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Prismas rectos: bases triangulares y de otras formas

Usa V = Bh y SA = ph + 2B en prismas con bases de triángulo, trapecio y otras formas, y trabaja hacia atrás para hallar una dimensión que falta.

Practicar esta destreza 30 min Prismas rectos Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Un prisma es cualquier sólido con dos extremos idénticos y paralelos (las bases) unidos por rectángulos. Una caja es un tipo de prisma. En esta lección vas a trabajar con prismas cuyas bases son triángulos, trapecios y otros polígonos: carpas, cuñas, rampas, áticos, bebederos para animales, cajas tipo Toblerone y cobertizos.

Vas a aprender a:

  • hallar el volumen con V = Bh,
  • hallar el área superficial con SA = ph + 2B,
  • hallar una dimensión que falta cuando te dan el volumen o un lado, a veces usando el teorema de Pitágoras.

Por qué es importante en el GED®: La hoja de fórmulas del GED® da un solo par de fórmulas para todos los prismas rectos. El reto no es la fórmula; es encontrar la B correcta (el área de la figura de la base) y la h correcta (el largo del prisma). Al examen le gusta acostar un prisma triangular de lado para que la base no quede abajo. Cuando sabes reconocer los dos extremos iguales, todos los prismas se convierten en el mismo problema.

Vocabulario

Palabras que debes conocer

  • Prisma recto: un prisma cuyas caras laterales son rectángulos perpendiculares a las bases (todos los prismas del GED® son prismas rectos).
  • Bases de un prisma: las dos caras idénticas y paralelas que le dan nombre al prisma (un prisma triangular tiene dos bases triangulares).
  • B: el área de una base. Para un triángulo con base 6 y altura 4: B = \tfrac{1}{2}(6)(4) = 12.
  • Altura del prisma (h): la distancia entre las dos bases; el "largo" del prisma. Una carpa de 10\text{ ft} de largo tiene h = 10\text{ ft}.
  • Altura del triángulo: la distancia perpendicular desde la base del triángulo hasta su vértice superior. Está dentro de la figura de la base y es distinta de la altura del prisma.
  • Caras laterales: los rectángulos de los lados; un prisma triangular tiene 3 y un prisma pentagonal tiene 5.
  • Perímetro de la base (p): la distancia alrededor de la figura de la base (triángulo 3-4-5: p = 12).
  • Trapecio: una figura de cuatro lados con un par de lados paralelos b_1 y b_2: A = \tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2).
  • Catetos e hipotenusa: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo recto; la hipotenusa es el lado más largo, opuesto a ese ángulo.
  • Plantilla (net): el patrón plano de un prisma desdoblado: dos bases más una tira de rectángulos.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Primero encuentra las bases

Triangular prism. The two parallel, identical triangles are the bases (B). The prism's height h is the distance between the two triangles, measured along the length of the prism. The triangle's own base b and height are measured on the triangle itself. triangle base b prism height h triangle height

Todo prisma tiene dos extremos idénticos y paralelos. Esos extremos son las bases, sin importar cómo esté colocado el prisma.

  • Una carpa apoyada sobre su piso rectangular: las bases son los triángulos del frente y de atrás.
  • Una cuña o un tope de puerta acostado sobre un rectángulo: las bases son los dos triángulos rectángulos de los extremos.
  • Un cobertizo: las bases son los pentágonos con forma de casa del frente y de atrás.
Three prisms with their two bases shaded: a tent with triangle bases on the front and back, a wedge (doorstop) with right-triangle bases on the ends, and a shed with house-shaped pentagon bases on the front and back. tent wedge shed shaded faces = the bases (two matching ends)
Carpa, cuña y cobertizo con sus bases sombreadas

Una vez que encuentras las bases, h es la arista que las une: el largo del prisma.

