GED Free
English Descarga la app
Menú

Sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios

Combina, multiplica y divide polinomios, incluidos el método FOIL, los productos notables y la división de polinomios factorizables.

Practicar esta destreza 22 min Operaciones con polinomios Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Un polinomio es una expresión formada por términos como 3x^2, -5x y 7 sumados. En esta lección vas a aprender a:

  • sumar y restar polinomios combinando términos semejantes,
  • multiplicar un polinomio por un solo término, y multiplicar dos binomios (con FOIL o con el método de la caja),
  • reconocer los productos notables (a + b)^2, (a - b)^2 y (a + b)(a - b),
  • multiplicar un binomio por un trinomio,
  • dividir un polinomio entre un solo término, y dividir un polinomio factorizable entre un binomio.

Por qué importa en el GED®: hay preguntas del tipo "¿Qué expresión es equivalente a …?" con polinomios, o que piden el área de un rectángulo cuyos lados son expresiones como 2x + 5 y x - 1. Estas destrezas también son la base para factorizar y resolver ecuaciones cuadráticas más adelante en la sección de álgebra.

Vocabulario

Palabras que debes conocer

  • Monomio: un solo término: un número, una variable o su producto (-4x^2, 7, x).
  • Binomio: dos términos (x + 5, 2x - 3).
  • Trinomio: tres términos (x^2 + 7x + 12).
  • Polinomio: uno o más términos cuyas variables tienen exponentes que son números enteros no negativos (3x^3 - x + 8).
  • Grado: el exponente más alto del polinomio (5x^2 - 2x + 1 es de grado 2).
  • Términos semejantes: términos con la misma variable y el mismo exponente (4x^2 y -x^2 son términos semejantes; 4x^2 y 4x no lo son).
  • Forma estándar: términos escritos del exponente más alto al más bajo (2x^2 + 3x - 5).
  • Exponente: un número pequeño escrito arriba que indica una multiplicación repetida (x^3 = x \cdot x \cdot x).
  • FOIL: siglas en inglés de First, Outer, Inner, Last (primeros, externos, internos, últimos): una lista de pasos para multiplicar dos binomios.
  • Factorizar: escribir como un producto (x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Sumar y restar polinomios

Sumar. Quita los paréntesis y combina los términos semejantes. Solo se combinan los términos con la misma variable y el mismo exponente, y el exponente no cambia.

(3x^2 + 5x - 2) + (x^2 - 7x + 6) = (3x^2 + x^2) + (5x - 7x) + (-2 + 6) = 4x^2 - 2x + 4

Fíjate: 3x^2 + x^2 = 4x^2, no 4x^4. Al sumar términos semejantes solo sumas los coeficientes, igual que 3 manzanas + 1 manzana = 4 manzanas.

Algebra tiles: three x² square tiles plus one x² square tile make four x² tiles. The count (coefficient) adds to 4, but each tile is still x², so 3x² + x² = 4x², not 4x⁴.3x² + x² = 4x² (not 4x⁴)x²x²x²+x²=x²x²x²x²3 x²-tiles and 1 x²-tile4 tiles, each still x²
Fichas: 3x² + x² = 4x²

Restar. El signo menos delante del segundo paréntesis se aplica a todos los términos de adentro. Cambia cada signo del segundo polinomio y luego suma.

(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 6x - 1) = 5x^2 - 3x + 4 - 2x^2 + 6x + 1 = 3x^2 + 3x + 5
Tipo de términoPrimeroMenos el segundo (signos cambiados)Resultado
x^25x^2-2x^23x^2
x-3x+6x3x
constante4+15

Si alineas los términos semejantes en una tabla o en columnas, es difícil que se te pase alguno.

Multiplicar polinomios

Regla de los exponentes: cuando multiplicas potencias de la misma variable, sumas los exponentes: x^a \cdot x^b = x^{a + b}. Así, x \cdot x^2 = x^3 y 3x \cdot 2x^2 = 6x^3.

