Lo que vas a aprender
Los objetos reales casi nunca tienen una sola forma simple. Un silo para granos es un cilindro con una cúpula encima. Un lápiz es un cilindro con un cono. Una casa es una caja con un techo de pirámide. Un tubo es un cilindro con un hueco en forma de cilindro. Estas son figuras compuestas: sólidos formados por dos o más sólidos básicos.
En esta lección vas a aprender a:
- descomponer una figura 3-D compuesta en prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas,
- hallar su volumen sumando las partes (y restando los huecos),
- hallar su área superficial contando solo las superficies del exterior,
- trabajar hacia atrás para hallar una dimensión que falta de una de las partes.
Por qué es importante en el GED®: Las figuras compuestas son la forma favorita del GED® para hacer más difícil una pregunta 3-D. Ya conoces todas las fórmulas que necesitas; todas están en la hoja de fórmulas. El reto es planear: qué partes hay, si se suma o se resta, y qué caras quedan ocultas.
En la vida real: ¿Cuánto grano cabe en un silo? ¿Cuánto concreto hay en un tubo? ¿Cuánta pintura cubre un cobertizo con techo? Es la misma forma de pensar.
Palabras clave
- figura compuesta: un sólido formado al unir o cortar sólidos básicos (caja + techo de pirámide).
- descomponer: dividir una figura en partes que conoces (una cápsula = cilindro + 2 semiesferas).
- semiesfera: la mitad de una esfera (una cúpula): volumen \tfrac{2}{3}\pi r^3, área curva 2\pi r^2.
- dimensión compartida (común): una longitud que dos partes tienen en común (un cono sobre un cilindro comparte el radio).
- cara oculta (unión): una superficie donde dos partes están pegadas; queda dentro de la figura.
- área lateral: el área de los lados solamente, sin las bases (lado del cilindro 2\pi r h, lado del cono \pi r s).
- hueco / con un agujero: un sólido al que se le quitó una parte; su volumen = sólido exterior − sólido quitado.
- volumen: espacio interior (unidades cúbicas); área superficial: área total del exterior (unidades cuadradas).
Paso 1: Descompón la figura en sólidos básicos
Todos los problemas de figuras compuestas empiezan igual: nombra las partes. Busca las líneas donde termina una forma y empieza otra.
| Figura | Partes |
|---|---|
| silo | cilindro + semiesfera |
| lápiz / cohete | cilindro + cono |
| casa o cobertizo | prisma rectangular + pirámide |
| cono de helado | cono + semiesfera |
| cápsula / pastilla | cilindro + 2 semiesferas (= 1 esfera) |
| tubo / arandela / bloque con un agujero | sólido grande − cilindro |
| bloques apilados / escalones | prisma + prisma |
Luego rotula cada parte con sus propias dimensiones. Fíjate en las dimensiones compartidas:
- Un cono sobre un cilindro usa el mismo radio.
- Una cúpula sobre un silo tiene el mismo radio que el silo, y su altura es igual a ese radio.
- La base de un techo de pirámide es la parte de arriba de la caja que está debajo.
- Una pelota que cabe exactamente en una caja tiene un diámetro igual a la arista de la caja.
Ejemplo: Un cohete mide 14 cm de alto: un cilindro de 10 cm y un cono. La altura del cono debe ser 14 - 10 = 4 cm.
Paso 2: Volumen: suma las partes y resta los huecos
V_{\text{total}} = V_{\text{parte 1}} + V_{\text{parte 2}} + \dots - V_{\text{huecos}}Ejemplo (sumar): un cubo de 6 in por lado con una pirámide cuadrada encima, de 4 in de alto. Cubo: 6^3 = 216. Pirámide: \tfrac{1}{3}(36)(4) = 48. Total: 216 + 48 = 264\text{ in}^3.
Ejemplo (restar): un tubo de 6 ft de largo con radio exterior de 2 ft y radio interior de 1.5 ft. Exterior: \pi(4)(6) = 24\pi. Hueco: \pi(2.25)(6) = 13.5\pi. Concreto: 24\pi - 13.5\pi = 10.5\pi \approx 33.0\text{ ft}^3.
Mantén \pi como etiqueta. Si todas las partes tienen \pi, suma o resta los números que van delante: 540\pi + 144\pi = 684\pi. Conviértelo a decimal una sola vez, al final. Así evitas errores de redondeo.
No uses la caja exterior. Una figura que mide 10 in de ancho abajo y 6 in de ancho arriba no es una caja de 10 in hasta arriba. Halla cada pieza por separado.
Trampa del tubo: resta los volúmenes, no los radios. (2 - 1.5)^2 = 0.25 está mal; 2^2 - 1.5^2 = 1.75 está bien.