Área de la figura de la base (todas las fórmulas están en la hoja del GED®):

Figura de la baseÁrea BEjemplo
triángulo\tfrac{1}{2}bhb = 6, h = 4: B = 12
rectángulolw5 \times 3: B = 15
trapecio\tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2)b_1 = 2, b_2 = 4, h = 1.5: B = 4.5
compuesta (rectángulo + triángulo)suma las partes80 + 20 = 100

Las dos alturas. Un prisma triangular tiene dos "alturas" distintas:

  1. la altura del triángulo, que se usa dentro de B = \tfrac{1}{2}bh;
  2. la altura del prisma (el largo), que se usa en V = Bh.

Rotúlalas claramente antes de sustituir.

Triangular prism showing its two different heights: the height of the triangle, 4 in, measured inside the triangular base from the 6 in base to the top vertex; and the height (length) of the prism, 10 in, the distance between the two triangular bases. triangle base 6 in prism height (length) 10 in triangle height 4 in
Prisma triangular que muestra la altura del triángulo y el largo del prisma

Triángulos rectángulos: los dos catetos son perpendiculares, así que un cateto es la base y el otro es la altura. La hipotenusa nunca es la altura del triángulo.

Volumen: V = Bh para todos los prismas

El volumen de cualquier prisma recto es el área de una base por la distancia entre las bases:

V = Bh

Ejemplo (prisma triangular): cada triángulo tiene base de 6\text{ in} y altura de 4\text{ in}; el prisma mide 10\text{ in} de largo.

  1. B = \tfrac{1}{2}(6)(4) = 12\text{ in}^2.
  2. V = Bh = 12 \times 10 = 120\text{ in}^3.

Fíjate que esto es la mitad de la caja de 6 \times 4 \times 10 = 240 que lo rodearía. Un prisma triangular con base de triángulo rectángulo es exactamente la mitad de una caja.

Triangular prism with right-triangle bases (legs 6 in and 4 in) and length 10 in, drawn inside the dashed 6 by 4 by 10 box that surrounds it. B = 12, V = 120 cubic inches, half of the box volume 240. b = 6 in h = 4 in 10 in B = ½(6)(4) = 12; V = 12 × 10 = 120 in³ (box: 240)
Prisma de triángulo rectángulo dentro de la caja que lo rodea

Ejemplo (prisma trapezoidal): un bebedero tiene extremos en forma de trapecio con b_1 = 2\text{ ft}, b_2 = 4\text{ ft}, altura de 1.5\text{ ft}, y mide 8\text{ ft} de largo.

  1. B = \tfrac{1}{2}(1.5)(2 + 4) = \tfrac{1}{2}(1.5)(6) = 4.5\text{ ft}^2.
  2. V = 4.5 \times 8 = 36\text{ ft}^3.
Water trough shaped like a prism with trapezoid ends: bottom 2 ft, top 4 ft, height 1.5 ft, and 8 ft long. B = 4.5 square feet and V = 36 cubic feet. b₁ = 2 ft b₂ = 4 ft 1.5 ft 8 ft B = ½(1.5)(2 + 4) = 4.5 ft²; V = 4.5 × 8 = 36 ft³
Bebedero con extremos de trapecio de 2 ft, 4 ft, 1.5 ft y 8 ft de largo

Ejemplo (otra base): si un problema dice que una base hexagonal tiene un área de 24\text{ cm}^2 y el prisma mide 7\text{ cm} de alto, entonces V = 24 \times 7 = 168\text{ cm}^3. No necesitas una fórmula del hexágono cuando te dan B.

Hexagonal prism standing on a hexagon base with area 24 square cm and height 7 cm. V = 24 × 7 = 168 cubic cm. B = 24 cm² h = 7 cm V = 24 × 7 = 168 cm³
Prisma hexagonal con base de 24 centímetros cuadrados y altura de 7 cm

Lado que falta usando Pitágoras: si no se muestra la altura del triángulo, puede que tengas que hallarla. Un triángulo isósceles con lados 10, 10, 12: traza la altura hasta el punto medio del lado de 12, lo que forma dos triángulos rectángulos con catetos 6 y h e hipotenusa 10. Entonces h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8, y B = \tfrac{1}{2}(12)(8) = 48.

