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Evaluar expresiones lineales

Sustituye valores en expresiones y fórmulas, sigue el orden de las operaciones y maneja los negativos con seguridad.

Practicar esta destreza 18 min Evaluar expresiones lineales Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Evaluar una expresión significa hallar su valor cuando sabes cuánto vale la variable. Si un plomero cobra 45h + 60 dólares por h horas de trabajo, al evaluar la expresión para h = 3.5 sabes cuánto es la cuenta real.

En esta lección vas a aprender a:

  • sustituir cada variable por un número, de forma segura, usando paréntesis,
  • seguir el orden de las operaciones para obtener el único valor correcto,
  • manejar números negativos, fracciones y decimales sin errores de signo,
  • evaluar expresiones con dos o más variables,
  • trabajar hacia atrás: hallar un valor que falta cuando ya conoces el resultado.

Por qué importa en el GED®: evaluar aparece en todas partes. Muchas preguntas te dan una fórmula (una regla de costos, una conversión de temperatura, una fórmula de la hoja de fórmulas) y te piden un valor. Las opciones de respuesta se basan en los descuidos más comunes: hacer las operaciones en el orden equivocado o perder un signo negativo. Sustituir con cuidado te protege de todos ellos.

Vocabulario

Palabras que debes conocer

  • Evaluar: hallar el valor de una expresión para ciertos números (evalúa 2x + 1 para x = 4: 2(4) + 1 = 9).
  • Sustituir: reemplazar una variable por un número (poner 4 en lugar de x).
  • Variable: una letra que representa un número (x, h, m).
  • Coeficiente: el número que multiplica a una variable; 3x significa 3 \cdot x, así que 3x con x = 4 es 12, no 34.
  • Orden de las operaciones: el orden acordado para hacer los cálculos: paréntesis, exponentes, multiplicación y división (de izquierda a derecha), suma y resta (de izquierda a derecha).
  • Opuesto: el número con el otro signo (-x es el opuesto de x; si x = -6, entonces -x = 6).
  • Número entero: un número natural, el cero o su negativo (-3, 0, 8).
  • Barra de fracción: funciona como un símbolo de agrupación: calcula todo el numerador y todo el denominador antes de dividir.
  • Fórmula: una expresión o ecuación que describe una regla real (F = 1.8C + 32 convierte grados Celsius a Fahrenheit).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Sustituye con paréntesis y luego sigue el orden de las operaciones

Paso 1: Sustituye entre paréntesis. Cada vez que reemplaces una variable, pon el número entre paréntesis. Este solo hábito evita la mayoría de los errores.

4x - 7 \text{ con } x = 5 \;\rightarrow\; 4(5) - 7
Plug-in diagram for 4x − 7 at x = 5: the value x = 5 is substituted in parentheses to give 4(5) − 7, then multiply to get 20 − 7, then subtract to get 13.4x − 7substitute in ( )4(5) − 7multiply: 4(5) = 2020 − 7subtract13x = 5
Diagrama de sustitución: 4x − 7 con x = 5 da 13

Paso 2: Sigue el orden de las operaciones.

OrdenQuéEjemplo
1Paréntesis y otras agrupaciones (barras de fracción)(3 + 5) \cdot 2 = 8 \cdot 2
2Exponentes2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9
3Multiplicación y División, de izquierda a derecha12 \div 3 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8
4Suma y Resta, de izquierda a derecha10 - 4 + 1 = 7

Mucha gente lo recuerda como PEMDAS (en inglés). Observa que la multiplicación no siempre va antes que la división: comparten un paso y se hacen de izquierda a derecha. Lo mismo pasa con la suma y la resta.

Ejemplos:

  • 4x - 7 con x = 5: 4(5) - 7 = 20 - 7 = 13.
  • 45h + 60 con h = 3.5: primero multiplica, 45(3.5) = 157.5, y luego suma: 157.5 + 60 = 217.5.
  • \dfrac{3x - 2y}{4} con x = 6, y = -3: primero el numerador: 3(6) - 2(-3) = 18 + 6 = 24; luego 24 \div 4 = 6.

Por qué importa el orden: 45h + 60 con h = 3.5 es $217.50. Si sumas primero, (45 + 60)(3.5) = 367.5: un error de $150. La expresión dice que primero multipliques 45 por las horas.

