A rectangular patio has a length that is 6 feet more than its width, w. The area of the patio is 55 square feet.
Rectangle with width w and length w + 6
Which equation can be used to find w?
Pista
The area of a rectangle is length times width. What expression is the length?
Solución paso a paso
Width = w. Length is 6 more than the width: w + 6.
Area of a rectangle: A = l \times w.
Substitute: w(w + 6) = 55
The equation is w(w + 6) = 55.
Check: Solve it: w^2 + 6w - 55 = 0 \Rightarrow (w + 11)(w - 5) = 0 \Rightarrow w = 5. A 5 ft by 11 ft patio has area 5 \times 11 = 55 ✓
Tip: Area means multiply the two sides. Adding the sides (or using 2l + 2w) gives perimeter, not area.
Explicación
Ancho = w. El largo es 6 más que el ancho: w + 6.
Área de un rectángulo: A = l \times w.
Sustituye: w(w + 6) = 55
La ecuación es w(w + 6) = 55.
Comprobación: Resuélvela: w^2 + 6w - 55 = 0 \Rightarrow (w + 11)(w - 5) = 0 \Rightarrow w = 5. Un patio de 5 ft por 11 ft tiene un área de 5 \times 11 = 55 ✓
Consejo: Área significa multiplicar los dos lados. Sumar los lados (o usar 2l + 2w) da el perímetro, no el área.
Ver en español
Pregunta
Un patio rectangular tiene un largo que es 6 pies más que su ancho, w. El área del patio es 55 pies cuadrados.
¿Qué ecuación se puede usar para hallar w?
Opciones
A.w + (w + 6) = 55
B.w(w + 6) = 55
C.2w + 2(w + 6) = 55
D.6w = 55
Pista
El área de un rectángulo es el largo por el ancho. ¿Qué expresión es el largo?
Pregunta 2 de 36
Sin calculadoraMenú
The product of two consecutive integers is 42. Let n be the smaller integer.
The equation that models this situation is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Consecutive integers are 1 apart. "Product" tells you which operation to use.
Solución paso a paso
The smaller integer is n. The next consecutive integer is 1 more: n + 1.
"Product" means multiply: n(n + 1) = 42
The equation is n(n + 1) = 42.
Solving: n^2 + n - 42 = 0 \Rightarrow (n + 7)(n - 6) = 0 \Rightarrow n = 6 or n = -7. The integers are 6 and 7 (or -7 and -6).
Consejo: Enteros consecutivos: n, n + 1. Enteros pares o impares consecutivos: n, n + 2. "Producto" = multiplicar; "suma" = sumar.
Ver en español
Pregunta
El producto de dos enteros consecutivos es 42. Sea n el entero menor.
La ecuación que representa esta situación es _____.
Opciones
n(n + 1) = 42
n(n + 2) = 42
n + (n + 1) = 42
n² + 1 = 42
Pista
Los enteros consecutivos están separados por 1. "Producto" te dice qué operación usar.
Pregunta 3 de 36
Completar
A square bedroom has an area of 144 square feet. Write an equation for the side length s and solve it.
What is the side length of the room, in feet?
feet
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The area of a square is the side length times itself.
Solución paso a paso
The area of a square is s \times s = s^2.
Equation: s^2 = 144
Take the square root of both sides: s = \pm\sqrt{144} = \pm 12.
A length can't be negative, so reject -12. The side length is 12 feet.
Check:12 \times 12 = 144 ✓
Tip: Square-root equations give a \pm answer, but in real-world measurements you keep only the positive value. Dividing by 4 (144 \div 4 = 36) gives the side from a perimeter, not an area.
Explicación
El área de un cuadrado es s \times s = s^2.
Ecuación: s^2 = 144
Saca la raíz cuadrada en ambos lados: s = \pm\sqrt{144} = \pm 12.
Una longitud no puede ser negativa, así que descarta -12. El lado mide 12 pies.
Comprobación:12 \times 12 = 144 ✓
Consejo: Las ecuaciones con raíz cuadrada dan una respuesta con \pm, pero en medidas de la vida real solo te quedas con el valor positivo. Dividir entre 4 (144 \div 4 = 36) da el lado a partir de un perímetro, no de un área.
Ver en español
Pregunta
Un dormitorio cuadrado tiene un área de 144 pies cuadrados. Escribe una ecuación para la longitud del lado s y resuélvela.
¿Cuál es la longitud del lado del cuarto, en pies?
_____ pies
Pista
El área de un cuadrado es la longitud del lado multiplicada por sí misma.
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
A triangular sail has a base that is 4 feet longer than its height, h. The area of the sail is 30 square feet.
Which equation can be used to find h?
Pista
The area of a triangle is \tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}. Write the base in terms of h first.
Solución paso a paso
Let the height be h feet. The base is 4 feet longer, so the base is h + 4 feet.
The triangle area formula (on the GED formula sheet) is A = \tfrac{1}{2}bh.
Substitute the base h + 4, the height h and the area 30:
\frac{1}{2}h(h + 4) = 30
The equation is \tfrac{1}{2}h(h + 4) = 30.
Check: Solve it: multiply by 2 to get h^2 + 4h = 60, so h^2 + 4h - 60 = (h + 10)(h - 6) = 0 and h = 6. Then the base is 10, and \tfrac{1}{2}(10)(6) = 30 ✓
Tip: Triangles always need the \tfrac{1}{2}. Without it you are finding the area of a rectangle with the same base and height — twice as big.
Explicación
Sea la altura h pies. La base es 4 pies más larga, así que la base mide h + 4 pies.
La fórmula del área del triángulo (en la hoja de fórmulas del GED®) es A = \tfrac{1}{2}bh.
Sustituye la base h + 4, la altura h y el área 30:
\frac{1}{2}h(h + 4) = 30
La ecuación es \tfrac{1}{2}h(h + 4) = 30.
Comprobación: Resuélvela: multiplica por 2 para obtener h^2 + 4h = 60, así que h^2 + 4h - 60 = (h + 10)(h - 6) = 0 y h = 6. Entonces la base mide 10, y \tfrac{1}{2}(10)(6) = 30 ✓
Consejo: Los triángulos siempre necesitan el \tfrac{1}{2}. Sin él estás calculando el área de un rectángulo con la misma base y altura, que es el doble.
Ver en español
Pregunta
Una vela triangular tiene una base que es 4 pies más larga que su altura, h. El área de la vela es 30 pies cuadrados.
¿Qué ecuación se puede usar para hallar h?
Opciones
A.h(h + 4) = 30
B.h + (h + 4) = 30
C.\tfrac{1}{2}h(h + 4) = 30
D.\tfrac{1}{2}h^2 + 4 = 30
Pista
El área de un triángulo es \tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}. Primero escribe la base en función de h.
Pregunta 5 de 36
Sin calculadora
The product of two consecutive even integers is 168. Let n be the smaller integer.
Which equation can be used to find n?
Pista
Even integers like 4, 6, 8 are how far apart? Use that to write the larger integer in terms of n.
Solución paso a paso
Consecutive even integers go up by 2 (for example 12, 14, 16). If the smaller one is n, the next even integer is n + 2.
"Product" means multiply:
n(n + 2) = 168
The equation is n(n + 2) = 168.
Check: Solve: n^2 + 2n - 168 = 0 factors as (n + 14)(n - 12) = 0. With n = 12: 12 \times 14 = 168 ✓, and both 12 and 14 are even ✓
Tip: Consecutive integers: n, n + 1. Consecutive even or consecutive odd integers: n, n + 2 — both kinds are 2 apart.