Isosceles triangle with sides 10, 10 and 12. The height drawn to the middle of the 12 side splits it into two right triangles with legs 6 and h and hypotenuse 10, so h = 8 and B = 48. 10 10 6 6 h = 8 h = √(10² − 6²) = √64 = 8; B = ½(12)(8) = 48
Triángulo isósceles de 10, 10, 12 con altura 8

Área superficial: SA = ph + 2B

Net of a triangular prism with right-triangle bases (legs 3 and 4, hypotenuse 5) and length 10: three rectangles 3 by 10, 4 by 10 and 5 by 10 side by side, with a triangle base B attached at the top and at the bottom. The three rectangles together form one long rectangle whose width is the perimeter 3 + 4 + 5 = 12. 3×10 4×10 5×10 B B perimeter p = 3 + 4 + 5 = 12

Si desdoblas un prisma triangular, obtienes dos triángulos y tres rectángulos. Los tres rectángulos tienen el mismo largo (la h del prisma), y sus anchos son los tres lados del triángulo. Puestos uno al lado del otro, forman un solo rectángulo largo cuyo ancho es el perímetro del triángulo. Entonces:

SA = ph + 2B

Ejemplo: bases de triángulo rectángulo con catetos 3 y 4 e hipotenusa 5; largo 10.

  1. p = 3 + 4 + 5 = 12.
  2. Área lateral: ph = 12 \times 10 = 120.
  3. B = \tfrac{1}{2}(3)(4) = 6, así que 2B = 12.
  4. SA = 120 + 12 = 132 unidades cuadradas.

Comprueba con la plantilla: rectángulos 3 \times 10 + 4 \times 10 + 5 \times 10 = 30 + 40 + 50 = 120, más dos triángulos de 6: 132 ✓.

Net of a triangular prism with right-triangle bases 3, 4, 5 and length 10: three rectangles 3 by 10, 4 by 10 and 5 by 10 (areas 30, 40, 50) form one strip 12 wide, plus two triangles of area 6 each. Surface area 132. 3 × 10 = 30 4 × 10 = 40 5 × 10 = 50 6 6 10 SA = 30 + 40 + 50 + 6 + 6 = 132
Plantilla de un prisma triangular 3-4-5 de 10 de largo

El perímetro necesita todos los lados. Si falta un lado (muchas veces la hipotenusa), primero hállalo con a^2 + b^2 = c^2. Catetos 6 y 8: c = \sqrt{36 + 64} = 10.

Cubre solo lo que existe. A una carpa sin piso le falta un rectángulo; a un bebedero abierto le falta el rectángulo de arriba. Suma solo las caras descritas.

Fórmula

Las fórmulas (en la hoja de fórmulas del GED®)

En la hoja de fórmulas del GED®, bajo prisma recto (right prism):

V = Bh \qquad\qquad SA = ph + 2B
  • B = área de una base (la figura de los dos extremos iguales).
  • p = perímetro de esa base.
  • h = altura del prisma = distancia entre las dos bases.

También en la hoja de fórmulas: triángulo A = \tfrac{1}{2}bh, trapecio A = \tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2), rectángulo A = lw, y el teorema de Pitágoras a^2 + b^2 = c^2.

Memoriza la idea, no más fórmulas: encuentra los dos extremos iguales, halla su área y multiplícala por la distancia entre ellos.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (básico): volumen de un prisma triangular

Cada extremo triangular de un prisma tiene una base de 8\text{ cm} y una altura de 5\text{ cm}. El prisma mide 12\text{ cm} de largo. Halla el volumen.

