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Simplificar expresiones lineales: términos semejantes, propiedad distributiva y factorización

Combina términos semejantes, aplica la propiedad distributiva y saca el máximo común divisor como factor.

Practicar esta destreza 20 min Expresiones lineales: combinar, factorizar, desarrollar Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una expresión algebraica es una frase matemática con números, letras y operaciones, como 3x + 12 o 5(2x - 3). En esta lección vas a aprender a:

  • combinar términos semejantes para que una expresión larga quede corta,
  • usar la propiedad distributiva para multiplicar (desarrollar) una expresión como 4(2x - 5),
  • sacar el máximo común divisor (MCD) como factor para ir en sentido contrario, de 6x + 15 a 3(2x + 5),
  • sumar y restar expresiones completas, incluido el caso difícil de restar algo que está entre paréntesis.

Por qué importa en el GED®: casi todas las preguntas de álgebra usan estos pasos. A veces la pregunta te lo pide directamente: "¿Qué expresión es equivalente a …?". Con más frecuencia, simplificar es el primer paso para resolver una ecuación, escribir una fórmula a partir de un problema verbal o hallar un perímetro. Si puedes simplificar rápido y sin errores de signo, el resto de la sección de álgebra se vuelve mucho más fácil.

En la vida real: una factura de teléfono, un cheque de pago con horas extra o el costo de unos boletos más los cargos se pueden escribir como expresiones. Al simplificar, ves de un vistazo el costo real por artículo y los cargos fijos.

Vocabulario

Palabras que debes conocer

  • Variable: una letra que representa un número que puede cambiar (en 4x + 7, la variable es x).
  • Término: cada parte de una expresión separada por signos + o - (4x + 7 tiene dos términos: 4x y 7).
  • Coeficiente: el número que multiplica a una variable (en 4x, el coeficiente es 4; en x es 1; en -x es -1).
  • Constante: un término sin variable (el 7 en 4x + 7).
  • Términos semejantes: términos con exactamente la misma parte variable (3x y -8x son términos semejantes; 3x y 3 no lo son).
  • Expresión lineal: una expresión en la que la variable no tiene un exponente mayor que 1 (2x - 9 es lineal; x^2 + 1 no lo es).
  • Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac: el número de afuera multiplica a cada término de adentro (2(x + 5) = 2x + 10).
  • Desarrollar: quitar los paréntesis aplicando la propiedad distributiva (3(x - 1) se desarrolla como 3x - 3).
  • Factorizar: escribir como un producto; es lo contrario de desarrollar (3x - 3 = 3(x - 1)).
  • Máximo común divisor (MCD): el número (y la variable) más grande que divide a todos los términos (12x + 18 tiene MCD 6).
  • Expresiones equivalentes: expresiones que dan el mismo valor para cualquier valor de la variable (2(x + 3) y 2x + 6).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Combinar términos semejantes

Solo puedes sumar o restar términos semejantes. Piensa en x como una etiqueta, por ejemplo "cajas". Tres cajas más cinco cajas son ocho cajas: 3x + 5x = 8x. Pero tres cajas más cinco dólares sueltos no son ocho de nada: 3x + 5 se queda como 3x + 5.

Regla: para combinar términos semejantes, suma o resta los coeficientes y deja igual la parte variable.

  • 7x + 2x = 9x
  • 7x - 2x = 5x
  • x + 4x = 5x (recuerda que x significa 1x)
  • -3x + x = -2x
  • 6x - 6x = 0 (los términos con x se cancelan)

Método paso a paso para una expresión larga:

  1. Considera el signo que está delante de cada término como parte de ese término. En 5x + 3 - 2x + 7, los términos son +5x, +3, -2x, +7.
  2. Agrupa los términos con x y agrupa las constantes: (5x - 2x) + (3 + 7).
  3. Combina cada grupo: 3x + 10.
Algebra tiles for 5x + 3 − 2x + 7. Five blue x-tiles and two red negative x-tiles: two blue and two red make zero pairs, leaving 3x. The constants are 3 unit tiles and 7 unit tiles, 10 in all. Result: 3x + 10.Simplify 5x + 3 − 2x + 7x-terms: +5x and −2xconstants: +3 and +7xxxxx−x−x2 zero pairs = 0left: 3x1113111111173 + 7 = 10Result: 3x + 10x-tile = x, small square = 1, red = negative
Fichas de álgebra: 5x + 3 − 2x + 7 = 3x + 10

Puedes cambiar los términos de lugar porque la suma se puede hacer en cualquier orden, pero cada término debe llevar su propio signo. Un error común es mover -2x y olvidar su signo menos.