Order of operations for 45h + 60 at h = 3.5. Left, correct: 45(3.5) + 60 becomes 157.5 + 60 = 217.5 because multiplication comes first. Right, wrong: adding first gives (45 + 60)(3.5) = 105(3.5) = 367.5. The two answers differ by 150 dollars.45h + 60 at h = 3.545(3.5) + 60157.5 + 60217.5(45 + 60)(3.5)105(3.5)367.5Multiply first: correctAdd first: wrongThe two answers differ by $150.
Multiplicar primero (217.5) frente a sumar primero (367.5)

Trabajar con números negativos

Los valores negativos causan la mayoría de los errores. Vale la pena memorizar estas reglas:

OperaciónReglaEjemplo
positivo × negativonegativo3(-4) = -12
negativo × negativopositivo(-2)(-3) = 6
restar un negativosumar el positivo7 - (-12) = 19
sumar un negativorestar9 + (-6) = 3
negativo ÷ negativopositivo(-9) \div (-3) = 3

El hábito de los paréntesis en acción. Evalúa -2x + 9 con x = -3:

-2(-3) + 9 = 6 + 9 = 15

Sin paréntesis podrías escribir -2 - 3 + 9 y obtener 4, lo cual es incorrecto: -2x significa -2 por x.

El opuesto de una variable. Si x = -6, entonces -x = -(-6) = 6. Un signo menos delante de una variable no significa que la respuesta sea negativa.

Restar un producto. Evalúa 7 - 3x con x = -4:

7 - 3(-4) = 7 - (-12) = 7 + 12 = 19
Number line from −2 to 20 showing 7 − (−12): start at 7 and, because subtracting a negative means adding, move 12 units to the right to land on 19. So 7 − 3(−4) = 7 − (−12) = 19.7 − 3(−4) = 7 − (−12) = 7 + 12 = 19−202468101214161820start 719subtract −12 = move 12 right
Recta numérica: 7 − (−12) = 19

Haz la multiplicación 3(-4) = -12 antes de la resta y luego resta el negativo sumando.

Varias variables, decimales y trabajar hacia atrás

Más de una variable. Sustituye cada valor en su propio lugar. Escribe primero la expresión y luego los números debajo.

3a + 2b con a = 4, b = -5: 3(4) + 2(-5) = 12 + (-10) = 2.

Plug-in diagram with two variables: 3a + 2b with a = 4 and b = −5. Substituting gives 3(4) + 2(−5), multiplying gives 12 + (−10), and adding gives 2.3a + 2bsubstitute3(4) + 2(−5)multiply12 + (−10)add2a = 4b = −5
Diagrama de sustitución: 3a + 2b con a = 4, b = −5 da 2

Decimales y dinero. Las fórmulas de la vida real muchas veces usan decimales. Rentar un camión cuesta 29.95 + 0.79m dólares por m millas. Para 120 millas: 0.79(120) = 94.80, luego 29.95 + 94.80 = 124.75, así que el costo es $124.75.

Fracciones. Trata la barra de fracción como un paréntesis. Para \dfrac{x + 9}{x - 1} con x = 3: numerador = 12, denominador = 2, valor = 6.

Fórmulas. Muchas preguntas del GED® te dan una fórmula y te piden un valor. Ejemplo: la fórmula de temperatura F = 1.8C + 32 con C = -15:

F = 1.8(-15) + 32 = -27 + 32 = 5

Entonces -15°C son 5°F.

Trabajar hacia atrás. A veces conoces el resultado y necesitas el valor de entrada. Deshaz las operaciones en orden inverso.

El costo de una renta fue $73.80 con 45 + 0.30m dólares. Primero resta la parte fija: 73.80 - 45 = 28.80. Luego divide entre la tarifa: 28.80 \div 0.30 = 96 millas.

También te pueden pedir una constante que falta. Si 3x - k = 20 cuando x = -4, sustituye: 3(-4) - k = 20, así que -12 - k = 20, -k = 32 y k = -32.

Fórmula

Las reglas que usas (memorízalas: no están en la hoja de fórmulas)

Orden de las operaciones:

\text{Paréntesis} \;\rightarrow\; \text{Exponentes} \;\rightarrow\; \text{Multiplicar/Dividir (de izquierda a derecha)} \;\rightarrow\; \text{Sumar/Restar (de izquierda a derecha)}

Reglas de los signos:

(-a)(-b) = ab \qquad (-a)(b) = -ab \qquad a - (-b) = a + b

Aquí a y b representan cualquier número positivo.

El orden de las operaciones y las reglas de los signos no están en la hoja de fórmulas del GED®; debes saberlos. Sin embargo, muchas fórmulas que vas a evaluar sí están en la hoja; por ejemplo, el interés simple I = prt, las fórmulas de perímetro y área, y la fórmula de la pendiente. Para evaluarlas se usan exactamente las destrezas de esta lección.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): Una variable

Evalúa 6x - 11 cuando x = 4.

