✓.)
He can spend at most $30:
4 + 3h \le 30
Subtract 4: 3h \le 26.
Divide by 3: h \le 8.\overline{6}. Round down to 8 whole hours.
Tip: From a table, the rate is the change between rows, and the fixed part is the value at 0 — not the first number in the table.
Explicación
Tasa: cada hora extra suma 10 - 7 = 3 dólares.
Valor inicial: si retrocedes una hora desde $7, obtienes 7 - 3 = 4 dólares. Así que el costo = 4 + 3h. (Comprobación: 4 + 3(1) = 7 ✓, 4 + 3(4) = 16 ✓).
Puede gastar como máximo $30:
4 + 3h \le 30
Resta 4: 3h \le 26.
Divide entre 3: h \le 8.\overline{6}. Redondea hacia abajo a 8 horas completas.
Consejo: En una tabla, la tasa es el cambio entre las filas, y la parte fija es el valor en 0, no el primer número de la tabla.
Ver en español
Pregunta
La tabla muestra el costo de estacionarse en un garaje del centro.
Horas estacionado
1
2
3
4
Costo total
$7
$10
$13
$16
El costo sigue el mismo patrón. Ben puede gastar como máximo $30 en estacionamiento. ¿Cuál es el mayor número de horas completas que puede estacionarse?
Opciones
A. 4
B. 8
C. 9
D. 10
Pista
¿Cuánto sube el costo cada hora? ¿Cuánto costarían 0 horas si el patrón siguiera hacia atrás?
Pregunta 29 de 36
The graph shows the amount of water in a storage tank as it drains at a steady rate.
Line graph of water in a tank falling from 600 gallons at 0 hours to 0 gallons at 15 hours
For fire safety, the tank must always hold at least 200 gallons. For which times t (in hours, starting at t = 0) does the tank meet the rule?
Pista
Find the starting amount and how many gallons are lost each hour from the graph. Then write: gallons left \ge 200.
Solución paso a paso
Read the graph. At t = 0 the tank holds 600 gallons. From (0, 600) to (5, 400) it loses 200 gallons in 5 hours: 200 \div 5 = 40 gallons per hour.
Water left after t hours: 600 - 40t.
It must be at least 200:
600 - 40t \ge 200
Subtract 600: -40t \ge -400.
Divide by -40 and flip the sign: t \le 10.
Time starts at 0, so 0 \le t \le 10.
Answer: 0 \le t \le 10
Check: On the graph, the line crosses the 200-gallon grid line at t = 10 hours ✓. After that, the line drops below 200 ✓.
Tip: On a graph you can often check your answer directly: find the target value on the vertical axis, go across to the line, and read the time below it.
Explicación
Lee la gráfica. En t = 0 el tanque tiene 600 galones. De (0, 600) a (5, 400) pierde 200 galones en 5 horas: 200 \div 5 = 40 galones por hora.
Agua que queda después de t horas: 600 - 40t.
Debe ser por lo menos 200:
600 - 40t \ge 200
Resta 600: -40t \ge -400.
Divide entre -40 e invierte el signo: t \le 10.
El tiempo empieza en 0, así que 0 \le t \le 10.
Respuesta: 0 \le t \le 10
Comprobación: En la gráfica, la recta cruza la línea de 200 galones de la cuadrícula en t = 10 horas ✓. Después de eso, la recta baja de 200 ✓.
Consejo: En una gráfica, a menudo puedes comprobar tu respuesta directamente: busca el valor deseado en el eje vertical, ve horizontalmente hasta la recta y lee el tiempo que está debajo.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra la cantidad de agua en un tanque de almacenamiento mientras se vacía a un ritmo constante.
Por seguridad contra incendios, el tanque siempre debe tener por lo menos 200 galones. ¿Para qué tiempos t (en horas, empezando en t = 0) cumple el tanque la regla?
Opciones
A.t \ge 10
B.0 \le t \le 5
C.0 \le t \le 10
D.0 \le t \le 15
Pista
En la gráfica, encuentra la cantidad inicial y cuántos galones se pierden cada hora. Luego escribe: galones que quedan \ge 200.
Pregunta 30 de 36
Completar
A rideshare driver earns a daily bonus plus a fixed amount per ride. The table shows her total earnings for some days.
Rides in a day
5
10
15
Total earnings
$62
$112
$162
She wants to earn at least $400 in one day. What is the least number of rides she must give?
rides
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
How much do 5 more rides add? Use that to find the earnings per ride, then the bonus.