ExpresiónAgrupar términos semejantesSimplificada
4x + 9 + 3x - 2(4x + 3x) + (9 - 2)7x + 7
8 - x + 5x - 12(-x + 5x) + (8 - 12)4x - 4
0.5x + 3 - 1.5x(0.5x - 1.5x) + 3-x + 3
\tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4}x\left(\tfrac{2}{4} + \tfrac{1}{4}\right)x\tfrac{3}{4}x

Lo usual es escribir la respuesta con el término de x primero y la constante al final, pero 10 + 3x es exactamente lo mismo que 3x + 10. En el GED®, las opciones de respuesta pueden estar escritas en cualquier orden.

La propiedad distributiva: desarrollar

Cuando un número está justo delante de un paréntesis, multiplica a cada término de adentro:

a(b + c) = ab + ac \qquad a(b - c) = ab - ac
Area model for 3 times (x + 4): a rectangle 3 units tall and x + 4 units wide, split into a 3-by-x part with area 3x and a 3-by-4 part with area 12, so the total area is 3x + 12.x433x12Total area: 3(x + 4) = 3x + 12
Modelo de área para 3(x + 4)

La figura muestra por qué. Un rectángulo de 3 de alto y x + 4 de ancho está formado por dos rectángulos más pequeños: uno mide 3 por x (área 3x) y otro mide 3 por 4 (área 12). Entonces 3(x + 4) = 3x + 12.

Ejemplos:

  • 4(2x - 5) = 4 \cdot 2x - 4 \cdot 5 = 8x - 20
  • \tfrac{1}{2}(6x + 10) = 3x + 5
  • (x + 7) \cdot 3 = 3x + 21 (el número también puede estar a la derecha)
Box model for 4(2x − 5): one row labelled 4 and two columns labelled 2x and −5. The cells are 4 · 2x = 8x and 4 · (−5) = −20 (shown in red as negative), so 4(2x − 5) = 8x − 20.4 · 2x = 8x4 · (−5) = −202x−544(2x − 5) = 8x − 20The 4 multiplies every term inside.
Modelo de caja: 4(2x − 5) = 8x − 20

Números negativos afuera. Multiplica también el signo. Un negativo por un negativo da positivo.

  • -2(x + 6) = -2x - 12
  • -2(x - 6) = -2x + 12 porque (-2)(-6) = +12
  • -(3x - 8) = -3x + 8: un signo menos solo delante de un paréntesis significa -1, así que todos los signos de adentro cambian.

Restar un grupo. En 3(2x - 4) - 2(x - 5), el número de afuera del segundo grupo es -2, no 2. Entonces:

3(2x - 4) - 2(x - 5) = 6x - 12 - 2x + 10 = 4x - 2

Siempre aplica primero la propiedad distributiva y después combina los términos semejantes. Este orden sigue el orden de las operaciones: la multiplicación (distribuir) va antes que la suma y la resta.

Sacar el MCD como factor: ir hacia atrás

Factorizar deshace la propiedad distributiva. Buscas el número más grande que divide a todos los términos, lo sacas al frente y escribes lo que queda dentro del paréntesis.

Pasos para sacar el MCD como factor:

  1. Halla el MCD de los coeficientes y de las constantes. Para 12x + 18: los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12; los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18. El mayor que está en las dos listas es 6.
  2. Divide cada término entre el MCD: 12x \div 6 = 2x y 18 \div 6 = 3.
  3. Escribe el MCD afuera y los resultados adentro: 12x + 18 = 6(2x + 3).
  4. Comprueba aplicando de nuevo la propiedad distributiva: 6(2x + 3) = 12x + 18 ✓.
Factoring 12x + 18 with an area model: a rectangle with total area 12x + 18 is split into parts of area 12x and 18. The common height is the GCF 6, so the widths are 12x ÷ 6 = 2x and 18 ÷ 6 = 3. Therefore 12x + 18 = 6(2x + 3).12x182x36(GCF)12x ÷ 6 = 2x18 ÷ 6 = 312x + 18 = 6(2x + 3)
Modelo de área: 12x + 18 = 6(2x + 3)

