Lo que vas a aprender
En esta lección vas a aprender a hallar la probabilidad (la posibilidad) de que algo pase. Vas a empezar con un solo evento (un giro, una extracción) y avanzar hasta los eventos compuestos: dos o más cosas que pasan juntas ("y"), una de dos cosas que pasa ("o"), y extracciones con o sin reemplazo.
Por qué es importante en el GED®: las preguntas de probabilidad aparecen con ruletas, bolsas de canicas, dados, tablas de encuestas y situaciones reales como el control de calidad o el pronóstico del tiempo. Te pueden pedir la respuesta como fracción, decimal o porcentaje, así que necesitas pasar de una forma a otra.
En la vida real: un 30% de probabilidad de lluvia, la posibilidad de una pieza defectuosa en un envío, la posibilidad de ganar una rifa o la posibilidad de que dos clientes al azar paguen en efectivo: todo esto es probabilidad.
Vocabulario
- Experimento — una acción con resultados inciertos. Ejemplo: lanzar un dado.
- Resultado — un resultado posible. Ejemplo: sacar un 4.
- Espacio muestral — la lista de todos los resultados posibles. Ejemplo: {1, 2, 3, 4, 5, 6} para un dado.
- Evento — el resultado o los resultados que te interesan. Ejemplo: "sacar un número par" = {2, 4, 6}.
- Resultados favorables — los resultados que hacen que el evento ocurra. Ejemplo: 3 resultados favorables para "par".
- Probabilidad P(A) — un número de 0 (imposible) a 1 (seguro). Ejemplo: P(\text{par}) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}.
- Complemento ("no A") — todo lo que no es A. Ejemplo: P(\text{no par}) = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
- Evento compuesto — dos o más eventos combinados con "y" u "o".
- Eventos independientes — uno no cambia la probabilidad del otro. Ejemplo: lanzar una moneda y lanzar un dado.
- Eventos dependientes — el primer resultado cambia la probabilidad del segundo. Ejemplo: sacar dos cartas sin devolver la primera.
- Con reemplazo — el objeto se devuelve antes de la siguiente extracción (el total no cambia).
- Sin reemplazo — el objeto se queda afuera (el total baja en 1).
- Mutuamente excluyentes — los eventos no pueden pasar los dos a la vez. Ejemplo: sacar un 2 y sacar un 5 en un solo lanzamiento.
1. Probabilidad simple
Cuando todos los resultados son igual de probables:
P(\text{evento}) = \frac{\text{número de resultados favorables}}{\text{número total de resultados}}Ejemplo: Una bolsa tiene 5 canicas rojas, 3 azules y 2 verdes (10 en total). P(\text{azul}) = \dfrac{3}{10} = 0.3 = 30\%.
Ejemplo: La ruleta de abajo tiene 8 secciones iguales. P(\text{un número mayor que 5}) = \dfrac{3}{8} porque 6, 7 y 8 son favorables.
Cómo escribir la respuesta. Te pueden pedir cualquiera de estas formas: \tfrac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%. Para convertir una fracción en porcentaje, divide y multiplica por 100.
La regla del complemento. La probabilidad de que algo no pase es 1 menos la probabilidad de que sí pase:
P(\text{no } A) = 1 - P(A)Ejemplo: Si hay un 30% de probabilidad de lluvia, hay un 100\% - 30\% = 70\% de probabilidad de que no llueva.
Probabilidad frente a posibilidades a favor (odds). La probabilidad compara los casos favorables con el total. Las "posibilidades a favor" (odds) comparan los favorables con los desfavorables (3 azules contra 7 que no son azules). El GED® pregunta por la probabilidad, así que siempre divide entre el total.
A partir de datos. En una tabla o encuesta, el "total" es el número de personas u objetos del grupo del que eliges.
Ejemplo: 40 empleados: 12 manejan, 18 toman el autobús, 10 caminan. P(\text{camina}) = \tfrac{10}{40} = \tfrac{1}{4}.
2. "Y": eventos independientes y dependientes
Para "A y B" (pasan los dos), multiplica:
P(A \text{ y } B) = P(A) \times P(B \text{, después de } A)Eventos independientes: la segunda probabilidad no cambia.
Ejemplo: Lanza un dado y una moneda. P(4 \text{ y cara}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}.
Ejemplo (con reemplazo): Una bolsa tiene 4 canicas rojas y 6 azules. Saca una, devuélvela y saca otra vez. P(\text{roja, roja}) = \dfrac{4}{10} \times \dfrac{4}{10} = \dfrac{16}{100} = 0.16.
Eventos dependientes: la primera extracción cambia lo que queda. Actualiza tanto el número de casos favorables como el total.
