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Conteo: el principio fundamental de conteo, permutaciones y combinaciones

Cuenta resultados rápido multiplicando las opciones, y aprende cuándo importa el orden (permutaciones) y cuándo no (combinaciones).

Practicar esta destreza 25 min Conteo, combinaciones y permutaciones Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

En esta lección vas a aprender a contar el número de resultados posibles sin hacer una lista de cada uno. Vas a usar tres herramientas:

  1. El principio fundamental de conteo: multiplica el número de opciones en cada paso.
  2. Las permutaciones: cuentan ordenamientos cuando el orden importa (1.er, 2.º y 3.er lugar; un PIN; asientos en una fila).
  3. Las combinaciones: cuentan grupos cuando el orden no importa (un comité, ingredientes de una pizza, una mano de cartas).

Por qué es importante en el GED®: las preguntas de conteo aparecen en la parte de Resolución de Problemas Cuantitativos del examen, casi siempre como problemas verbales cortos: "¿Cuántos conjuntos de ropa diferentes…?", "¿De cuántas maneras puede una gerente elegir…?", "¿Cuántas placas de auto…?". También sirven para la probabilidad (la próxima lección), porque una probabilidad muchas veces es (número de maneras de ganar) ÷ (número de resultados posibles).

En la vida real: el conteo te dice cuántas contraseñas o PIN distintos existen (por eso las contraseñas más largas son más seguras), cuántos combos de comida puede anunciar un restaurante o cuántos horarios de trabajo diferentes puede armar un gerente.

Vocabulario

  • Resultado — un resultado posible. Ejemplo: "masa delgada, grande" es un resultado al pedir una pizza.
  • Etapa (o paso) — una decisión dentro de una elección de varios pasos. Ejemplo: elegir la masa es una etapa; elegir el tamaño es otra.
  • Principio fundamental de conteo — si una etapa tiene m opciones y la siguiente tiene n opciones, juntas dan m \times n resultados. Ejemplo: 2 masas y 3 tamaños dan 2 \times 3 = 6 pizzas.
  • Con repetición — el mismo elemento se puede usar otra vez. Ejemplo: un PIN como 7-7-2-7.
  • Sin repetición — cuando usas un elemento, ya no está disponible. Ejemplo: una persona no puede ser presidenta y tesorera a la vez.
  • Factorial (n!) — multiplica n por cada número entero menor que él, hasta llegar a 1. Ejemplo: 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24. Por definición, 0! = 1.
  • Permutación — un ordenamiento en el que el orden importa. Ejemplo: Ana-Ben-Cal y Cal-Ben-Ana son órdenes de llegada diferentes.
  • Combinación — una selección en la que el orden no importa. Ejemplo: el comité {Ana, Ben, Cal} es el mismo que {Cal, Ben, Ana}.
  • {}_nP_r — el número de permutaciones de r elementos elegidos entre n. Ejemplo: {}_5P_2 = 20.
  • {}_nC_r — el número de combinaciones de r elementos elegidos entre n. Ejemplo: {}_5C_2 = 10.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

1. El principio fundamental de conteo

Cuando una elección ocurre por etapas, y cada opción de una etapa se puede combinar con cada opción de la siguiente, multiplica:

\text{resultados totales} = (\text{opciones en la etapa 1}) \times (\text{opciones en la etapa 2}) \times (\text{opciones en la etapa 3}) \times \cdots

Ejemplo: Una pizza viene en 2 masas (delgada, gruesa) y 3 tamaños (S, M, L). El diagrama de árbol de abajo muestra todos los resultados. Hay 2 \times 3 = 6.

Tree diagram: from Start, two branches for crust (Thin, Thick). Each crust splits into three branches for size (Small, Medium, Large), giving 6 outcomes: Thin-Small, Thin-Medium, Thin-Large, Thick-Small, Thick-Medium, Thick-Large. 2 times 3 = 6.StartThinS1. Thin, SmallM2. Thin, MediumL3. Thin, LargeThickS4. Thick, SmallM5. Thick, MediumL6. Thick, LargeCrust (2 choices)Size (3 choices)
Diagrama de árbol de 2 masas y 3 tamaños

No necesitas dibujar el árbol en el GED®; solo muestra por qué multiplicamos: cada una de las 2 ramas de masa se divide en 3 ramas de tamaño.

Ejemplo: Un sándwich: 3 panes, 4 carnes, 2 quesos, uno de cada uno → 3 \times 4 \times 2 = 24 sándwiches.

"Y" contra "o" dentro de una etapa. Multiplica cuando eliges una cosa y otra. Suma cuando una sola etapa te deja elegir de una lista o de otra lista.

