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Pirámides y conos: volumen y área superficial

Halla el volumen y el área superficial de pirámides y conos, usa la altura inclinada y trabaja hacia atrás para hallar una dimensión que falta.

Practicar esta destreza 25 min Pirámides y conos Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una pirámide termina en una punta sobre una base plana, como la Gran Pirámide de Egipto o el techo de un quiosco. Un cono es la versión redonda: una base circular que sube hasta una punta, como un cono de helado, un cono de tráfico o un embudo.

En esta lección vas a aprender a:

  • hallar el volumen de cualquier pirámide o cono (cuánto le cabe),
  • hallar el área superficial (cuánto material lo cubre), incluida la altura inclinada,
  • distinguir la altura de la altura inclinada, y hallar una a partir de la otra,
  • trabajar hacia atrás para hallar una altura, un radio o un lado que falta cuando te dan el volumen o el área superficial.

Por qué es importante en el GED®: El objetivo Q.5 (figuras 3-D) aparece en casi todos los exámenes de Matemáticas del GED®, por lo general con 1 a 3 preguntas. Las preguntas de pirámides y conos son populares porque evalúan varias cosas a la vez: leer una figura, elegir entre la altura y la altura inclinada, usar la hoja de fórmulas y, muchas veces, el teorema de Pitágoras. La buena noticia: las dos fórmulas están impresas en la hoja de fórmulas, así que tu trabajo es sustituir los números correctos.

En la vida real: ¿Cuánto mantillo hay en una pila en forma de cono? ¿Cuánta lona necesita una carpa? ¿Cuánto le cabe a un embudo? Es la misma matemática.

Vocabulario

Palabras clave

  • pirámide: un sólido con una base en forma de polígono y lados triangulares que se juntan en un punto (una pirámide cuadrada tiene una base cuadrada).
  • cono: un sólido con una base circular y un lado curvo que se angosta hasta una punta.
  • cúspide (vértice): el punto de arriba de una pirámide o un cono.
  • base (B): la cara plana de abajo. En las fórmulas, B significa el área de la base (una base cuadrada de 6 por 6 tiene B = 36).
  • altura (h): la distancia recta y vertical desde la cúspide hasta la base, en ángulo recto con la base (pasa por el interior del sólido).
  • altura inclinada (s): la distancia desde la cúspide, bajando por la superficie exterior, hasta el borde de la base (en una pirámide, hasta el punto medio de una arista de la base).
  • radio (r): la distancia del centro de un círculo a su borde (diámetro 10 → radio 5).
  • perímetro (p): la distancia alrededor de la base (un cuadrado de lado 10 tiene p = 40).
  • área lateral: el área de los lados solamente, sin la base (los triángulos de una pirámide, la parte curva de un cono).
  • área superficial (SA): el área total de todas las superficies exteriores, en unidades cuadradas (ft², cm²).
  • volumen (V): el espacio interior, en unidades cúbicas (ft³, cm³).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Square pyramid. The base is a square with side b. The height h is a dashed line from the apex straight down to the center of the base, meeting it at a right angle. The slant height s runs from the apex down the middle of a triangular face to the midpoint of a base edge. A dashed segment of length b/2 joins the center of the base to that midpoint, so h, b/2 and s form a right triangle with s as the hypotenuse. h s base edge b b b/2

En una pirámide, la altura h, la mitad de una arista de la base \tfrac{b}{2} y la altura inclinada s forman un triángulo rectángulo. La altura inclinada es la hipotenusa.