Explicación
Los enteros pares consecutivos aumentan de 2 en 2 (por ejemplo 12, 14, 16). Si el menor es n, el siguiente entero par es n + 2.
"Producto" significa multiplicar:
n(n + 2) = 168
La ecuación es n(n + 2) = 168.
Comprobación: Resuelve: n^2 + 2n - 168 = 0 se factoriza como (n + 14)(n - 12) = 0. Con n = 12: 12 \times 14 = 168 ✓, y tanto 12 como 14 son pares ✓
Consejo: Enteros consecutivos: n, n + 1. Enteros pares consecutivos o impares consecutivos: n, n + 2; los dos tipos están separados por 2.
Ver en español
Pregunta
El producto de dos enteros pares consecutivos es 168. Sea n el entero menor.
¿Qué ecuación se puede usar para hallar n?
Opciones
A.n(n + 1) = 168
B.n + (n + 2) = 168
C.n^2 + 2 = 168
D.n(n + 2) = 168
Pista
¿Qué tan separados están los enteros pares como 4, 6, 8? Usa eso para escribir el entero mayor en función de n.
Pregunta 6 de 36
Sin calculadoraCompletar
A rectangular rug is twice as long as it is wide. The area of the rug is 72 square feet.
What is the width of the rug, in feet?
feet
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Call the width w. Write the length in terms of w, then multiply to get the area.
Solución paso a paso
Let w = the width in feet. The rug is twice as long as it is wide, so the length is 2w.
Area = length × width:
2w \cdot w = 72 \;\Rightarrow\; 2w^2 = 72
Divide both sides by 2: w^2 = 36.
Take the square root: w = \pm 6. A width cannot be negative, so w = 6.
The width is 6 feet (and the length is 12 feet).
Check:12 \times 6 = 72 square feet ✓, and 12 is twice 6 ✓
Tip: Read what the question asks for. Here it is the width; the length (12 ft) would be a wrong answer even though it comes from the same work.
Explicación
Sea w = el ancho en pies. La alfombra es el doble de larga que de ancha, así que el largo es 2w.
Área = largo × ancho:
2w \cdot w = 72 \;\Rightarrow\; 2w^2 = 72
Divide los dos lados entre 2: w^2 = 36.
Saca la raíz cuadrada: w = \pm 6. Un ancho no puede ser negativo, así que w = 6.
El ancho es de 6 pies (y el largo es de 12 pies).
Comprobación:12 \times 6 = 72 pies cuadrados ✓, y 12 es el doble de 6 ✓
Consejo: Lee lo que pide la pregunta. Aquí es el ancho; el largo (12 ft) sería una respuesta equivocada aunque salga del mismo trabajo.
Ver en español
Pregunta
Una alfombra rectangular es el doble de larga que de ancha. El área de la alfombra es 72 pies cuadrados.
¿Cuál es el ancho de la alfombra, en pies?
_____ pies
Pista
Llama w al ancho. Escribe el largo en función de w y luego multiplica para obtener el área.
Pregunta 7 de 36
Sin calculadora
The height h, in feet, of an object thrown upward is h = -16t^2 + v_0 t + h_0, where t is the time in seconds, v_0 is the starting upward speed in feet per second and h_0 is the starting height in feet.
A lifeguard tosses a rescue ring upward from a tower 20 feet above the water with a starting speed of 24 feet per second. Which equation can be used to find when the ring hits the water?
Pista
Which number is the starting height and which is the speed? What is the height when the ring hits the water?
Solución paso a paso
Match the numbers to the formula:
starting speed v_0 = 24 ft/s (it multiplies t)
starting height h_0 = 20 ft (the constant)
So the height is h = -16t^2 + 24t + 20.
The water is at height 0, so the ring hits the water when h = 0:
-16t^2 + 24t + 20 = 0
The equation is -16t^2 + 24t + 20 = 0.
Check: At t = 0 the equation gives h = 20 — the ring starts on the 20-ft tower ✓. Solving (4t^2 - 6t - 5 = 0) gives t \approx 2.1 seconds, a reasonable time.
Tip: Label each number before substituting: speed goes with t, starting height stands alone, and "hits the ground/water" means h = 0.
Explicación
Relaciona los números con la fórmula:
rapidez inicial v_0 = 24 ft/s (multiplica a t)
altura inicial h_0 = 20 ft (la constante)
Así que la altura es h = -16t^2 + 24t + 20.
El agua está a una altura de 0, así que el aro llega al agua cuando h = 0:
-16t^2 + 24t + 20 = 0
La ecuación es -16t^2 + 24t + 20 = 0.
Comprobación: En t = 0 la ecuación da h = 20: el aro empieza en la torre de 20 ft ✓. Al resolver (4t^2 - 6t - 5 = 0) se obtiene t \approx 2.1 segundos, un tiempo razonable.
Consejo: Identifica cada número antes de sustituir: la rapidez va con t, la altura inicial va sola, y "llega al suelo/agua" significa h = 0.
Ver en español
Pregunta
La altura h, en pies, de un objeto lanzado hacia arriba es h = -16t^2 + v_0 t + h_0, donde t es el tiempo en segundos, v_0 es la rapidez inicial hacia arriba en pies por segundo y h_0 es la altura inicial en pies.
Un salvavidas lanza un aro salvavidas hacia arriba desde una torre a 20 pies sobre el agua, con una rapidez inicial de 24 pies por segundo. ¿Qué ecuación se puede usar para hallar cuándo el aro llega al agua?
Opciones
A.-16t^2 + 24t + 20 = 0
B.-16t^2 + 20t + 24 = 0
C.16t^2 + 24t + 20 = 0
D.-16t^2 + 24t = 20
Pista
¿Qué número es la altura inicial y cuál es la rapidez? ¿Cuál es la altura cuando el aro llega al agua?
Pregunta 8 de 36
Sin calculadora
The length of a rectangular garden is 1 foot less than twice its width, w. The area of the garden is 105 square feet.
Which equation, written in standard form, can be used to find w?
Pista
First write the length in terms of w. Then write length × width = 105, multiply out, and move everything to one side.
Solución paso a paso
Length is "1 less than twice the width": 2w - 1.
Area: w(2w - 1) = 105
Distribute: 2w^2 - w = 105.
Subtract 105 from both sides: 2w^2 - w - 105 = 0
The answer is 2w^2 - w - 105 = 0.
Check: Quadratic formula: w = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 840}}{4} = \dfrac{1 \pm 29}{4}, so w = 7.5 (reject -7). Length = 2(7.5) - 1 = 14. Area = 7.5 \times 14 = 105 ✓
Tip: When you distribute, multiply the outside term by every term inside: w(2w - 1) = 2w^2 - w.
Explicación
El largo es "1 menos que el doble del ancho": 2w - 1.
Área: w(2w - 1) = 105
Aplica la propiedad distributiva: 2w^2 - w = 105.
Resta 105 en ambos lados: 2w^2 - w - 105 = 0
La respuesta es 2w^2 - w - 105 = 0.
Comprobación: Fórmula cuadrática: w = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 840}}{4} = \dfrac{1 \pm 29}{4}, así que w = 7.5 (descarta -7). Largo = 2(7.5) - 1 = 14. Área = 7.5 \times 14 = 105 ✓
Consejo: Al aplicar la propiedad distributiva, multiplica el término de afuera por cada término de adentro: w(2w - 1) = 2w^2 - w.
Ver en español
Pregunta
El largo de un jardín rectangular es 1 pie menos que el doble de su ancho, w. El área del jardín es 105 pies cuadrados.
