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Media, mediana, moda, rango y promedios ponderados

Halla y elige entre la media, la mediana, la moda y el rango; halla un valor que falta en los datos; y calcula promedios ponderados.

Practicar esta destreza 28 min Media, mediana, moda, rango y promedio ponderado Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Cuando tienes una lista de números —cheques de pago, calificaciones, precios de la gasolina—, muchas veces quieres un solo número que describa toda la lista. En esta lección vas a aprender las cuatro medidas que usa el GED®:

  • Media (el promedio),
  • Mediana (el valor del medio),
  • Moda (el más común) y
  • Rango (la dispersión).

También vas a aprender a:

  • elegir la mejor medida de centro cuando los datos tienen un valor atípico,
  • trabajar al revés para hallar un valor que falta cuando sabes la media ("¿Cuánto necesito sacar en el próximo examen?"), y
  • calcular un promedio ponderado, en el que algunos valores cuentan más que otros (calificaciones de un curso, precios promedio).

Por qué es importante en el GED®: Las medidas de centro aparecen en casi todos los exámenes de Matemáticas del GED®, muchas veces más de una vez. Las preguntas van desde un simple "halla la media" hasta problemas de dos y tres pasos, como hallar una calificación que falta o una calificación ponderada. Fuera del examen, usas estas ideas para comparar precios, entender tu calificación en una clase, juzgar un salario típico en un anuncio de trabajo o llevar la cuenta de tus pagos mensuales.

Vocabulario

  • Conjunto de datos — una lista de números, como 12, 15, 9, 18, 21.
  • Medida de centro — un número que describe un valor típico (media, mediana o moda).
  • Media (promedio) — la suma de los valores dividida entre cuántos valores hay. (Media de 2, 4, 9: \tfrac{15}{3} = 5).
  • Mediana — el valor del medio cuando los datos están en orden. (Mediana de 9, 2, 4 → en orden 2, 4, 9 → 4).
  • Moda — el valor que aparece más veces. (Moda de 3, 5, 5, 8: 5). Un conjunto puede no tener moda o tener más de una.
  • Rango — el valor mayor menos el valor menor. (Rango de 2, 4, 9: 9 - 2 = 7).
  • Medida de dispersión — un número que dice qué tan dispersos están los datos (rango).
  • Valor atípico — un valor muy lejos de los demás (150 en 32, 35, 35, 38, 40, 150).
  • Promedio ponderado — un promedio en el que algunos valores cuentan más que otros (exámenes 50%, tareas 30%).
  • Peso — cuánto cuenta un valor, como porcentaje, decimal o cantidad.
  • Suma (\sum) — el resultado de sumar valores.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Media, mediana, moda y rango

Media. Suma todos los valores y luego divide entre el número de valores.

\text{media} = \frac{\text{suma de los valores}}{\text{número de valores}}

Ejemplo: 12, 15, 9, 18, 21 → suma 75, cantidad 5, media = 75 \div 5 = 15.

Piensa en la media como un reparto justo: si el total se repartiera en partes iguales, cada valor sería la media. La media puede ser un decimal aunque los datos sean números enteros: la media de 3, 4, 4 es \tfrac{11}{3} \approx 3.67.

Mean as a fair share. Bars for 12, 15, 9, 18 and 21 with a red line at the mean, 15. The parts of the bars above the line (3 from 18 and 6 from 21, total 9) exactly fill the gaps below the line (3 under 12 and 6 under 9, total 9), so leveling all bars gives 15 each. Sum 75 ÷ 5 = 15.03691215182124−31215−69+318+621mean 15extra above (3 + 6) fills gaps below (3 + 6)sum 75 ÷ 5 values = 15 each
Barras de 12, 15, 9, 18, 21 niveladas en la media 15

La media también es el punto de equilibrio: las distancias por debajo y por encima de ella se cancelan.