Más ejemplos:

  • 6x + 15 = 3(2x + 5)
  • 8x - 20 = 4(2x - 5)
  • 7x + 7 = 7(x + 1): cuando un término es el mismo MCD, queda un 1, no un 0.
  • -10x + 25 = -5(2x - 5): puedes sacar un MCD negativo; entonces todos los signos de adentro cambian.
  • 9x + 6y - 3 = 3(3x + 2y - 1): también funciona con más de dos términos.

Factorizada "completamente" significa que lo que está dentro del paréntesis ya no tiene ningún factor común. 24x + 36 = 2(12x + 18) es equivalente, pero no está completamente factorizada porque 12x + 18 todavía comparte un 6. El MCD es 12: 24x + 36 = 12(2x + 3).

¿Puedes sacar la x? Solo si todos los términos tienen una x. En 6x + 15, el 15 no tiene x, así que x no es un factor común.

Fórmula

Propiedades clave (memorízalas: no están en la hoja de fórmulas)

a(b + c) = ab + ac \qquad\qquad a(b - c) = ab - ac -(b - c) = -b + c \qquad\qquad ax + bx = (a + b)x
  • a es el número (o término) que está fuera del paréntesis; b y c son los términos de adentro.
  • La primera línea es la propiedad distributiva. Leída de izquierda a derecha, desarrolla. Leída de derecha a izquierda, factoriza.
  • La última regla, ax + bx = (a + b)x, explica por qué funciona combinar términos semejantes: 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x.

Estas reglas no están en la hoja de fórmulas del GED®. Son propiedades básicas de los números que se espera que sepas.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): Combinar términos semejantes

Simplifica 7x + 4 - 3x + 9.

  1. Escribe los términos con sus signos: +7x, +4, -3x, +9.
  2. Agrupa: (7x - 3x) + (4 + 9).
  3. Combina: 7x - 3x = 4x y 4 + 9 = 13.

La figura lo resume:

Sorting the terms of 7x + 4 − 3x + 9: the chips +7x and −3x go into the x-terms bin, giving 7x − 3x = 4x; the chips +4 and +9 go into the constants bin, giving 13. Answer: 4x + 13.7x + 4 − 3x + 9+7x+4−3x+9x-terms7x − 3x = 4xconstants4 + 9 = 13Answer: 4x + 13
Clasificación de los términos de 7x + 4 − 3x + 9 en términos con x y constantes

Respuesta: 4x + 13

Comprobación: sea x = 1. Original: 7 + 4 - 3 + 9 = 17. Respuesta: 4 + 13 = 17 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: Distribuir con un negativo

Simplifica 5(2x - 3) - 4(x - 6).

  1. Distribuye el 5: 5 \cdot 2x - 5 \cdot 3 = 10x - 15.
  2. Distribuye el -4 (deja el signo menos junto al 4): (-4)(x) + (-4)(-6) = -4x + 24.
  3. Escríbelo todo: 10x - 15 - 4x + 24.
  4. Combina: (10x - 4x) + (-15 + 24) = 6x + 9.

La figura lo resume:

Two box models for 5(2x − 3) − 4(x − 6). First box: row 5, columns 2x and −3, cells 10x and −15. Second box: row −4, columns x and −6, cells −4x and +24 (negative times negative is positive). Adding all cells: 10x − 15 − 4x + 24 = 6x + 9.10x−152x−35−4x+24x−6−45(2x − 3)− 4(x − 6)+10x − 15 − 4x + 24= (10x − 4x) + (−15 + 24) = 6x + 9
Modelos de caja para 5(2x − 3) − 4(x − 6)

Respuesta: 6x + 9

Comprobación: sea x = 1. Original: 5(-1) - 4(-5) = -5 + 20 = 15. Respuesta: 6 + 9 = 15 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal): Boletos y cargos

Tres amigos compran cada uno un boleto para un concierto que cuesta x dólares más un cargo por servicio de $6 por boleto. Además pagan un solo cargo de estacionamiento de $4 por el carro. Escribe una expresión simplificada para el costo total.