Ejemplo (sin reemplazo): La misma bolsa, pero quédate con la primera canica. Después de sacar una roja, quedan 3 rojas de 9 canicas. P(\text{roja, roja}) = \dfrac{4}{10} \times \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15} \approx 0.133.
| 1.ª extracción | 2.ª extracción | P(\text{roja, roja}) | |
|---|---|---|---|
| Con reemplazo | \tfrac{4}{10} | \tfrac{4}{10} | 0.16 |
| Sin reemplazo | \tfrac{4}{10} | \tfrac{3}{9} | \approx 0.133 |
Observa que "y" siempre hace la probabilidad más pequeña (o igual): es más difícil que pasen dos cosas que una sola.
"Al menos uno": usa el complemento. P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno}).
Ejemplo: Cada pieza tiene un 10% de probabilidad de salir defectuosa. Para 3 piezas, P(\text{ninguna defectuosa}) = 0.9^3 = 0.729, así que P(\text{al menos una defectuosa}) = 1 - 0.729 = 0.271.
3. "O": sumar probabilidades
Para "A o B" (pasa al menos uno de los dos en una sola prueba), suma, pero no cuentes nada dos veces:
P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ y } B)Eventos mutuamente excluyentes (no pueden pasar los dos): la parte común es 0, así que solo suma.
Ejemplo: 40 empleados: 12 manejan, 18 van en autobús, 10 caminan (cada persona usa una sola forma). P(\text{maneja o camina}) = \dfrac{12}{40} + \dfrac{10}{40} = \dfrac{22}{40} = 0.55.
Eventos que se superponen: resta una vez la parte común.
Ejemplo: En una clase de 30, 18 practican un deporte, 12 están en la banda y 5 hacen las dos cosas. Sumar 18 + 12 = 30 cuenta dos veces a esas 5 personas.
P(\text{deporte o banda}) = \frac{18}{30} + \frac{12}{30} - \frac{5}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}Tablas de doble entrada. Lee la fila o la columna que corresponde al grupo del que eliges.
| Café | Té | Total | |
|---|---|---|---|
| Menores de 30 | 38 | 42 | 80 |
| De 30 o más | 92 | 28 | 120 |
| Total | 130 | 70 | 200 |
- Elige a cualquier persona: P(\text{té}) = \tfrac{70}{200} = 0.35.
- Elige a cualquier persona: P(\text{menor de 30 y té}) = \tfrac{42}{200} = 0.21.
- Elige solo entre los que toman té: P(\text{menor de 30}) = \tfrac{42}{70} = 0.6. Ahora el total es 70, no 200.
Guía para decidir: "y" / "ambos" / "seguidos" → multiplica. "o" / "cualquiera de los dos" → suma (menos la parte común). "no" / "al menos uno" → usa 1 - P.
Fórmulas (apréndelas de memoria)
P(A) = \frac{\text{resultados favorables}}{\text{resultados totales}} \qquad P(\text{no } A) = 1 - P(A) P(A \text{ y } B) = P(A) \times P(B \text{ después de } A) P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ y } B)- P(A) siempre está entre 0 y 1 (de 0% a 100%).
- Para eventos independientes, P(B \text{ después de } A) es simplemente P(B).
- Para eventos mutuamente excluyentes, P(A \text{ y } B) = 0.
Estas reglas de probabilidad no están en la hoja de fórmulas del GED®: apréndelas de memoria. La buena noticia es que todas salen de una sola idea: favorables ÷ total.
Ejemplo resuelto 1 (fácil): una sola extracción
Un frasco tiene 6 dulces de cereza, 4 de limón y 5 de uva. Mia saca uno sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de limón?
- Total de dulces: 6 + 4 + 5 = 15.
- Favorables (limón): 4.
- P(\text{limón}) = \dfrac{4}{15} \approx 0.267.
Respuesta: \tfrac{4}{15} (aproximadamente 26.7%).
Comprobación: P(\text{no limón}) = \tfrac{11}{15}, y \tfrac{4}{15} + \tfrac{11}{15} = 1 ✓
Ejemplo resuelto 2: "y" con eventos independientes
Una jugadora de baloncesto encesta el 70% de sus tiros libres. Cada tiro es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que enceste los dos próximos tiros libres?
- "Los dos" significa "y" → multiplica.
- P(\text{encesta, encesta}) = 0.7 \times 0.7 = 0.49.
Respuesta: 0.49, o sea, 49%.
Comprobación: Encestar los dos (0.49) es menos que encestar uno (0.7), y eso tiene sentido: "y" es más difícil ✓
Ejemplo resuelto 3 (vida real): sin reemplazo
Una caja de 12 focos tiene 3 focos defectuosos. Un inspector escoge 2 focos al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos estén defectuosos?