¿Qué ecuación, escrita en forma estándar, se puede usar para hallar w?
Opciones
A.2w^2 - 106 = 0
B.2w^2 - w + 105 = 0
C.2w^2 - w - 105 = 0
D.6w - 107 = 0
Pista
Primero escribe el largo en función de w. Luego escribe largo × ancho = 105, multiplica y pasa todo a un lado.
Pregunta 9 de 36
Completar
The product of two consecutive positive odd integers is 143.
What is the smaller integer?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Odd numbers are 2 apart. If the smaller one is n, what is the next odd number?
Solución paso a paso
Let n = the smaller odd integer. The next odd integer is n + 2.
Equation: n(n + 2) = 143
Standard form: n^2 + 2n - 143 = 0.
Find two numbers that multiply to -143 and add to 2: 13 and -11.
Factor: (n + 13)(n - 11) = 0, so n = 11 or n = -13.
The integers are positive, so n = 11. The smaller integer is 11 (the pair is 11 and 13).
Check:11 \times 13 = 143 ✓; both are odd and 2 apart ✓
Tip: A quick estimate helps: \sqrt{143} \approx 12, so the two odd numbers sit on either side of 12 — 11 and 13.
Explicación
Sea n = el entero impar menor. El siguiente entero impar es n + 2.
Ecuación: n(n + 2) = 143
Forma estándar: n^2 + 2n - 143 = 0.
Busca dos números que multiplicados den -143 y sumados den 2: 13 y -11.
Factoriza: (n + 13)(n - 11) = 0, así que n = 11 o n = -13.
Los enteros son positivos, así que n = 11. El entero menor es 11 (la pareja es 11 y 13).
Comprobación:11 \times 13 = 143 ✓; los dos son impares y se separan por 2 ✓
Consejo: Una estimación rápida ayuda: \sqrt{143} \approx 12, así que los dos números impares quedan a cada lado de 12: 11 y 13.
Ver en español
Pregunta
El producto de dos enteros impares positivos consecutivos es 143.
¿Cuál es el entero menor?
Pista
Los números impares están separados por 2. Si el menor es n, ¿cuál es el siguiente número impar?
Pregunta 10 de 36
Sin calculadora
A 12-inch by 9-inch photo is placed in a frame that has the same width, x inches, on every side. The total area of the photo and frame together is 208 square inches.
Photo with frame of width x
Which equation can be used to find x?
Pista
The frame adds x to the left andx to the right. How long is the whole outside edge?
Solución paso a paso
The frame adds x on both ends of each side, so each dimension grows by 2x.
Outer length: 12 + 2x. Outer width: 9 + 2x.
Total area = outer length × outer width: (12 + 2x)(9 + 2x) = 208
Consejo: Para un borde del mismo ancho, siempre suma 2x a cada dimensión.
Ver en español
Pregunta
Una foto de 12 pulgadas por 9 pulgadas se pone en un marco que tiene el mismo ancho, x pulgadas, en todos los lados. El área total de la foto y el marco juntos es 208 pulgadas cuadradas.
¿Qué ecuación se puede usar para hallar x?
Opciones
A.(12 + x)(9 + x) = 208
B.(12 + 2x) + (9 + 2x) = 208
C.108 + x^2 = 208
D.(12 + 2x)(9 + 2x) = 208
Pista
El marco suma x a la izquierda yx a la derecha. ¿Cuánto mide todo el borde exterior?
Pregunta 11 de 36
Sin calculadoraArrastrar y soltar
Drag the equation that models each situation into the box below it. Not every equation is used.
Two consecutive integers have a product of 72.
A rectangle's length is 4 ft more than its width w; its area is 60\text{ ft}^2.
The square of a number minus 2 times the number is 35.
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Translate each sentence word by word. Area and product both mean multiply.
Solución paso a paso
Consecutive integers, product 72:n and n + 1, multiplied: n(n + 1) = 72 (Solution: n = 8, since 8 \times 9 = 72.)
Rectangle: width w, length w + 4, area = length × width: w(w + 4) = 60 (Solution: w^2 + 4w - 60 = (w + 10)(w - 6) = 0, so w = 6; 6 \times 10 = 60.)
Number problem: "the square of a number" is x^2, "minus 2 times the number" is - 2x: x^2 - 2x = 35 (Solution: (x - 7)(x + 5) = 0, so x = 7 or x = -5.)
Not used: 2w + 2(w + 4) = 60 (perimeter) and n + (n + 1) = 72 (sum).
Tip: Look for the operation words: "product" and "area" → multiply; "sum" and "perimeter" → add.
Explicación
Enteros consecutivos, producto 72:n y n + 1, multiplicados: n(n + 1) = 72 (Solución: n = 8, porque 8 \times 9 = 72.)
Rectángulo: ancho w, largo w + 4, área = largo × ancho: w(w + 4) = 60 (Solución: w^2 + 4w - 60 = (w + 10)(w - 6) = 0, así que w = 6; 6 \times 10 = 60.)
Problema del número: "el cuadrado de un número" es x^2, "menos 2 veces el número" es - 2x: x^2 - 2x = 35 (Solución: (x - 7)(x + 5) = 0, así que x = 7 o x = -5.)
No se usan: 2w + 2(w + 4) = 60 (perímetro) y n + (n + 1) = 72 (suma).
Consejo: Busca las palabras de operación: "producto" y "área" → multiplicar; "suma" y "perímetro" → sumar.
Ver en español
Pregunta
Arrastra la ecuación que representa cada situación al recuadro de abajo. No se usan todas las ecuaciones.
Dos enteros consecutivos tienen un producto de 72.
El largo de un rectángulo es 4 ft más que su ancho w; su área es 60\text{ ft}^2.
El cuadrado de un número menos 2 veces el número es 35.
_____
_____
_____
Opciones
n(n + 1) = 72
w(w + 4) = 60
x^2 - 2x = 35
2w + 2(w + 4) = 60
n + (n + 1) = 72
Pista
Traduce cada oración palabra por palabra. Tanto el área como el producto significan multiplicar.
Pregunta 12 de 36
Sin calculadora
The height h, in feet, of an object thrown straight up is given by h = -16t^2 + v_0 t + h_0, where t is the time in seconds, v_0 is the starting upward speed in feet per second, and h_0 is the starting height in feet.
Marcus throws a ball upward from a height of 5 feet with a starting speed of 48 feet per second. Which equation can be used to find when the ball is 37 feet above the ground?
Pista
Identify v_0 and h_0 from the story. Which variable stands for the height you want?
Solución paso a paso
From the story: v_0 = 48 ft/s and h_0 = 5 ft.
The height model is h = -16t^2 + 48t + 5.
We want the height to be 37 ft, so set h = 37: -16t^2 + 48t + 5 = 37
The answer is -16t^2 + 48t + 5 = 37.
Check: Solve: -16t^2 + 48t - 32 = 0; divide by -16: t^2 - 3t + 2 = 0 \Rightarrow (t - 1)(t - 2) = 0, so t = 1 s (on the way up) or t = 2 s (on the way down). At t = 2: -64 + 96 + 5 = 37 ✓
Tip: The target height goes where h is — not in place of h_0. Set the expression equal to the height you are asked about.
Explicación
Según la situación: v_0 = 48 ft/s y h_0 = 5 ft.
El modelo de la altura es h = -16t^2 + 48t + 5.
Queremos que la altura sea 37 ft, así que iguala h = 37: -16t^2 + 48t + 5 = 37
La respuesta es -16t^2 + 48t + 5 = 37.
