Lo que vas a aprender
Un cilindro tiene la forma de una lata de sopa, un tanque de agua, una vela, un tubo o un molde redondo para pastel. En esta lección vas a aprender a:
- hallar el volumen de un cilindro (cuánto le cabe),
- hallar el área superficial (cuánto material lo cubre, como una etiqueta o una lámina de metal),
- trabajar hacia atrás para hallar una altura, un radio o un diámetro que falta.
Por qué es importante en el GED®: Las preguntas de cilindros están entre las preguntas 3-D más comunes del examen. Las dos fórmulas del cilindro están en la hoja de fórmulas del GED®, pero el examen revisa los detalles: ¿Usaste el radio y no el diámetro? ¿Elevaste el radio al cuadrado? ¿Incluiste los dos extremos circulares? ¿La respuesta se deja "en términos de \pi" o se redondea con \pi \approx 3.14? Domina esos detalles y estos serán puntos fáciles. En la vida diaria, la misma matemática te dice cuántos galones caben en un tanque o cuánto papel envuelve una lata.
Palabras que debes conocer
- Cilindro: una figura 3-D con dos círculos idénticos y paralelos (las bases) unidos por un lado curvo, como una lata.
- Base: uno de los dos extremos circulares. Su área es B = \pi r^2 (radio 3: B = 9\pi).
- Radio (r): la distancia del centro del círculo a su borde (la mitad de un diámetro de 10\text{ cm} es r = 5\text{ cm}).
- Diámetro (d): la distancia de un lado al otro del círculo pasando por el centro: d = 2r.
- Altura (h): la distancia recta entre las dos bases circulares (qué tan alta es la lata).
- Pi (\pi): el número 3.14159\ldots, que a menudo se redondea a 3.14. La hoja de fórmulas del GED® dice \pi \approx 3.14.
- Circunferencia (C): la distancia alrededor de un círculo: C = 2\pi r = \pi d (r = 2: C = 4\pi \approx 12.57).
- Área lateral: el área del lado curvo solamente: 2\pi r h (la etiqueta de una lata).
- Área superficial (SA): el área lateral más los dos círculos: 2\pi r h + 2\pi r^2.
- Volumen (V): el espacio interior, en unidades cúbicas (\text{in}^3, \text{ft}^3, \text{cm}^3).
- "En términos de \pi": dejar \pi como símbolo en la respuesta, como 160\pi, en vez de multiplicarlo.
Volumen: una pila de círculos
Un cilindro es como una pila de monedas idénticas. Igual que con una caja, el volumen es el área de la base por la altura:
V = BhLa base es un círculo, así que B = \pi r^2, y
V = \pi r^2 hEjemplo: radio 4\text{ cm}, altura 10\text{ cm}.
- Eleva el radio al cuadrado: r^2 = 4^2 = 16.
- Área de la base: B = 16\pi.
- Volumen: V = 16\pi \times 10 = 160\pi\text{ cm}^3.
¿Exacto o redondeado? Lee lo que pide la pregunta:
| Instrucción en la pregunta | Qué escribir para V = 160\pi |
|---|---|
| "en términos de \pi" | 160\pi\text{ cm}^3 |
| "usa 3.14 para \pi" | 160 \times 3.14 = 502.4\text{ cm}^3 |
| "al número entero más cercano" (usa la tecla \pi) | 502.65\ldots \approx 503\text{ cm}^3 |
¿Te dan el diámetro? Primero divídelo entre 2. Una lata con diámetro de 6\text{ in} tiene r = 3\text{ in}. Si usas 6 por error, r^2 da 36 en vez de 9, y el volumen sale cuatro veces más grande.
Orden de las operaciones: solo el radio se eleva al cuadrado. \pi r^2 h significa \pi \times (r \times r) \times h, no (\pi r)^2 ni \pi \times 2r \times h.
Escala: duplicar la altura duplica el volumen, pero duplicar el radio multiplica el volumen por 2^2 = 4, porque r está al cuadrado.
Área superficial: etiqueta más dos tapas
Despega la etiqueta de una lata y extiéndela. Es un rectángulo:
- su altura es la altura de la lata, h;
- su ancho es la distancia alrededor de la lata, la circunferencia 2\pi r.
Entonces, el lado curvo (el área lateral) es 2\pi r \times h = 2\pi r h.
Suma las dos tapas circulares, cada una de \pi r^2:
SA = 2\pi r h + 2\pi r^2Ejemplo: una lata cerrada con r = 2\text{ in} y h = 7\text{ in}.
- Área lateral: 2\pi(2)(7) = 28\pi.
- Dos tapas: 2\pi(2^2) = 2\pi(4) = 8\pi.
