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Escribir expresiones lineales a partir de palabras

Convierte frases y situaciones de la vida real en expresiones algebraicas.

Practicar esta destreza 20 min Escribir expresiones lineales a partir de un contexto Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Los problemas verbales se vuelven fáciles cuando sabes convertir las palabras en matemáticas. En esta lección vas a aprender a escribir expresiones lineales a partir de frases y situaciones reales:

  • traducir palabras clave como suma, menos que, producto y cociente a símbolos,
  • poner en el orden correcto la resta y la división,
  • usar paréntesis cuando las palabras agrupan una cantidad,
  • construir el modelo tan común de "cantidad fija + tasa × cantidad" para costos, pagos y ahorros,
  • describir cantidades relacionadas ("el doble", "el resto") con una sola variable,
  • escribir expresiones para perímetros y para situaciones con un límite, como el pago de horas extra.

Por qué importa en el GED®: el examen pregunta con frecuencia: "¿Qué expresión representa …?". No tienes que calcular nada: tienes que reconocer el modelo correcto. Escribir la expresión es también el primer paso en todo problema verbal de ecuaciones y desigualdades, así que esta destreza se usa en gran parte de la sección de álgebra.

Vocabulario

Palabras que debes conocer

  • Expresión: una frase matemática sin signo igual (22m + 35).
  • Variable: una letra para una cantidad desconocida o que cambia; di siempre lo que representa ("sea m = número de meses").
  • Suma / más que / aumentado en / total: suma ("5 más que x" es x + 5).
  • Diferencia / menos que / disminuido en: resta ("5 menos que x" es x - 5).
  • Producto / por / de / el doble: multiplicación ("el doble de n" es 2n; "la mitad de n" es \tfrac{1}{2}n).
  • Cociente / dividido entre / por cada / razón: división ("el cociente de x y 4" es \tfrac{x}{4}).
  • Tasa: una cantidad por cada unidad ($22 por mes, 0.79 dólares por milla); multiplica a la variable.
  • Cantidad fija (constante): una cantidad que se paga una sola vez y no cambia (un cargo de inscripción de $35).
  • Enteros consecutivos: enteros seguidos (n, n + 1, n + 2); los enteros pares o impares consecutivos aumentan de 2 en 2 (n, n + 2, n + 4).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Traducir palabras a símbolos

PalabrasOperaciónEjemploExpresión
suma, más, más que, aumentado en, sumado a+8 más que un númeron + 8
diferencia, menos, menos que, disminuido en-8 menos que un númeron - 8
producto, por, de, el doble, el triple\timesel producto de 8 y un número8n
cociente, dividido entre, por cada, razón\divun número dividido entre 8\tfrac{n}{8}

Cuidado con el orden. La suma y la multiplicación se pueden escribir en cualquier orden (n + 8 = 8 + n), pero la resta y la división no.

  • "8 menos que n" significa empezar con n y quitarle 8: n - 8. El orden es el contrario al de las palabras.
  • "8 menos n" o "la diferencia de 8 y n" mantiene el orden: 8 - n.
  • "El cociente de x y 4" significa x \div 4 = \tfrac{x}{4}, en el orden dado.
Word-to-expression mapping. Top: “8 less than a number” — the arrows cross, sending “a number” to n at the front and 8 to the end, giving n − 8 (the order reverses). Bottom: “8 minus a number” — the arrows go straight down, giving 8 − n (the order stays).“8 less than a number”88less than−a numbernorder reverses“8 minus a number”88minus−a numbernorder stays
Correspondencia: “8 menos que un número” es n − 8

Cuidado con la agrupación. Palabras como la suma de o la diferencia de te indican que debes agrupar con paréntesis cuando se les aplica otra operación.

  • "3 por un número, más 5" → 3n + 5
  • "3 por la suma de un número y 5" → 3(n + 5)
  • "el cociente de un número y 4, aumentado en 9" → \tfrac{n}{4} + 9
  • "la suma de un número y 9, dividida entre 4" → \tfrac{n + 9}{4}
Two phrases mapped to expressions. “3 times a number, plus 5”: 3 times a number gives 3n, then plus 5, so 3n + 5. “3 times the sum of a number and 5”: the sum of a number and 5 is one group (n + 5), and 3 multiplies the whole group, so 3(n + 5).“3 times a number, plus 5”3 times3na numberplus 5+ 5= 3n + 5“3 times the sum of a number and 5”3 timesthe sum of a number and 53(n + 5)= 3(n + 5)the sum is one group
Correspondencia: 3n + 5 frente a 3(n + 5)

Comprobación rápida: elige un número para la variable, sigue las palabras en orden con ese número y fíjate si tu expresión da el mismo resultado.

