Pirámides y conos

1. Encuentra el área de la base B. La base es un cuadrado, así que B = 6 \times 6 = 36\text{ in}^2.
2. Escribe la fórmula (está en la hoja de fórmulas del GED®): V = \tfrac{1}{3}Bh.
3. Sustituye B = 36 y h = 10: V = \tfrac{1}{3}(36)(10).
4. Multiplica: 36 \times 10 = 360, y luego 360 \div 3 = 120.

Respuesta: 120 in³

Comprobación: una caja con la misma base de 6 por 6 y 10 in de altura tendría 36 \times 10 = 360\text{ in}^3. A una pirámide le cabe exactamente un tercio de esa caja, y 360 \div 3 = 120 ✓.

Consejo: B es el área de la base, no la longitud de un lado. Para cualquier pirámide, encuentra el prisma que le corresponde y divide entre 3.

1. Encuentra el perímetro de la base: p = 4 \times 10 = 40\text{ ft}.
2. Encuentra el área de la base: B = 10 \times 10 = 100\text{ ft}^2.
3. Usa la hoja de fórmulas: SA = \tfrac{1}{2}ps + B, con la altura inclinada s = 13.
4. Área lateral (los 4 triángulos): \tfrac{1}{2}(40)(13) = 20 \times 13 = 260\text{ ft}^2.
5. Suma la base: 260 + 100 = 360.

Respuesta: 360 ft²

Comprobación: cada cara triangular tiene un área de \tfrac{1}{2}(10)(13) = 65. Cuatro caras: 4 \times 65 = 260. Más la base de 100 da 360 ✓.

Consejo: aquí la altura (12 ft) es un distractor. La altura va en las fórmulas de volumen; la altura inclinada va en las fórmulas de área superficial.

1. La fórmula para cualquier pirámide es V = \tfrac{1}{3}Bh, donde B es el área de la base (está en la hoja de fórmulas).
2. La base es un cuadrado de lado 9 cm, así que B = 9^2 = 81\text{ cm}^2.
3. Multiplica por la altura: Bh = 81 \times 8 = 648.
4. Toma un tercio: V = \tfrac{1}{3}(648) = 216.

Respuesta: 216 cm³

Comprobación: Una caja con la misma base y la misma altura contiene 81 \times 8 = 648\text{ cm}^3. Una pirámide contiene exactamente un tercio de esa caja, y 648 \div 3 = 216 ✓.

Consejo: B es un área, no la longitud de un lado. Si la base es cuadrada, siempre eleva la arista al cuadrado antes de multiplicar por la altura.

1. Fórmula de la pirámide (en la hoja de fórmulas): V = \tfrac{1}{3}Bh.
2. La base es un rectángulo: B = 12 \times 5 = 60\text{ ft}^2.
3. Multiplica por la altura: 60 \times 4 = 240.
4. Toma un tercio: V = \tfrac{1}{3}(240) = 80.

Respuesta: 80 ft³

Comprobación: Trabaja al revés: h = \dfrac{3V}{B} = \dfrac{3(80)}{60} = 4 ft, que coincide con la altura del problema ✓.

Consejo: La fórmula de la pirámide V = \tfrac{1}{3}Bh sirve para cualquier forma de base. Solo cambia la manera de hallar B: cuadrado, rectángulo, triángulo, etc.

1. Cilindro: V = \pi r^2 h.
2. Cono con el mismo r y la misma h: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h.
3. La única diferencia es el factor \tfrac{1}{3}. Así que el cono contiene un tercio del cilindro.
4. \tfrac{1}{3} \times 18 = 6.

Respuesta: 6 onzas líquidas

Comprobación: Tres vasos en forma de cono llenos llenarían el vaso cilíndrico: 3 \times 6 = 18 onzas líquidas ✓.

Consejo: Recuerda la pareja "cono = \tfrac{1}{3} de cilindro" y "pirámide = \tfrac{1}{3} de prisma" (misma base, misma altura). Muchas preguntas del GED® se resuelven con este dato, sin calculadora.

1. Fórmula (está en la hoja de fórmulas): SA = \pi r s + \pi r^2.
2. Parte curva (lateral): \pi r s = \pi(6)(10) = 60\pi.
3. Base circular: \pi r^2 = \pi(6^2) = 36\pi.
4. Suma: 60\pi + 36\pi = 96\pi.