Solución paso a paso
Rate: 5 more rides add 112 - 62 = 50 dollars, so each ride pays 50 \div 5 = 10 dollars.
Bonus: 5 rides earn 5 \times 10 = 50, but she made $62, so the bonus is 62 - 50 = 12 dollars.
Earnings for r rides: 12 + 10r. (Check: 12 + 10(15) = 162 ✓.)
Consejo: Tasa = \dfrac{\text{cambio en la salida}}{\text{cambio en la entrada}}. Luego, la parte fija = cualquier salida de la tabla menos la tasa \times su entrada.
Ver en español
Pregunta
Una conductora de viajes compartidos gana un bono diario más una cantidad fija por viaje. La tabla muestra sus ganancias totales de algunos días.
Viajes en un día
5
10
15
Ganancias totales
$62
$112
$162
Quiere ganar por lo menos $400 en un día. ¿Cuál es el menor número de viajes que tiene que hacer?
_____ viajes
Pista
¿Cuánto agregan 5 viajes más? Usa eso para encontrar la ganancia por viaje y luego el bono.
Pregunta 31 de 36
A gym charges a $25 sign-up fee plus $30 per month. Kim can spend at most $200. Her work to find how many months she can belong is shown.
Start: 25 + 30m \le 200
Step 1:30m \le 225
Step 2:m \le 7.5
Step 3: Kim can belong for at most 8 months.
Which statement is true?
Pista
Check each step against the one before it. What should be done to remove the +25?
Solución paso a paso
To remove +25 from the left side, subtract 25 from both sides:
30m \le 200 - 25 = 175
Kim added 25 and got 225, so Step 1 is the first error.
Correct work from there: m \le \dfrac{175}{30} = 5.8\overline{3}.
Months are whole and this is a maximum, so round down: at most 5 months.
(Step 3 also rounds the wrong way, but the first mistake is in Step 1.)
Answer: Step 1 is the first error; the correct answer is at most 5 months.
Consejo: Usa la operación opuesta para mover un número: el +25 se deshace restando 25. Comprueba siempre tu respuesta final en la situación original.
Ver en español
Pregunta
Un gimnasio cobra un cargo de inscripción de $25 más $30 al mes. Kim puede gastar como máximo $200. Abajo se muestra su trabajo para encontrar cuántos meses puede ser miembro.
Inicio: 25 + 30m \le 200
Paso 1:30m \le 225
Paso 2:m \le 7.5
Paso 3: Kim puede ser miembro como máximo 8 meses.
¿Qué afirmación es verdadera?
Opciones
A. El Paso 2 es el primer error; debió multiplicar por 30.
B. El Paso 3 es el primer error; la respuesta debería ser 7 meses.
C. No hay ningún error; Kim puede ser miembro durante 8 meses.
D. El Paso 1 es el primer error; debió restar 25, y la respuesta es como máximo 5 meses.
Pista
Compara cada paso con el anterior. ¿Qué se debe hacer para quitar el +25?
Pregunta 32 de 36
A food bank has 1,800 lb of food. It gives each family a 65-lb box and must keep at least 300 lb in reserve. The inequality 1800 - 65f \ge 300 models the number of families f it can serve.
Which statement correctly describes the solution?
Pista
Solve the inequality. Watch the sign when you divide by a negative number, and think about rounding.
Solución paso a paso
Start: 1800 - 65f \ge 300.
Subtract 1,800 from both sides: -65f \ge -1500.
Divide by -65 and flip the sign:
f \le \frac{1500}{65} \approx 23.08
Families come in whole numbers, and this is a maximum, so round down: at most 23 families.
Answer: The food bank can serve at most 23 families.
Tip: When the amount left must be at least something, the number of items you can give away has a maximum. If your answer says "at least," re-check the sign flip.
Explicación
Inicio: 1800 - 65f \ge 300.
Resta 1,800 de ambos lados: -65f \ge -1500.
Divide entre -65 e invierte el signo:
f \le \frac{1500}{65} \approx 23.08
Las familias vienen en números enteros, y esto es un máximo, así que redondea hacia abajo: como máximo 23 familias.
Respuesta: El banco de alimentos puede atender como máximo a 23 familias.
Consejo: Cuando la cantidad que queda debe ser por lo menos algo, el número de cosas que puedes dar tiene un máximo. Si tu respuesta dice "por lo menos", revisa otra vez si invertiste el signo.
Ver en español
Pregunta
Un banco de alimentos tiene 1,800 lb de comida. Le da a cada familia una caja de 65 lb y debe guardar por lo menos 300 lb de reserva. La desigualdad 1800 - 65f \ge 300 representa el número de familias f que puede atender.