Mean as a balance point. The values 9, 12, 15, 18 and 21 are dots on a number line resting on a triangle at the mean, 15. Distances from the mean are −6, −3, 0, +3 and +6; the negatives and positives cancel (−9 + 9 = 0), so the line balances at 15.8910111213141516171819202122−6−30+3+6balance point = mean = 15distances: (−6) + (−3) + 0 + 3 + 6 = 0
La media 15 como punto de equilibrio de 9, 12, 15, 18, 21

Mediana. Pon los datos en orden y luego busca el del medio.

  • Número impar de valores: la mediana es el único valor del medio. Ejemplo: 4, 7, 9, 12, 20 → mediana 9.
  • Número par de valores: saca el promedio de los dos valores del medio.
Eight values in order from smallest to largest: 25, 28, 30, 32, 36, 38, 40, 40. The two middle values, 32 and 36, are highlighted; the median is their average, 34.2528303236384040middlesmallest → largest
Ocho valores ordenados con los dos valores del medio resaltados

Ejemplo: 32, 40, 28, 36, 40, 25, 38, 30 → en orden 25, 28, 30, 32, 36, 38, 40, 40 → mediana = \tfrac{32 + 36}{2} = 34.

Para n valores, la mediana está en la posición \tfrac{n + 1}{2}. Para n = 8, eso da 4.5, es decir, a la mitad entre el 4.º y el 5.º valor.

Moda. El valor que aparece más veces. Ejemplo: 3.29, 3.45, 3.19, 3.45, 3.39, 3.29, 3.45 → $3.45 aparece 3 veces, así que la moda es $3.45. Si ningún valor se repite, no hay moda. Si dos valores empatan como los más frecuentes, los dos son modas.

Rango. El mayor menos el menor. Ejemplo: precios de la gasolina: 3.45 - 3.19 = \$0.26. El rango siempre es cero o positivo.

Los negativos y los decimales funcionan igual. Ejemplo: temperaturas -4, 2, -1, 5, 3 (°F). Suma = 5, media = 5 \div 5 = 1°F. En orden: -4, -1, 2, 3, 5, mediana = 2. Rango = 5 - (-4) = 9°F.

Temperatures −4, −1, 2, 3 and 5 degrees F on a number line. The median is the middle value, 2 (red). The mean is 1 (balance triangle): sum 5 ÷ 5 = 1. The range bracket from −4 to 5 is 5 − (−4) = 9 degrees.-5-4-3-2-10123456median 2mean 1range = 5 − (−4) = 9°Fsorted: −4, −1, 2, 3, 5; sum = 5
Temperaturas en una recta numérica: mediana 2, media 1, rango 9

Cómo elegir la mejor medida; valores atípicos

Cada medida responde una pregunta diferente:

MedidaEs mejor cuando…¿La afectan los valores atípicos?
Medialos datos están equilibrados, sin valores extremosSí, mucho
Medianalos datos tienen valores atípicos o están sesgados (salarios, precios de casas)Casi nada
Modaquieres el dato más común (la talla de zapato más popular)No
Rangoquieres la dispersiónSí, porque usa los extremos

Ejemplo: Salarios (en miles): 32, 35, 35, 38, 40, 150.

  • Media = 330 \div 6 = 55 → $55,000.
  • Mediana = \tfrac{35 + 38}{2} = 36.5 → $36,500.

Cinco de las seis personas ganan menos que la media, así que la media no describe a un trabajador típico. La mediana, sí. Un valor atípico alto jala la media por encima de la mediana; uno bajo la jala por debajo.

Salaries in thousands of dollars on a number line from 0 to 160: 32, 35, 35, 38, 40 and an outlier at 150. The median, 36.5, sits among the five typical salaries. The mean, 55, is pulled far to the right by the outlier, above five of the six salaries.020406080100120140160outlier 150median 36.5mean 55 (pulled toward the outlier)Salary (thousands of $)
Salarios con el valor atípico 150: mediana 36.5, media 55

Cómo afectan los cambios a las medidas:

  • Sumar la misma cantidad a cada valor (todos reciben un aumento de $2,000): la media, la mediana y la moda suben esa cantidad; el rango queda igual.
  • Quitar un valor atípico: la media cambia mucho; la mediana cambia poco. Quitar los $150,000 baja la media de $55,000 a \tfrac{180}{5} = \$36{,}000, pero la mediana solo pasa de $36,500 a $35,000.
  • Recuerda: agregar o quitar un valor cambia la cantidad de valores, así que siempre vuelve a calcular.