Respuesta: 96\pi cm² (unos 301.6\text{ cm}^2)

Comprobación: las tres longitudes cumplen el teorema de Pitágoras, 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2, así que 10 de verdad es la altura inclinada, y la respuesta usa 10 (no 8) en el término \pi r s ✓.

Consejo: en un cono, r, h y s forman un triángulo rectángulo con s como hipotenusa. La altura inclinada siempre es la más larga de las tres.

1. Fórmula: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, así que 603.2 = \tfrac{1}{3}\pi r^2 (9).
2. Simplifica: \tfrac{1}{3}(9) = 3, así que 603.2 = 3\pi r^2.
3. Divide los dos lados entre 3\pi: r^2 = \dfrac{603.2}{3\pi} \approx \dfrac{603.2}{9.425} \approx 64.0.
4. Saca la raíz cuadrada: r = \sqrt{64} = 8.

Respuesta: 8 ft

Comprobación: \tfrac{1}{3}\pi(8^2)(9) = \tfrac{1}{3}\pi(576) = 192\pi \approx 603.2 ✓.

Consejo: cuando despejas un radio, el último paso casi siempre es una raíz cuadrada. Si tu respuesta es un cuadrado perfecto como 64, pregúntate si olvidaste ese paso.

1. La altura llega a la base en su centro. Del centro a la mitad de una arista de la base hay la mitad de la arista: 16 \div 2 = 8\text{ in}.
2. La altura (15), esa media arista (8) y la altura inclinada s forman un triángulo rectángulo con s como hipotenusa.
3. Teorema de Pitágoras: s^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289.
4. Raíz cuadrada: s = \sqrt{289} = 17.

Respuesta: 17 in

Comprobación: 8-15-17 es una terna pitagórica conocida: 64 + 225 = 289 = 17^2 ✓. Además, s (17) es más larga que h (15), como debe ser.

Consejo: en una pirámide cuadrada, s^2 = h^2 + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2. En un cono, s^2 = h^2 + r^2. En una pirámide, usa siempre la mitad de la arista de la base.

1. Área de la base cuadrada: 6 \times 6 = 36\text{ in}^2.
2. Área de una cara triangular: \tfrac{1}{2}bh = \tfrac{1}{2}(6)(5) = 15\text{ in}^2. La altura inclinada es la altura del triángulo.
3. Cuatro triángulos: 4 \times 15 = 60\text{ in}^2 (el área lateral).
4. Área superficial total: 36 + 60 = 96.

Respuesta: 96 in²

Comprobación: La hoja de fórmulas da SA = \tfrac{1}{2}ps + B, donde p es el perímetro de la base. p = 4 \times 6 = 24, así que \tfrac{1}{2}(24)(5) + 36 = 60 + 36 = 96 ✓.

Consejo: El área superficial es la suma de las caras planas. Haz una lista rápida (1 cuadrado + 4 triángulos) para no olvidar ninguna cara, y deja fuera la base solo cuando el problema diga que la figura no tiene fondo.

1. El vaso está abierto arriba, así que no hay base circular que cubrir. Solo necesitamos el área lateral (curva).
2. La hoja de fórmulas da el área superficial del cono como SA = \pi r s + \pi r^2. La parte \pi r s es el lado curvo; \pi r^2 es el círculo.
3. Sustituye r = 4 y s = 9: \pi r s = \pi(4)(9) = 36\pi.

Respuesta: 36\pi cm² (unos 113.1 cm²)

Comprobación: Si el vaso estuviera cerrado, sumarías \pi(4)^2 = 16\pi y obtendrías 52\pi. Como el vaso no tiene tapa, 36\pi es la cantidad correcta ✓.

Consejo: Lee bien la situación: los vasos, los embudos, los gorros de fiesta y los conos de helado no tienen base, así que usa solo \pi r s. Un cono sólido usa \pi r s + \pi r^2.

1. Para una base cuadrada, B = s^2, así que V = \tfrac{1}{3}s^2 h.
2. Sustituye: 100 = \tfrac{1}{3}s^2(12).
3. Simplifica: \tfrac{1}{3}(12) = 4, así que 100 = 4s^2.
4. Divide entre 4: s^2 = 25.
5. Saca la raíz cuadrada: s = \sqrt{25} = 5.