Ejemplo: Un almuerzo especial tiene una entrada (4 sopas o 3 ensaladas) y un plato principal (5 opciones). Entradas: 4 + 3 = 7. Total: 7 \times 5 = 35.

Two stages for a lunch special. Stage 1, the starter, is 4 soups or 3 salads, so 4 + 3 = 7 starters (add for "or" inside a stage). Stage 2 is 5 mains. Multiply between stages: 7 times 5 = 35 lunch specials.Stage 1: starter4soups3saladsor4 + 3 = 7 starters (add)×Stage 2: main5mains5 choices"or" inside a stage → add; "and" between stages → multiply7 × 5 = 35 lunch specials
Almuerzo especial: 4 sopas o 3 ensaladas, luego 5 platos principales

Con repetición. Si los elementos se pueden volver a usar, cada etapa tiene el número completo de opciones.

Ejemplo: Un PIN de 4 dígitos con los dígitos del 0 al 9: 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10{,}000.

Ejemplo: Una placa de auto con 3 letras y luego 3 dígitos: 26^3 \times 10^3 = 17{,}576 \times 1{,}000 = 17{,}576{,}000.

Las restricciones primero. Si una etapa tiene una regla especial (debe ser impar, no puede empezar con 0, cierta persona debe ir primero), llena esa etapa primero y después las demás.

Ejemplo: Códigos de 3 dígitos con los dígitos del 1 al 9, sin repetir, y el código debe ser impar. Último dígito: 5 opciones (1, 3, 5, 7, 9). Primer dígito: quedan 8. Dígito del medio: quedan 7. Total: 5 \times 8 \times 7 = 280.

Three slots for a 3-digit code using digits 1 to 9 with no repeats that must be odd. The restricted last slot is filled first with 5 choices (1, 3, 5, 7, 9). Then the first digit has 8 choices and the middle digit 7. 8 times 7 times 5 = 280 codes.Restriction first: 3-digit odd code, digits 1–9, no repeats81st digitfill 2nd×72nd digitfill 3rd×53rd digitfill 1st: oddLast digit must be odd: 1, 3, 5, 7 or 9 → 5 choices.Digits 1–9, no repeats: 8 are left for the 1st digit, then 7.8 × 7 × 5 = 280 codes
Casillas para un código impar de 3 dígitos: 8 × 7 × 5

2. Permutaciones: cuando el orden importa

Si ordenas todos los n elementos diferentes en una fila, el primer lugar tiene n opciones, el siguiente n-1, y así hasta llegar a 1. Ese producto es n! ("n factorial").

Ejemplo: 5 personas se ponen en fila para una foto: 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 maneras.

n1234567
n!126241207205,040

Los factoriales crecen muy rápido: 10! ya es 3,628,800.

Si llenas solo r lugares con n elementos (sin repetir), deja de multiplicar después de r factores:

{}_nP_r = \underbrace{n \times (n-1) \times \cdots}_{r \text{ factores}} = \frac{n!}{(n-r)!}

Ejemplo: Un club de 10 personas elige presidente, vicepresidente y tesorero. Los cargos son diferentes, así que el orden importa: {}_{10}P_3 = 10 \times 9 \times 8 = 720.

Three slots labelled President, Vice-president and Treasurer for a club of 10 people. The slots hold 10, 9 and 8 choices because a person cannot hold two offices. 10 times 9 times 8 = 720 permutations.Club of 10 people, 3 different offices10President×9Vice-president×8TreasurerDifferent titles → order matters. Each person used once,so the choices go down by 1 at each spot.₁₀P₃ = 10 × 9 × 8 = 720
Tres casillas de cargos: 10 × 9 × 8

Ejemplo: Oro, plata y bronce entre 6 corredores: 6 \times 5 \times 4 = 120.

Palabras clave de "el orden importa": primero/segundo/tercero, presidente/vicepresidente, hacer fila, ordenar, sentar, código, contraseña, programar en orden, clasificar.

3. Combinaciones: cuando el orden no importa

En una combinación solo te importa cuáles elementos eliges, no el orden. Cada grupo de r elementos se puede ordenar de r! maneras, y una permutación cuenta cada una por separado. Por eso hay que dividir:

{}_nC_r = \frac{{}_nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Ejemplo: Elige 3 ingredientes de 8 para una pizza. El orden no importa (pepperoni-cebolla-aceituna es la misma pizza que aceituna-cebolla-pepperoni).