Paso 3: Área superficial: solo lo que está por fuera
El área superficial es más complicada, porque el lugar donde se unen dos partes queda oculto. No sumes las áreas superficiales completas de las partes.
Método: haz una lista de todas las superficies que podrías tocar o pintar desde afuera, halla cada una y súmalas.
Ejemplo: un cilindro (r = 3, h = 10) con un cono encima (s = 5), incluido el fondo.
| Superficie | Fórmula | Área |
|---|---|---|
| círculo del fondo | \pi r^2 | 9\pi |
| lado del cilindro | 2\pi r h | 60\pi |
| lado del cono | \pi r s | 15\pi |
| parte de arriba del cilindro / base del cono | oculta | 0 |
| total | 84\pi \approx 263.9 |
Ejemplo: un cobertizo, caja de 8 × 8 × 6 con un techo de pirámide (altura inclinada 5), incluido el piso: paredes 4(8 \times 6) = 192, piso 64, techo \tfrac{1}{2}(32)(5) = 80. Total 336\text{ ft}^2. La parte de arriba de la caja queda oculta.
Los agujeros agregan superficie. Perforar un agujero de radio 1 in a través de un bloque de 4 in quita dos círculos (2\pi) pero crea una pared interior (2\pi(1)(4) = 8\pi). El área superficial aumenta en 6\pi aunque el volumen disminuye.
Piezas útiles: lado del cilindro 2\pi r h; parte curva de la semiesfera 2\pi r^2; dos semiesferas forman una esfera, 4\pi r^2.
Trabajar hacia atrás con figuras compuestas
A veces te dan el total y falta una dimensión de una de las partes.
- Halla el volumen (o el área) de todas las partes que sí puedes calcular.
- Réstalo del total para obtener el volumen de la parte desconocida.
- Despeja la longitud que falta en la fórmula de esa parte.
- Vuelve a leer la pregunta: ¿pide esa longitud o una longitud total?
Ejemplo: un tanque es un cilindro (radio de 3 ft) con una semiesfera encima. Volumen total 72\pi. Semiesfera: \tfrac{2}{3}\pi(27) = 18\pi. Cilindro: 72\pi - 18\pi = 54\pi = 9\pi h, así que h = 6. Altura total = 6 + 3 = 9 ft.
Fórmulas que combinas (todas en la hoja de fórmulas del GED®)
| Sólido | Volumen | Área superficial |
|---|---|---|
| prisma rectangular | V = lwh | SA = 2lw + 2lh + 2wh |
| cilindro | V = \pi r^2 h | SA = 2\pi r h + 2\pi r^2 |
| pirámide | V = \tfrac{1}{3}Bh | SA = \tfrac{1}{2}ps + B |
| cono | V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h | SA = \pi r s + \pi r^2 |
| esfera | V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 | SA = 4\pi r^2 |
Todas estas están en la hoja de fórmulas del GED®. No hay una sola "fórmula de figuras compuestas"; tú la armas a partir de estas. La semiesfera (\tfrac{2}{3}\pi r^3, 2\pi r^2) y las piezas "solo laterales" (2\pi r h, \pi r s, \tfrac{1}{2}ps) salen de estas fórmulas tomando la mitad o quitando las bases.
Ejemplo 1 (fácil): cubo con una pirámide encima
Un cubo con aristas de 6 in tiene una pirámide cuadrada encima. La base de la pirámide coincide con la parte de arriba del cubo, y la pirámide mide 4 in de alto. Halla el volumen total.
- Cubo: 6 \times 6 \times 6 = 216\text{ in}^3.
- Pirámide: B = 6 \times 6 = 36; V = \tfrac{1}{3}(36)(4) = 48\text{ in}^3.
- Suma: 216 + 48 = 264.
Respuesta: 264 in³
Comprobación: la pirámide es un tercio de una caja de 6 × 6 × 4 (144 \div 3 = 48) ✓.
Ejemplo 2 (vida real): capacidad de un silo
Un silo es un cilindro con radio de 10 ft y altura de 30 ft, con una semiesfera encima. ¿Cuántos pies cúbicos le caben?
- Cilindro: \pi(10^2)(30) = 3{,}000\pi.
- Semiesfera: \tfrac{2}{3}\pi(10^3) = \tfrac{2{,}000}{3}\pi \approx 666.67\pi.
- Total: 3{,}000\pi + 666.67\pi = 3{,}666.67\pi \approx 11{,}519.2.
Respuesta: unos 11,519 ft³
Comprobación: forma exacta \tfrac{11{,}000}{3}\pi; 11{,}000 \div 3 \times 3.14159 \approx 11{,}519.2 ✓.
Ejemplo 3 (restar): bloque con un agujero
Un bloque de madera mide 12 in por 8 in por 5 in. Se perfora un agujero de radio 2 in a lo largo de la altura de 5 in. ¿Cuánta madera queda?