Comprobación: Resuelve: -16t^2 + 48t - 32 = 0; divide entre -16: t^2 - 3t + 2 = 0 \Rightarrow (t - 1)(t - 2) = 0, así que t = 1 s (de subida) o t = 2 s (de bajada). En t = 2: -64 + 96 + 5 = 37 ✓
Consejo: La altura que buscas va donde está h, no en lugar de h_0. Iguala la expresión a la altura por la que te preguntan.
Ver en español
Pregunta
La altura h, en pies, de un objeto lanzado hacia arriba está dada por h = -16t^2 + v_0 t + h_0, donde t es el tiempo en segundos, v_0 es la rapidez inicial hacia arriba en pies por segundo y h_0 es la altura inicial en pies.
Marcus lanza una pelota hacia arriba desde una altura de 5 pies con una rapidez inicial de 48 pies por segundo. ¿Qué ecuación se puede usar para hallar cuándo la pelota está a 37 pies del suelo?
Opciones
A.-16t^2 + 48t + 5 = 37
B.-16t^2 + 48t + 37 = 0
C.-16t^2 + 5t + 48 = 37
D.16t^2 + 48t + 5 = 37
Pista
Identifica v_0 y h_0 en la historia. ¿Qué variable representa la altura que buscas?
Pregunta 13 de 36
Completar
A model rocket is launched straight up from the ground. Its height h, in feet, after t seconds is
h = -16t^2 + 80t
After how many seconds does the rocket land back on the ground?
seconds
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
On the ground, the height is 0. Set up that equation and look for a common factor.
Solución paso a paso
On the ground, h = 0: -16t^2 + 80t = 0
Factor out the common factor -16t: -16t(t - 5) = 0
Zero product property: -16t = 0 \Rightarrow t = 0, or t - 5 = 0 \Rightarrow t = 5.
t = 0 is the launch moment (the rocket starts on the ground). It lands at t = 5.
Consejo: Cuando no hay término constante, saca el MCD como factor común. Una solución es t = 0 (el inicio); la respuesta es la otra.
Ver en español
Pregunta
Se lanza un cohete de juguete hacia arriba desde el suelo. Su altura h, en pies, después de t segundos es
h = -16t^2 + 80t
¿Después de cuántos segundos vuelve a caer el cohete al suelo?
_____ segundos
Pista
En el suelo, la altura es 0. Plantea esa ecuación y busca un factor común.
Pregunta 14 de 36
Sin calculadora
A rectangular sign is 5 feet longer than it is wide. Its area is 84 square feet. Rosa writes the equation w(w + 5) = 84 and finds the solutions w = 7 and w = -12.
Which statement about the width of the sign is correct?
Pista
Both numbers make the equation true. Which one can be the width of a real sign?
Solución paso a paso
Check both solutions in the equation:
w = 7: 7(12) = 84 ✓
w = -12: (-12)(-7) = 84 ✓
Both solve the equation, but the problem is about a real sign. A width is a length, so it cannot be negative.
Reject w = -12. The width is 7 feet (and the length is 7 + 5 = 12 feet).
Check: A 7-ft by 12-ft sign has area 7 \times 12 = 84 sq ft ✓
Tip: After solving a word problem, always ask "Does this answer make sense?" Lengths, times, ages and counts cannot be negative.
Explicación
Comprueba las dos soluciones en la ecuación:
w = 7: 7(12) = 84 ✓
w = -12: (-12)(-7) = 84 ✓
Las dos resuelven la ecuación, pero el problema trata de un letrero real. Un ancho es una longitud, así que no puede ser negativo.
Descarta w = -12. El ancho es de 7 pies (y el largo es de 7 + 5 = 12 pies).
Comprobación: Un letrero de 7 ft por 12 ft tiene un área de 7 \times 12 = 84 pies cuadrados ✓
Consejo: Después de resolver un problema verbal, siempre pregúntate: "¿Tiene sentido esta respuesta?" Las longitudes, los tiempos, las edades y las cantidades contadas no pueden ser negativos.
Ver en español
Pregunta
Un letrero rectangular es 5 pies más largo que ancho. Su área es 84 pies cuadrados. Rosa escribe la ecuación w(w + 5) = 84 y halla las soluciones w = 7 y w = -12.
¿Qué enunciado sobre el ancho del letrero es correcto?
Opciones
A. El ancho es -12 pies, porque es la solución de mayor tamaño.
B. El ancho es 7 pies; -12 se descarta porque un ancho no puede ser negativo.
C. El ancho podría ser 7 pies o -12 pies.
D. El ancho es 12 pies, el valor absoluto de -12.
Pista
Los dos números hacen verdadera la ecuación. ¿Cuál puede ser el ancho de un letrero real?
Pregunta 15 de 36
Completar
When a book is open, the two facing page numbers are consecutive integers. Ana notices that the two facing page numbers multiply to 210.
What is the larger page number?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Let n be the smaller page number. Write and solve n(n + 1) = 210. Then read the question again.
Solución paso a paso
Let n = the smaller integer. The next integer is n + 1.
Product is 210:
n(n + 1) = 210 \;\Rightarrow\; n^2 + n - 210 = 0
Factor: we need two numbers with product -210 and sum 1: 15 and -14.
(n + 15)(n - 14) = 0 \;\Rightarrow\; n = -15 \text{ or } n = 14
Page numbers are positive, so n = 14 and the larger page number is n + 1 =15.
Check:14 \times 15 = 210 ✓
Tip: Shortcut: \sqrt{210} \approx 14.5, so the two consecutive integers sit on either side — 14 and 15. Then make sure you give the one the question asks for.
Explicación
Sea n = el entero menor. El siguiente entero es n + 1.
El producto es 210:
n(n + 1) = 210 \;\Rightarrow\; n^2 + n - 210 = 0
Factoriza: necesitamos dos números con producto -210 y suma 1: 15 y -14.
(n + 15)(n - 14) = 0 \;\Rightarrow\; n = -15 \text{ o } n = 14
Los números de página son positivos, así que n = 14 y el número de página mayor es n + 1 =15.
Comprobación:14 \times 15 = 210 ✓
Consejo: Atajo: \sqrt{210} \approx 14.5, así que los dos enteros consecutivos quedan uno a cada lado: 14 y 15. Luego asegúrate de dar el que pide la pregunta.
Ver en español
Pregunta
Cuando un libro está abierto, los números de las dos páginas que se ven son enteros consecutivos. Ana se da cuenta de que el producto de esos dos números de página es 210.
¿Cuál es el número de página mayor?
Pista
Sea n el número de página menor. Escribe y resuelve n(n + 1) = 210. Luego vuelve a leer la pregunta.
Pregunta 16 de 36
Sin calculadoraCompletar
A soccer ball is kicked from the ground. Its height h, in feet, after t seconds is
h = -16t^2 + 48t
After how many seconds is the ball 32 feet high for the first time?
seconds
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Set the height equal to 32 and get 0 on one side. Dividing every term by the same number can make factoring easier.
Solución paso a paso
Set h = 32:
-16t^2 + 48t = 32
Subtract 32 to get standard form:
-16t^2 + 48t - 32 = 0
Divide every term by -16:
t^2 - 3t + 2 = 0
Factor: (t - 1)(t - 2) = 0, so t = 1 or t = 2.
The ball is 32 ft high on the way up at 1 second and on the way down at 2 seconds. The first time is 1 second.
Consejo: Un objeto lanzado normalmente pasa dos veces por cada altura. "Primera vez" significa el tiempo positivo más pequeño.
