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Esferas: volumen y área superficial

Halla el volumen y el área superficial de esferas y semiesferas, y trabaja hacia atrás para hallar el radio o el diámetro.

Practicar esta destreza 22 min Esferas Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una esfera es un objeto 3-D perfectamente redondo: una pelota de básquetbol, un globo terráqueo, un chicle de bola, un balín, un tanque de agua redondo. Todos los puntos de su superficie están a la misma distancia del centro.

En esta lección vas a aprender a:

  • hallar el volumen de una esfera (cuánto le cabe),
  • hallar el área superficial de una esfera (cuánto material la cubre),
  • trabajar con semiesferas (media esfera, como un tazón o una cúpula),
  • trabajar hacia atrás desde un volumen o un área superficial hasta el radio o el diámetro,
  • predecir cómo cambian el volumen y el área superficial cuando cambia el radio.

Por qué es importante en el GED®: Las preguntas de esferas son cortas pero están llenas de trampas. Al examen le gusta dar el diámetro cuando la fórmula necesita el radio, confundir volumen y área superficial, y pedirte que halles el radio a partir de un volumen dado. Las dos fórmulas están en la hoja de fórmulas; la destreza está en usarlas correctamente.

En la vida real: ¿Cuánto aire hay en una pelota? ¿Cuánta pintura cubre una cúpula? ¿Cuántos galones caben en un tanque redondo? Todos son problemas de esferas.

Vocabulario

Palabras clave

  • esfera: un sólido redondo en el que todos los puntos de la superficie están a la misma distancia del centro (una pelota).
  • centro: el punto exactamente en medio de la esfera.
  • radio (r): la distancia del centro a la superficie (una pelota de 10 in de un lado al otro tiene r = 5 in).
  • diámetro (d): la distancia recta de un lado al otro de la esfera pasando por el centro; d = 2r y r = \tfrac{d}{2}.
  • círculo máximo: el círculo más grande que puedes dibujar en una esfera, alrededor de su "ecuador"; su radio es igual al radio de la esfera.
  • semiesfera: exactamente la mitad de una esfera, cortada por el centro (una cúpula o un tazón).
  • volumen (V): el espacio interior, en unidades cúbicas (in³, cm³).
  • área superficial (SA): el área del exterior curvo, en unidades cuadradas (in², cm²).
  • cubo (r^3): un número multiplicado por sí mismo tres veces: 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27.
  • raíz cúbica (\sqrt[3]{\ }): el número que, elevado al cubo, da un valor dado: \sqrt[3]{27} = 3.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Sphere with its center marked. A radius r goes from the center to the surface. A diameter d passes through the center from one side to the other, so d = 2r. The dashed ellipse is the great circle (equator) around the middle. r d = 2r center

El radio r va del centro a la superficie. El diámetro d va de un lado al otro pasando por el centro, así que d = 2r.

Volumen de una esfera

El volumen de una esfera es

V = \tfrac{4}{3}\pi r^3

Tres pasos, en este orden:

  1. Eleva al cubo el radio: r^3 = r \times r \times r.
  2. Multiplica por \tfrac{4}{3} (una forma fácil: divide entre 3 y luego multiplica por 4).
  3. Multiplica por \pi, o deja \pi en la respuesta si las opciones están escritas "en términos de \pi".

Ejemplo: r = 3. 3^3 = 27; 27 \div 3 = 9; 9 \times 4 = 36. Entonces V = 36\pi \approx 113.1 unidades cúbicas.

Ejemplo: r = 6. 6^3 = 216; 216 \div 3 = 72; 72 \times 4 = 288. Entonces V = 288\pi \approx 904.8.

Eleva al cubo, no al cuadrado. 3^3 = 27, no 9. No es 3 \times 3, ni 3 \times 3 \times otra cosa.

¿Te dan el diámetro? Primero divídelo entre 2. Una pelota con diámetro 6 tiene r = 3 y V = 36\pi. Usar 6 como radio da 288\pi, 8 veces más grande.