Volumen: un tercio de un prisma o un cilindro

Imagina una caja y una pirámide con la misma base y la misma altura. Si llenaras la pirámide de agua y la vaciaras en la caja, se necesitarían exactamente 3 pirámides para llenar la caja. Entonces:

\text{volumen de la pirámide} = \tfrac{1}{3} \times \text{(caja con la misma base y altura)} = \tfrac{1}{3}Bh

Lo mismo pasa con un cono y un cilindro:

\text{volumen del cono} = \tfrac{1}{3} \times \text{(cilindro)} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h

Cómo hallar B en una pirámide. B es el área de la figura que tenga la base:

Figura de la baseÁrea de la base BEjemplo
cuadrado, lado bb^2lado 6 → B = 36
rectángulo l \times wlw8 por 6 → B = 48
triángulo\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}base 6, altura 4 → B = 12

Ejemplo: una pirámide cuadrada con lado de la base 6 y altura 10: V = \tfrac{1}{3}(36)(10) = 120 unidades cúbicas.

A box 6 by 6 by 10 drawn with dashed edges, and a square pyramid with the same 6 by 6 base and the same height 10 inside it. The box holds 36 times 10 = 360 cubic units; the pyramid holds one-third of that, 120 cubic units. 6 6 h = 10 Box (prism): V = 6 × 6 × 10 = 360 Pyramid, same base and same height: V = ⅓ × 360 = 120 3 pyramids fill the box.
Pirámide dentro de una caja con la misma base de 6 por 6 y altura 10

En un cono, la base es un círculo, así que B = \pi r^2. Ejemplo: r = 3, h = 7: V = \tfrac{1}{3}\pi(9)(7) = 21\pi \approx 66.0.

A cone with radius 3 and height 7 drawn inside a dashed cylinder with the same radius and height. The cone holds one-third of the cylinder: V = one-third times pi times 9 times 7 = 21 pi, about 66.0 cubic units. r = 3 h = 7 Cylinder: π(3²)(7) = 63π Cone = ⅓ of it: ⅓π(9)(7) = 21π ≈ 66.0 cubic units
Cono con r = 3 y h = 7 dentro de un cilindro del mismo tamaño

Unidades: el volumen siempre está en unidades cúbicas (in³, ft³, m³). Si las opciones de respuesta están en unidades cuadradas, no son volumen.

Altura frente a altura inclinada

Aquí es donde los estudiantes pierden más puntos.

  • La altura h baja en línea recta por el interior del sólido, desde la cúspide hasta el centro de la base. Se usa para el volumen.
  • La altura inclinada s baja por la superficie exterior. Es la altura de cada cara triangular de una pirámide. Se usa para el área superficial.

Forman un triángulo rectángulo, así que siempre puedes hallar una a partir de la otra con el teorema de Pitágoras (a^2 + b^2 = c^2, que también está en la hoja de fórmulas):

SólidoTriángulo rectánguloFórmula
pirámide cuadrada, arista de la base bh, \tfrac{b}{2}, ss^2 = h^2 + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2
cono, radio rh, r, ss^2 = h^2 + r^2

Ejemplo (pirámide): arista de la base 16, altura 15. La mitad de la arista es 8, así que s^2 = 15^2 + 8^2 = 289 y s = 17.

Square pyramid with base edge 16 and height 15. The height (dashed, inside), half the base edge (8) and the slant height (along the front face) form a right triangle, shown separately on the right: 15 squared plus 8 squared = 289, so the slant height is 17. h = 15 s = 17 8 16 15 8 17 the right triangle inside the pyramid
Pirámide cuadrada con base 16, altura 15 y altura inclinada 17

Ejemplo (cono, en sentido contrario): r = 9, s = 15. Entonces h^2 = 15^2 - 9^2 = 144 y h = 12.

Cone with radius 9 and slant height 15; the height is unknown. The height, radius and slant height form a right triangle, shown on the right: 15 squared minus 9 squared = 144, so the height is 12. r = 9 h = ? s = 15 h = 12 9 15 15² − 9² = 144
Cono con radio 9, altura inclinada 15 y altura 12

Comprobación rápida: la altura inclinada es la hipotenusa, así que siempre es más larga que la altura. Si te sale s < h, algo salió mal.

Aprende las ternas pitagóricas comunes: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 y sus múltiplos (6-8-10, 9-12-15). Los problemas del GED® las usan a menudo.