Ver en español
Pregunta
Se patea un balón de fútbol desde el suelo. Su altura h, en pies, después de t segundos es
h = -16t^2 + 48t
¿Después de cuántos segundos está el balón a 32 pies de altura por primera vez?
_____ segundos
Pista
Iguala la altura a 32 y deja 0 en un lado. Dividir cada término entre el mismo número puede facilitar la factorización.
Pregunta 17 de 36
Sin calculadora
The right triangle shows a loading ramp. The rise is x feet, the horizontal run is 7 feet more than the rise, and the sloped surface is 13 feet long.
Right triangle with legs x and x + 7 and hypotenuse 13
Which equation can be used to find x?
Pista
The Pythagorean theorem a^2 + b^2 = c^2 is on the formula sheet. Which side is c?
Solución paso a paso
In a right triangle, a^2 + b^2 = c^2, where c is the hypotenuse — the side across from the right angle.
Here the legs are x and x + 7, and the hypotenuse (the sloped surface) is 13.
Substitute:
x^2 + (x + 7)^2 = 13^2
The equation is x^2 + (x + 7)^2 = 13^2.
Check: Solve: x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169, so 2x^2 + 14x - 120 = 0, or x^2 + 7x - 60 = (x + 12)(x - 5) = 0. Then x = 5: legs 5 and 12, and 25 + 144 = 169 = 13^2 ✓
Tip: Square every side, including the hypotenuse, and remember (x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49, not x^2 + 49.
Explicación
En un triángulo rectángulo, a^2 + b^2 = c^2, donde c es la hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto.
Aquí los catetos son x y x + 7, y la hipotenusa (la superficie inclinada) mide 13.
Sustituye:
x^2 + (x + 7)^2 = 13^2
La ecuación es x^2 + (x + 7)^2 = 13^2.
Comprobación: Resuelve: x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169, así que 2x^2 + 14x - 120 = 0, o x^2 + 7x - 60 = (x + 12)(x - 5) = 0. Entonces x = 5: catetos de 5 y 12, y 25 + 144 = 169 = 13^2 ✓
Consejo: Eleva al cuadrado cada lado, incluso la hipotenusa, y recuerda que (x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49, no x^2 + 49.
Ver en español
Pregunta
El triángulo rectángulo muestra una rampa de carga. La altura es x pies, la distancia horizontal es 7 pies más que la altura, y la superficie inclinada mide 13 pies de largo.
¿Qué ecuación se puede usar para hallar x?
Opciones
A.x + (x + 7) = 13
B.x^2 + (x + 7)^2 = 13
C.x^2 + (x + 7)^2 = 13^2
D.x^2 + x^2 + 49 = 169
Pista
El teorema de Pitágoras a^2 + b^2 = c^2 está en la hoja de fórmulas. ¿Qué lado es c?
Pregunta 18 de 36
Sin calculadora
The square of a number is 24 more than 5 times the number.
What are all the possible values of the number?
Pista
"24 more than 5 times the number" means you start with 5x and add 24. Nothing says the number must be positive.
Solución paso a paso
Let x be the number. Translate: "the square of a number" is x^2; "24 more than 5 times the number" is 5x + 24.
x^2 = 5x + 24
Standard form: x^2 - 5x - 24 = 0.
Factor: product -24, sum -5 → -8 and 3:
(x - 8)(x + 3) = 0
So x = 8 or x = -3. The problem does not say "positive," so both work: 8 or -3.
Check:8^2 = 64 and 5(8) + 24 = 64 ✓. (-3)^2 = 9 and 5(-3) + 24 = 9 ✓
Tip: Reject a negative answer only when the situation makes it impossible (a length, a time, a count). A plain "number" can be negative.
Explicación
Sea x el número. Traduce: "el cuadrado de un número" es x^2; "24 más que 5 veces el número" es 5x + 24.
x^2 = 5x + 24
Así que x = 8 o x = -3. El problema no dice "positivo", así que los dos funcionan: 8 o -3.
Comprobación:8^2 = 64 y 5(8) + 24 = 64 ✓. (-3)^2 = 9 y 5(-3) + 24 = 9 ✓
Consejo: Descarta una respuesta negativa solo cuando la situación la hace imposible (una longitud, un tiempo, una cantidad contada). Un simple "número" puede ser negativo.
Ver en español
Pregunta
El cuadrado de un número es 24 más que 5 veces el número.
¿Cuáles son todos los valores posibles del número?
Opciones
A.-8 o 3
B. solo 8
C. No existe ese número.
D.8 o -3
Pista
"24 más que 5 veces el número" significa que empiezas con 5x y sumas 24. Nada dice que el número deba ser positivo.
Pregunta 19 de 36
Sin calculadora
A bakery sells 200 loaves of bread a day at $4 each. The owner estimates that for every $0.50 increase in price, she will sell 10 fewer loaves.
Let x be the number of $0.50 increases. Which expression gives the daily revenue, in dollars?
Pista
Revenue = (price per loaf) × (number of loaves). Write each one in terms of x.
Solución paso a paso
Price: each increase adds $0.50, so after x increases the price is 4 + 0.5x dollars.
Loaves sold: each increase loses 10 loaves, so she sells 200 - 10x loaves.
Revenue = price × number sold:
R = (4 + 0.5x)(200 - 10x)
The expression is (4 + 0.5x)(200 - 10x).
Check: Try x = 2: price 4 + 1 = \$5, loaves 200 - 20 = 180, revenue 5 \times 180 = \$900. The expression gives (5)(180) = 900 ✓. At x = 0 it gives 4 \times 200 = \$800, today's revenue ✓
Tip: Test your model with x = 0 (it should give today's numbers) and x = 1 (one step of change).
Explicación
Precio: cada aumento suma $0.50, así que después de x aumentos el precio es 4 + 0.5x dólares.
Panes vendidos: cada aumento hace perder 10 panes, así que vende 200 - 10x panes.
Comprobación: Prueba x = 2: precio 4 + 1 = \$5, panes 200 - 20 = 180, ingresos 5 \times 180 = \$900. La expresión da (5)(180) = 900 ✓. En x = 0 da 4 \times 200 = \$800, los ingresos de hoy ✓
Consejo: Prueba tu modelo con x = 0 (debe dar los números de hoy) y con x = 1 (un paso de cambio).
Ver en español
Pregunta
Una panadería vende 200 panes al día a $4 cada uno. La dueña calcula que por cada aumento de $0.50 en el precio, venderá 10 panes menos.
Sea x el número de aumentos de $0.50. ¿Qué expresión da los ingresos diarios, en dólares?
Opciones
A.(4 + 0.5x)(200 - 10x)
B.(4 + x)(200 - 10x)
C.(4 + 0.5x)(200 + 10x)
D.(4 + 0.5x) + (200 - 10x)
Pista
Ingresos = (precio por pan) × (número de panes). Escribe cada uno en función de x.
Pregunta 20 de 36
A rectangular vegetable garden is 12 feet by 9 feet. A gravel path of the same width, x feet, will surround the garden on all sides. The garden and path together will cover 180 square feet.
How wide is the path?
Pista
The path adds x on both ends of each side. Write the new length and width, multiply, and set the result equal to 180.
Solución paso a paso
The path adds x on each end, so the outer length is 12 + 2x and the outer width is 9 + 2x.
Consejo: Para los bordes, haz un dibujo: la franja aparece en dos lados de cada dimensión, así que suma 2x, no x.
Ver en español
Pregunta
Un huerto rectangular mide 12 pies por 9 pies. Un camino de grava del mismo ancho, x pies, va a rodear el huerto por todos los lados. El huerto y el camino juntos cubrirán 180 pies cuadrados.