- Total: SA = 28\pi + 8\pi = 36\pi \approx 113.1\text{ in}^2.
Fíjate: es la misma idea que SA = ph + 2B para los prismas. El "perímetro" de un círculo es su circunferencia 2\pi r, y B = \pi r^2.
¿Qué partes se cubren? Lee la situación:
- Una etiqueta cubre solo el lado curvo: 2\pi r h.
- Un tanque abierto, un vaso o un tubo con un extremo cerrado: 2\pi r h + \pi r^2 (una tapa).
- Un tubo abierto en los dos extremos: solo 2\pi r h.
- Una lata o un tanque cerrado: la fórmula completa 2\pi r h + 2\pi r^2.
Trabajar hacia atrás: altura, radio o diámetro
Escribe la fórmula, sustituye lo que sabes y resuelve.
Altura que falta (a partir del volumen). Divide el volumen entre el área de la base:
h = \frac{V}{\pi r^2}Ejemplo: V = 1{,}570\text{ ft}^3, r = 5\text{ ft}, \pi \approx 3.14. Área de la base = 3.14 \times 25 = 78.5, así que h = 1{,}570 \div 78.5 = 20\text{ ft}.
Radio que falta (a partir del volumen). Divide entre \pi h y luego saca la raíz cuadrada:
r^2 = \frac{V}{\pi h} \qquad r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}Ejemplo: V = 245\pi\text{ cm}^3, h = 5\text{ cm}. Entonces r^2 = 245\pi \div 5\pi = 49, así que r = \sqrt{49} = 7\text{ cm}, y el diámetro es 14\text{ cm}. No te detengas en 49, y revisa si la pregunta pide r o d.
Altura que falta (a partir del área superficial). Primero resta las dos tapas y luego divide entre 2\pi r.
Ejemplo: SA = 170\pi, r = 5. Tapas: 2\pi(25) = 50\pi. Entonces 10\pi h = 170\pi - 50\pi = 120\pi, así que h = 12.
Consejo para respuestas con \pi: si los dos lados tienen \pi, divide entre \pi. 10\pi h = 120\pi se convierte en 10h = 120.
Las fórmulas (en la hoja de fórmulas del GED®)
Las dos fórmulas están impresas en la hoja de fórmulas del GED® bajo cilindro (cylinder):
V = \pi r^2 h \qquad\qquad SA = 2\pi r h + 2\pi r^2- r = radio de la base circular (la mitad del diámetro).
- h = altura, la distancia entre las dos bases.
- \pi \approx 3.14 (la hoja de fórmulas da este valor; en la calculadora puedes usar la tecla
π).
También en la hoja: el área del círculo A = \pi r^2 y la circunferencia C = 2\pi r (o C = \pi d).
Memoriza: d = 2r y r = d \div 2. La hoja usa r, pero las preguntas a menudo dan d. Las conversiones de unidades, como galones por pie cúbico, te las darán en la pregunta.
Ejemplo 1 (básico): volumen en términos de π
Un cilindro tiene radio de 5\text{ cm} y altura de 8\text{ cm}. Halla su volumen en términos de \pi y luego redondeado a la décima más cercana.
- r^2 = 5^2 = 25.
- V = \pi r^2 h = \pi(25)(8) = 200\pi\text{ cm}^3.
- Con la tecla
π: 200\pi \approx 628.318\ldots \approx 628.3\text{ cm}^3.
Respuesta: 200\pi \approx 628.3\text{ cm}^3
Comprobación: 628.3 \div (\pi \times 25) \approx 8, la altura ✓.
Ejemplo 2: te dan el diámetro; halla V y SA
Una lata de café tiene un diámetro de 8\text{ in} y una altura de 10\text{ in}. Halla su volumen y su área superficial total (lata cerrada). Usa \pi \approx 3.14.
- Radio: r = 8 \div 2 = 4\text{ in}.
- Volumen: V = \pi(4^2)(10) = 160\pi \approx 160 \times 3.14 = 502.4\text{ in}^3.
- Área lateral: 2\pi r h = 2\pi(4)(10) = 80\pi.
- Dos tapas: 2\pi r^2 = 2\pi(16) = 32\pi.
- SA = 80\pi + 32\pi = 112\pi \approx 112 \times 3.14 = 351.68\text{ in}^2.
Respuesta: V \approx 502.4\text{ in}^3, SA \approx 351.68\text{ in}^2
Comprobación: si usaras r = 8 por error, V sería 640\pi, exactamente 4 veces 160\pi; por eso es importante dividir el diámetro entre 2 ✓.