Situaciones reales: cantidad fija + tasa × cantidad

Muchos problemas verbales del GED® siguen un mismo patrón:

\text{total} = \text{cantidad fija} + (\text{tasa}) \times (\text{cantidad})
  • Un gimnasio cobra $35 de inscripción más $22 por mes: 22m + 35.
  • Un plomero cobra $60 por visita más $45 por hora: 45h + 60.
  • Sam tiene $500 y gasta $35 por semana: 500 - 35w (gastar es una tasa negativa).
Graph and table for the gym cost 22m + 35. The line starts at 35 dollars when m = 0 (the fixed sign-up fee) and rises 22 dollars for each month (the rate): 35, 57, 79, 101, 123 and 145 dollars for 0 to 5 months.Gym cost: 22m + 3504080120160012345months, m$start: $35 fee+22tablemcost035157279310141235145rate 22 = +22per month
Gráfica y tabla del costo del gimnasio 22m + 35

Cómo reconocer las partes: la tasa viene con por, cada, por hora/por milla/al mes. Multiplica a la variable. La cantidad fija ocurre una sola vez (un cargo, un saldo inicial, un pago inicial). Va sola.

Varias cantidades, una variable. Cuando el problema relaciona dos cantidades, escribe las dos con la misma variable.

  • "el doble de bolígrafos que de cuadernos": cuadernos = n, bolígrafos = 2n.
  • "50 boletos, x de ellos de adulto": de adulto = x, de niño = 50 - x (el resto es el total menos la parte).
  • "tres enteros pares consecutivos, el menor es n": n, n + 2, n + 4.

Después multiplica cada cantidad por su propio precio y suma. Para 50 boletos a $12 (adulto) y $8 (niño): 12x + 8(50 - x).

Geometría y límites

Geometría. Marca cada lado con una expresión y luego usa la fórmula.

Rectangle with width w and length 2w + 3 (length is 3 more than twice the width).2w + 3wLength is 3 more than twice the width w
Rectángulo con ancho w y largo 2w + 3

Si el ancho es w y el largo es "3 más que el doble del ancho", el largo es 2w + 3. El perímetro suma los cuatro lados:

P = 2(\text{largo}) + 2(\text{ancho}) = 2(2w + 3) + 2w = 4w + 6 + 2w = 6w + 6

Límites ("después de los primeros …", "más de 200", "después de 40 horas"). Solo la parte por encima del límite recibe la tasa adicional. Si un plan de teléfono cuesta $40 e incluye 200 mensajes de texto, con $0.10 por cada mensaje después de los 200, entonces para t mensajes (t > 200), los mensajes adicionales son t - 200:

40 + 0.10(t - 200) = 0.10t + 20

Las horas extra funcionan igual: las primeras 40 horas se pagan a la tarifa normal, y solo las horas después de las 40, es decir h - 40, se pagan a la tarifa de horas extra.

Fórmula

Patrones que debes conocer (no están en la hoja de fórmulas)

\text{Total} = b + mx
  • b = la cantidad fija (cargo único, valor inicial). Si la cantidad disminuye con el tiempo, la tasa m es negativa.
  • m = la tasa: cuánto cambia el total por cada unidad de x.
  • x = la cantidad (horas, meses, millas, artículos).

Otros patrones: "el resto" = \text{total} - x; cantidad por encima de un límite = x - \text{límite}; enteros consecutivos n, n+1, n+2; enteros pares o impares consecutivos n, n+2, n+4.

Estos patrones no están en la hoja de fórmulas del GED®. Las fórmulas de perímetro y área con las que los combinas sí están en la hoja: perímetro de un rectángulo P = 2l + 2w, área A = lw.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): Traducir una frase

Escribe una expresión para "7 más que la mitad de un número n".

  1. "La mitad de un número": \tfrac{1}{2}n (o \tfrac{n}{2}).
  2. "7 más que" esa cantidad: suma 7.

La figura lo resume:

Word-to-expression mapping for “7 more than half of a number n”: “half of” maps to ½, “a number n” maps to n, “more than” maps to +, and 7 goes at the end, giving ½n + 7. Check with n = 10: ½(10) + 7 = 12.“7 more than half of a number n”77more than+half of½a number nn= ½n + 7Check n = 10: half of 10 is 5, and 7 more is 12; ½(10) + 7 = 12
Correspondencia: “7 más que la mitad de un número n” es ½n + 7

Respuesta: \tfrac{1}{2}n + 7

Comprobación: si n = 10, las palabras dicen que la mitad de 10 es 5, y 7 más es 12. La expresión da \tfrac{1}{2}(10) + 7 = 12 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (problema verbal): Ganancia de un lavado de carros

Un club juvenil gasta $45 en materiales para un lavado de carros y cobra $8 por carro. Escribe una expresión para la ganancia del club si lava c carros.