Monomio × polinomio. Distribuye a cada término:

3x(2x^2 - 4x + 5) = 6x^3 - 12x^2 + 15x
Box model for 3x(2x² − 4x + 5): one row labelled 3x and three columns 2x², −4x and +5. The cells are 6x³, −12x² (negative, red) and 15x, so the product is 6x³ − 12x² + 15x.6x³−12x²15x2x²−4x+53x3x(2x² − 4x + 5) = 6x³ − 12x² + 15xmultiply coefficients, add exponents: 3x · 2x² = 6x³
Modelo de caja: 3x(2x² − 4x + 5)

Binomio × binomio (FOIL). Multiplica cada término del primero por cada término del segundo:

(x + 5)(x - 3) = \underbrace{x \cdot x}_{\text{Primeros}} + \underbrace{x(-3)}_{\text{Externos}} + \underbrace{5 \cdot x}_{\text{Internos}} + \underbrace{5(-3)}_{\text{Últimos}} = x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15

El método de la caja organiza los mismos cuatro productos:

Box method for (x + 5)(x - 3): a 2-by-2 grid with columns labeled x and +5 and rows labeled x and -3. The cells contain x squared, 5x, -3x and -15, which add up to x squared + 2x - 15.x+5x−3x²5x−3x−15(x + 5)(x − 3) = x² + 5x − 3x − 15 = x² + 2x − 15
Método de la caja para (x + 5)(x − 3)

Productos notables (vale la pena memorizarlos porque ahorran tiempo):

PatrónResultadoEjemplo
(a + b)^2a^2 + 2ab + b^2(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16
(a - b)^2a^2 - 2ab + b^2(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9
(a + b)(a - b)a^2 - b^2(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16

Atención: (x + 4)^2 no es x^2 + 16. Elevar al cuadrado significa (x + 4)(x + 4), que tiene un término del medio.

Area model of the square (x + 4)²: each side is x + 4. The square splits into an x by x piece (x²), two x by 4 pieces (4x each) and a 4 by 4 piece (16). Total x² + 8x + 16, not x² + 16.x²4x4x16x4x4(x + 4)²= x² + 4x + 4x + 16= x² + 8x + 16not x² + 16:the two 4x piecesare the middle term
Modelo de área: (x + 4)² = x² + 8x + 16

Binomio × trinomio. La misma idea, con más productos. Cada uno de los 2 términos multiplica a cada uno de los 3 términos (6 productos) y luego combinas:

(x - 2)(x^2 + 3x - 1) = x^3 + 3x^2 - x - 2x^2 - 6x + 2 = x^3 + x^2 - 7x + 2
Box method for (x − 2)(x² + 3x − 1): rows x and −2, columns x², +3x and −1. The six cells are x³, 3x², −x, −2x², −6x and +2. Combining like terms gives x³ + x² − 7x + 2.x³3x²−x−2x²−6x+2x²+3x−1x−26 products: x³ + 3x² − x − 2x² − 6x + 2= x³ + x² − 7x + 2
Método de la caja: (x − 2)(x² + 3x − 1)

Dividir polinomios

Dividir entre un monomio. Divide cada término entre él. Al dividir potencias, restas los exponentes: x^a \div x^b = x^{a - b}.

\frac{6x^3 - 9x^2 + 3x}{3x} = \frac{6x^3}{3x} - \frac{9x^2}{3x} + \frac{3x}{3x} = 2x^2 - 3x + 1

Fíjate en el último término: \dfrac{3x}{3x} = 1, no 0.

Dividir un polinomio factorizable entre un binomio. Factoriza el numerador y luego cancela el factor común.

\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3} = \frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 3} = x + 4
Division as a missing side: a rectangle has area x² + 7x + 12 and one side x + 3. Filling the box with x², 3x, 4x and 12 (since 3x + 4x = 7x) shows the other side is x + 4, so (x² + 7x + 12) ÷ (x + 3) = x + 4.x²4x3x12x+4x+3other side = ?knownsidex + 3area x² + 7x + 12fill the box: x², 3x, 4x, 123x + 4x = 7x ✓(x² + 7x + 12) ÷ (x + 3)= x + 4
Lado que falta: (x² + 7x + 12) ÷ (x + 3) = x + 4

Para factorizar x^2 + bx + c, busca dos números que multiplicados den c y sumados den b. Para x^2 + 7x + 12: 3 \times 4 = 12 y 3 + 4 = 7.