Área superficial: triángulos más base, o lado del cono más base

Pirámide. Una pirámide cuadrada tiene 4 triángulos idénticos más una base cuadrada. Cada triángulo tiene base b y altura s (la altura inclinada), así que su área es \tfrac{1}{2}bs. Los cuatro juntos dan 4 \times \tfrac{1}{2}bs = \tfrac{1}{2}(4b)s = \tfrac{1}{2}ps, donde p es el perímetro. Suma la base:

SA = \tfrac{1}{2}ps + B

Ejemplo: base 10, altura inclinada 13. p = 40, B = 100. SA = \tfrac{1}{2}(40)(13) + 100 = 260 + 100 = 360 unidades cuadradas.

Net of a square pyramid: a 10 by 10 square base (area 100) with four triangles, each with base 10 and height equal to the slant height 13, so each triangle is 65. Surface area = 4 times 65 plus 100 = 360 square units. s = 13 base B = 100 10 65 Each triangle: ½(10)(13) = 65 4 triangles: 4 × 65 = 260 (= ½ps = ½(40)(13)) Base: 10 × 10 = 100 SA = 260 + 100 = 360
Plantilla de una pirámide cuadrada con base 10 y altura inclinada 13

Cono. El lado curvo tiene un área de \pi r s, y la base circular tiene un área de \pi r^2:

SA = \pi r s + \pi r^2

Ejemplo: r = 6, s = 10. SA = 60\pi + 36\pi = 96\pi \approx 301.6 unidades cuadradas.

Cone with radius 6 and slant height 10 split into its two surfaces: the curved side, area pi times 6 times 10 = 60 pi, and the circular base, area pi times 6 squared = 36 pi. Total 96 pi, about 301.6 square units. s = 10 r = 6 6 base circle: π(6²) = 36π curved side: π(6)(10) = 60π SA = 60π + 36π = 96π ≈ 301.6 square units
Cono con r = 6 y s = 10 separado en lado curvo y base

Lee qué se cubre. Una carpa sin piso, un vaso de papel abierto arriba o "el área lateral" significan dejar fuera la base: usa solo \tfrac{1}{2}ps o \pi r s.

Las pirámides de base rectangular tienen dos alturas inclinadas distintas (una para los lados largos y otra para los lados cortos). El GED® casi siempre usa bases cuadradas para el área superficial, pero si la base es rectangular, suma cada triángulo por separado.

Trabajar hacia atrás: hallar una dimensión que falta

A veces el GED® da el volumen o el área superficial y pide una longitud. Escribe la fórmula, sustituye todo lo que sabes y deshaz las operaciones una por una.

Altura que falta (pirámide o cono). Multiplica ambos lados por 3 y luego divide entre el área de la base:

h = \frac{3V}{B}

Ejemplo: pirámide rectangular, base de 8 por 6, V = 192. B = 48, así que h = \dfrac{3(192)}{48} = 12.

Rectangular pyramid with a base 8 by 6 and an unknown height h. The volume is 192. Base area B = 48, so h = 3 times 192 divided by 48 = 12. h = ? 8 6 V = 192 B = 8 × 6 = 48 h = 3V ÷ B = 3(192) ÷ 48 = 576 ÷ 48 = 12
Pirámide rectangular con base de 8 por 6 y altura desconocida

Radio que falta (cono). Despeja r^2 y luego saca la raíz cuadrada:

r^2 = \frac{3V}{\pi h}, \quad r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}

Ejemplo: V \approx 603.2, h = 9. r^2 = \dfrac{3(603.2)}{9\pi} \approx 64, así que r = 8.

Lado que falta de una base cuadrada. Halla B con B = \dfrac{3V}{h}, y luego b = \sqrt{B}. Ejemplo: V = 300, h = 9: B = 100, así que b = 10.

Altura inclinada que falta a partir del área superficial. Resta la base y luego divide: s = \dfrac{SA - B}{\tfrac{1}{2}p}.