  1. Dinero que entra: $8 por cada carro, o sea 8c.
  2. Dinero que sale: los $45 de materiales, una sola vez.
  3. Ganancia = dinero que entra − dinero que sale.

La figura lo resume:

Mapping for the car wash: “8 dollars per car” becomes 8c (rate times quantity) and the one-time 45 dollars for supplies becomes − 45, so profit is 8c − 45. A bar for c = 10 shows money in of 80 split into 45 for supplies and 35 profit.$8 per car, $45 supplies once$8 per car8c$45 supplies (once)− 45rate × quantityfixed amount outCheck c = 10: money in 8(10) = 80supplies 45profit 358c − 45
Ganancia del lavado de carros 8c − 45

Respuesta: 8c - 45 dólares

Comprobación: con 10 carros, el club recibe $80 y se queda con 80 - 45 = 35 dólares. La expresión da 8(10) - 45 = 35 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal): Dos tipos de boletos

Un grupo escolar compra 30 boletos para un museo. Los boletos de estudiante cuestan $6 y los de adulto cuestan $10. Si s boletos son de estudiante, escribe y simplifica una expresión para el costo total.

  1. Boletos de estudiante: s. Los boletos de adulto son el resto: 30 - s.
  2. Costo de los boletos de estudiante: 6s. Costo de los boletos de adulto: 10(30 - s).
  3. Total: 6s + 10(30 - s) = 6s + 300 - 10s = 300 - 4s.

La figura lo resume:

Tape diagram of 30 tickets split into s student tickets and 30 − s adult tickets (the rest). Student tickets cost 6 dollars each, giving 6s; adult tickets cost 10 dollars each, giving 10(30 − s). Total: 6s + 10(30 − s) = 300 − 4s.30 tickets in alls student30 − s adult (the rest)× $6× $106s10(30 − s)Total: 6s + 10(30 − s) = 6s + 300 − 10s = 300 − 4s
Diagrama de cinta: s boletos de estudiante y 30 − s de adulto

Respuesta: 300 - 4s dólares (o -4s + 300)

Comprobación: si los 30 son adultos (s = 0), el costo es 30 \times 10 = 300 dólares ✓. Cada boleto de estudiante ahorra $4, lo que coincide con el -4s.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4: Perímetro de un triángulo

Los lados de un triángulo son así: el lado más corto mide x pulgadas, el segundo lado mide el doble del más corto y el tercer lado mide 5 pulgadas más que el más corto. Escribe una expresión simplificada para el perímetro.

  1. Lados: x, 2x y x + 5.
  2. Perímetro = suma de los lados: x + 2x + (x + 5).
  3. Combina los términos semejantes: 4x + 5.

La figura lo resume:

Triangle with sides labelled x (shortest), 2x and x + 5, drawn to scale for x = 3 so the sides are 3, 6 and 8 inches. Perimeter: x + 2x + (x + 5) = 4x + 5.x + 52xxDrawn for x = 3: sides 6, 3 and 8 inchesP = x + 2x + (x + 5) = 4x + 5
Triángulo con lados x, 2x y x + 5

Respuesta: 4x + 5 pulgadas

Comprobación: si x = 3, los lados miden 3, 6 y 8, con un total de 17. La expresión da 4(3) + 5 = 17 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): Un límite

Un estacionamiento cobra $5 por las primeras 2 horas y $3 por cada hora adicional. Escribe una expresión simplificada para el costo de estacionarse h horas, donde h es un número entero mayor que 2.

  1. Las primeras 2 horas cuestan una tarifa fija de $5.
  2. Las horas adicionales son las horas después de las 2: h - 2.
  3. Costo de las horas adicionales: 3(h - 2).
  4. Total: 5 + 3(h - 2) = 5 + 3h - 6 = 3h - 1.

La figura lo resume:

Timeline for the parking garage with h = 5 hours: the first 2 hours form one block costing a flat 5, dollars and each of the h − 2 = 3 extra hours is a 3 dollars block. Cost = 5 + 3(h − 2) = 3h − 1; for h = 5 this is 14 dollars.Parking h hours (example: h = 5)first 2 h: $5$3$3$3012345hoursextra hours: h − 2Cost = 5 + 3(h − 2) = 3h − 1h = 5: 5 + 3(3) = 14 and 3(5) − 1 = 14
Línea de tiempo del estacionamiento: 5 dólares por 2 horas y luego 3 dólares por hora

Respuesta: 3h - 1 dólares

Comprobación: por 5 horas, el estacionamiento cobra $5 más 3 horas adicionales a $3, es decir, 5 + 9 = 14 dólares. La expresión da 3(5) - 1 = 14 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

Escribir una expresión es una destreza de lectura, así que la calculadora no la puede escribir por ti. Pero es una manera excelente de probar las opciones de respuesta.