Two spheres drawn to scale. Left: diameter 6, so radius 3 and volume 36 pi. Right: a sphere with radius 6 (diameter 12) has volume 288 pi, 8 times as much. Using the diameter as the radius gives an answer 8 times too big. r = 3 d = 6 d = 6, r = 3 V = 36π ✓ r = 6 r = 6 (twice as wide) V = 288π = 8 × 36π
Esfera con diámetro 6 junto a una esfera con radio 6

Semiesfera. La mitad de una esfera tiene la mitad del volumen:

V_{\text{semiesfera}} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{2}{3}\pi r^3

Ejemplo: un tazón con r = 4: \tfrac{2}{3}\pi(64) = \tfrac{128}{3}\pi \approx 134.0.

Hemisphere-shaped bowl with radius 4: half of a sphere, open on top. Volume = two-thirds pi times 4 cubed = 128 thirds pi, about 134.0 cubic units. r = 4 r = 4 hemisphere = ½ sphere V = ⅔π(4³) = ⅔π(64) ≈ 134.0
Tazón semiesférico con radio 4

Área superficial de una esfera

El área superficial de una esfera es

SA = 4\pi r^2

Un dato interesante: la superficie de una esfera es exactamente 4 veces el área de su círculo máximo (\pi r^2). Imagina que la cáscara de una naranja cubre cuatro círculos planos del mismo tamaño que el centro de la naranja.

A sphere with radius 5 and four flat circles, each with radius 5 like the sphere's great circle (area 25 pi each). The surface of the sphere equals all four circles: 4 pi r squared = 100 pi. sphere r = 5 = 25π 25π 25π 25π 4 great circles, each π(5²) SA = 4πr² = 4 × 25π = 100π ≈ 314.2
La superficie de la esfera es igual a cuatro círculos máximos

Ejemplo: r = 5. 5^2 = 25; 4 \times 25 = 100. Entonces SA = 100\pi \approx 314.2 unidades cuadradas.

Ejemplo: un globo terráqueo con d = 16, así que r = 8. SA = 4\pi(64) = 256\pi \approx 804.2 in².

El área superficial de una semiesfera depende del objeto:

ObjetoSuperficiesFórmula
tazón abierto o cúpula (solo la parte curva)la mitad de la esfera\tfrac{1}{2}(4\pi r^2) = 2\pi r^2
media pelota sólida (con el círculo plano)parte curva + círculo2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2

Ejemplo: una cúpula con r = 10 ft (sin piso): 2\pi(100) = 200\pi \approx 628.3 ft² de material para techo.

Two hemispheres with radius 10 feet. Left: an open dome with no floor; only the curved part is covered, 2 pi r squared = 200 pi, about 628.3 square feet. Right: a solid half-ball also has its flat circle, so its surface is 2 pi r squared + pi r squared = 3 pi r squared. r = 10 ft open dome (no floor): 2πr² = 200π ≈ 628.3 ft² r solid half-ball: 2πr² + πr² = 3πr²
Cúpula abierta frente a media pelota sólida

¿Volumen o área superficial? Lee los verbos. Llenar, contener, caber, capacidad, cuánto aire/agua → volumen (unidades cúbicas). Pintar, cubrir, envolver, recubrir, material → área superficial (unidades cuadradas).

Trabajar hacia atrás y comparar tamaños

Radio a partir del área superficial: divide entre 4\pi y luego saca la raíz cuadrada:

r = \sqrt{\frac{SA}{4\pi}}

Ejemplo: SA = 196\pi. r^2 = 196 \div 4 = 49, así que r = 7 y d = 14.

Radio a partir del volumen: multiplica por 3, divide entre 4\pi y luego saca la raíz cúbica:

r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}

Ejemplo: V = 972\pi. r^3 = 972 \times \tfrac{3}{4} = 729, así que r = \sqrt[3]{729} = 9.

Ejemplo con un decimal: V \approx 523.6. r^3 = \dfrac{3(523.6)}{4\pi} \approx 125, así que r = 5 y d = 10.