- Bloque: 12 \times 8 \times 5 = 480\text{ in}^3.
- Agujero: \pi(2^2)(5) = 20\pi \approx 62.83\text{ in}^3.
- Madera: 480 - 62.83 = 417.17.
Respuesta: unas 417.2 in³
Comprobación: un agujero pequeño debe quitar una parte pequeña: 62.8 \div 480 \approx 13\% ✓.
Ejemplo 4: pintura para un depósito en forma de cohete
Un depósito de almacenamiento es un cilindro (radio de 4 ft, altura de 10 ft) con un cono encima de 3 ft de alto. Se va a pintar todo el exterior, incluido el fondo. Halla el área.
- Altura inclinada del cono: s^2 = 3^2 + 4^2 = 25, así que s = 5 ft.
- Fondo: \pi(4^2) = 16\pi.
- Lado del cilindro: 2\pi(4)(10) = 80\pi.
- Lado del cono: \pi(4)(5) = 20\pi.
- La unión entre el cilindro y el cono queda oculta. Total: 16\pi + 80\pi + 20\pi = 116\pi \approx 364.4.
Respuesta: unos 364.4 ft²
Comprobación: tres superficies, cada una contada una vez; para el cono se usó s = 5, no h = 3 ✓.
Ejemplo 5 (nivel GED® difícil, hacia atrás): largo de un tanque en forma de cápsula
Un tanque de combustible es un cilindro con radio de 3 m y una semiesfera en cada extremo. Su volumen total es 99\pi m³. ¿Cuánto mide todo el tanque, de un extremo al otro?
- Dos semiesferas = una esfera: \tfrac{4}{3}\pi(27) = 36\pi.
- Cilindro: 99\pi - 36\pi = 63\pi.
- \pi(3^2)h = 63\pi → 9h = 63 → h = 7 m.
- Cada extremo agrega su radio, 3 m. Largo total: 3 + 7 + 3 = 13 m.
Respuesta: 13 m
Comprobación: 9\pi(7) + 36\pi = 63\pi + 36\pi = 99\pi ✓.
En la TI-30XS MultiView
- Suma primero los coeficientes de \pi y luego oprime
πuna sola vez. Silo: 540 + 144 = 684, luego684×πenter→ 684\pi; oprimetoggle→ 2148.849… - O usa paréntesis para todo el planteamiento:
π×6x²×15+2n/d3▶×π×6^3enter. - Raíces cuadradas para las alturas inclinadas:
2ndx²y luego la expresión, por ejemplo3x²+4x²→ 5. - Usa la tecla
togglepara cambiar una respuesta como \tfrac{40}{3}\pi entre fracción y decimal. - Escribe cada parte en tu pizarra de borrador antes de teclear. La calculadora no puede decirte qué superficies quedan ocultas; eso es lo que el GED® realmente está evaluando.
- Las opciones de respuesta con \pi (como 102\pi o 248 + 6\pi) casi nunca necesitan calculadora.
Errores comunes
- Usar una sola caja grande para toda la figura. Los bloques apilados de distintos tamaños se deben calcular por separado: 400 + 144 = 544, no 10 \times 10 \times 8 = 800.
- Contar caras ocultas en el área superficial. La unión entre un cono y un cilindro (o entre un techo y una caja) está por dentro. Sumar el área superficial completa de cada parte cuenta dos veces dos círculos o dos cuadrados.
- Sumar un agujero en vez de restarlo (o al revés). Los agujeros y los centros huecos se restan en el volumen.
- Restar los radios en un tubo. (2 - 1.5)^2 \ne 2^2 - 1.5^2. Halla primero cada volumen.
- Usar una esfera completa cuando la figura tiene una semiesfera, u olvidar que dos semiesferas forman una esfera.
- Confundir la altura con la altura inclinada en la parte del cono o de la pirámide. El volumen usa h; el área superficial usa s.
Estrategia para el examen GED®
- Dibuja y rotula cada parte en tu pizarra de borrador. Escribe la fórmula de cada parte antes de sustituir los números.
- Decide si sumas o restas cada parte y, para el área superficial, tacha las caras ocultas.
- Busca dimensiones compartidas: muchas veces no están rotuladas dos veces (el radio de la cúpula es el radio del silo).
- Estima: el total debe ser mayor que la parte más grande (cuando sumas) y menor que el sólido exterior (cuando restas).
- Respuestas en forma de expresión: si las opciones son planteamientos como \pi(3)^2(10) + \tfrac{1}{3}\pi(3)^2(4), escribe primero tu propio planteamiento y luego compáralo término por término.
- Tiempo: los problemas de figuras compuestas toman de 2 a 3 minutos. Si te atoras, márcala para revisar y regresa después.