Triangular prism whose triangular ends have base 8 cm and height 5 cm; the prism is 12 cm long. B = 20 square cm, V = 240 cubic cm. 8 cm 12 cm 5 cm
Prisma triangular con base de 8 cm, altura de 5 cm y largo de 12 cm
  1. B = \tfrac{1}{2}bh = \tfrac{1}{2}(8)(5) = 20\text{ cm}^2.
  2. V = Bh = 20 \times 12 = 240.

Respuesta: 240\text{ cm}^3

Comprobación: la caja que lo rodea es 8 \times 5 \times 12 = 480, y el prisma es la mitad: 480 \div 2 = 240 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: área superficial con base de triángulo rectángulo

Un prisma triangular tiene bases de triángulo rectángulo con catetos de 6\text{ in} y 8\text{ in} e hipotenusa de 10\text{ in}. Mide 15\text{ in} de largo. Halla su área superficial.

Triangular prism with right-triangle bases, legs 6 in and 8 in and hypotenuse 10 in, and length 15 in. 8 in 10 in 6 in 15 in
Prisma triangular con catetos de 6 y 8, hipotenusa de 10 y largo de 15 in
  1. Perímetro: p = 6 + 8 + 10 = 24\text{ in}.
  2. Área lateral: ph = 24 \times 15 = 360\text{ in}^2.
  3. B = \tfrac{1}{2}(6)(8) = 24\text{ in}^2, así que 2B = 48\text{ in}^2.
  4. SA = 360 + 48 = 408.
Net of the 6-8-10 triangular prism 15 in long: rectangles 6 by 15, 8 by 15 and 10 by 15 (90, 120, 150 square inches) plus two right triangles of 24 square inches each. Surface area 408 square inches. 6 × 15 = 90 8 × 15 = 120 10 × 15 = 150 24 24 15 in SA = 90 + 120 + 150 + 24 + 24 = 408 in²
Plantilla del prisma 6-8-10

Respuesta: 408\text{ in}^2

Comprobación: rectángulos 6 \cdot 15 + 8 \cdot 15 + 10 \cdot 15 = 90 + 120 + 150 = 360; más dos triángulos 24 + 24: 408 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (vida real): una piscina con el fondo inclinado

Una piscina mide 15\text{ ft} de ancho. Vista de lado, es un trapecio: 30\text{ ft} de largo, 3\text{ ft} de profundidad en la parte baja y 9\text{ ft} de profundidad en la parte honda. ¿Cuántos galones le caben? (1\text{ ft}^3 \approx 7.5 galones.)

Pool drawn as a prism lying on its side: the side view is a trapezoid 30 ft long, 3 ft deep at the shallow end and 9 ft deep at the deep end; the pool is 15 ft wide. B = 180 square feet and V = 2,700 cubic feet. 30 ft 3 ft 9 ft 15 ft wide B = ½(30)(3 + 9) = 180 ft²; V = 180 × 15 = 2,700 ft³
Piscina con lado de trapecio de 30 ft de largo, 3 ft y 9 ft de profundidad y 15 ft de ancho
  1. El lado en forma de trapecio es la base. Sus lados paralelos son las profundidades 3 y 9; la distancia entre ellos es 30.
  2. B = \tfrac{1}{2}(30)(3 + 9) = \tfrac{1}{2}(30)(12) = 180\text{ ft}^2.
  3. La altura del prisma es el ancho de la piscina: V = 180 \times 15 = 2{,}700\text{ ft}^3.
  4. Galones: 2{,}700 \times 7.5 = 20{,}250.

Respuesta: unos 20{,}250 galones

Comprobación: la profundidad promedio es (3 + 9) \div 2 = 6\text{ ft}, y 30 \times 15 \times 6 = 2{,}700\text{ ft}^3 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (hacia atrás): altura del triángulo que falta

Una caja de chocolates es un prisma triangular de 12\text{ in} de largo con un volumen de 180\text{ in}^3. Cada extremo triangular tiene una base de 6\text{ in}. ¿Cuál es la altura del triángulo?