Cuando el coeficiente principal no es 1, pregúntate: "¿Qué multiplicado por el divisor da este polinomio?". Para (2x^2 + 5x - 3) \div (2x - 1), la respuesta debe empezar con x (porque 2x \cdot x = 2x^2) y terminar con +3 (porque -1 \cdot 3 = -3). Prueba con x + 3: (2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3 ✓

Comprueba siempre la división multiplicando de vuelta. El cociente × el divisor debe dar el polinomio original. (La división solo tiene sentido cuando el divisor no es cero; por ejemplo, x \ne -3 arriba).

Fórmula

Reglas y patrones (memorízalos: no están en la hoja de fórmulas)

x^a \cdot x^b = x^{a + b} \qquad\qquad \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b} (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
  • x es la variable; a y b en las reglas de los exponentes son exponentes enteros.
  • En las reglas de los productos, a, b, c, d representan cualquier término (números, variables o ambos).

Ninguna de estas reglas está en la hoja de fórmulas del GED®. El área de un rectángulo A = lw y el área de un cuadrado A = s^2, que muchas veces vas a combinar con ellas, sí están en la hoja.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): Sumar polinomios

Simplifica (4x^2 - 3x + 7) + (2x^2 + 5x - 9).

  1. Agrupa los términos semejantes: (4x^2 + 2x^2) + (-3x + 5x) + (7 - 9).
  2. Combina: 6x^2 + 2x - 2.

La figura lo resume:

Column method for (4x² − 3x + 7) + (2x² + 5x − 9): like terms are lined up in columns for x² terms, x terms and constants. 4x² + 2x² = 6x², −3x + 5x = 2x, 7 − 9 = −2. Answer: 6x² + 2x − 2.(4x² − 3x + 7) + (2x² + 5x − 9)x² termsx termsconstantsfirst4x²−3x+7second+2x²+5x−96x²+2x−2sumAnswer: 6x² + 2x − 2
Suma en columnas de dos polinomios

Respuesta: 6x^2 + 2x - 2

Comprobación: sea x = 1. Original: (4 - 3 + 7) + (2 + 5 - 9) = 8 + (-2) = 6. Respuesta: 6 + 2 - 2 = 6 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: Restar polinomios

Simplifica (6x^2 + 2x - 5) - (3x^2 - 4x + 1).

  1. Cambia todos los signos del segundo polinomio: 6x^2 + 2x - 5 - 3x^2 + 4x - 1.
  2. Términos con x^2: 6x^2 - 3x^2 = 3x^2.
  3. Términos con x: 2x + 4x = 6x.
  4. Constantes: -5 - 1 = -6.

La figura lo resume:

Column method for (6x² + 2x − 5) − (3x² − 4x + 1): every sign of the second polynomial is flipped to −3x², +4x, −1 (shown in red) and the columns are added. 6x² − 3x² = 3x², 2x + 4x = 6x, −5 − 1 = −6. Answer: 3x² + 6x − 6.(6x² + 2x − 5) − (3x² − 4x + 1)x² termsx termsconstantsfirst6x²+2x−5signs flipped−3x²+4x−13x²+6x−6sumAnswer: 3x² + 6x − 6
Resta en columnas con los signos cambiados

Respuesta: 3x^2 + 6x - 6

Comprobación: sea x = 2. Original: (24 + 4 - 5) - (12 - 8 + 1) = 23 - 5 = 18. Respuesta: 12 + 12 - 6 = 18 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: Multiplicar dos binomios

Multiplica (3x - 2)(2x + 5).

  1. Primeros: 3x \cdot 2x = 6x^2.
  2. Externos: 3x \cdot 5 = 15x.
  3. Internos: -2 \cdot 2x = -4x.
  4. Últimos: -2 \cdot 5 = -10.
  5. Combina los términos del medio: 15x - 4x = 11x.