- Primer foco: P(\text{defectuoso}) = \dfrac{3}{12}.
- Ya salió un foco defectuoso: quedan 2 defectuosos de 11 focos. P(\text{2.º defectuoso}) = \dfrac{2}{11}.
- Multiplica: \dfrac{3}{12} \times \dfrac{2}{11} = \dfrac{6}{132} = \dfrac{1}{22}.
Respuesta: \tfrac{1}{22} (aproximadamente 4.5%).
Comprobación: Con combinaciones: \dfrac{{}_3C_2}{{}_{12}C_2} = \dfrac{3}{66} = \dfrac{1}{22} ✓
Ejemplo resuelto 4: "o" con parte común
Una encuesta a 50 compradores encontró que 30 usan cupones, 20 compran en línea y 8 hacen las dos cosas. Se elige un comprador al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador use cupones o compre en línea?
- "O" → suma y luego resta la parte común para no contar dos veces a los 8.
- P = \dfrac{30}{50} + \dfrac{20}{50} - \dfrac{8}{50} = \dfrac{42}{50}.
- \dfrac{42}{50} = 0.84.
Respuesta: 0.84, o sea, 84%.
Comprobación: Solo cupones 30 - 8 = 22, solo en línea 20 - 8 = 12, ambos 8: 22 + 12 + 8 = 42 ✓
Ejemplo resuelto 5 (nivel difícil del GED®): trabaja hacia atrás
Una bolsa tiene 3 canicas verdes y algunas canicas blancas. Se sacan dos canicas con reemplazo. La probabilidad de que las dos sean verdes es \tfrac{1}{16}. ¿Cuántas canicas blancas hay en la bolsa?
- Con reemplazo, P(\text{verde, verde}) = P(\text{verde})^2 = \tfrac{1}{16}.
- Entonces P(\text{verde}) = \sqrt{\tfrac{1}{16}} = \tfrac{1}{4}.
- \tfrac{3}{\text{total}} = \tfrac{1}{4}, así que el total es 3 \times 4 = 12 canicas.
- Canicas blancas = 12 - 3 = 9.
Respuesta: 9 canicas blancas.
Comprobación: \tfrac{3}{12} \times \tfrac{3}{12} = \tfrac{9}{144} = \tfrac{1}{16} ✓
Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView
- Escribe fracciones con la tecla
n/d:3n/d12▶×2n/d11enterda \tfrac{1}{22} ya simplificada. - Cambia de forma con la tecla
toggle: cambia la respuesta entre fracción y decimal (\tfrac{1}{22} \leftrightarrow 0.0454…). - Potencias para "y" repetido: 0.9^3 →
0.9^3enter= 0.729. - Porcentaje: multiplica el decimal por 100.
Cuándo NO usarla: las probabilidades sencillas como \tfrac{3}{10} o \tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{2} son más rápidas a mano. La calculadora no te dice si debes sumar o multiplicar, ni si el total debe bajar en 1: primero plantea el problema.
Errores comunes
- Dar las posibilidades a favor (odds) en vez de la probabilidad. 3 canicas azules de 10: las posibilidades a favor son 3 : 7, pero la probabilidad es \tfrac{3}{10} (divide entre el total), no \tfrac{3}{7}.
- Sumar cuando dice "y". P(4 \text{ y cara}) es \tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{12}, no \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{2}{3}. ¡Sumar para "y" puede dar incluso respuestas mayores que 1!
- Olvidar actualizar después de "sin reemplazo". Después de sacar una roja, hay 1 roja menos y 1 canica menos: \tfrac{4}{10} \times \tfrac{3}{9}, no \tfrac{4}{10} \times \tfrac{4}{10} (ni \tfrac{4}{10} \times \tfrac{3}{10}).
- Contar dos veces la parte común en "o". 18 en deportes + 12 en la banda no son 30 personas si 5 hacen las dos cosas. Resta una vez la parte común: 25.
- Confundir "al menos uno" con "todos". P(\text{al menos una defectuosa}) = 1 - P(\text{ninguna}), no 0.1 \times 0.1 \times 0.1.
- Usar el total equivocado en una tabla. "De los que toman té, qué fracción…" significa dividir entre el total de té (70), no entre el total general (200).
Estrategia para el examen GED®
- Revisa si tiene sentido: una probabilidad debe estar entre 0 y 1. Elimina cualquier respuesta mayor que 1 o menor que 0.
- "Y" no puede ser mayor que ninguna de las probabilidades solas; "o" no puede ser menor que ninguna de ellas. Usa esto para eliminar opciones rápido.
- Lee la pregunta dos veces buscando las palabras reemplazar / devolver / sin reemplazo, ambos, cualquiera, al menos uno y de los ___ (qué total usar).