Chocolate box shaped like a triangular prism 12 in long; each triangular end has a 6 in base and an unknown height h. Volume 180 cubic inches, so B = 15 and h = 5 in. 6 in 12 in h = ?
Prisma triangular de 12 in de largo con base de 6 in y altura desconocida
  1. V = Bh: 180 = B \times 12, así que B = 180 \div 12 = 15\text{ in}^2.
  2. B = \tfrac{1}{2}bh: 15 = \tfrac{1}{2}(6)(h) = 3h.
  3. h = 15 \div 3 = 5.

Respuesta: el triángulo mide 5\text{ in} de alto.

Comprobación: \tfrac{1}{2}(6)(5) = 15 y 15 \times 12 = 180 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel GED® difícil): volumen de un ático con Pitágoras

Un ático es un prisma triangular de 40\text{ ft} de largo. Cada extremo es un triángulo isósceles con una base de 24\text{ ft} y dos lados inclinados de 13\text{ ft}. ¿Cuál es el volumen del ático?

Attic shaped like a triangular prism 40 ft long. Each end is an isosceles triangle with a 24 ft base and two 13 ft sloped sides; the triangle height h is unknown (it is 5 ft). 24 ft 13 ft 40 ft h
Prisma de ático de 40 ft de largo con extremos triangulares de 24-13-13
  1. No se da la altura del triángulo. Esa altura divide la base de 24\text{ ft} en dos mitades de 12\text{ ft}, y forma triángulos rectángulos con hipotenusa 13.
  2. Pitágoras: h^2 + 12^2 = 13^2, así que h^2 = 169 - 144 = 25 y h = 5\text{ ft}.
  3. B = \tfrac{1}{2}(24)(5) = 60\text{ ft}^2.
  4. V = Bh = 60 \times 40 = 2{,}400.
End of the attic: an isosceles triangle with base 24 ft and sides 13 ft. The height splits the base into two 12 ft halves, making right triangles 5-12-13, so h = 5 ft and B = 60 square feet. 13 ft 13 ft 12 ft 12 ft h = 5 ft h² + 12² = 13² → h² = 25, h = 5; B = ½(24)(5) = 60 ft²
Triángulo del extremo del ático dividido en dos triángulos rectángulos 5-12-13

Respuesta: 2{,}400\text{ ft}^3

Comprobación: 5-12-13 es un triángulo rectángulo conocido: 25 + 144 = 169 ✓; y 60 \times 40 = 2{,}400 ✓.

Consejo de calculadora

En la TI-30XS MultiView

  • Área de la base triangular: 1 n/d 2 ▶ (da \tfrac{1}{2}), luego × 6 × 4 enter → 12. O simplemente divide entre 2: 6 × 4 ÷ 2.
  • Volumen en una sola línea: 0.5 × 6 × 4 × 10 enter → 120.
  • Trapecio: usa paréntesis para la suma de las bases: 0.5 × 1.5 × ( 2 + 4 ) × 8 enter → 36.
  • Hipotenusa que falta: 2nd x² (√) y luego 6 x² + 8 x² enter → 10.
  • toggle cambia una respuesta como \tfrac{45}{2} a 22.5.

Cuándo no usarla: con números enteros pequeños, sacar la mitad mentalmente (\tfrac{1}{2} \times 6 = 3) es más rápido y evita errores al teclear. Guarda la calculadora para los decimales y las raíces cuadradas.

