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Evaluar expresiones polinomiales

Halla el valor de expresiones y fórmulas polinomiales, con números negativos, potencias y modelos de la vida real.

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Idea clave

Lo que vas a aprender

En esta lección vas a evaluar expresiones polinomiales, es decir, expresiones con potencias como x^2 y x^3, para valores dados de las variables. Vas a aprender a:

  • aplicar el orden de las operaciones cuando hay exponentes,
  • elevar al cuadrado y al cubo números negativos correctamente, y distinguir (-3)^2 de -3^2,
  • evaluar expresiones con dos variables, decimales y fracciones,
  • usar fórmulas polinomiales de la vida real: la altura de una pelota lanzada, los ingresos, el volumen de una caja,
  • trabajar hacia atrás para hallar un coeficiente que falta.

Por qué importa en el GED®: muchas fórmulas son polinomios. El examen puede darte una fórmula de altura, de ganancia o de volumen y pedirte su valor en un punto, o pedirte que compares dos valores. Las opciones incorrectas están hechas a propósito a partir de errores con exponentes y signos, así que la precisión lo es todo.

Vocabulario

Palabras que debes conocer

  • Polinomio: una suma de términos con exponentes enteros no negativos (-16t^2 + 64t + 5).
  • Base y exponente: en x^3, x es la base y 3 es el exponente: x^3 = x \cdot x \cdot x.
  • Al cuadrado: elevado a la potencia 2 (5^2 = 25). Al cubo: elevado a la potencia 3 (2^3 = 8).
  • Coeficiente: el número delante de una potencia; en 4x^2, el coeficiente 4 multiplica a x^2 (no se eleva al cuadrado).
  • Evaluar: sustituir las variables por números y calcular el valor.
  • Notación de función: p(x) es el nombre de un polinomio; p(3) significa "el valor de p cuando x = 3".
  • Negativo al inicio: el signo menos en -x^2; significa -(x^2), el opuesto de x al cuadrado.
  • Potencia par / impar: una potencia par de un número negativo es positiva ((-2)^4 = 16); una potencia impar es negativa ((-2)^3 = -8).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Los exponentes van antes que la multiplicación

El orden de las operaciones pone los exponentes antes de la multiplicación. Por eso, en 4x^2, primero elevas x al cuadrado y después multiplicas por 4.

4x^2 \text{ con } x = 3: \quad 4(3)^2 = 4 \cdot 9 = 36 \qquad \text{(no } (4 \cdot 3)^2 = 144\text{)}
Picture of 4x² at x = 3: four 3-by-3 squares, each with 3² = 9 small squares, for 4 · 9 = 36 in all. A red box shows the wrong method (4 · 3)² = 144, because only x is squared, not the coefficient.4x² at x = 3: 4 · (3)² = 4 · 9 = 363² = 93² = 93² = 93² = 94 squares of 9 = 36 ✓Wrong: (4 · 3)²= 12² = 144only x is squaredExponent first, then multiply by the coefficient.
4x² con x = 3 son cuatro cuadrados de 3 por 3

Método:

  1. Sustituye cada variable por el número entre paréntesis.
  2. Calcula todas las potencias.
  3. Haz todas las multiplicaciones (coeficientes por potencias).
  4. Suma y resta de izquierda a derecha.

Ejemplo: evalúa 2x^2 - 5x + 3 con x = 4.

PasoTrabajo
Sustituir2(4)^2 - 5(4) + 3
Potencias2 \cdot 16 - 5(4) + 3
Multiplicar32 - 20 + 3
Sumar/restar15

Elevar al cuadrado no es multiplicar por dos. x^2 significa x \cdot x. Con x = 3, x^2 = 9, no 6. Y x^3 = x \cdot x \cdot x; con x = 2, x^3 = 8, no 6.

Las potencias más altas crecen rápido: con x = 3, x^2 = 9, x^3 = 27, x^4 = 81.

Números negativos y potencias

Esta es la trampa más grande del GED®.