{}_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56
The 6 orders of the same three toppings P, N, O (pepperoni, onion, olive): PNO, PON, NPO, NOP, OPN and ONP, 3! = 6 in all, all point to one group, the same pizza. A permutation counts each group 6 times, so divide: 8 times 7 times 6 = 336, divided by 6 = 56 combinations.3! = 6 orders (permutations)PNOPONNPONOPOPNONPsame pizzaPNO1 combinationP = pepperoni, N = onion,O = olive₈C₃ = (8 × 7 × 6) ÷ 3! = 336 ÷ 6 = 56 pizzas
Seis órdenes de tres ingredientes forman una sola pizza

Ejemplo: Elige 2 personas de 5 para trabajar el sábado: \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10.

Datos rápidos:

  • {}_nC_1 = n y {}_nC_n = 1.
  • {}_nC_r = {}_nC_{n-r}. Elegir 3 personas que se van es lo mismo que elegir 7 que se quedan: {}_{10}C_3 = {}_{10}C_7 = 120.
  • Una combinación siempre es menor o igual que la permutación correspondiente.

Combinar grupos. Si eliges de dos grupos separados, halla cada combinación y multiplica (principio de conteo).

Ejemplo: Un comité necesita 2 gerentes de 5 y 3 trabajadores de 7: {}_5C_2 \times {}_7C_3 = 10 \times 35 = 350.

Cómo decidir: Pregúntate: "Si intercambio dos de los elementos elegidos, ¿obtengo un resultado diferente?" Si la respuesta es sí → permutación. Si es no → combinación.

Situación¿Importa el orden?Herramienta
3 cargos con títulos diferentesSí{}_nP_r
Comité de 3 personas, todas igualesNo{}_nC_r
Ordenar los 6 libros en un estanteSí6!
PIN de 4 dígitos (se puede repetir)Sí10^4
Elegir 2 acompañamientos de 6No{}_6C_2 = 15
Fórmula

Fórmulas (apréndelas de memoria)

\text{Principio de conteo: } m \times n \times p \times \cdots n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1 {}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} \qquad\qquad {}_nC_r = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}
  • n = cuántos elementos hay para elegir.
  • r = cuántos eliges en realidad (o cuántos lugares llenas).
  • ! = factorial.

Estas fórmulas no están en la hoja de fórmulas del GED®, así que debes recordarlas o, mejor aún, recordar la idea: multiplica las opciones de cada lugar; si el orden no importa, divide entre r!. La calculadora TI-30XS también tiene {}_nP_r, {}_nC_r y ! incluidos (mira el consejo de calculadora).

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 1 (fácil): conjuntos de ropa

Dana tiene 4 camisas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos. ¿Cuántos conjuntos diferentes (uno de cada uno) puede formar?

  1. Hay 3 etapas: camisa, pantalón, zapatos.
  2. Multiplica las opciones: 4 \times 3 \times 2 = 24.
Tree diagram for Dana's outfits. Start splits into 4 shirts; each shirt splits into 3 pants (A, B, C); each pants choice splits into 2 shoes (sneakers, boots). The 24 end branches are numbered 1 to 24, so 4 times 3 times 2 = 24 outfits.Shirt (4)Pants (3)Shoes (2)StartShirt 1Pants ASneakers1Boots2Pants BSneakers3Boots4Pants CSneakers5Boots6Shirt 2Pants ASneakers7Boots8Pants BSneakers9Boots10Pants CSneakers11Boots12Shirt 3Pants ASneakers13Boots14Pants BSneakers15Boots16Pants CSneakers17Boots18Shirt 4Pants ASneakers19Boots20Pants BSneakers21Boots22Pants CSneakers23Boots244 × 3 × 2 = 24 outfits
Diagrama de árbol de 4 camisas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos

Respuesta: 24 conjuntos.

Comprobación: Para cada una de las 4 camisas hay 3 \times 2 = 6 parejas de pantalón y zapatos, y 4 \times 6 = 24 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 2: cargos (el orden importa)

Una liga de boliche de 12 miembros elige un capitán y un cocapitán. ¿De cuántas maneras se puede hacer?

  1. Los dos puestos son diferentes, así que el orden importa → permutación.
  2. Capitán: 12 opciones. Cocapitán: quedan 11 (una persona no puede tener los dos puestos).
  3. {}_{12}P_2 = 12 \times 11 = 132.
Two slots, Captain with 12 choices and Co-captain with 11 choices, because the same person cannot hold both jobs. 12 times 11 = 132 ways.Bowling league of 12 members12Captain×11Co-captainTwo different jobs → order matters.The captain can't also be co-captain, so 11 are left.₁₂P₂ = 12 × 11 = 132 ways
Casillas de capitán y cocapitán: 12 × 11

Respuesta: 132 maneras.