Ejemplo 3 (vida real): galones en un tanque
Un barril cilíndrico para agua de lluvia tiene radio de 2\text{ ft} y altura de 3\text{ ft}. Un pie cúbico contiene aproximadamente 7.5 galones. ¿Aproximadamente cuántos galones caben en el barril?
- V = \pi r^2 h = \pi(2^2)(3) = 12\pi\text{ ft}^3.
- Con la tecla
π: 12\pi \approx 37.70\text{ ft}^3. - Galones: 37.70 \times 7.5 \approx 282.7.
Respuesta: unos 283 galones
Comprobación: estima: \pi \approx 3, así que V \approx 36\text{ ft}^3 y 36 \times 7.5 = 270 galones, cerca de 283 ✓.
Ejemplo 4 (hacia atrás): altura que falta
Un florero cilíndrico contiene 942\text{ in}^3 de agua cuando está lleno. Su radio es 5\text{ in}. ¿Qué altura tiene? Usa \pi \approx 3.14.
- Fórmula: V = \pi r^2 h.
- Sustituye: 942 = 3.14 \times 5^2 \times h = 3.14 \times 25 \times h = 78.5h.
- Divide: h = 942 \div 78.5 = 12.
Respuesta: 12\text{ in}
Comprobación: 3.14 \times 25 \times 12 = 78.5 \times 12 = 942 ✓.
Ejemplo 5 (nivel GED® difícil): diámetro que falta
Un silo para granos es un cilindro de 9\text{ m} de alto con un volumen de 576\pi\text{ m}^3. ¿Cuál es el diámetro del silo?
- Fórmula: V = \pi r^2 h, así que 576\pi = \pi r^2 (9).
- Divide ambos lados entre 9\pi: r^2 = 576 \div 9 = 64.
- Raíz cuadrada: r = \sqrt{64} = 8\text{ m}.
- La pregunta pide el diámetro: d = 2r = 16.
Respuesta: 16\text{ m}
Comprobación: r = 16 \div 2 = 8; \pi(8^2)(9) = \pi(64)(9) = 576\pi ✓.
En la TI-30XS MultiView
- La tecla
πintroduce \pi. Para V = \pi r^2 h con r = 4, h = 10:π×4x²×10enter→ 160\pi; oprimetoggle→502.6548…. - Usa la tecla
x²justo después del radio para que nunca se te olvide elevarlo al cuadrado. - Preguntas que dicen "usa 3.14": escribe
3.14en vez de oprimirπ. Las dos respuestas son un poco distintas (502.65 frente a 502.4), y las opciones de respuesta se calculan con el valor que indique la pregunta. - Raíz cuadrada (para hallar r):
2ndx²da \sqrt{\;}. Para r^2 = 49:2ndx²49enter→7. - Trabajar hacia atrás en una sola línea: para h = V \div (\pi r^2), usa paréntesis:
1570÷(3.14×5x²)enter→20. Sin los paréntesis, la calculadora divide solo entre 3.14 y luego multiplica por 25.
Cuándo no usarla: las respuestas "en términos de \pi" (160\pi) suelen ser más rápidas a mano: multiplica los números y deja \pi como símbolo.
Errores comunes
- Usar el diámetro como radio. ✗ d = 6, así que V = \pi(6^2)(5) = 180\pi. ✓ r = 3: V = \pi(9)(5) = 45\pi. Usar d hace que el volumen salga 4 veces más grande.
- Olvidar elevar r al cuadrado. ✗ \pi(4)(10) = 40\pi. ✓ \pi(4^2)(10) = 160\pi.
- Una sola tapa, o ninguna. ✗ SA = 2\pi r h + \pi r^2 para una lata cerrada. ✓ Una lata cerrada tiene dos círculos: +2\pi r^2. (Pero una etiqueta sí es solo 2\pi r h.)
- Detenerse en r^2. ✗ "r^2 = 49, así que r = 49." ✓ Saca la raíz cuadrada: r = 7. Luego revisa si la pregunta pide el diámetro, 14.
- Confundir volumen y área superficial. 2\pi r h es un área (etiqueta). \pi r^2 h es un volumen (contenido). Busca las palabras contiene/llena frente a cubre/envuelve.
- Olvidar \pi al trabajar hacia atrás. ✗ 1{,}570 \div 25 = 62.8. ✓ Divide entre toda el área de la base, 3.14 \times 25 = 78.5, lo que da 20.
Estrategia para el examen GED®
- Encierra en un círculo la palabra radio o diámetro en la pregunta o en la figura antes de calcular.
- Usa la misma forma que las respuestas. Si las opciones tienen \pi, deja \pi como símbolo. Si son decimales, revisa si la pregunta dice "usa 3.14".