Compruébalo
Two rectangular wooden blocks are glued together as shown.
What is the total volume of the figure?
Pista
Find the volume of each block separately, then combine them.
Solución paso a paso
- Bottom block: V = lwh = 10 \times 10 \times 4 = 400\text{ in}^3.
- Top block: V = 6 \times 6 \times 4 = 144\text{ in}^3.
- The blocks do not overlap, so add: 400 + 144 = 544.
Answer: 544 in³
Check: The figure is smaller than one big 10 × 10 × 8 box (800\text{ in}^3) and bigger than the bottom block alone (400\text{ in}^3); 544 is between them ✓.
Tip: Composite volume = break the figure into familiar solids, find each volume, then add the pieces that are there (and subtract any holes).
Explicación
- Bloque de abajo: V = lwh = 10 \times 10 \times 4 = 400\text{ in}^3.
- Bloque de arriba: V = 6 \times 6 \times 4 = 144\text{ in}^3.
- Los bloques no se traslapan, así que suma: 400 + 144 = 544.
Respuesta: 544 in³
Comprobación: la figura es más pequeña que una sola caja grande de 10 × 10 × 8 (800\text{ in}^3) y más grande que el bloque de abajo solo (400\text{ in}^3); 544 está entre los dos ✓.
Consejo: volumen de una figura compuesta = divide la figura en sólidos conocidos, encuentra el volumen de cada uno y luego suma las partes que están (y resta cualquier hueco).
Ver en español
Pregunta
Dos bloques rectangulares de madera están pegados como se muestra.
¿Cuál es el volumen total de la figura?
Opciones
Pista
Halla el volumen de cada bloque por separado y luego combínalos.
Compruébalo
A solid ice-cream cone model is made of a cone topped with a hemisphere. The radius of both parts is 2 in, and the cone is 6 in tall.
What is the volume of the model, to the nearest tenth of a cubic inch?
in³
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Volume = cone + half of a sphere. Both use r = 2.
Solución paso a paso
- Cone: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(4)(6) = 8\pi.
- Hemisphere: half of \tfrac{4}{3}\pi r^3, so \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3}\pi(8) = \tfrac{16}{3}\pi.
- Add: 8\pi + \tfrac{16}{3}\pi = \tfrac{24}{3}\pi + \tfrac{16}{3}\pi = \tfrac{40}{3}\pi.
- Evaluate: \tfrac{40}{3}\pi \approx 13.333 \times 3.14159 \approx 41.89, which rounds to 41.9.
Answer: about 41.9 in³
Check: Decimals: cone 8\pi \approx 25.13, hemisphere \tfrac{16}{3}\pi \approx 16.76; 25.13 + 16.76 = 41.89 ✓.
Tip: Keep each part in terms of \pi and add the numbers in front of \pi. Convert to a decimal once, at the end.
Explicación
- Cono: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(4)(6) = 8\pi.
- Semiesfera: la mitad de \tfrac{4}{3}\pi r^3, así que \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3}\pi(8) = \tfrac{16}{3}\pi.
- Suma: 8\pi + \tfrac{16}{3}\pi = \tfrac{24}{3}\pi + \tfrac{16}{3}\pi = \tfrac{40}{3}\pi.
- Calcula: \tfrac{40}{3}\pi \approx 13.333 \times 3.14159 \approx 41.89, que se redondea a 41.9.
Respuesta: unas 41.9 in³
Comprobación: con decimales: cono 8\pi \approx 25.13, semiesfera \tfrac{16}{3}\pi \approx 16.76; 25.13 + 16.76 = 41.89 ✓.
Consejo: deja cada parte en términos de \pi y suma los números que van delante de \pi. Conviértelo a decimal una sola vez, al final.
Ver en español
Pregunta
Un modelo sólido de cono de helado está formado por un cono con una semiesfera encima. El radio de las dos partes es 2 in, y el cono mide 6 in de alto.
¿Cuál es el volumen del modelo, redondeado a la décima de pulgada cúbica más cercana?
_____ in³
Pista
Volumen = cono + la mitad de una esfera. Las dos partes usan r = 2.
Resumen
- Descompón la figura en sólidos básicos y rotula las dimensiones de cada parte, incluidas las compartidas.
- Volumen: suma las partes y resta los huecos. Mantén \pi hasta el final.
- Área superficial: suma solo las superficies exteriores; las uniones entre partes quedan ocultas. Los agujeros pueden agregar superficie.
- Usa las fórmulas de la hoja de fórmulas para cada parte; semiesfera = media esfera, dos semiesferas = una esfera.
- Trabajar hacia atrás: resta del total las partes conocidas, despeja la longitud que falta y vuelve a leer lo que se pide.