  1. Costo de un boleto con su cargo: x + 6.
  2. Tres boletos: 3(x + 6).
  3. Suma el estacionamiento: 3(x + 6) + 4.
  4. Distribuye: 3x + 18 + 4.
  5. Combina las constantes: 3x + 22.

La figura lo resume:

Tape diagram for the ticket problem: three rows, one per friend, each made of a ticket bar x and a fee bar 6, bracketed as 3(x + 6), plus one parking bar of 4 for the car. Total: 3(x + 6) + 4 = 3x + 18 + 4 = 3x + 22 dollars.Three tickets, each x dollars + $6 fee, plus one $4 parking chargeFriend 1ticket xfee 6Friend 2ticket xfee 6Friend 3ticket xfee 63(x + 6)Car4← parking, paid onceTotal: 3(x + 6) + 4 = 3x + 18 + 4 = 3x + 22
Diagrama de cinta: tres boletos con cargos más el estacionamiento

Respuesta: 3x + 22 dólares

Comprobación: si un boleto cuesta $50, cada amigo paga $56, así que los tres pagan $168, y con los $4 del estacionamiento son $172. Fórmula: 3(50) + 22 = 172 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problema verbal): Sacar el MCD

Una cerca tiene una longitud total de 12x + 18 pies. Está hecha de 6 secciones iguales. Escribe una expresión para la longitud de una sección.

  1. Halla el MCD de 12x y 18: es 6.
  2. Factoriza: 12x + 18 = 6(2x + 3).
  3. Son seis secciones iguales, cada una de 2x + 3 pies de largo.

La figura lo resume:

A fence of total length 12x + 18 feet drawn as 6 equal sections between posts, each section labelled 2x + 3. Because 12x + 18 = 6(2x + 3), one section is 2x + 3 feet long.Whole fence: 12x + 18 feet2x + 3#12x + 3#22x + 3#32x + 3#42x + 3#52x + 3#66 equal sections: 12x + 18 = 6(2x + 3)One section = 2x + 3 feet
Cerca de 12x + 18 pies en 6 secciones de 2x + 3

Respuesta: 2x + 3 pies

Comprobación: 6(2x + 3) = 12x + 18 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): Hallar el número que falta

¿Para qué valor de a la expresión a(3x - 2) + 4x es equivalente a 19x - 10?

  1. Distribuye: a(3x - 2) = 3ax - 2a.
  2. La expresión completa es 3ax - 2a + 4x = (3a + 4)x - 2a.
  3. Iguala los coeficientes de x: 3a + 4 = 19, así que 3a = 15 y a = 5.
  4. Iguala las constantes para confirmar: -2a = -2(5) = -10 ✓

La figura lo resume:

Matching parts of equivalent expressions: the top row (3a + 4)x − 2a is matched with the bottom row 19x − 10. Matching the x-coefficients gives 3a + 4 = 19, so a = 5; matching the constants gives 2a = 10, so a = 5 again, which confirms the answer.a(3x − 2) + 4x = 3ax − 2a + 4x(3a + 4)x−2a19x−10matchmatch3a + 4 = 19 → a = 52a = 10 → a = 5 ✓
Comparación de (3a + 4)x − 2a con 19x − 10

Respuesta: a = 5

Comprobación: 5(3x - 2) + 4x = 15x - 10 + 4x = 19x - 10 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

Simplificar expresiones es sobre todo cálculo mental: no necesitas la calculadora para combinar 7x y -3x. Pero la calculadora es muy buena para comprobar.

La comprobación "sustituye un número": elige un valor fácil, como x = 2, y calcula tanto la expresión original como tu respuesta. Deben dar lo mismo.

Por ejemplo, para comprobar que 5(2x - 3) - 4(x - 6) = 6x + 9 con x = 2:

  • Escribe 5 ( 2 × 2 − 3 ) − 4 ( 2 − 6 ) enter → 21.
  • Escribe 6 × 2 + 9 enter → 21 ✓

Usa la tecla (−) (no la tecla de resta) para escribir un número negativo como -3. No uses x = 0 ni x = 1 como tu única prueba: pueden esconder errores. Si dos opciones de respuesta dan el mismo valor con un número de prueba, prueba con un segundo número.