Cubos útiles que debes reconocer: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 (los cubos del 1 al 10).

Cómo afectan a una esfera los cambios en el radio. Si el radio se multiplica por k:

RadioÁrea superficialVolumen
×2×4×8
×3×9×27
×\tfrac{1}{2}×\tfrac{1}{4}×\tfrac{1}{8}

Así que a una pelota dos veces más ancha le cabe 8 veces más aire, pero solo necesita 4 veces más hule.

Two spheres drawn to scale: one with radius r and one with radius 2r. Doubling the radius multiplies the surface area by 4 and the volume by 8. r 2r radius r radius × 2 surface × 4 volume × 8
Esferas con radio r y 2r
Fórmula

Fórmulas (en la hoja de fórmulas del GED®)

V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \qquad SA = 4\pi r^2
  • r = radio (la mitad del diámetro), \pi \approx 3.14 (o la tecla π).
  • El volumen usa r^3 → unidades cúbicas. El área superficial usa r^2 → unidades cuadradas.

Las dos fórmulas de la esfera están en la hoja de fórmulas del GED®. Las versiones para la semiesfera (\tfrac{2}{3}\pi r^3, 2\pi r^2) y d = 2r no están; obtenlas de las fórmulas de la esfera tomando la mitad.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): volumen de una esfera pequeña

Halla el volumen de una esfera con radio de 2 cm. Redondea a la décima más cercana.

  1. Eleva el radio al cubo: 2^3 = 8.
  2. V = \tfrac{4}{3}\pi(8) = \tfrac{32}{3}\pi.
  3. \tfrac{32}{3} \approx 10.667, y 10.667 \times \pi \approx 33.51.
Example 1: sphere with radius 2 cm sitting inside a cube 4 cm on each side (the box it just fits in). Sphere volume four-thirds pi times 8, about 33.5 cubic cm; the cube holds 64 cubic cm. r = 2 cm 4 cm cube: 4³ = 64 cm³ sphere: ⁴⁄₃π(2³) ≈ 33.5 cm³ a little over half
Esfera con radio de 2 cm dentro de un cubo de 4 cm

Respuesta: V \approx 33.5\text{ cm}^3

Comprobación: a un cubo de 4 cm por lado (la caja en la que cabe la esfera) le caben 64 cm³; 33.5 es un poco más de la mitad ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: área superficial de un balón de fútbol

Un balón de fútbol tiene un diámetro de 22 cm. ¿Aproximadamente cuánto cuero lo cubre?

  1. "Cubre" → área superficial. Radio: 22 \div 2 = 11 cm.
  2. SA = 4\pi r^2 = 4\pi(121) = 484\pi.
  3. 484\pi \approx 1{,}520.5.
Example 2: soccer ball with diameter 22 cm. The radius is half of that, 11 cm. Leather covering = surface area 4 pi times 11 squared = 484 pi, about 1,520.5 square cm. r = 11 d = 22 cm "covers" → surface area r = 22 ÷ 2 = 11 cm SA = 4π(11²) = 484π ≈ 1,520.5 cm²
Balón de fútbol con diámetro de 22 cm

Respuesta: unos 1,520.5 cm²

Comprobación: con \pi \approx 3: 4 \times 3 \times 121 = 1{,}452; nuestra respuesta es un poco mayor ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (vida real): galones en un tanque esférico

Un tanque de agua esférico tiene un radio de 5 ft. Un pie cúbico contiene unos 7.48 galones. ¿Aproximadamente cuántos galones le caben al tanque?