ExpresiónSignificadoValor
(-3)^2(-3)(-3)9
-3^2-(3 \cdot 3)-9
(-2)^3(-2)(-2)(-2)-8
-x^2 con x = -2-(-2)^2 = -(4)-4
x^2 con x = -5(-5)^225

Reglas:

  • Un número negativo al cuadrado (o elevado a cualquier potencia par) es positivo.
  • Un número negativo al cubo (o elevado a cualquier potencia impar) es negativo.
  • En -x^2, el exponente pertenece solo a x. Primero eleva x al cuadrado y luego toma el opuesto. Así, -x^2 es siempre cero o negativo, sin importar cuánto valga x.
Bar chart of powers of −2: (−2)¹ = −2 and (−2)³ = −8 are negative (red bars below the axis); (−2)² = 4 and (−2)⁴ = 16 are positive (blue bars above). Even powers are positive and odd powers negative. Side boxes compare (−3)² = 9 with −3² = −9.Powers of −2: the sign alternates−2(−2)¹4(−2)²−8(−2)³16(−2)⁴even power → positive, odd power → negative(−3)² = (−3)(−3)= 9−3² = −(3 · 3)= −9
Las potencias de −2 alternan el signo

Ejemplo: evalúa -x^2 + 4x con x = -2.

  1. Sustituye: -(-2)^2 + 4(-2).
  2. Potencia: (-2)^2 = 4, así que el primer término es -4.
  3. Multiplica: 4(-2) = -8.
  4. Suma: -4 + (-8) = -12.

Ejemplo: evalúa x^3 - 2x^2 + 5 con x = -2: (-2)^3 - 2(-2)^2 + 5 = -8 - 2(4) + 5 = -8 - 8 + 5 = -11.

Dos variables, fórmulas reales y trabajar hacia atrás

Dos variables. Sustituye cada una en su propio paréntesis y sigue el mismo orden.

a^2 - 2ab + b^2 con a = 5, b = -1: (5)^2 - 2(5)(-1) + (-1)^2 = 25 + 10 + 1 = 36.

Plug-in diagram for a² − 2ab + b² with a = 5 and b = −1: substitute to get (5)² − 2(5)(−1) + (−1)², work out powers and products to get 25 + 10 + 1, and add to get 36.a² − 2ab + b²substitute(5)² − 2(5)(−1) + (−1)²powers, then multiply25 + 10 + 1add36a = 5b = −1
Diagrama de sustitución: a² − 2ab + b² con a = 5, b = −1

Fórmulas de la vida real.

  • La altura en pies de una pelota lanzada hacia arriba suele ser h = -16t^2 + vt + h_0, donde t son los segundos, v es la rapidez inicial y h_0 la altura inicial.
  • Los ingresos se pueden representar con R = -2p^2 + 120p, donde p es el precio.
  • El volumen de una caja abierta que se hace cortando cuadrados de x pulgadas en las esquinas de una hoja es largo × ancho × alto.
A rectangular sheet 10 inches by 8 inches with an x-by-x inch square cut from each of its four corners. Dashed lines show where the sides fold up to make an open box with height x, length 10 - 2x and width 8 - 2x.10 in8 inxbaseCut an x-by-x square from each corner, fold up the sides
Caja abierta hecha con una hoja de 10 in por 8 in

Con la hoja de arriba, la caja mide 10 - 2x de largo (se corta un cuadrado en los dos extremos), 8 - 2x de ancho y x de alto, así que V = x(10 - 2x)(8 - 2x).

Comparar dos valores. Para hallar "cuánto más" es un valor que otro, evalúa el polinomio con las dos entradas y resta.

Trabajar hacia atrás. Si un polinomio tiene un coeficiente desconocido k y conoces un valor, sustituye y resuelve. Si p(x) = 2x^2 + kx - 5 y p(-2) = 7, entonces 2(4) + k(-2) - 5 = 7, así que 3 - 2k = 7 y k = -2.