Valores que faltan y promedios ponderados

Cómo hallar un valor que falta (trabajar al revés). El dato clave:

\text{suma} = \text{media} \times \text{número de valores}

Ejemplo: Calificaciones 82, 75, 90. ¿Qué 4.ª calificación da una media de 84?

  1. Total necesario: 4 \times 84 = 336.
  2. Total actual: 82 + 75 + 90 = 247.
  3. Calificación que falta: 336 - 247 = 89.
Tape model for the missing score. The needed total is 4 × 84 = 336. The tape of 336 is split into the known scores 82, 75 and 90 (sum 247) and an unknown piece, 336 − 247 = 89.needed total = 4 × 84 = 336827590? = 89current total 247336 − 247
Cinta de 336 dividida en 82, 75, 90 y el 89 que falta

Ejemplo (solo con medias): La media de 6 calificaciones es 85; después de un 7.º examen, la media es 86. Los totales son 6 \times 85 = 510 y 7 \times 86 = 602, así que la 7.ª calificación es 602 - 510 = 92.

Promedio ponderado. Úsalo cuando los valores no cuentan igual.

Tipo 1 — los pesos son porcentajes (que suman 100%): multiplica cada valor por su peso como decimal y suma. Exámenes 50% (82), tareas 30% (95), examen final 20% (74):

0.5(82) + 0.3(95) + 0.2(74) = 41 + 28.5 + 14.8 = 84.3
Weighted grade as a tape of 100% split into tests 50%, homework 30% and final 20%. Each piece earns its score times its weight: 0.5 × 82 = 41, 0.3 × 95 = 28.5, 0.2 × 74 = 14.8. Added together, 41 + 28.5 + 14.8 = 84.3.Tests 50%score 820.5 × 82= 41Homework 30%score 950.3 × 95= 28.5Final 20%score 740.2 × 74= 14.8grade = 41 + 28.5 + 14.8 = 84.3
Cinta de calificación ponderada: partes de 50%, 30% y 20%

Tipo 2 — los pesos son cantidades: multiplica cada valor por su cantidad, suma y luego divide entre la cantidad total. 40 camisas a $12, 25 a $18, 15 a $25:

\frac{12(40) + 18(25) + 25(15)}{40 + 25 + 15} = \frac{1{,}305}{80} \approx \$16.31

La media simple de los tres precios, \tfrac{12 + 18 + 25}{3} \approx \$18.33, aquí es incorrecta porque se vendieron más camisas al precio bajo.

Weighted average of shirt prices. Stacks on a number line show 40 shirts at 12 dollars (tallest), 25 at 18 dollars and 15 at 25 dollars, with heights proportional to the counts. The weighted mean, about 16.31 dollars, is the balance point (blue triangle), pulled toward 12 dollars. The simple mean of the three prices, 18.33 dollars, is marked with a red dashed line and is too high.$10$12$14$16$18$20$22$24$2640 shirts25 shirts15 shirtsweighted mean ≈ $16.31simple mean $18.33 (wrong)= 1,305 ÷ 80
Cantidades de camisas a 12, 18 y 25 dólares en equilibrio en unos 16.31 dólares

Un promedio ponderado siempre está entre el valor más pequeño y el más grande, y se acerca a los valores que tienen más peso.