  1. Volumen: V = \tfrac{4}{3}\pi(5^3) = \tfrac{4}{3}\pi(125) = \tfrac{500}{3}\pi \approx 523.6\text{ ft}^3.
  2. Convierte: 523.6 \times 7.48 \approx 3{,}916.5 galones.
Example 3: spherical water tank with radius 5 feet on a stand. Volume four-thirds pi times 125, about 523.6 cubic feet; times 7.48 gallons per cubic foot is about 3,917 gallons. r = 5 ft V = ⁴⁄₃π(5³) ≈ 523.6 ft³ × 7.48 gal per ft³ ≈ 3,917 gallons
Tanque esférico con radio de 5 ft

Respuesta: unos 3,917 galones

Comprobación: unidades: \text{ft}^3 \times \dfrac{\text{gal}}{\text{ft}^3} = \text{gal} ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (hacia atrás): diámetro a partir del volumen

Una esfera tiene un volumen de unas 4,188.8 in³. Halla su diámetro.

  1. r^3 = \dfrac{3V}{4\pi} = \dfrac{3(4{,}188.8)}{4\pi} = \dfrac{12{,}566.4}{12.566} \approx 1{,}000.
  2. Raíz cúbica: r = \sqrt[3]{1{,}000} = 10 in.
  3. Diámetro: d = 2 \times 10 = 20 in.
Example 4: a sphere with volume about 4,188.8 cubic inches; the radius and diameter are unknown. Working backwards, r cubed is about 1,000, so r = 10 inches and d = 20 inches. r = ? d = ? V ≈ 4,188.8 in³ r³ = 3V ÷ 4π ≈ 1,000 r = ∛1,000 = 10 in d = 2 × 10 = 20 in
Esfera con un volumen de unas 4,188.8 pulgadas cúbicas

Respuesta: d = 20 in

Comprobación: \tfrac{4}{3}\pi(1{,}000) \approx 4{,}188.8 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel GED® difícil): área superficial a partir del volumen

Un balín tiene un volumen de 36\pi mm³. ¿Cuál es su área superficial?

  1. Halla el radio: \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi → \tfrac{4}{3}r^3 = 36 → r^3 = 36 \times \tfrac{3}{4} = 27 → r = 3 mm.
  2. Área superficial: SA = 4\pi(3^2) = 4\pi(9) = 36\pi.
Example 5: ball bearing with volume 36 pi cubic mm and unknown radius. Four-thirds r cubed = 36 gives r cubed = 27, so r = 3 mm, and the surface area is 4 pi times 9 = 36 pi square mm. r = ? V = 36π mm³ ⁴⁄₃r³ = 36 r³ = 27 → r = 3 mm SA = 4π(3²) = 36π ≈ 113.1 mm²
Balín con un volumen de 36 pi milímetros cúbicos

Respuesta: 36\pi \approx 113.1\text{ mm}^2

Comprobación: volumen con r = 3: \tfrac{4}{3}\pi(27) = 36\pi ✓. (Solo con r = 3 los dos números son iguales; es una coincidencia curiosa, no una regla.)

Consejo de calculadora

En la TI-30XS MultiView

  • Cubos: escribe el radio y luego ^ 3. Para \tfrac{4}{3}\pi(5^3): 4 n/d 3 ▶ × π × 5 ^ 3 enter → 523.598… (si la pantalla muestra la respuesta en términos de \pi, oprime toggle para ver el decimal).
  • O no uses la tecla de fracción: 4 × π × 5 ^ 3 ▶ ÷ 3 enter; el resultado es el mismo.
  • Cuadrados: usa x²: 4 × π × 8 x² enter → 256\pi; toggle → 804.247…
  • Raíces cúbicas: escribe el índice 3, luego 2nd ^ (la tecla \sqrt[n]{\ }) y luego el número. 3 2nd ^ 729 enter → 9.
  • Raíces cuadradas: 2nd x² y luego el número.
  • Respuestas exactas: si las opciones están "en términos de \pi", haz las operaciones sin la tecla π. Si el resultado aparece como una fracción, como \tfrac{128}{3}, oprime toggle para cambiarlo a decimal.
  • Usa paréntesis para \dfrac{3V}{4\pi}: 3 × 523.6 ÷ ( 4 π ).
Error común