¿Qué ancho tiene el camino?
Opciones
A. 3 pies
B. 1.5 pies
C. aproximadamente 1.7 pies
D.-12 pies
Pista
El camino suma x en los dos extremos de cada lado. Escribe el nuevo largo y el nuevo ancho, multiplícalos e iguala el resultado a 180.
Pregunta 21 de 36
Sin calculadoraMenú
A poster is 6 inches taller than it is wide. Its area is 280 square inches. Let w be the width in inches.
An equation for the area is .
Written in standard form, the equation is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Area = width × height. To get standard form, multiply out and move 280 to the left side.
Solución paso a paso
Width = w, height = w + 6. Area = width × height:
w(w + 6) = 280
Distribute: w^2 + 6w = 280.
Subtract 280 from both sides to get standard form (ax^2 + bx + c = 0):
w^2 + 6w - 280 = 0
Answers: w(w + 6) = 280 and w^2 + 6w - 280 = 0.
Check: Factor: (w + 20)(w - 14) = 0, so w = 14. A 14-in by 20-in poster has area 14 \times 20 = 280 ✓
Tip: Moving a number across the equal sign changes its sign: = 280 becomes - 280 = 0.
Explicación
Ancho = w, altura = w + 6. Área = ancho × altura:
w(w + 6) = 280
Aplica la propiedad distributiva: w^2 + 6w = 280.
Resta 280 de los dos lados para obtener la forma estándar (ax^2 + bx + c = 0):
w^2 + 6w - 280 = 0
Respuestas: w(w + 6) = 280 y w^2 + 6w - 280 = 0.
Comprobación: Factoriza: (w + 20)(w - 14) = 0, así que w = 14. Un póster de 14 in por 20 in tiene un área de 14 \times 20 = 280 ✓
Consejo: Pasar un número al otro lado del signo igual cambia su signo: = 280 se convierte en - 280 = 0.
Ver en español
Pregunta
Un póster mide 6 pulgadas más de alto que de ancho. Su área es 280 pulgadas cuadradas. Sea w el ancho en pulgadas.
Una ecuación para el área es _____.
Escrita en forma estándar, la ecuación es _____.
Opciones
w(w + 6) = 280
2w + 2(w + 6) = 280
6w^2 = 280
w^2 + 6w + 280 = 0
w^2 + 6w - 280 = 0
w^2 - 274 = 0
Pista
Área = ancho × alto. Para obtener la forma estándar, multiplica y pasa 280 al lado izquierdo.
Pregunta 22 de 36
Completar
A flat-screen TV has a diagonal of 50 inches. The screen's height is 10 inches less than its width.
What is the width of the screen, in inches?
inches
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The width, the height and the diagonal form a right triangle. Let the width be w and use a^2 + b^2 = c^2.
Solución paso a paso
Let w = width. Then height = w - 10. The diagonal is the hypotenuse: 50.
Consejo: El tamaño de los televisores y monitores se mide en la diagonal, así que los problemas de pantallas son problemas de triángulos rectángulos disfrazados.
Ver en español
Pregunta
Un televisor de pantalla plana tiene una diagonal de 50 pulgadas. La altura de la pantalla es 10 pulgadas menos que su ancho.
¿Cuál es el ancho de la pantalla, en pulgadas?
_____ pulgadas
Pista
El ancho, la altura y la diagonal forman un triángulo rectángulo. Sea w el ancho y usa a^2 + b^2 = c^2.
Pregunta 23 de 36
The sum of a positive number and its square is 110. What is the number?
Pista
Write "a number plus its square equals 110," move everything to one side, and factor.
Solución paso a paso
Let x = the number. "The sum of a number and its square": x + x^2 = 110
Standard form: x^2 + x - 110 = 0.
Find two numbers that multiply to -110 and add to 1: 11 and -10.
Factor: (x + 11)(x - 10) = 0, so x = -11 or x = 10.
The number is positive, so the answer is 10.
Check:10 + 10^2 = 10 + 100 = 110 ✓
Tip: Read every condition. -11 also solves the equation (-11 + 121 = 110), but the problem says the number is positive.
Explicación
Sea x = el número. "La suma de un número y su cuadrado": x + x^2 = 110
Forma estándar: x^2 + x - 110 = 0.
Busca dos números que multiplicados den -110 y sumados den 1: 11 y -10.
Factoriza: (x + 11)(x - 10) = 0, así que x = -11 o x = 10.
El número es positivo, así que la respuesta es 10.
Comprobación:10 + 10^2 = 10 + 100 = 110 ✓
Consejo: Lee todas las condiciones. -11 también resuelve la ecuación (-11 + 121 = 110), pero el problema dice que el número es positivo.
Ver en español
Pregunta
La suma de un número positivo y su cuadrado es 110. ¿Cuál es el número?
Opciones
A. 11
B. 10
C. 55
D. −11
Pista
Escribe "un número más su cuadrado es igual a 110", pasa todo a un lado y factoriza.
Pregunta 24 de 36
Completar
A rectangular pool is 30 feet by 20 feet. A concrete walkway of the same width, x feet, surrounds the pool on all sides. The area of the walkway alone is 336 square feet.
Pool with surrounding walkway of width x
How wide is the walkway, in feet?
feet
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Walkway area = (area of the big outer rectangle) − (area of the pool). Each outer dimension is the pool dimension plus 2x.
Solución paso a paso
Outer rectangle: (30 + 2x) by (20 + 2x). Pool area: 30 \times 20 = 600.
Walkway area = outer area − pool area: (30 + 2x)(20 + 2x) - 600 = 336
Tip: When only the border's area is given, subtract the inner area. Forgetting this (setting the outer area equal to 336) gives an impossible equation, since the pool alone is already 600 ft².
Explicación
Rectángulo exterior: (30 + 2x) por (20 + 2x). Área de la piscina: 30 \times 20 = 600.
Área del camino = área exterior − área de la piscina: (30 + 2x)(20 + 2x) - 600 = 336
Consejo: Cuando solo se da el área del borde, resta el área interior. Si lo olvidas (igualando el área exterior a 336), obtienes una ecuación imposible, porque la piscina sola ya mide 600 ft².
Ver en español
Pregunta
Una piscina rectangular mide 30 pies por 20 pies. Un camino de concreto del mismo ancho, x pies, rodea la piscina por todos los lados. El área del camino solo es 336 pies cuadrados.
¿Qué ancho tiene el camino, en pies?
_____ pies
Pista
Área del camino = (área del rectángulo exterior grande) − (área de la piscina). Cada dimensión exterior es la dimensión de la piscina más 2x.
Pregunta 25 de 36
Sin calculadora
A ball is thrown upward from the roof of a garage. Its height h, in feet, after t seconds is
h = -16t^2 + 32t + 48
After how many seconds does the ball hit the ground?
Pista
The ground is height 0. Divide every term by -16 before factoring.
Solución paso a paso
The ball hits the ground when h = 0:
-16t^2 + 32t + 48 = 0
Divide every term by -16:
t^2 - 2t - 3 = 0
Factor (product -3, sum -2 → -3 and 1):
(t - 3)(t + 1) = 0 \;\Rightarrow\; t = 3 \text{ or } t = -1
Time after the throw cannot be negative, so the ball hits the ground after 3 seconds.
Check:-16(9) + 32(3) + 48 = -144 + 96 + 48 = 0 ✓
Tip: Dividing by the common factor (-16) first turns a messy equation into an easy one to factor.