Cómo afectan los cambios al volumen. Como r está al cuadrado, duplicar el radio de un cono multiplica su volumen por 4. Duplicar la altura lo multiplica por 2. Duplicar los dos lo multiplica por 8.

Fórmula

Fórmulas (todas en la hoja de fórmulas del GED®)

\text{Pirámide: } V = \tfrac{1}{3}Bh \qquad SA = \tfrac{1}{2}ps + B \text{Cono: } V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \qquad SA = \pi r s + \pi r^2
  • B = área de la base, h = altura (recta hacia arriba, por dentro), p = perímetro de la base, s = altura inclinada (por el exterior), r = radio de la base.
  • \pi \approx 3.14, o usa la tecla \pi.

Las cuatro fórmulas están en la hoja de fórmulas del GED®, igual que el teorema de Pitágoras a^2 + b^2 = c^2. No necesitas memorizarlas, pero sí necesitas saber que B es un área, que h y s son distintas, y que r es la mitad del diámetro.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): volumen de una pirámide cuadrada

Una pirámide cuadrada tiene aristas de la base de 9 in y una altura de 10 in. Halla su volumen.

  1. Área de la base: B = 9 \times 9 = 81\text{ in}^2.
  2. Fórmula: V = \tfrac{1}{3}Bh = \tfrac{1}{3}(81)(10).
  3. 81 \times 10 = 810, y 810 \div 3 = 270.
Example 1: square pyramid with base edges 9 inches and height 10 inches (dashed, inside). Base area 81 square inches; volume one-third of 81 times 10 = 270 cubic inches. h = 10 in 9 in 9 in B = 9 × 9 = 81 in² V = ⅓(81)(10) = 270 in³
Pirámide cuadrada con aristas de la base de 9 in y altura de 10 in

Respuesta: V = 270\text{ in}^3

Comprobación: a una caja de 9 × 9 × 10 le caben 810 in³; un tercio de 810 es 270 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: área superficial de un cono a partir de su altura

Un cono sólido tiene radio de 5 cm y altura de 12 cm. Halla su área superficial total.

Example 2: solid cone with radius 5 cm and height 12 cm (dashed, inside). The slant height s along the outside is unknown: s squared = 12 squared + 5 squared = 169, so s = 13 cm. r = 5 cm h = 12 cm s = ? s² = 12² + 5² = 169 s = 13 cm
Cono con radio de 5 cm, altura de 12 cm y altura inclinada desconocida
  1. El área superficial necesita la altura inclinada. s^2 = h^2 + r^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169, así que s = 13 cm.
  2. Lado curvo: \pi r s = \pi(5)(13) = 65\pi.
  3. Base: \pi r^2 = \pi(25) = 25\pi.
  4. Total: 65\pi + 25\pi = 90\pi \approx 282.7.

Respuesta: 90\pi \approx 282.7\text{ cm}^2

Comprobación: 5-12-13 es una terna pitagórica, y s = 13 es mayor que h = 12 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (vida real): vidrio para un invernadero

Un invernadero es una pirámide cuadrada con una base de 12 ft por lado y una altura de 8 ft. Los cuatro lados son de vidrio; el piso es de tierra. ¿Cuántos pies cuadrados de vidrio se necesitan?

Example 3: greenhouse shaped like a square pyramid, base 12 feet on each side, height 8 feet. Half the base edge is 6 feet, so the slant height is 10 feet. The four glass sides are shaded; the dirt floor is not covered. h = 8 ft s = ? 6 ft 12 ft 12 ft glass = 4 triangles (no floor) s² = 8² + 6² = 100 s = 10 ft
Invernadero en forma de pirámide con base de 12 ft y altura de 8 ft
  1. Mitad de una arista de la base: 12 \div 2 = 6 ft.
  2. Altura inclinada: s^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100, así que s = 10 ft.
  3. Perímetro: p = 4 \times 12 = 48 ft.
  4. Solo los lados son de vidrio, así que usa el área lateral: \tfrac{1}{2}ps = \tfrac{1}{2}(48)(10) = 240.