Respuesta: 5 cm

Comprobación: \tfrac{1}{3}(5^2)(12) = \tfrac{1}{3}(25)(12) = \tfrac{1}{3}(300) = 100\text{ cm}^3 ✓.

Consejo: Despejar el lado de una base cuadrada siempre termina con una raíz cuadrada. Antes de elegir, pregúntate si tu respuesta es la arista s o el área s^2.

1. Volumen del cono: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(6^2)(4) = \tfrac{1}{3}\pi(144) = 48\pi.
2. Usa la tecla \pi: 48\pi \approx 150.80\text{ ft}^3.
3. Cada pie cúbico cuesta $1.50, así que multiplica: 150.80 \times 1.50 \approx 226.19.
4. Redondea al dólar más cercano: $226.

Respuesta: $226

Comprobación: Estima: el montón tiene unos 150 pies cúbicos, y 150 \times 1.5 = 225. Eso está muy cerca de $226 ✓.

Consejo: "Precio por pie cúbico" significa costo = volumen × precio. Halla primero el volumen, conserva un par de decimales y redondea solo la cantidad final de dinero.

1. El paso 1 es la fórmula correcta del cono de la hoja de fórmulas.
2. El paso 2 está mal: 10 in es el diámetro. El radio es la mitad, r = 10 \div 2 = 5.
3. Los pasos 3 y 4 hacen bien la aritmética para r = 10, pero parten del radio equivocado.
4. Trabajo correcto: V = \tfrac{1}{3}\pi(5^2)(6) = \tfrac{1}{3}\pi(150) = 50\pi \approx 157.1\text{ in}^3.

Respuesta: Paso 2

Comprobación: La respuesta de Jordan, 200\pi, es 4 veces el valor correcto 50\pi. Duplicar el radio multiplica el volumen por 2^2 = 4, que es justo lo que pasa al usar el diámetro ✓.

Consejo: Antes de sustituir, encierra en un círculo la palabra "radio" o "diámetro" en el problema. Si dice diámetro, divídelo entre 2 primero.

1. Área de la base: B = 6^2 = 36\text{ yd}^2.
2. Fórmula: 48 = \tfrac{1}{3}(36)h.
3. Simplifica: \tfrac{1}{3}(36) = 12, así que 48 = 12h.
4. Divide: h = 48 \div 12 = 4.

Respuesta: 4 yd

Comprobación: \tfrac{1}{3}(36)(4) = \tfrac{1}{3}(144) = 48\text{ yd}^3 ✓.

Consejo: El atajo h = \dfrac{3V}{B} sirve para toda pirámide y todo cono. Aquí \dfrac{3 \times 48}{36} = \dfrac{144}{36} = 4. Recuerda que B es el área de la base (36 yd²), no la arista (6 yd) ni el perímetro (24 yd).

1. Fórmula: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, así que 75\pi = \tfrac{1}{3}\pi r^2(9).
2. Simplifica: \tfrac{1}{3}(9) = 3, así que 75\pi = 3\pi r^2.
3. Divide ambos lados entre 3\pi: r^2 = 25.
4. Raíz cuadrada: r = 5 cm.
5. La pregunta pide el diámetro: d = 2r = 10 cm.

Respuesta: 10 cm

Comprobación: Con r = 5: \tfrac{1}{3}\pi(25)(9) = \tfrac{1}{3}\pi(225) = 75\pi ✓, y el diámetro es el doble del radio, 10 cm ✓.

Consejo: Los problemas de conos que se resuelven al revés suelen tener tres pasos: deshacer el \tfrac{1}{3} y la h, sacar una raíz cuadrada y luego revisar si la pregunta pide el radio o el diámetro.

1. El paso 1 es correcto: la base es 8 \times 8 = 64\text{ cm}^2.
2. El paso 2 está mal. El triángulo rectángulo dentro de la pirámide va del centro de la base al punto medio de una arista, así que su cateto horizontal es la mitad de la arista de la base: 8 \div 2 = 4 cm, no 8 cm.
3. Altura inclinada correcta: s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 cm.
4. Final correcto: un triángulo = \tfrac{1}{2}(8)(5) = 20; total = 64 + 4(20) = 144\text{ cm}^2.

Respuesta: Paso 2

Comprobación: 3-4-5 es un triángulo rectángulo muy conocido, así que s = 5 tiene sentido; 64 + 80 = 144\text{ cm}^2 ✓.