Explicación
La pelota llega al suelo cuando h = 0:
-16t^2 + 32t + 48 = 0
Divide cada término entre -16:
t^2 - 2t - 3 = 0
Factoriza (producto -3, suma -2 → -3 y 1):
(t - 3)(t + 1) = 0 \;\Rightarrow\; t = 3 \text{ o } t = -1
El tiempo después del lanzamiento no puede ser negativo, así que la pelota llega al suelo después de 3 segundos.
Tip: "Odd" or "even" → step of 2. Plain "consecutive integers" → step of 1. Then read the operation words: "product" (multiply) vs "squares add up to" (square each, then add).
Explicación
Los enteros impares consecutivos están separados por 2: n y n + 2. Producto 195: n(n + 2) = 195.
Los enteros consecutivos están separados por 1: n y n + 1. "Los cuadrados suman 61": n^2 + (n + 1)^2 = 61.
Enteros consecutivos con producto 240: n(n + 1) = 240.
Consejo: "Impares" o "pares" → saltos de 2. "Enteros consecutivos" a secas → saltos de 1. Luego lee las palabras de la operación: "producto" (multiplicar) contra "los cuadrados suman" (elevar cada uno al cuadrado y luego sumar).
Ver en español
Pregunta
Arrastra la ecuación que representa cada situación al recuadro de abajo. Sea n el entero menor. No se usan todas las ecuaciones.
Dos enteros impares consecutivos tienen un producto de 195.
Los cuadrados de dos enteros consecutivos suman 61.
Dos enteros consecutivos tienen un producto de 240.
_____
_____
_____
Opciones
n(n + 2) = 195
n^2 + (n + 1)^2 = 61
n(n + 1) = 240
n + (n + 2) = 195
n^2 + (n + 2)^2 = 61
Pista
Primero decide si los enteros están separados por 1 o por 2. Luego decide si las palabras describen un producto o una suma de cuadrados.
Pregunta 28 de 36
A rectangular parking lot is 20 feet longer than it is wide. Its area is 2,400 square feet.
What is the width of the parking lot?
Pista
Write w(w + 20) = 2400, move everything to one side, and factor. Then read which dimension the question wants.
Solución paso a paso
Let w = width. Length = w + 20. Area:
w(w + 20) = 2400 \;\Rightarrow\; w^2 + 20w - 2400 = 0
Factor: two numbers with product -2400 and sum 20 → 60 and -40:
(w + 60)(w - 40) = 0
So w = -60 or w = 40. A width cannot be negative, so w = 40.
The width is 40 feet (the length is 60 feet).
Check:40 \times 60 = 2{,}400 ✓ and 60 - 40 = 20 ✓
Tip: Don't take \sqrt{2400} — that only works for a square. A rectangle with different sides needs the full quadratic.
Explicación
Sea w = el ancho. Largo = w + 20. Área:
w(w + 20) = 2400 \;\Rightarrow\; w^2 + 20w - 2400 = 0
Factoriza: dos números con producto -2400 y suma 20 → 60 y -40:
(w + 60)(w - 40) = 0
Así que w = -60 o w = 40. Un ancho no puede ser negativo, así que w = 40.
Factor (product -120, sum 7 → 15 and -8): (w + 15)(w - 8) = 0, so w = 8 (reject -15).
The width is 8 yards (length 15 yards).
Check:8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 ✓
Tip: Know the common Pythagorean triples — 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. They let you check answers fast.
Explicación
Sea w = el ancho; largo = w + 7; diagonal (hipotenusa) = 17.
Teorema de Pitágoras:
w^2 + (w + 7)^2 = 17^2
Desarrolla: w^2 + w^2 + 14w + 49 = 289, así que 2w^2 + 14w - 240 = 0. Divide entre 2:
w^2 + 7w - 120 = 0
Factoriza (producto -120, suma 7 → 15 y -8): (w + 15)(w - 8) = 0, así que w = 8 (descarta -15).
El ancho es de 8 yardas (largo de 15 yardas).
Comprobación:8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 ✓
Consejo: Conoce las ternas pitagóricas comunes: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Te permiten comprobar respuestas rápido.
Ver en español
Pregunta
Un camino diagonal cruza un parque rectangular. El parque es 7 yardas más largo que ancho, y el camino diagonal mide 17 yardas de largo.
¿Cuál es el ancho del parque?
Opciones
A. 8 yardas
B. 5 yardas
C. aproximadamente 11 yardas
D. 15 yardas
Pista
El ancho, el largo y la diagonal forman un triángulo rectángulo. Escribe el largo en función del ancho w.
Pregunta 31 de 36
Sin calculadora
The height h, in feet, of an object launched upward is h = -16t^2 + v_0 t + h_0, where t is time in seconds, v_0 is the starting upward speed in feet per second and h_0 is the starting height in feet.
A firework is launched from a platform 8 feet high with a starting speed of 120 feet per second. Which equation, in standard form, can be solved to find when the firework is 200 feet high?
Pista
Substitute v_0, h_0 and h = 200. Then move 200 to the left side. Multiplying every term of an equation by -1 gives an equivalent equation.
Solución paso a paso
Substitute v_0 = 120, h_0 = 8 and h = 200:
-16t^2 + 120t + 8 = 200
Subtract 200 from both sides:
-16t^2 + 120t - 192 = 0
Multiply every term by -1 (this does not change the solutions):
16t^2 - 120t + 192 = 0
The answer is 16t^2 - 120t + 192 = 0.
Check: Divide by 8: 2t^2 - 15t + 24 = 0. The discriminant is 225 - 192 = 33 > 0, so there are two positive times (t \approx 2.3 s going up and t \approx 5.2 s coming down) — sensible for a firework ✓
Tip: Watch for answer choices that are your equation multiplied by -1 or divided by a common factor. When you multiply by -1, change the sign of every term.
Explicación
Sustituye v_0 = 120, h_0 = 8 y h = 200:
-16t^2 + 120t + 8 = 200
Resta 200 de los dos lados:
-16t^2 + 120t - 192 = 0
Multiplica cada término por -1 (esto no cambia las soluciones):
16t^2 - 120t + 192 = 0
La respuesta es 16t^2 - 120t + 192 = 0.
Comprobación: Divide entre 8: 2t^2 - 15t + 24 = 0. El discriminante es 225 - 192 = 33 > 0, así que hay dos tiempos positivos (t \approx 2.3 s subiendo y t \approx 5.2 s bajando): tiene sentido para un fuego artificial ✓
Consejo: Fíjate en las opciones que son tu ecuación multiplicada por -1 o dividida entre un factor común. Cuando multipliques por -1, cambia el signo de cada término.
Ver en español
Pregunta
La altura h, en pies, de un objeto lanzado hacia arriba es h = -16t^2 + v_0 t + h_0, donde t es el tiempo en segundos, v_0 es la rapidez inicial hacia arriba en pies por segundo y h_0 es la altura inicial en pies.
Un fuego artificial se lanza desde una plataforma de 8 pies de altura con una rapidez inicial de 120 pies por segundo. ¿Qué ecuación, en forma estándar, se puede resolver para hallar cuándo el fuego artificial está a 200 pies de altura?
Opciones
A.-16t^2 + 120t + 208 = 0
B.16t^2 - 120t + 192 = 0
C.-16t^2 + 120t - 200 = 0
D.16t^2 + 120t - 192 = 0
Pista
Sustituye v_0, h_0 y h = 200. Luego pasa 200 al lado izquierdo. Multiplicar cada término de una ecuación por -1 da una ecuación equivalente.