La figura lo resume:

Box method for (3x − 2)(2x + 5): rows 3x and −2, columns 2x and +5. Cells: First 6x², Outer 15x, Inner −4x, Last −10. The middle terms combine to 11x, giving 6x² + 11x − 10.F: 6x²O: 15xI: −4xL: −102x+53x−2middle terms:15x − 4x = 11x(3x − 2)(2x + 5) = 6x² + 11x − 10
Método de la caja: (3x − 2)(2x + 5)

Respuesta: 6x^2 + 11x - 10

Comprobación: sea x = 1. Original: (1)(7) = 7. Respuesta: 6 + 11 - 10 = 7 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problema verbal): Área de un patio

Un patio rectangular mide x + 7 pies de largo y x + 3 pies de ancho. Escribe un polinomio en forma estándar para su área.

  1. Área de un rectángulo: A = lw = (x + 7)(x + 3).
  2. FOIL: x^2 + 3x + 7x + 21.
  3. Combina: x^2 + 10x + 21.

La figura lo resume:

Patio area model drawn to scale for x = 5: the length x + 7 is split into x and 7, the width x + 3 into x and 3. The four pieces are x², 7x, 3x and 21, so the area is x² + 10x + 21 square feet (96 square feet when x = 5).x²7x3x21x7x3length x + 7widthx + 3A = (x + 7)(x + 3) = x² + 3x + 7x + 21 = x² + 10x + 21Drawn for x = 5: 12 ft by 8 ft = 96 ft²
Modelo de área del patio (x + 7)(x + 3)

Respuesta: x^2 + 10x + 21 pies cuadrados

Comprobación: si x = 5, el patio mide 12 ft por 8 ft, así que el área es 96 ft². El polinomio da 25 + 50 + 21 = 96 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): Hallar el lado que falta

Un rectángulo tiene un área de 2x^2 + 7x + 3 metros cuadrados y un ancho de 2x + 1 metros. Halla una expresión para su largo.

  1. Largo = área ÷ ancho: \dfrac{2x^2 + 7x + 3}{2x + 1}.
  2. El largo debe empezar con x (ya que 2x \cdot x = 2x^2) y su constante debe ser 3 (ya que 1 \cdot 3 = 3). Prueba con x + 3.
  3. Multiplica para comprobar: (2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3 ✓
  4. Entonces \dfrac{(2x + 1)(x + 3)}{2x + 1} = x + 3.

La figura lo resume:

Finding a missing side: a rectangle with width 2x + 1 and area 2x² + 7x + 3. A box with rows 2x and +1 and columns x and +3 holds 2x², 6x, x and 3; since 6x + x = 7x, the length is x + 3.2x²6xx3x+32x+1length = ? → x + 3width 2x + 1area 2x² + 7x + 32x · x = 2x²1 · 3 = 36x + x = 7x ✓length = (2x² + 7x + 3) ÷ (2x + 1) = x + 3
Caja con ancho 2x + 1 y largo x + 3

Respuesta: x + 3 metros

Comprobación: si x = 2, el área es 8 + 14 + 3 = 25 m² y el ancho es 5 m, así que el largo es 25 \div 5 = 5 m. La expresión da 2 + 3 = 5 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

La calculadora no puede multiplicar polinomios con letras, pero sí puede comprobar tu trabajo, y eso vale igual.

La comprobación con un número de prueba: elige x = 2 o x = 3 y evalúa tanto la expresión original como tu respuesta. Deben dar el mismo número.

Para comprobar que (3x - 2)(2x + 5) = 6x^2 + 11x - 10 con x = 3:

  • ( 3 × 3 − 2 ) ( 2 × 3 + 5 ) enter → 77
  • 6 × 3 x² + 1 1 × 3 − 1 0 enter → 77 ✓

Usa la tecla x² para elevar al cuadrado y la tecla ^ para potencias más altas (3 ^ 3 para 3^3). Ten cuidado con un número de prueba negativo: escribe ( (−) 2 ) x² para que la calculadora eleve -2 al cuadrado y dé 4.