  1. Sustituye entre paréntesis: 6(4) - 11.
  2. Multiplica: 6(4) = 24.
  3. Resta: 24 - 11 = 13.

La figura lo resume:

Plug-in diagram for 6x − 11 at x = 4: substitute to get 6(4) − 11, multiply to get 24 − 11, subtract to get 13. A note warns that 6x means 6 times x, not the number 64.6x − 11substitute in ( )6(4) − 11multiply: 6(4) = 2424 − 11subtract13x = 46x means 6 × xnot 64
Diagrama de sustitución: 6x − 11 con x = 4 da 13

Respuesta: 13

Comprobación: 6x significa "6 por x", no "64". 6 \times 4 = 24 ✓, y 24 - 11 = 13 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: Dos variables con negativos

Evalúa -3x + 2y cuando x = -2 y y = -5.

  1. Sustituye: -3(-2) + 2(-5).
  2. Multiplica: -3(-2) = 6 (negativo × negativo) y 2(-5) = -10.
  3. Suma: 6 + (-10) = -4.

La figura lo resume:

Number line from −6 to 8 for −3x + 2y at x = −2, y = −5. A blue arrow from 0 to 6 shows −3(−2) = +6. A red arrow from 6 moving 10 units left shows adding 2(−5) = −10, ending at −4.−3(−2) + 2(−5) = 6 + (−10) = −4−6−5−4−3−2−1012345678−3(−2) = +6+ 2(−5) = −10: move 10 leftend −4
Recta numérica: 6 + (−10) = −4

Respuesta: -4

Comprobación: hazlo en la calculadora con la tecla (−): (−) 3 × (−) 2 + 2 × (−) 5 enter → -4 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal): La cuenta de un electricista

Un electricista cobra $40 por la visita más $65 por hora. El costo en dólares por h horas es 65h + 40. ¿Cuánto cuesta un trabajo de 2.5 horas?

  1. Sustituye: 65(2.5) + 40.
  2. Primero multiplica: 65(2.5) = 162.5.
  3. Suma el cargo: 162.5 + 40 = 202.5.

La figura lo resume:

Bar model of the electrician bill 65h + 40 at h = 2.5: bars for hour 1 (65 dollars), hour 2 (65 dollars) and half an hour (32.50 dollars) make labor 65(2.5) = 162.50, dollars then the 40 dollars trip fee is added. Total: 202.50. dollars65h + 40 at h = 2.565hour 165hour 232.50½ hour40trip feelabor: 65(2.5) = 162.50+ 40Total bill: 162.50 + 40 = $202.50
Modelo de barras de la cuenta del electricista de 202.50 dólares

Respuesta: $202.50

Comprobación: 2 horas cuestan $130 y media hora cuesta $32.50, así que la mano de obra es $162.50; más $40 son $202.50 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problema verbal): Interés simple con la hoja de fórmulas

El interés simple es I = prt (está en la hoja de fórmulas del GED®), donde p es el capital, r es la tasa anual en forma decimal y t es el tiempo en años. Halla el interés de $2,400 al 3.5% durante 3 años.

  1. Convierte la tasa: 3.5\% = 0.035.
  2. Sustituye: I = (2400)(0.035)(3).
  3. Multiplica: 2400 \times 0.035 = 84, luego 84 \times 3 = 252.

La figura lo resume:

Bar model for simple interest I = prt with p = 2400, r = 0.035 and t = 3: each year earns 2400 × 0.035 = 84, dollars shown as three equal bars labelled year 1, year 2 and year 3. Together they make 84 × 3 = 252. dollarsI = prt = (2400)(0.035)(3)one year: 2400 × 0.035 = $84$84year 1$84year 2$84year 33 years: 84 × 3 = $252 interest
Tres años de 84 dólares de interés suman 252 dólares

Respuesta: $252

Comprobación: el 1% de $2,400 es $24, así que el 3.5% es 3.5 \times 24 = 84 dólares por año; en 3 años, 84 \times 3 = 252 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): Trabajar hacia atrás

Rentar un carro cuesta 45 + 0.30m dólares, donde m es el número de millas recorridas. La cuenta de Dana fue de $73.80. ¿Cuántas millas manejó?

  1. Iguala la expresión a la cuenta: 45 + 0.30m = 73.80.
  2. Deshaz la suma: 0.30m = 73.80 - 45 = 28.80.
  3. Deshaz la multiplicación: m = 28.80 \div 0.30 = 96.