Errores comunes

  • Usar el diámetro como radio. d = 10 → r = 5. Usar 10 hace que el área superficial salga 4 veces más grande y el volumen 8 veces más grande.
  • Elevar al cuadrado en vez de al cubo (o al revés). Volumen: r^3 (3^3 = 27). Área superficial: r^2 (3^2 = 9).
  • Usar solo una parte de \tfrac{4}{3}. \tfrac{4}{3}(27) = 36. Multiplicar solo por 4 da 108; no tomar en cuenta el \tfrac{4}{3} da 27.
  • Confundir volumen y área superficial. "Pintar" o "cubrir" es área; "llenar" o "caber" es volumen. Revisa las unidades de las opciones de respuesta.
  • Olvidar tomar la mitad para una semiesfera, u olvidar el círculo plano cuando la media pelota es sólida.
  • Detenerse demasiado pronto al trabajar hacia atrás. r^3 = 125 no es la respuesta; r = 5 sí lo es. Luego revisa: ¿radio o diámetro?
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Subraya "radio" o "diámetro" en la pregunta y en la figura. Luego subraya lo que se pide al final.
  • Relaciona las unidades con la fórmula: unidades cúbicas → \tfrac{4}{3}\pi r^3; unidades cuadradas → 4\pi r^2. Las opciones con unidades equivocadas suelen ser trampas.
  • Detecta la trampa del factor 8. Si dos opciones de respuesta se diferencian por un factor de 8 (o de 4 para el área), probablemente en una se usó el diámetro.
  • Sustituye las respuestas en las preguntas de trabajar hacia atrás: eleva al cubo cada opción del radio y fíjate cuál da el volumen.
  • Estima con \pi \approx 3. \tfrac{4}{3}\pi \approx 4, así que el volumen de una esfera es más o menos 4r^3. Para r = 5: unos 500 (exacto: 523.6).
  • Redondea solo al final, y a la posición que pide la pregunta. Redondea hacia abajo cuando la pregunta pide cuántos objetos completos caben o se pueden llenar.

Compruébalo

Esferas

What is the volume of the sphere shown, in terms of \pi?

Sphere with a radius of 6 cm drawn from the center to the surface. 6 cm
Sphere with radius 6 cm
Opciones de respuesta
Pista

The sphere volume formula on the formula sheet is V = \tfrac{4}{3}\pi r^3. Cube the radius first.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el volumen de la esfera que se muestra, en términos de \pi?

Opciones

  • A. 216\pi cm³
  • B. 288\pi cm³
  • C. 144\pi cm³
  • D. 48\pi cm³
Pista

La fórmula del volumen de la esfera en la hoja de fórmulas es V = \tfrac{4}{3}\pi r^3. Primero eleva el radio al cubo.

Compruébalo

EsferasCompletar

A ball has the diameter shown.

Ball (sphere) with a diameter of 10 in drawn straight through the center. 10 in
Sphere with diameter 10 in

What is the surface area of the ball, rounded to the nearest square inch?

in²

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

The figure shows the diameter. The formula SA = 4\pi r^2 needs the radius.

Ver en español

Pregunta

Una pelota tiene el diámetro que se muestra.

¿Cuál es el área superficial de la pelota, redondeada a la pulgada cuadrada más cercana?

_____ in²

Pista

La figura muestra el diámetro. La fórmula SA = 4\pi r^2 necesita el radio.

Resumen

  • Volumen de la esfera: V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 (unidades cúbicas). Área superficial de la esfera: SA = 4\pi r^2 (unidades cuadradas). Las dos están en la hoja de fórmulas.
  • Usa siempre el radio: r = \tfrac{d}{2}.
  • Semiesfera: volumen \tfrac{2}{3}\pi r^3; superficie curva 2\pi r^2 (suma \pi r^2 si se incluye el lado plano).
  • Trabajar hacia atrás: área superficial → raíz cuadrada; volumen → raíz cúbica. Luego revisa si la pregunta pide r o d.
  • Radio ×k → área superficial ×k^2 → volumen ×k^3.
Practicar esta destreza →