Fórmula

Fórmulas (lo que está y lo que no está en la hoja)

\text{Media} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \text{Rango} = \text{valor mayor} - \text{valor menor} \text{Posición de la mediana} = \frac{n + 1}{2} \quad \text{(después de ordenar)} \text{Valor que falta} = (\text{media deseada} \times n) - (\text{suma de los valores conocidos}) \text{Promedio ponderado} = \frac{w_1x_1 + w_2x_2 + \cdots + w_kx_k}{w_1 + w_2 + \cdots + w_k}
  • x_1, x_2, \ldots — los valores de los datos; n — cuántos valores hay
  • w_1, w_2, \ldots — los pesos (porcentajes como decimales, o cantidades). Cuando los pesos en porcentaje suman 1, el denominador es 1 y solo sumas los productos.

En la hoja de fórmulas del GED®: las definiciones de media (total de los valores ÷ número de valores) y mediana (valor del medio de un conjunto ordenado; media de los dos valores del medio si la cantidad es par).

No están en la hoja; memorízalos: la moda, el rango, el método del valor que falta y la fórmula del promedio ponderado. Salen en casi todos los exámenes.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): Las cuatro medidas

Halla la media, la mediana, la moda y el rango de: 7, 3, 9, 3, 8.

  1. Ordena: 3, 3, 7, 8, 9.
  2. Media: \dfrac{3 + 3 + 7 + 8 + 9}{5} = \dfrac{30}{5} = 6.
  3. Mediana: 5 valores, el valor del medio (3.º) = 7.
  4. Moda: 3 (aparece dos veces).
  5. Rango: 9 - 3 = 6.
Example 1. The data 3, 3, 7, 8, 9 as dots on a number line from 2 to 10. Mode 3 is the stacked pair of dots. Median 7 is the middle dot (red). Mean 6 is the balance point (green triangle). The range bracket from 3 to 9 is 6.2345678910mode 3median 7mean 6 = 30 ÷ 5range = 9 − 3 = 6
Diagrama de puntos de 3, 3, 7, 8, 9 con media, mediana, moda y rango

Respuesta: media 6, mediana 7, moda 3, rango 6.

Comprobación: Media \times cantidad = 6 \times 5 = 30 = la suma ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (medio): Pagos mensuales en la vida real

Las facturas de electricidad de Maya durante seis meses fueron de $84, $92, $78, $110, $96 y $80. ¿Cuáles son la media y la mediana de las facturas?

  1. Suma: 84 + 92 + 78 + 110 + 96 + 80 = 540.
  2. Media: 540 \div 6 = \$90.
  3. Ordena: 78, 80, 84, 92, 96, 110. Los dos del medio: 84 y 92.
  4. Mediana: \dfrac{84 + 92}{2} = \$88.
Example 2. Bar graph of Maya's six electric bills: 84, 92, 78, 110, 96 and 80 dollars. A red line marks the mean, 90 dollars (540 ÷ 6), and a green dashed line marks the median, 88 dollars. The 110 dollar bill pulls the mean above the median.020406080100120Bill ($)$84Mo 1$92Mo 2$78Mo 3$110Mo 4$96Mo 5$80Mo 6mean $90median $88Month
Las seis facturas de Maya con líneas de la media de 90 y la mediana de 88 dólares

Respuesta: media de $90, mediana de $88.

Comprobación: La factura de $110 es la más alta y jala la media un poco por encima de la mediana ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (medio): Halla el valor que falta

Una jugadora de básquetbol anotó 18, 24, 15 y 21 puntos en cuatro partidos. ¿Cuántos puntos debe anotar en el quinto partido para tener un promedio de 20 puntos por partido?

  1. Total necesario: 5 \times 20 = 100.
  2. Total actual: 18 + 24 + 15 + 21 = 78.
  3. Valor que falta: 100 - 78 = 22.
Example 3. Bars for points in five games: 18, 24, 15, 21, and the unknown fifth game, 22 (dashed red). A red line marks the target mean, 20. Needed total 5 × 20 = 100; current total 78; missing value 100 − 78 = 22.0481216202428Points18G124G215G321G4?G5mean 20need: 5 × 20 = 100have: 78? = 100 − 78= 22
Barras de 18, 24, 15, 21 y el quinto partido que falta, media 20

Respuesta: 22 puntos.