La figura lo resume:

Working backwards for the rental 45 + 0.30m = 73.80. Forward row: m miles, times 0.30, plus 45, gives 73.80. Backward row, read right to left: 73.80 minus 45 is 28.80, divided by 0.30 is 96 miles.Forward: how the bill is builtm miles× 0.300.30m+ 4573.80Backward: undo in reverse order96 miles÷ 0.3028.80− 4573.80
Flujo hacia adelante y hacia atrás para 45 + 0.30m = 73.80

Respuesta: 96 millas

Comprobación: sustituye m = 96: 45 + 0.30(96) = 45 + 28.80 = 73.80 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

La calculadora ayuda mucho para evaluar expresiones con decimales o números grandes. Tres hábitos la hacen confiable:

  1. Usa la tecla (−) para los números negativos, no la tecla de resta −. Para escribir -3, presiona (−) 3.
  2. Escribe paréntesis alrededor de cada negativo que sustituyas. Para -2x + 9 con x = -3, escribe (−) 2 × ( (−) 3 ) + 9 enter → 15.
  3. Agrupa el numerador y el denominador de una fracción. Para \dfrac{3x - 2y}{4}, usa la tecla n/d y escribe todo el numerador en la casilla de arriba, o escribe ( 3 × 6 − 2 × ( (−) 3 ) ) ÷ 4. Sin los paréntesis de afuera, la calculadora divide entre 4 solo el último término.

La TI-30XS sigue el orden de las operaciones automáticamente, así que puedes escribir la expresión tal como está. Cuando la respuesta es una fracción, presiona toggle para cambiar entre la forma de fracción y la decimal.

Cuándo no usarla: las sustituciones sencillas con números enteros, como 4x - 7 con x = 5, son más rápidas de cabeza, y el GED® tiene una sección sin calculadora con algunos cálculos.

Error común

Errores comunes

  • Escribir el número junto al coeficiente. Incorrecto: 4x con x = 5 es 45. Correcto: 4x = 4 \cdot 5 = 20.
  • Sumar antes de multiplicar. Incorrecto: 45h + 60 con h = 3.5 es (45 + 60)(3.5) = 367.5. Correcto: primero multiplica, 157.5 + 60 = 217.5.
  • Negativo por negativo. Incorrecto: -2(-3) = -6. Correcto: -2(-3) = +6.
  • Restar un negativo. Incorrecto: 7 - 3(-4) = 7 - 12 = -5. Correcto: 3(-4) = -12 y 7 - (-12) = 19.
  • Dividir solo una parte de una fracción. Incorrecto: \dfrac{18 + 6}{4} = 18 + 1.5. Correcto: primero suma el numerador: \dfrac{24}{4} = 6.
  • Olvidar la parte fija en los problemas de "trabajar hacia atrás". Incorrecto: 73.80 \div 0.30 = 246 millas. Correcto: primero resta los $45 y luego divide.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Escribe la expresión y luego sustituye entre paréntesis. Vale la pena tardar cinco segundos más en cada pregunta.
  • Estima primero. Para 65h + 40 con h = 2.5, una respuesta aproximada es 65 \times 2.5 \approx 160, más 40, unos $200. Eso descarta enseguida opciones como $102.50 o $262.50.
  • Detecta las respuestas trampa. Si ves una opción que es tu respuesta con el signo contrario, ve más despacio y revisa otra vez tus negativos.
  • Preguntas de trabajar hacia atrás: también puedes sustituir cada opción de respuesta en la expresión y ver cuál da el resultado indicado.
  • Revisa las unidades. ¿La respuesta está en dólares, millas, minutos o grados? A veces la pregunta pide las horas, no el costo.
  • Lee dos veces. Asegúrate de haber sustituido cada valor en la variable correcta, sobre todo cuando hay dos o tres variables.

Compruébalo

Evaluar expresiones linealesSin calculadora

What is the value of 4x - 7 when x = 5?

Opciones de respuesta
Pista

4x means 4 times x. Multiply before you subtract.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el valor de 4x - 7 cuando x = 5?

Opciones

  • A. 2
  • B. 13
  • C. 27
  • D. 38
Pista

4x significa 4 por x. Multiplica antes de restar.

Compruébalo

Evaluar expresiones linealesSin calculadoraCompletar

Evaluate 3a + 2b when a = 4 and b = -5.

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Substitute both values in parentheses. What is 2 \times (-5)?

Ver en español

Pregunta

Evalúa 3a + 2b cuando a = 4 y b = -5.

Pista

Sustituye los dos valores entre paréntesis. ¿Cuánto es 2 \times (-5)?

Resumen

  • Evaluar = sustituir los números dados y calcular.
  • Pon cada número que sustituyas entre paréntesis, sobre todo los negativos.
  • Sigue el orden de las operaciones: paréntesis, exponentes, multiplicar/dividir, sumar/restar.
  • Reglas de los signos: negativo × negativo = positivo; restar un negativo = sumar.
  • Una barra de fracción agrupa todo el numerador y todo el denominador.
  • Para trabajar hacia atrás, deshaz las operaciones en orden inverso o sustituye las opciones de respuesta.
Practicar esta destreza →