Respuesta: 240 ft² de vidrio

Comprobación: un triángulo es \tfrac{1}{2}(12)(10) = 60; cuatro triángulos = 240 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (hacia atrás): altura de un vaso de papel

Un vaso de papel en forma de cono tiene un radio de 3 in y le caben unas 37.7 in³ de agua. ¿Qué altura tiene el vaso?

  1. Fórmula: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, así que 37.7 = \tfrac{1}{3}\pi(9)h.
  2. Simplifica: \tfrac{1}{3}(9) = 3, así que 37.7 = 3\pi h.
  3. Divide entre 3\pi \approx 9.425: h = 37.7 \div 9.425 \approx 4.0.
Example 4: cone-shaped paper cup, point down, with radius 3 inches at the rim and unknown height h. It holds about 37.7 cubic inches; the height works out to about 4 inches. r = 3 in h = ? V ≈ 37.7 in³ 37.7 = ⅓π(9)h = 3πh h ≈ 4 in
Vaso de papel en forma de cono con radio de 3 in y altura desconocida

Respuesta: unas 4 in de alto

Comprobación: \tfrac{1}{3}\pi(9)(4) = 12\pi \approx 37.7 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel GED® difícil): volumen a partir de la altura inclinada

Un monumento es una pirámide cuadrada con aristas de la base de 14 m y una altura inclinada de 25 m. Halla su volumen.

Example 5: square pyramid monument with base edges 14 m and slant height 25 m; the height h is unknown. The height, half the base edge (7 m) and the slant height form a right triangle: 25 squared minus 7 squared = 576, so h = 24 m. h = ? s = 25 m 7 m 14 m h = 24 7 25 25² − 7² = 576
Pirámide con base de 14 m, altura inclinada de 25 m y altura desconocida
  1. El volumen necesita la altura, no la altura inclinada. La mitad de una arista de la base es 14 \div 2 = 7 m.
  2. h^2 = s^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576, así que h = \sqrt{576} = 24 m.
  3. Área de la base: B = 14 \times 14 = 196\text{ m}^2.
  4. V = \tfrac{1}{3}Bh = \tfrac{1}{3}(196)(24) = 196 \times 8 = 1{,}568.

Respuesta: V = 1{,}568\text{ m}^3

Comprobación: 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 ✓ (7-24-25 es una terna), y h = 24 < s = 25 ✓.

Consejo de calculadora

En la TI-30XS MultiView

  • Un tercio: escribe 1 n/d 3 ▶ (la flecha a la derecha sale de la fracción) y luego el resto. O simplemente multiplica todo y divide entre 3 al final; esto suele ser más rápido y evita errores con las fracciones.
  • Cuadrados: usa la tecla x². Para \tfrac{1}{3}\pi(9^2)(12): π × 9 x² × 12 ÷ 3 enter → 324\pi; oprime toggle → 1017.87…
  • Raíces cuadradas: 2nd y luego x² da \sqrt{\ }. Para una altura inclinada: 2nd x² 15 x² + 8 x² enter → 17.
  • Exacto o decimal: si las opciones de respuesta tienen \pi (como 96\pi), no oprimas la tecla π; halla a mano el número que va delante de \pi. Si las opciones son decimales, usa la tecla π en vez de 3.14, a menos que la pregunta diga que uses 3.14.
  • Usa paréntesis cuando dividas entre un producto: 603.2 \div (3\pi) se debe escribir 603.2 ÷ ( 3 π ).
  • Las ternas pitagóricas (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) te permiten no usar la calculadora para nada.
Error común