¿Qué afirmación describe correctamente la solución?
Opciones
A. El banco de alimentos puede atender como máximo a 23 familias.
B. El banco de alimentos tiene que atender por lo menos a 23 familias.
C. El banco de alimentos puede atender como máximo a 27 familias.
D. El banco de alimentos puede atender como máximo a 24 familias.
Pista
Resuelve la desigualdad. Fíjate en el signo cuando dividas entre un número negativo, y piensa en el redondeo.
Pregunta 33 de 36
A city water bill is a $18.50 monthly service charge plus $0.006 per gallon used. The Nguyen family wants their bill to be no more than $60 this month. What is the greatest number of whole gallons they can use?
Pista
Remove the service charge from the budget first. Dividing by a small decimal makes a big number — estimate to check.
Solución paso a paso
Let g = gallons used. Bill = 18.50 + 0.006g.
Bill must be no more than $60:
18.50 + 0.006g \le 60
Subtract 18.50: 0.006g \le 41.50.
Divide by 0.006:
g \le \frac{41.50}{0.006} = 6916.\overline{6}
Round down to stay within budget: 6,916 gallons.
Answer: 6,916 gallons
Check:18.50 + 0.006(6{,}916) = 18.50 + 41.496 = 59.996 \approx \$60.00 ✓. With 6,917 gallons: 18.50 + 41.502 = 60.002, which rounds to $60.00 but is over the limit ✗.
Tip: Estimate first: about $40 at less than a cent per gallon means several thousand gallons. If your answer is far off, recheck the decimal.
Explicación
Sea g = los galones usados. Factura = 18.50 + 0.006g.
La factura no debe ser más de $60:
18.50 + 0.006g \le 60
Resta 18.50: 0.006g \le 41.50.
Divide entre 0.006:
g \le \frac{41.50}{0.006} = 6916.\overline{6}
Redondea hacia abajo para no pasarte del presupuesto: 6,916 galones.
Respuesta: 6,916 galones
Comprobación:18.50 + 0.006(6{,}916) = 18.50 + 41.496 = 59.996 \approx \$60.00 ✓. Con 6,917 galones: 18.50 + 41.502 = 60.002, que se redondea a $60.00 pero pasa el límite ✗.
Consejo: Estima primero: unos $40 a menos de un centavo por galón significa varios miles de galones. Si tu respuesta está muy lejos, revisa otra vez el punto decimal.
Ver en español
Pregunta
Una factura de agua de la ciudad tiene un cargo mensual por servicio de $18.50 más $0.006 por galón usado. La familia Nguyen quiere que su factura sea no más de $60 este mes. ¿Cuál es el mayor número de galones completos que pueden usar?
Opciones
A. 6,916
B. 6,917
C. 10,000
D. 13,083
Pista
Primero quita el cargo por servicio del presupuesto. Dividir entre un decimal pequeño da un número grande: estima para comprobar.
Pregunta 34 de 36
Completar
Two car-sharing services rent a car for one day:
Service A: $30 plus $0.60 per mile
Service B: $54 plus $0.28 per mile
What is the least whole number of miles for which Service B is cheaper than Service A?
miles
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
'B is cheaper' means cost of B < cost of A. Collect the mile terms on one side.
Solución paso a paso
Let m = miles. "B is cheaper than A":
54 + 0.28m < 30 + 0.60m
Subtract 0.28m from both sides:
54 < 30 + 0.32m
Subtract 30:
24 < 0.32m
Divide by 0.32:
75 < m \quad\text{i.e.}\quad m > 75
The inequality is strict, so 75 is not included. The least whole number of miles is 76.
Answer: 76 miles
Check: At 75 miles: A = 30 + 45 = 75, B = 54 + 21 = 75 — a tie, so B is not cheaper. At 76 miles: A = 75.60, B = 75.28 — B is cheaper ✓.
Tip: The break-even value is where the costs are equal. If the question asks when one plan is strictly cheaper, step one unit past the break-even point.
Explicación
Sea m = millas. "B es más barato que A":
54 + 0.28m < 30 + 0.60m
Resta 0.28m en ambos lados:
54 < 30 + 0.32m
Resta 30:
24 < 0.32m
Divide entre 0.32:
75 < m \quad\text{es decir}\quad m > 75
La desigualdad es estricta, así que el 75 no está incluido. El menor número entero de millas es 76.