Comprobación: \dfrac{78 + 22}{5} = \dfrac{100}{5} = 20 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (nivel difícil del GED®): Promedio ponderado con cantidades

Una encuesta les preguntó a 50 familias cuántos carros tienen: 8 tienen 0 carros, 20 tienen 1, 15 tienen 2 y 7 tienen 3. ¿Cuál es la media de carros por familia?

  1. Multiplica cada valor por su cantidad: 0(8) = 0, 1(20) = 20, 2(15) = 30, 3(7) = 21.
  2. Total de carros: 0 + 20 + 30 + 21 = 71.
  3. Total de familias: 8 + 20 + 15 + 7 = 50.
  4. Media: 71 \div 50 = 1.42.
Example 4. Bar graph of how many cars 50 families own: 0 cars 8 families, 1 car 20, 2 cars 15, 3 cars 7. The mean, 71 ÷ 50 = 1.42 cars, is the balance point marked by a green triangle under the axis, pulled toward 1 where most families are. The unweighted 1.5 is marked with a red dashed line for comparison.048121620Number of families80 cars201 car152 cars73 carsmean 1.42 = 71 ÷ 501.5 ignores counts (wrong)
Familias según el número de carros con punto de equilibrio 1.42

Respuesta: 1.42 carros por familia.

Comprobación: La respuesta está entre 0 y 3, y cerca de 1 porque más familias tienen 1 carro que cualquier otro número de carros ✓ (El método incorrecto, \tfrac{0 + 1 + 2 + 3}{4} = 1.5, no toma en cuenta las cantidades).

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): Trabaja al revés con una calificación ponderada

La calificación de una clase es 70% exámenes y 30% proyecto. Jordan sacó 95 en el proyecto. ¿Qué promedio de exámenes necesita para tener una calificación final de exactamente 88?

  1. Sea T el promedio de exámenes: 0.7T + 0.3(95) = 88.
  2. Simplifica: 0.7T + 28.5 = 88.
  3. Resta: 0.7T = 59.5.
  4. Divide: T = 59.5 \div 0.7 = 85.
Example 5. A tape for the final grade of 88 split into the tests part, 70% (0.7T) and the project part, 30% (0.3 × 95 = 28.5). The tests part must be 88 − 28.5 = 59.5, so T = 59.5 ÷ 0.7 = 85.final grade = 88Tests 70%: 0.7T = ?Project 30%0.3 × 95 = 28.50.7T = 88 − 28.5 = 59.5T = 59.5 ÷ 0.7 = 85
Cinta de 88 dividida en 0.7T y 28.5

Respuesta: un promedio de exámenes de 85.

Comprobación: 0.7(85) + 0.3(95) = 59.5 + 28.5 = 88 ✓

Consejo de calculadora

Cómo usar la TI-30XS MultiView

La calculadora es muy útil para las medias y los promedios ponderados:

  • Media: pon la suma entre paréntesis y luego divide: ( 12 + 15 + 9 + 18 + 21 ) ÷ 5 enter → 15. Sin los paréntesis, la calculadora divide solo el último número entre 5 (por el orden de las operaciones) y da una respuesta incorrecta.
  • Promedio ponderado con porcentajes: 0.5 × 82 + 0.3 × 95 + 0.2 × 74 enter → 84.3. La multiplicación se hace antes que la suma, así que no hacen falta paréntesis.
  • Promedio ponderado con cantidades: ( 12 × 40 + 18 × 25 + 25 × 15 ) ÷ ( 40 + 25 + 15 ) enter → 16.3125.
  • Valores negativos: escríbelos con la tecla (−), por ejemplo (−) 4.
  • Si un resultado aparece como fracción, oprime toggle para ver el decimal.

Cuándo no usarla: hallar la mediana y la moda es cuestión de ordenar y contar; hazlo en tu pizarra borrable. Con listas cortas de números enteros (como 3, 3, 7, 8, 9), el cálculo mental suele ser más rápido.