Errores comunes

  • Olvidar el \tfrac{1}{3}. \tfrac{1}{3}(36)(10) = 120, no 36 \times 10 = 360. Sin el \tfrac{1}{3} calculaste un prisma o un cilindro.
  • Confundir la altura con la altura inclinada. El volumen usa h (por dentro); el área superficial usa s (por fuera). Si una figura muestra las dos, cada número se usa en una fórmula distinta.
  • Usar la longitud de un lado como B. Para una base cuadrada de lado 6, B = 36, no 6.
  • Usar el diámetro como radio. Un diámetro de 3 significa r = 1.5. Usar 3 hace que el volumen salga 4 veces más grande.
  • Usar la arista completa de la base en el triángulo de la altura inclinada. El triángulo usa la mitad de la arista de la base: s^2 = h^2 + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2.
  • Olvidar la raíz cuadrada al despejar r o s. r^2 = 64 significa r = 8, no 64.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Encierra en un círculo lo que se pide: ¿volumen (unidades cúbicas) o área superficial (unidades cuadradas)? ¿Total o lateral? Esto te dice qué fórmula y qué longitud usar.
  • Rotula la figura con r, h y s antes de calcular. Tacha cualquier número que no vayas a usar.
  • Estima primero. Un cono es un tercio de un cilindro. Si tu respuesta para el cono es mayor que el cilindro \pi r^2 h, está mal.
  • Usa los distractores. Las opciones incorrectas suelen ser "olvidó el ⅓" (3 veces más grande), "usó el diámetro" (4 veces más grande) o "usó la otra altura". Si una opción es exactamente 3 veces otra, la más pequeña suele ser la correcta para un cono o una pirámide.
  • Sustituye las respuestas en las preguntas de trabajar hacia atrás: pon cada opción en la fórmula y fíjate cuál da el volumen indicado.
  • Mantén \pi hasta el final y redondea solo en el último paso, a la posición que pide la pregunta.

Compruébalo

Pirámides y conos

A glass paperweight is shaped like a square pyramid. Its base is 6 in on each side, and its height is 10 in. What is the volume of the paperweight?

Opciones de respuesta
Pista

Find the area of the square base first. Then use the pyramid volume formula from the formula sheet.

Ver en español

Pregunta

Un pisapapeles de vidrio tiene forma de pirámide cuadrada. Su base mide 6 in por lado, y su altura es de 10 in. ¿Cuál es el volumen del pisapapeles?

Opciones

  • A. 360 in³
  • B. 20 in³
  • C. 180 in³
  • D. 120 in³
Pista

Primero halla el área de la base cuadrada. Luego usa la fórmula del volumen de la pirámide de la hoja de fórmulas.

Compruébalo

Pirámides y conosCompletar

A cone has a radius of 3 cm and a height of 7 cm. What is the volume of the cone, rounded to the nearest tenth of a cubic centimeter?

cm³

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

The cone formula is on the formula sheet: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h. Square the radius before you do anything else.

Ver en español

Pregunta

Un cono tiene un radio de 3 cm y una altura de 7 cm. ¿Cuál es el volumen del cono, redondeado a la décima de centímetro cúbico más cercana?

_____ cm³

Pista

La fórmula del cono está en la hoja de fórmulas: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h. Eleva el radio al cuadrado antes de hacer cualquier otra cosa.

Resumen

  • Pirámide: V = \tfrac{1}{3}Bh y SA = \tfrac{1}{2}ps + B. Cono: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h y SA = \pi r s + \pi r^2; todas están en la hoja de fórmulas.
  • A una pirámide o un cono le cabe un tercio de lo que le cabe al prisma o cilindro con la misma base y altura.
  • Altura (por dentro, para el volumen) ≠ altura inclinada (por fuera, para el área superficial). Se relacionan con s^2 = h^2 + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 o s^2 = h^2 + r^2.
  • Deja fuera la base cuando el objeto no tiene piso o está abierto arriba.
  • Trabaja hacia atrás con h = \dfrac{3V}{B} y r = \sqrt{\dfrac{3V}{\pi h}}; no olvides la raíz cuadrada.
Practicar esta destreza →