Error común

Errores comunes

  • Olvidar el \tfrac{1}{2}. ✗ B = 6 \times 4 = 24. ✓ Un triángulo es la mitad de un rectángulo: B = \tfrac{1}{2}(6)(4) = 12. Si no, el volumen sale el doble de grande.
  • Usar la hipotenusa como altura. ✗ B = \tfrac{1}{2}(12)(13). ✓ La altura es perpendicular a la base: en un triángulo rectángulo usa los catetos, \tfrac{1}{2}(12)(5) = 30.
  • Tomar el rectángulo de abajo como base. Cuando un prisma triangular está acostado sobre un rectángulo, B sigue siendo el triángulo, no el rectángulo del piso. ✗ Usar el piso de 12 \times 20 como B. ✓ B = \tfrac{1}{2}(12)(5) = 30, así que V = 30 \times 20 = 600.
  • Dejar fuera un lado en el perímetro. ✗ p = 6 + 8 = 14 cuando no está dibujada la hipotenusa. ✓ Primero hállala: c = 10, p = 24.
  • Una base en vez de dos. ✗ SA = ph + B para un prisma cerrado. ✓ SA = ph + 2B (a menos que el problema diga que un extremo está abierto).
  • Usar una fórmula de pirámide. ✗ V = \tfrac{1}{3}Bh. Esa es para pirámides y conos. Los prismas usan V = Bh.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Sombrea los dos extremos iguales (mentalmente o en la pizarra de borrador). Esa figura es B, esté donde esté.
  • Escribe dos líneas: primero "B = \ldots" con la fórmula del área de la figura de la base, y luego "V = B \times h" o "SA = ph + 2B". Mantener B por separado evita confundir las dos alturas.
  • Estima con la caja que lo rodea. Un prisma triangular contiene más o menos la mitad de la caja que lo rodea. Si tu respuesta es mayor que la caja, algo está mal.
  • Busca los triángulos rectángulos 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10 y 9-12-15. Ahorran tiempo cuando falta un lado.
  • Sustituye las respuestas en las preguntas de trabajar hacia atrás: prueba cada opción en V = Bh.
  • Fíjate si hay caras abiertas o que faltan: carpas sin piso, bebederos sin tapa, rampas apoyadas en el suelo.

Compruébalo

Prismas rectos

What is the volume of the triangular prism shown?

Triangular prism. Each triangular base has a base of 6 inches and a height of 4 inches. The prism is 10 inches long. 6 in 10 in 4 in
Triangular prism: triangle base 6 in, triangle height 4 in, length 10 in
Opciones de respuesta
Pista

V = Bh. Here B is the area of the triangle, and h is the length of the prism.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el volumen del prisma triangular que se muestra?

Opciones

  • A. 240\text{ in}^3
  • B. 120\text{ in}^3
  • C. 80\text{ in}^3
  • D. 12\text{ in}^3
Pista

V = Bh. Aquí B es el área del triángulo y h es el largo del prisma.

Compruébalo

Prismas rectosCompletar

A glass paperweight is a prism with a hexagon-shaped base. The area of the hexagon is 24\text{ cm}^2, and the prism is 7\text{ cm} tall.

What is the volume of the paperweight?

\text{cm}^3

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

You don't need a hexagon formula. The base area B is already given; use V = Bh.

Ver en español

Pregunta

Un pisapapeles de vidrio es un prisma con base en forma de hexágono. El área del hexágono es 24\text{ cm}^2, y el prisma mide 7\text{ cm} de alto.

¿Cuál es el volumen del pisapapeles?

_____ \text{cm}^3

Pista

No necesitas una fórmula del hexágono. El área de la base B ya está dada; usa V = Bh.

Resumen

  • Todos los prismas rectos usan las mismas dos fórmulas de la hoja de fórmulas: V = Bh y SA = ph + 2B.
  • B es el área de los dos extremos iguales: triángulo \tfrac{1}{2}bh, trapecio \tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2), o la suma de figuras más simples.
  • h es la distancia entre las dos bases (el largo del prisma), no la altura del triángulo.
  • Usa los catetos (no la hipotenusa) como base y altura de un triángulo rectángulo; usa a^2 + b^2 = c^2 para hallar un lado que falta.
  • Para trabajar hacia atrás: B = V \div h, y luego despeja el lado que falta en la fórmula del área de la base.
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