Comprobación: Si el orden no importara, tendríamos 132 \div 2 = 66 parejas; cada pareja se puede asignar a los dos puestos de 2 maneras, 66 \times 2 = 132 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 3: un comité (el orden no importa)

Una junta escolar debe elegir 4 padres de entre 9 voluntarios para formar un comité donde todos los miembros son iguales. ¿Cuántos comités diferentes son posibles?

  1. Todos los miembros del comité son iguales → el orden no importa → combinación.
  2. {}_9C_4 = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}.
  3. Numerador: 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3{,}024. Denominador: 4! = 24.
  4. 3{,}024 \div 24 = 126.
Nine volunteers numbered 1 to 9; four of them (2, 4, 5, 8) are highlighted as one committee, which is the same committee in any order. 9C4 = (9 times 8 times 7 times 6) divided by (4 times 3 times 2 times 1) = 3,024 divided by 24 = 126 committees.9 volunteers — choose 4 equal members123456789Committee {2, 4, 5, 8}= {8, 5, 4, 2}: order doesn't matter₉C₄ = (9 × 8 × 7 × 6) ÷ (4 × 3 × 2 × 1)= 3,024 ÷ 24 = 126 committees
Elegir 4 de 9 voluntarios para un comité

Respuesta: 126 comités.

Comprobación: {}_9C_4 debe ser igual a {}_9C_5: \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{120} = \dfrac{15{,}120}{120} = 126 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 4 (vida real): contraseñas

Un sitio web pide una contraseña de 2 letras mayúsculas seguidas de 4 dígitos (0–9). Las letras y los dígitos se pueden repetir. ¿Cuántas contraseñas son posibles?

  1. Seis etapas: 2 lugares para letras y 4 lugares para dígitos.
  2. Cada lugar de letra: 26 opciones. Cada lugar de dígito: 10 opciones.
  3. 26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 676 \times 10{,}000 = 6{,}760{,}000.
Six slots for a password: two letter slots with 26 choices each and four digit slots with 10 choices each. 26 squared = 676 and 10 to the 4th = 10,000; 676 times 10,000 = 6,760,000 passwords.Password: 2 capital letters, then 4 digits (repeats allowed)26letter×26letter×10digit×10digit×10digit×10digit26² = 67610⁴ = 10,000676 × 10,000 = 6,760,000 passwordsEvery spot keeps all its choices because repeats are allowed.
Casillas de la contraseña: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10

Respuesta: 6,760,000 contraseñas.

Comprobación: 26^2 = 676 y 10^4 = 10{,}000; 676 \times 10{,}000 = 6{,}760{,}000 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 5 (nivel difícil del GED®): trabaja hacia atrás

Una gerente dice que hay exactamente 28 maneras diferentes de elegir 2 empleados de su equipo para ir a una capacitación. ¿Cuántos empleados hay en el equipo?

  1. Elegir 2 personas sin orden es {}_nC_2 = \dfrac{n(n-1)}{2}.
  2. Iguálalo a 28: \dfrac{n(n-1)}{2} = 28, así que n(n-1) = 56.
  3. Busca dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 56: 8 \times 7 = 56.
  4. Entonces n = 8.
Eight points numbered 1 to 8 for 8 employees, with a line joining every pair of points. There are 8 times 7 divided by 2 = 28 lines, one for each way to choose 2 employees. One line, between 1 and 4, is highlighted in red.123456788 employeesEach line = 1 pair(red line: pair 1 & 4)Lines: 8 × 7 ÷ 2= 28 pairsn(n − 1) ÷ 2 = 28→ n = 8
Cada pareja de 8 empleados unida por una línea: 28 líneas

Respuesta: 8 empleados.

Comprobación: {}_8C_2 = \dfrac{8 \times 7}{2} = 28 ✓ (Consejo: en opción múltiple, simplemente prueba cada opción de respuesta en \frac{n(n-1)}{2}.)

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView

La TI-30XS tiene herramientas de conteo en la tecla prb:

  • Factorial: escribe el número, presiona prb, elige ! y luego enter. Ejemplo: 6 prb (elige !) enter → 720.
  • Permutaciones: escribe n, presiona prb, elige nPr, escribe r y presiona enter. Ejemplo: 10 nPr 3 → 720.
  • Combinaciones: escribe n, presiona prb, elige nCr, escribe r y presiona enter. Ejemplo: 8 nCr 3 → 56.
  • Con repetición: usa la tecla ^. Ejemplo: 10 ^ 4 enter → 10000.