Respuesta: 76 millas
Comprobación: con 75 millas: A = 30 + 45 = 75, B = 54 + 21 = 75: un empate, así que B no es más barato. Con 76 millas: A = 75.60, B = 75.28: B es más barato ✓.
Consejo: el valor de equilibrio es donde los costos son iguales. Si la pregunta pide cuándo un plan es estrictamente más barato, avanza una unidad más allá del punto de equilibrio.
Ver en español
Pregunta
Dos servicios de autos compartidos alquilan un auto por un día:
Servicio A: $30 más $0.60 por milla
Servicio B: $54 más $0.28 por milla
¿Cuál es el menor número entero de millas con el que el Servicio B es más barato que el Servicio A?
_____ millas
Pista
'B es más barato' significa costo de B < costo de A. Junta los términos de millas en un lado.
Pregunta 35 de 36
Varias respuestas
A carpenter charges $45 to come to a house plus $38 per hour of work. A customer will pay no more than $250.
Select all statements that are true.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Write and solve the inequality. Then test each statement with real numbers.
Solución paso a paso
Let h = hours. Cost = 45 + 38h, and it must be no more than $250:
45 + 38h \le 250
Subtract 45: 38h \le 205. Divide by 38: h \le 5.39 (rounded).
Test each statement:
A. The inequality 45 + 38h \le 250 models the situation — true.
C. Si se cobra por horas completas, lo máximo es 5 horas: 45 + 190 = 235 \le 250, y 6 horas cuestan $273: verdadera.
D. "h \ge 5.39" apunta en la dirección equivocada; más horas cuestan más: falsa.
E. 4 horas: 45 + 152 = 197 \le 250: verdadera.
Respuesta: A, C y E
Comprobación: El límite h \approx 5.39 cuesta 45 + 38(5.39) \approx 249.82, apenas por debajo de $250 ✓.
Consejo: En las preguntas de "qué afirmaciones son verdaderas", resuelve una vez y luego comprueba cada afirmación sustituyendo números. No confíes en la redacción; confía en la aritmética.
Ver en español
Pregunta
Un carpintero cobra $45 por ir a una casa más $38 por hora de trabajo. Un cliente pagará no más de $250.
Selecciona todas las afirmaciones que son verdaderas.
Opciones
A. La desigualdad 45 + 38h \le 250 representa la situación.
B. El carpintero puede trabajar 5.5 horas.
C. Si solo cobra horas completas, puede trabajar como máximo 5 horas.
D. La solución de la desigualdad es h \ge 5.39.
E. Un trabajo de 4 horas cuesta $197, que está dentro del presupuesto.
Pista
Escribe y resuelve la desigualdad. Luego prueba cada afirmación con números reales.
Pregunta 36 de 36
Completar
A tutoring center pays $20 per hour plus a $50 weekly bonus. Kayla wants her weekly pay to be between $350 and $500, inclusive, so she can cover her bills but still keep time for classes.
Complete the inequality for the number of hours h she should tutor each week.
\le h \le
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Weekly pay = 50 + 20h. Put that expression between 350 and 500, then solve all three parts.
Solución paso a paso
Weekly pay for h hours: 50 + 20h.
It must be between $350 and $500, inclusive:
350 \le 50 + 20h \le 500
Subtract 50 from all three parts:
300 \le 20h \le 450
Tip: Hours can be fractions (22.5 hours = 22 hours 30 minutes). Do not round unless the story says only whole units count.
Explicación
Pago semanal por h horas: 50 + 20h.
Debe estar entre $350 y $500, inclusive:
350 \le 50 + 20h \le 500
Resta 50 de las tres partes:
300 \le 20h \le 450
Divide las tres partes entre 20:
15 \le h \le 22.5
Respuesta: 15 \le h \le 22.5
Comprobación: 15 horas: 50 + 300 = \$350 ✓. 22.5 horas: 50 + 450 = \$500 ✓. 18 horas: $410, dentro del rango ✓.
Consejo: Las horas pueden ser fracciones (22.5 horas = 22 horas 30 minutos). No redondees a menos que la situación diga que solo cuentan unidades enteras.
Ver en español
Pregunta
Un centro de tutorías paga $20 por hora más un bono semanal de $50. Kayla quiere que su pago semanal esté entre $350 y $500, inclusive, para cubrir sus cuentas y aun así tener tiempo para sus clases.
Completa la desigualdad para el número de horas h que debe dar tutorías cada semana.
_____ \le h \le _____
Pista
Pago semanal = 50 + 20h. Pon esa expresión entre 350 y 500 y luego resuelve las tres partes.