Error común

Errores comunes

  • No ordenar antes de hallar la mediana. Incorrecto: el medio de 32, 40, 28, 36, 40, 25, 38, 30 → 38. Correcto: primero ordena → 25, 28, 30, 32, 36, 38, 40, 40 → mediana 34.
  • Olvidar dividir (o dividir entre la cantidad equivocada). Incorrecto: media = 75 (solo la suma) o 75 \div 4. Correcto: divide la suma entre el número de valores, 75 \div 5 = 15.
  • Rango = el valor mayor. Incorrecto: el rango de 6, 9, 9, 10, 11, 15 es 15. Correcto: 15 - 6 = 9.
  • No tomar en cuenta los pesos. Incorrecto: calificación = \tfrac{82 + 95 + 74}{3} \approx 83.7. Correcto: 0.5(82) + 0.3(95) + 0.2(74) = 84.3.
  • Sacar el promedio de los promedios. Incorrecto: la media después del 7.º examen está entre 85 y 86, así que la calificación es 85.5. Correcto: usa los totales: 7 \times 86 - 6 \times 85 = 92.
  • Usar la media cuando hay un valor atípico. Incorrecto: "el salario típico es $55,000". Correcto: la mediana, $36,500, es más típica.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Lee la pregunta dos veces y subraya qué medida pide: media, mediana, moda o rango. Las opciones incorrectas suelen ser las otras tres medidas, ya calculadas.
  • Ordena los datos en tu pizarra borrable antes de cualquier pregunta de mediana, moda o rango.
  • Estima primero. La media y la mediana deben estar entre el valor más pequeño y el más grande. Tacha cualquier opción fuera de ese intervalo.
  • Prueba las respuestas en las preguntas de valor que falta: agrega la opción a la lista y revisa la media.
  • Usa suma = media × cantidad siempre que te den una media y falte algo; es el camino más rápido.
  • En los promedios ponderados, revisa que los pesos sumen 100% (o halla la cantidad total) antes de empezar.
  • Tiempo: una media o mediana básica debe tomarte menos de un minuto. Guarda tiempo extra para las preguntas de promedio ponderado de varios pasos.

Compruébalo

Media, mediana, moda, rango y promedio ponderado

Over five days, a food truck sold 14, 19, 11, 23, and 18 burritos. What is the mean number of burritos sold per day?

Opciones de respuesta
Pista

The mean is the "fair share": add all the values, then divide by how many values there are.

Ver en español

Pregunta

En cinco días, un camión de comida vendió 14, 19, 11, 23 y 18 burritos. ¿Cuál es la media del número de burritos vendidos por día?

Opciones

  • A. 12
  • B. 17
  • C. 21.25
  • D. 85
Pista

La media es el "reparto justo": suma todos los valores y luego divide entre cuántos valores hay.

Compruébalo

Media, mediana, moda, rango y promedio ponderadoCompletar

Luis worked these numbers of hours over 8 weeks:

35, 42, 28, 45, 40, 33, 38, 30

What is the median number of hours?

hours

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Put the numbers in order first. With an even number of values, there are two middle numbers.

Ver en español

Pregunta

Luis trabajó estas horas durante 8 semanas:

35, 42, 28, 45, 40, 33, 38, 30

¿Cuál es la mediana del número de horas?

_____ horas

Pista

Primero pon los números en orden. Con un número par de valores, hay dos números en el medio.

Resumen

  • Media = suma ÷ cantidad; mediana = el valor del medio de los datos ordenados (saca el promedio de los dos del medio si la cantidad es par).
  • Moda = el valor más frecuente; rango = mayor − menor.
  • Los valores atípicos jalan mucho la media; la mediana es mejor para datos sesgados, como los salarios.
  • Valor que falta = media deseada × cantidad − suma conocida.
  • Promedio ponderado = \dfrac{\sum (\text{peso} \times \text{valor})}{\sum \text{pesos}}; con pesos en porcentaje, solo suma los productos.
  • La media y la mediana están definidas en la hoja de fórmulas del GED®; la moda, el rango, el valor que falta y el promedio ponderado no; memorízalos.
Practicar esta destreza →