Cuándo no usarla: primero haz el álgebra a mano. Usa la calculadora solo para confirmar, o para probar las opciones de respuesta cuando te atores.

Error común

Errores comunes

  • Sumar los exponentes al sumar términos. Incorrecto: 3x^2 + x^2 = 4x^4. Correcto: 4x^2; los exponentes solo se suman cuando multiplicas.
  • Restar solo el primer término. Incorrecto: (5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 6x - 1) = 3x^2 - 9x + 3. Correcto: cambia todos los signos: 3x^2 + 3x + 5.
  • Elevar al cuadrado cada término por separado. Incorrecto: (2x - 3)^2 = 4x^2 + 9. Correcto: (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9.
  • Olvidar los productos del medio. Incorrecto: (2x + 5)(x - 1) = 2x^2 - 5. Correcto: los cuatro productos: 2x^2 - 2x + 5x - 5 = 2x^2 + 3x - 5.
  • El signo del último término. Incorrecto: (-3)(-3) = -9. Correcto: +9.
  • Pensar que un término dividido entre sí mismo da 0. Incorrecto: \dfrac{3x}{3x} = 0. Correcto: es igual a 1.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Revisa primero el primer y el último término. En un producto, el primer término es (primero × primero) y el último término es (último × último). Para (2x - 3)^2: primero 4x^2, último +9. Solo con eso descartas la mayoría de las opciones incorrectas.
  • Sustituye un número de prueba. Elige x = 2, evalúa la expresión original y cada opción, y quédate con la que coincide. Evita x = 0 y x = 1, que pueden hacer que opciones distintas parezcan iguales.
  • Comprueba la división multiplicando. Si una opción multiplicada por el divisor da el polinomio original, es la correcta.
  • Cuenta los términos. Binomio × binomio da hasta 4 términos antes de combinar; binomio × trinomio da 6. Si tienes menos, te saltaste un producto.
  • Preguntas de área: "área" significa multiplicar; "perímetro" significa sumar todos los lados. Lee cuál te piden.
  • Administra tu tiempo: estas preguntas suelen tomar de 1 a 2 minutos. Escribe el trabajo con orden en el pizarra de apuntes; la mayoría de los errores son errores al copiar.

Compruébalo

Operaciones con polinomios

Which expression is equivalent to (3x^2 + 5x - 2) + (x^2 - 7x + 6)?

Opciones de respuesta
Pista

Combine terms with the same variable and the same exponent. Remember that x^2 means 1x^2.

Ver en español

Pregunta

¿Qué expresión es equivalente a (3x^2 + 5x - 2) + (x^2 - 7x + 6)?

Opciones

  • A. 4x^4 - 2x^2 + 4
  • B. 4x^2 + 12x + 4
  • C. 3x^2 - 2x + 4
  • D. 4x^2 - 2x + 4
Pista

Combina los términos con la misma variable y el mismo exponente. Recuerda que x^2 significa 1x^2.

Compruébalo

Operaciones con polinomios

Which expression is equivalent to (5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 6x - 1)?

Opciones de respuesta
Pista

The minus sign in front of the second parentheses changes the sign of every term inside.

Ver en español

Pregunta

¿Qué expresión es equivalente a (5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 6x - 1)?

Opciones

  • A. 3x^2 - 9x + 3
  • B. 3x^2 + 3x + 3
  • C. 7x^2 - 9x + 3
  • D. 3x^2 + 3x + 5
Pista

El signo menos delante del segundo paréntesis cambia el signo de cada término de adentro.

Resumen

  • Sumar: combina términos semejantes (misma variable, mismo exponente); los exponentes no cambian.
  • Restar: cambia el signo de cada término del segundo polinomio y luego suma.
  • Multiplicar: cada término por cada término; suma los exponentes (x \cdot x^2 = x^3); combina términos semejantes.
  • Conoce los productos notables: (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 y (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
  • Dividir: entre un monomio, divide cada término; entre un binomio, factoriza y cancela.
  • Comprueba cualquier respuesta multiplicando de vuelta o sustituyendo un número de prueba.
Practicar esta destreza →