Cuándo NO usarla: para problemas pequeños como 3 \times 4 \times 2, el cálculo mental es más rápido. Además, la calculadora no puede decidir qué herramienta usar: primero tú debes decidir "¿importa el orden o no?" y "¿se puede repetir o no?". Muchas preguntas de conteo son tan cortas que se pueden hacer a mano.

Error común

Errores comunes

  • Sumar en vez de multiplicar. 3 panes y 4 carnes no dan 3 + 4 = 7 sándwiches. Cada pan va con cada carne: 3 \times 4 = 12. (Suma solo cuando hay una elección con "o" dentro de una etapa).
  • Usar una combinación cuando el orden importa. Elegir presidente, vicepresidente y tesorero entre 10 es 10 \times 9 \times 8 = 720, no {}_{10}C_3 = 120: los cargos son diferentes.
  • Usar una permutación cuando el orden no importa. 3 ingredientes de 8 es {}_8C_3 = 56, no 8 \times 7 \times 6 = 336. Debes dividir entre 3! = 6.
  • Permitir repeticiones cuando no se permiten (o al revés). Una persona no puede tener dos cargos, así que las opciones bajan: 10, 9, 8. Un PIN puede repetir dígitos, así que se queda en 10, 10, 10, 10.
  • Multiplicar n \times r. "Elegir 3 de 8" no es 8 \times 3 = 24. Usa la fórmula.
  • Olvidar una restricción o dejarla para el final. Para "el código debe ser impar", llena primero el último dígito (5 opciones impares) y luego los demás.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Lee la pregunta dos veces y subraya las palabras clave: ordenar, orden, primero/segundo (permutación) frente a grupo, comité, elegir, seleccionar (combinación). Busca "se puede repetir" o "diferentes".
  • Estima. Con los mismos n y r, una combinación es menor que una permutación. Si tu respuesta es enorme para una pregunta sencilla de comité, probablemente olvidaste dividir entre r!.
  • Elimina. Las opciones incorrectas suelen ser el "otro" cálculo: la suma de las opciones, la permutación en vez de la combinación, o n^r con repetición. Calcula la correcta y búscala.
  • Trabaja hacia atrás cuando te dan el total: prueba cada opción de respuesta en la fórmula.
  • Dibuja un árbol pequeño o haz una lista si no estás seguro: con números pequeños, hacer la lista de resultados es una comprobación confiable.
  • Tiempo: la mayoría de las preguntas de conteo toman menos de 90 segundos. Usa la tecla prb para ahorrar tiempo con los factoriales.

Compruébalo

Conteo, combinaciones y permutacionesSin calculadora

A restaurant lets you build a burrito bowl with one rice, one protein, and one salsa. There are 2 kinds of rice, 5 proteins, and 4 salsas.

How many different burrito bowls can be made?

Opciones de respuesta
Pista

Each rice can be paired with every protein, and each of those pairs with every salsa.

Ver en español

Pregunta

Un restaurante te deja armar un tazón de burrito con un tipo de arroz, una proteína y una salsa. Hay 2 tipos de arroz, 5 proteínas y 4 salsas.

¿Cuántos tazones de burrito diferentes se pueden armar?

Opciones

  • A. 10
  • B. 11
  • C. 20
  • D. 40
Pista

Cada tipo de arroz se puede combinar con cada proteína, y cada una de esas parejas con cada salsa.

Compruébalo

Conteo, combinaciones y permutacionesCompletar

A storage locker uses a 4-letter code. Each letter can be A, B, C, D, or E, and letters may repeat (for example, B B A E is allowed).

How many different codes are possible?

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

How many choices are there for each of the 4 positions? Does using a letter once stop you from using it again?

Ver en español

Pregunta

Un casillero de almacenamiento usa un código de 4 letras. Cada letra puede ser A, B, C, D o E, y las letras se pueden repetir (por ejemplo, B B A E está permitido).

¿Cuántos códigos diferentes son posibles?

Pista

¿Cuántas opciones hay para cada una de las 4 posiciones? ¿Usar una letra una vez te impide usarla otra vez?

Resumen

  • Principio de conteo: multiplica el número de opciones de cada etapa ("y" → multiplica; "o" dentro de una etapa → suma).
  • Con repetición: cada etapa conserva las n opciones → n^r.
  • El orden importa, sin repetición: {}_nP_r = n(n-1)(n-2)\cdots (r factores). Los n elementos en una fila: n!.
  • El orden no importa: {}_nC_r = \dfrac{{}_nP_r}{r!}.
  • Atiende las restricciones primero. Estas fórmulas no están en la hoja de fórmulas: la tecla prb de la TI-30XS tiene !, nPr y nCr.
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