Consejo: En una pirámide cuadrangular, la altura, la altura inclinada y la mitad de la arista de la base forman un triángulo rectángulo. Dibújalo antes de usar el teorema de Pitágoras.

1. Volumen: V = \tfrac{1}{3}\pi(3^2)(7) = \tfrac{1}{3}\pi(63) = 21\pi \approx 65.97\text{ ft}^3.
2. Tiempo = volumen ÷ tasa: 65.97 \div 2 \approx 32.99 minutos.
3. Redondea al minuto más cercano: 33 minutos.

Respuesta: unos 33 minutos

Comprobación: En 33 minutos la banda vierte 33 \times 2 = 66\text{ ft}^3, que coincide con el volumen de la tolva, unos 66 ft³ ✓.

Consejo: Fíjate en las unidades: \dfrac{\text{ft}^3}{\text{ft}^3/\text{min}} = \text{min}. Si las unidades de tu respuesta no dan minutos, multiplicaste cuando debías dividir.

1. Encuentra la altura. En un cono, h^2 + r^2 = s^2, así que h^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144.
2. Raíz cuadrada: h = \sqrt{144} = 12 cm.
3. Fórmula del volumen: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(81)(12).
4. Simplifica: 81 \times 12 = 972 y 972 \div 3 = 324, así que V = 324\pi.
5. Calcula: 324\pi \approx 1017.9, que se redondea a 1{,}018.

Respuesta: unos 1,018 cm³

Comprobación: 9-12-15 es la terna 3-4-5 multiplicada por 3, así que h = 12 está bien ✓. A un cilindro de radio 9 y altura 12 le cabrían 972\pi \approx 3{,}054; un tercio de eso es más o menos 1,018 ✓.

Consejo: los problemas de conos y pirámides en dos pasos son comunes en el GED®: primero encuentra la longitud que falta con el teorema de Pitágoras y luego usa la fórmula.

1. Halla la altura. El triángulo rectángulo tiene hipotenusa s = 25 y un cateto igual a la mitad de la arista de la base, 14 \div 2 = 7.
2. h = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 ft.
3. Área de la base: B = 14^2 = 196\text{ ft}^2.
4. Volumen: V = \tfrac{1}{3}(196)(24) = \tfrac{1}{3}(4{,}704) = 1{,}568.

Respuesta: 1,568 ft³

Comprobación: 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 ✓, así que la altura es correcta. Luego 196 \times 24 = 4{,}704 y 4{,}704 \div 3 = 1{,}568 ✓.

Consejo: El volumen siempre usa la altura (recta hacia arriba), y el área superficial usa la altura inclinada (a lo largo de una cara). Cuando solo te dan una, el teorema de Pitágoras te da la otra.

1. En V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, la altura y \tfrac{1}{3}\pi no cambian.
2. El radio se multiplica por 1.5, así que r^2 se multiplica por 1.5^2 = 1.5 \times 1.5 = 2.25.
3. Nuevo volumen: 40 \times 2.25 = 90 cuartos.

Respuesta: 90 cuartos

Comprobación: Prueba con números. Embudo original: r = 2, h = 3 → \tfrac{1}{3}\pi(4)(3) = 4\pi. Embudo nuevo: r = 3 → \tfrac{1}{3}\pi(9)(3) = 9\pi. 9\pi \div 4\pi = 2.25 ✓.

Consejo: No necesitas el radio ni la altura reales. Eleva al cuadrado el factor del radio, multiplícalo por el factor de la altura (aquí 1) y aplícalo al volumen original.

1. Área de la base: 18^2 = 324\text{ cm}^2; los tres estudiantes la usaron bien.
2. Los 15 cm son la altura inclinada, no la altura. Halla la altura con un triángulo rectángulo: hipotenusa 15, cateto 18 \div 2 = 9.
3. h = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 cm.
4. Volumen: V = \tfrac{1}{3}(324)(12) = \tfrac{1}{3}(3{,}888) = 1{,}296\text{ cm}^3. Ese es el trabajo de Ben.

Respuesta: Ben

Comprobación: 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2 ✓, así que la altura es 12 cm, y 324 \times 12 \div 3 = 1{,}296 ✓.

Consejo: Cuando evalúes el trabajo de otra persona, revisa tres cosas: la fórmula correcta, las medidas correctas (altura o altura inclinada, radio o diámetro) y la aritmética.