Error común

Errores comunes

  • Distribuir solo al primer término. Incorrecto: 3(x + 4) = 3x + 4. Correcto: 3(x + 4) = 3x + 12; el 3 multiplica a los dos términos.
  • Perder el negativo al distribuir. Incorrecto: -2(x - 5) = -2x - 10. Correcto: (-2)(-5) = +10, así que -2(x - 5) = -2x + 10.
  • Combinar términos no semejantes. Incorrecto: 5x + 3 = 8x. Correcto: 5x y 3 no son términos semejantes; 5x + 3 ya está simplificada.
  • Olvidar el signo de un término al reagrupar. Incorrecto: 8 - x + 5x da 6x + 8. Correcto: el primer término con x es -x, así que -x + 5x = 4x, y queda 4x + 8.
  • Sacar como factor un número que no es el mayor. 24x + 36 = 2(12x + 18) es equivalente, pero no está factorizada completamente. Correcto: 12(2x + 3).
  • Dejar 0 en lugar de 1 al factorizar. Incorrecto: 7x + 7 = 7(x + 0). Correcto: 7 \div 7 = 1, así que 7(x + 1).
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Lee qué forma te piden. "Equivalente a" significa cualquier forma correcta. "Factorizada completamente" significa que hay que sacar el MCD. "Simplificada" significa sin paréntesis y sin términos semejantes por combinar.
  • Sustituye un número de prueba. Si no estás seguro, elige x = 2 (o x = 3). Halla el valor de la expresión original y luego prueba cada opción de respuesta. Solo la equivalente coincide. Muchas veces esto es más rápido que hacer el álgebra.
  • Descarta primero por la constante. En "simplifica 3(2x - 4) - 2(x - 5)", las constantes son -12 y +10, así que la constante debe ser -2. Tacha todas las opciones que no tengan -2.
  • Cuidado con los signos de resta. Antes de distribuir, encierra en un círculo cualquier signo menos que esté delante de un paréntesis. Muchas opciones incorrectas salen de ese paso.
  • Comprueba la factorización desarrollando. Multiplicar de nuevo toma cinco segundos y detecta casi todos los errores de factorización.
  • Sigue avanzando. Estas preguntas deberían tomarte más o menos un minuto. Si te atoras, sustituye un número, elige la opción que coincide y sigue adelante.

Compruébalo

Expresiones lineales: combinar, factorizar, desarrollar

Which expression is equivalent to 5x + 3 - 2x + 7?

Opciones de respuesta
Pista

Group the x-terms together and the plain numbers together. Keep each term's own sign.

Ver en español

Pregunta

¿Qué expresión es equivalente a 5x + 3 - 2x + 7?

Opciones

  • A. 7x + 10
  • B. 13x
  • C. 3x - 4
  • D. 3x + 10
Pista

Agrupa los términos con x por un lado y los números solos por otro. Cada término conserva su propio signo.

Compruébalo

Expresiones lineales: combinar, factorizar, desarrollarCompletar

Use the distributive property to expand 4(2x - 5).

4(2x - 5) = x \; -

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

The 4 outside multiplies each term inside the parentheses, not just the first one.

Ver en español

Pregunta

Usa la propiedad distributiva para desarrollar 4(2x - 5).

4(2x - 5) = _____ x \; - _____

Pista

El 4 de afuera multiplica a cada término dentro del paréntesis, no solo al primero.

Resumen

  • Solo se pueden combinar términos semejantes (con la misma parte variable): suma o resta sus coeficientes. 3x + 5x = 8x, pero 3x + 5 se queda como está.
  • Distribuye el número de afuera a cada término dentro del paréntesis: a(b + c) = ab + ac.
  • Un signo menos delante de un paréntesis cambia todos los signos de adentro: -(3x - 8) = -3x + 8.
  • Primero distribuye, después combina términos semejantes.
  • Factoriza sacando el máximo común divisor y dividiendo cada término entre él; comprueba desarrollando de nuevo.
  • Comprueba cualquier respuesta sustituyendo un número como x = 2: las expresiones equivalentes siempre dan el mismo valor.
Practicar esta destreza →