- Revisa el formato de la respuesta: ¿fracción, decimal o porcentaje? Convierte al final y redondea solo al final.
- Simplifica las fracciones: las opciones de respuesta casi siempre están en su forma más simple. La tecla
n/dlo hace por ti. - Tiempo: la mayoría de las preguntas de probabilidad toman de 1 a 2 minutos. Si un problema se ve largo, escribe las dos fracciones y multiplícalas.
Compruébalo
A bag contains 7 yellow, 4 green, and 9 purple tiles. One tile is drawn at random.
What is the probability that the tile is green?
Pista
Probability compares the number of green tiles to the number of tiles in the whole bag.
Solución paso a paso
- Count the total: 7 + 4 + 9 = 20 tiles.
- Count the favorable outcomes (green): 4.
- P(\text{green}) = \frac{\text{favorable}}{\text{total}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}
- The probability is \tfrac{1}{5} (0.2, or 20%).
Check: P(\text{yellow}) + P(\text{green}) + P(\text{purple}) = \tfrac{7}{20} + \tfrac{4}{20} + \tfrac{9}{20} = 1 ✓
Tip: Always divide by the total number of outcomes. Dividing by the "other" outcomes gives odds, not probability.
Explicación
- Cuenta el total: 7 + 4 + 9 = 20 fichas.
- Cuenta los resultados favorables (verdes): 4.
- P(\text{verde}) = \frac{\text{favorables}}{\text{total}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}
- La probabilidad es \tfrac{1}{5} (0.2, o 20%).
Comprobación: P(\text{amarilla}) + P(\text{verde}) + P(\text{morada}) = \tfrac{7}{20} + \tfrac{4}{20} + \tfrac{9}{20} = 1 ✓
Consejo: Siempre divide entre el número total de resultados. Dividir entre los "otros" resultados da las posibilidades a favor (odds), no la probabilidad.
Ver en español
Pregunta
Una bolsa tiene 7 fichas amarillas, 4 verdes y 9 moradas. Se saca una ficha al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que la ficha sea verde?
Opciones
Pista
La probabilidad compara el número de fichas verdes con el número de fichas de toda la bolsa.
Compruébalo
The spinner below has 8 equal sections.
The arrow is spun once. What is the probability that it lands on a number greater than 2? Write your answer as a decimal.
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
List the numbers on the spinner that are greater than 2 (be careful: is 2 itself included?).
Solución paso a paso
- The 8 sections are equal, so each outcome is equally likely. Total outcomes: 8.
- Numbers greater than 2: 3, 4, 5, 6, 7, 8 → 6 favorable outcomes. (2 is not greater than 2.)
- P(\text{greater than } 2) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
- As a decimal: 3 \div 4 = 0.75.
- The answer is 0.75 (which is \tfrac{3}{4}, or 75%).
Check: P(2 \text{ or less}) = \tfrac{2}{8}, and \tfrac{6}{8} + \tfrac{2}{8} = 1 ✓
Tip: "Greater than" does not include the number itself; "at least" does. Read the inequality words carefully.
Explicación
- Las 8 secciones son iguales, así que cada resultado es igual de probable. Resultados totales: 8.
- Números mayores que 2: 3, 4, 5, 6, 7, 8 → 6 resultados favorables. (2 no es mayor que 2.)
- P(\text{mayor que } 2) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
- Como decimal: 3 \div 4 = 0.75.
- La respuesta es 0.75 (que es \tfrac{3}{4}, o 75%).
Comprobación: P(2 \text{ o menos}) = \tfrac{2}{8}, y \tfrac{6}{8} + \tfrac{2}{8} = 1 ✓
Consejo: "Mayor que" no incluye el número mismo; "por lo menos" sí lo incluye. Lee con cuidado las palabras de desigualdad.
Ver en español
Pregunta
La ruleta de abajo tiene 8 secciones iguales.
Se gira la flecha una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en un número mayor que 2? Escribe tu respuesta como decimal.
Pista
Haz una lista de los números de la ruleta que son mayores que 2 (cuidado: ¿se incluye el 2?).
Resumen
- P(A) = \dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}, siempre de 0 a 1; P(\text{no } A) = 1 - P(A).
- "Y" → multiplica. Independientes / con reemplazo: la segunda fracción no cambia. Dependientes / sin reemplazo: resta 1 a los casos favorables y al total.
- "O" → suma y luego resta la parte común: P(A) + P(B) - P(A \text{ y } B).
- "Al menos uno" → 1 - P(\text{ninguno}).
- En las tablas, divide entre el total del grupo del que eliges. Ninguna de estas reglas está en la hoja de fórmulas.