  1. Elige un número sencillo para la variable que tenga sentido en la situación (para horas extra, elige h = 45 para que sea más de 40).
  2. Calcula la respuesta real a partir de las palabras, paso a paso (por 45 horas a $18, con tiempo y medio después de 40: 18 \times 40 = 720 y 27 \times 5 = 135, total 855).
  3. Escribe cada opción de respuesta con ese número, por ejemplo 2 7 × 4 5 − 3 6 0 enter → 855. La opción que coincide es la correcta.

Con decimales como 0.10(t - 200), usa las teclas de paréntesis para que la calculadora reste antes de multiplicar.

Cuándo no usarla: para traducciones cortas como "5 menos que 3 veces un número", razonar con las palabras es más rápido que cualquier serie de teclas.

Error común

Errores comunes

  • Invertir "menos que". Incorrecto: "5 menos que 3n" → 5 - 3n. Correcto: empieza con 3n y quítale 5: 3n - 5.
  • Olvidar los paréntesis. Incorrecto: "3 por la suma de n y 5" → 3n + 5. Correcto: 3(n + 5), porque primero se halla la suma.
  • Intercambiar la tasa y el cargo fijo. Incorrecto: $35 de inscripción más $22 al mes → 35m + 22. Correcto: la cantidad mensual multiplica a los meses: 22m + 35.
  • Usar mal "el resto". Incorrecto: con 20 personas y a adultos, niños = a - 20. Correcto: niños = 20 - a.
  • Aplicar la tasa adicional a todas las unidades. Incorrecto: mensajes después de 200 a $0.10 → 40 + 0.10t. Correcto: solo t - 200 mensajes son adicionales: 40 + 0.10(t - 200).
  • Números pares consecutivos que aumentan de 1 en 1. Incorrecto: n, n + 1, n + 2. Correcto: n, n + 2, n + 4.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Define primero la variable. Escribe "m = meses" en tu pizarra de apuntes. Luego pregúntate qué se multiplica por m.
  • Prueba con un número. Elige un valor, calcula la respuesta a partir de las palabras y revisa cada opción. Así detectas cualquier resta invertida o paréntesis que falte.
  • Usa valores extremos. En "50 boletos, x de adulto", prueba x = 0 (todos de niño) o x = 50 (todos de adulto): la respuesta se ve fácilmente en la situación.
  • Descarta por la cantidad fija. Un cargo que se paga una sola vez nunca se multiplica por la variable. Tacha cualquier opción donde aparezca así.
  • Espera formas equivalentes. La respuesta correcta puede estar simplificada (6w + 6) o no (2(2w + 3) + 2w). Si ninguna opción se parece a la tuya, simplifica la tuya y compara otra vez.
  • Lee dos veces la última oración. ¿Pide el costo, la ganancia o la cantidad que queda?

Compruébalo

Escribir expresiones lineales a partir de un contexto

Which expression represents "5 less than 3 times a number n"?

Opciones de respuesta
Pista

Find "3 times a number" first. Then "5 less than" that means you take 5 away from it.

Ver en español

Pregunta

¿Qué expresión representa "5 menos que 3 veces un número n"?

Opciones

  • A. 5 - 3n
  • B. 3(n - 5)
  • C. 3n + 5
  • D. 3n - 5
Pista

Primero halla "3 veces un número". Luego, "5 menos que" eso significa que le quitas 5.

Compruébalo

Escribir expresiones lineales a partir de un contexto

A gym charges a one-time sign-up fee of $35 plus $22 per month. Which expression gives the total cost, in dollars, of a membership for m months?

Opciones de respuesta
Pista

Which amount is paid every month? That amount is multiplied by m.

Ver en español

Pregunta

Un gimnasio cobra un cargo único de inscripción de $35 más $22 por mes. ¿Qué expresión da el costo total, en dólares, de una membresía por m meses?

Opciones

  • A. 35m + 22
  • B. 57m
  • C. 22 + 35 + m
  • D. 22m + 35
Pista

¿Qué cantidad se paga cada mes? Esa cantidad se multiplica por m.

Resumen

  • Traduce las palabras clave: más que +, menos que - (orden invertido), producto/de \times, cociente/por cada \div.
  • Usa paréntesis cuando una suma o una diferencia se multiplica o se divide como un grupo.
  • Los costos y los pagos suelen seguir el modelo cantidad fija + tasa × cantidad; una cantidad que disminuye tiene una tasa negativa.
  • Escribe las cantidades relacionadas con una sola variable: "el doble" = 2n, "el resto" = \text{total} - x.
  • En los límites, solo la cantidad por encima del límite, x - \text{límite}, recibe la tasa adicional.
  • Siempre prueba tu expresión con un número sencillo.
Practicar esta destreza →