Pregunta 32 de 36
Sin calculadoraCompletar
When a positive number is multiplied by a number that is 3 less than it, the result is 108.
What is the number?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
If the number is x, the other number is x - 3. Multiply, set equal to 108 and factor.
Solución paso a paso
Let x = the number. "3 less than it" is x - 3.
Their product is 108:
x(x - 3) = 108 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x - 108 = 0
Factor: product -108, sum -3 → -12 and 9:
(x - 12)(x + 9) = 0
So x = 12 or x = -9. The number is positive, so the number is 12.
Check:12 \times (12 - 3) = 12 \times 9 = 108 ✓
Tip: "3 less than x" is x - 3 (not 3 - x). The word "positive" in the problem tells you which solution to keep.
Explicación
Sea x = el número. "3 menos que él" es x - 3.
Su producto es 108:
x(x - 3) = 108 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x - 108 = 0
Consejo: "3 menos que x" es x - 3 (no 3 - x). La palabra "positivo" en el problema te dice qué solución conservar.
Ver en español
Pregunta
Cuando un número positivo se multiplica por un número que es 3 menos que él, el resultado es 108.
¿Cuál es el número?
Pista
Si el número es x, el otro número es x - 3. Multiplica, iguala a 108 y factoriza.
Pregunta 33 de 36
Sin calculadora
A ball is thrown from a balcony. Its height in feet after t seconds is h = -16t^2 + 64t + 80. To find when it hits the ground, Maria solves -16t^2 + 64t + 80 = 0 and gets t = 5 and t = -1.
Which statement is correct?
Pista
Both values solve the equation. What does a negative time mean in this situation?
El modelo empieza en t = 0, el momento del lanzamiento. Un tiempo negativo sería antes de lanzar la pelota, así que aquí no tiene sentido.
Descarta t = -1. La pelota llega al suelo después de 5 segundos; t = -1 se descarta porque es antes del lanzamiento.
Comprobación: En t = 0 la pelota está a 80 ft (el balcón), en t = 2 está a -64 + 128 + 80 = 144 ft (subiendo), y en t = 5 llega a 0 ft ✓
Consejo: El tiempo en el aire es la raíz positiva misma, medida desde t = 0. No sumes ni restes las dos raíces.
Ver en español
Pregunta
Se lanza una pelota desde un balcón. Su altura en pies después de t segundos es h = -16t^2 + 64t + 80. Para hallar cuándo llega al suelo, María resuelve -16t^2 + 64t + 80 = 0 y obtiene t = 5 y t = -1.
¿Qué enunciado es correcto?
Opciones
A. La pelota llega al suelo después de 1 segundo, el valor absoluto de -1.
B. La pelota está en el aire 6 segundos, porque 5 - (-1) = 6.
C. La pelota llega al suelo después de 5 segundos; t = -1 se descarta porque es antes del lanzamiento.
D. La pelota toca el suelo dos veces: en t = -1 y en t = 5.
Pista
Los dos valores resuelven la ecuación. ¿Qué significa un tiempo negativo en esta situación?
Pregunta 34 de 36
A community theater charges $12 per ticket and sells 300 tickets per show. A survey shows that for every $1 increase in the ticket price, the theater will sell 15 fewer tickets.
Let x be the number of $1 increases. Which equation can be used to find the value(s) of x that would bring in $3,825 per show?
Pista
Revenue = (price per ticket) × (number of tickets). Write each one in terms of x.
Solución paso a paso
Price per ticket after x increases: 12 + x dollars.
Tickets sold: each increase loses 15 tickets, so 300 - 15x.
Al resolverla: 3600 - 180x + 300x - 15x^2 = 3825 \Rightarrow -15x^2 + 120x - 225 = 0. Divide entre -15: x^2 - 8x + 15 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x - 5) = 0, así que x = 3 o x = 5: un precio de boleto de $15 o $17.
Consejo: En los problemas de ingresos, un factor sube con x (el precio) y el otro baja (la cantidad vendida). Multiplícalos; nunca los sumes.
Ver en español
Pregunta
Un teatro comunitario cobra $12 por boleto y vende 300 boletos por función. Una encuesta muestra que por cada $1 que sube el precio del boleto, el teatro venderá 15 boletos menos.
Sea x el número de aumentos de $1. ¿Qué ecuación se puede usar para hallar el valor o los valores de x que darían $3,825 por función?
Opciones
A.(12 + x)(300 + 15x) = 3825
B.12x(300 - 15x) = 3825
C.(12 + x)(300 - 15x) = 3825
D.(12 + x) + (300 - 15x) = 3825
Pista
Ingresos = (precio por boleto) × (número de boletos). Escribe cada uno en función de x.
Pregunta 35 de 36
The sum of the squares of two consecutive positive even integers is 340.
What is the larger integer?
Pista
Let the integers be n and n + 2. Write n^2 + (n + 2)^2 = 340 and expand (n + 2)^2 carefully.
Solución paso a paso
Let n = the smaller even integer; the larger is n + 2.
Factor (product -168, sum 2 → 14 and -12): (n + 14)(n - 12) = 0, so n = 12 or n = -14.
The integers are positive, so n = 12 and the larger integer is 14.
Check:12^2 + 14^2 = 144 + 196 = 340 ✓
Tip:(n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4. Writing it as n^2 + 4 is one of the most common algebra mistakes on the test.
Explicación
Sea n = el entero par menor; el mayor es n + 2.
Suma de los cuadrados:
n^2 + (n + 2)^2 = 340
Desarrolla: n^2 + n^2 + 4n + 4 = 340, así que 2n^2 + 4n - 336 = 0. Divide entre 2:
n^2 + 2n - 168 = 0
Factoriza (producto -168, suma 2 → 14 y -12): (n + 14)(n - 12) = 0, así que n = 12 o n = -14.
Los enteros son positivos, así que n = 12 y el entero mayor es 14.
Comprobación:12^2 + 14^2 = 144 + 196 = 340 ✓
Consejo:(n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4. Escribirlo como n^2 + 4 es uno de los errores de álgebra más comunes en el examen.
Ver en español
Pregunta
La suma de los cuadrados de dos enteros pares positivos consecutivos es 340.
¿Cuál es el entero mayor?
Opciones
A.-12
B. 12
C. 13
D. 14
Pista
Sean n y n + 2 los enteros. Escribe n^2 + (n + 2)^2 = 340 y desarrolla (n + 2)^2 con cuidado.
Pregunta 36 de 36
Completar
A rectangular yard is 40 feet by 25 feet. A flower border of the same width, x feet, is planted along the inside edges of the yard. The grass left in the middle has an area of 646 square feet.
How wide is the flower border, in feet?
feet
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The border takes x off both ends of each side, so the grass is (40 - 2x) by (25 - 2x). One solution of the equation will be too big to fit in the yard.
Solución paso a paso
The grass rectangle measures (40 - 2x) by (25 - 2x):
(40 - 2x)(25 - 2x) = 646
Consejo: Descartar una raíz no se trata solo de los negativos. Sustituye cada raíz en las dimensiones: cualquiera que haga un lado cero o negativo se descarta.
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Pregunta
Un patio rectangular mide 40 pies por 25 pies. Se planta un borde de flores del mismo ancho, x pies, a lo largo de las orillas interiores del patio. El césped que queda en el medio tiene un área de 646 pies cuadrados.
¿Qué ancho tiene el borde de flores, en pies?
_____ pies
Pista
El borde le quita x a los dos extremos de cada lado, así que el césped mide (40 - 2x) por (25 - 2x). Una solución de la ecuación será demasiado grande para caber en el patio.