- Reconoce la familia de distractores. Las opciones 4 veces más grandes (error del diámetro), o que parecen 2\pi r h cuando la pregunta pide el volumen, se construyen con errores reales. Identifica cuál es el tuyo.
- Estima con \pi \approx 3. Para r = 3, h = 10: 3 \times 9 \times 10 = 270, así que la respuesta debe ser un poco más de 270 (es 282.7).
- Sustituye las respuestas en las preguntas de trabajar hacia atrás: prueba cada opción como h o r en \pi r^2 h y fíjate cuál da el volumen indicado.
- Cuidado con las unidades. El volumen es cúbico y el área es cuadrada; convierte a galones solo al final, usando la tasa que te dan.
Compruébalo
What is the volume of the cylinder shown, in terms of \pi?
Pista
The formula sheet gives V = \pi r^2 h. Which number is the radius, and which is the height?
Solución paso a paso
- From the figure: radius r = 4\text{ cm}, height h = 10\text{ cm}.
- Square the radius: r^2 = 4^2 = 16.
- V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi.
The volume is 160\pi\text{ cm}^3 (about 502.7\text{ cm}^3).
Check: 160\pi \div (\pi \times 16) = 10, the height ✓.
Tip: "In terms of \pi" means multiply all the numbers and keep \pi as a symbol. Square the radius before anything else.
Explicación
- De la figura: radio r = 4\text{ cm}, altura h = 10\text{ cm}.
- Eleva el radio al cuadrado: r^2 = 4^2 = 16.
- V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi.
El volumen es 160\pi\text{ cm}^3 (unos 502.7\text{ cm}^3).
Comprobación: 160\pi \div (\pi \times 16) = 10, la altura ✓.
Consejo: "En términos de \pi" significa multiplicar todos los números y dejar \pi como símbolo. Eleva el radio al cuadrado antes que nada.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el volumen del cilindro que se muestra, en términos de \pi?
Opciones
Pista
La hoja de fórmulas da V = \pi r^2 h. ¿Qué número es el radio y cuál es la altura?
Compruébalo
A can of tomatoes has the dimensions shown.
What is the volume of the can, to the nearest tenth of a cubic inch?
\text{in}^3
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The 6\text{ in} goes all the way across the top. Is that the radius or the diameter?
Solución paso a paso
- The figure shows the diameter, 6\text{ in}. Radius: r = 6 \div 2 = 3\text{ in}.
- r^2 = 3^2 = 9.
- V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 5 = 45\pi.
- With the
πkey: 45\pi \approx 141.37, which rounds to 141.4\text{ in}^3. (With \pi \approx 3.14: 45 \times 3.14 = 141.3; either is accepted.)
Check: estimate with \pi \approx 3: 3 \times 9 \times 5 = 135, a little less than 141.4 ✓.
Tip: Using the diameter 6 as the radius gives \pi \times 36 \times 5 \approx 565.5, exactly 4 times too big. Always halve the diameter first.
Explicación
- La figura muestra el diámetro, 6\text{ in}. Radio: r = 6 \div 2 = 3\text{ in}.
- r^2 = 3^2 = 9.
- V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 5 = 45\pi.
- Con la tecla
π: 45\pi \approx 141.37, que se redondea a 141.4\text{ in}^3. (Con \pi \approx 3.14: 45 \times 3.14 = 141.3; se acepta cualquiera de los dos.)
Comprobación: estima con \pi \approx 3: 3 \times 9 \times 5 = 135, un poco menos que 141.4 ✓.
Consejo: Usar el diámetro 6 como radio da \pi \times 36 \times 5 \approx 565.5, exactamente 4 veces más grande. Siempre divide el diámetro entre 2 primero.
Ver en español
Pregunta
Una lata de tomates tiene las dimensiones que se muestran.
¿Cuál es el volumen de la lata, redondeado a la décima de pulgada cúbica más cercana?
_____ \text{in}^3
Pista
Las 6\text{ in} van de un lado al otro de la tapa. ¿Es el radio o el diámetro?
Resumen
- Volumen de un cilindro: V = \pi r^2 h (área de la base por la altura), en unidades cúbicas.
- Área superficial: SA = 2\pi r h + 2\pi r^2: el rectángulo de la etiqueta (2\pi r \times h) más dos tapas circulares. Las etiquetas, los tanques abiertos y los tubos usan solo algunas de estas partes.
- Las dos fórmulas están en la hoja de fórmulas del GED®; \pi \approx 3.14.
- Usa siempre el radio: si te dan el diámetro, primero divídelo entre 2. Eleva al cuadrado solo el radio.
- Trabaja hacia atrás: h = \dfrac{V}{\pi r^2}; r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}; luego multiplica r por 2 si te piden el diámetro.