Fórmula

Reglas para recordar (no están en la hoja de fórmulas)

x^2 = x \cdot x \qquad x^3 = x \cdot x \cdot x \qquad (-a)^2 = a^2 \qquad (-a)^3 = -a^3 \qquad -a^2 = -(a^2)
  • x es cualquier número; a es cualquier número positivo.
  • Orden de las operaciones: paréntesis → exponentes → multiplicación y división → suma y resta.

Las reglas de los exponentes y del orden de las operaciones no están en la hoja de fórmulas del GED®. Muchas fórmulas polinomiales que vas a evaluar sí están; por ejemplo, el área de un cuadrado A = s^2, el área de un círculo A = \pi r^2, el volumen de una esfera V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 y el volumen de un prisma rectangular V = lwh. Las fórmulas de los problemas verbales, como la altura de una pelota, vienen dadas en la pregunta.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): Una expresión cuadrática

Evalúa 2x^2 - 3x + 1 cuando x = 4.

  1. Sustituye: 2(4)^2 - 3(4) + 1.
  2. Potencia: (4)^2 = 16.
  3. Multiplica: 2 \cdot 16 = 32 y 3 \cdot 4 = 12.
  4. Combina: 32 - 12 + 1 = 21.

La figura lo resume:

Plug-in steps for 2x² − 3x + 1 at x = 4: substitute to get 2(4)² − 3(4) + 1, square to get 2 · 16 − 3(4) + 1, multiply to get 32 − 12 + 1, then combine to get 21.2x² − 3x + 1substitute in ( )2(4)² − 3(4) + 1power: (4)² = 162 · 16 − 3(4) + 1multiply32 − 12 + 1add and subtract21x = 4
Pasos: 2x² − 3x + 1 con x = 4 da 21

Respuesta: 21

Comprobación: en la calculadora: 2 × 4 x² − 3 × 4 + 1 enter → 21 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: Un polinomio cúbico con un valor negativo

Evalúa x^3 - 2x^2 + 5 cuando x = -2.

  1. Sustituye entre paréntesis: (-2)^3 - 2(-2)^2 + 5.
  2. Potencias: (-2)^3 = -8 (potencia impar, negativo) y (-2)^2 = 4 (potencia par, positivo).
  3. Multiplica: 2 \cdot 4 = 8.
  4. Combina: -8 - 8 + 5 = -11.

La figura lo resume:

Plug-in steps for x³ − 2x² + 5 at x = −2: substitute to get (−2)³ − 2(−2)² + 5; powers give −8 − 2(4) + 5 because the odd power is negative and the even power positive; multiply to get −8 − 8 + 5; combine to get −11.x³ − 2x² + 5substitute in ( )(−2)³ − 2(−2)² + 5powers: odd −, even +−8 − 2(4) + 5multiply−8 − 8 + 5combine−11x = −2
Pasos: x³ − 2x² + 5 con x = −2 da −11

Respuesta: -11

Comprobación: (-2)(-2)(-2) = 4 \cdot (-2) = -8 ✓ y -8 - 8 = -16, -16 + 5 = -11 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal): Altura de una pelota

Se lanza una pelota hacia arriba. Su altura en pies después de t segundos es h = -16t^2 + 48t + 6. ¿A qué altura está la pelota después de 2 segundos?

  1. Sustituye t = 2: h = -16(2)^2 + 48(2) + 6.
  2. Potencia: (2)^2 = 4.
  3. Multiplica: -16 \cdot 4 = -64 y 48 \cdot 2 = 96.
  4. Combina: -64 + 96 + 6 = 38.

La figura lo resume:

Graph of the ball height h = −16t² + 48t + 6 for t from 0 to about 3.1 seconds. The curve starts at (0, 6), rises to a peak of 42 feet at t = 1.5, and comes down. The points (1, 38) and (2, 38) are at the same height, joined by a dashed line; after 2 seconds the ball is 38 feet high.h = −16t² + 48t + 60102030405000.511.522.533.5time t (seconds)feet(0, 6)(1, 38)(2, 38)after 2 s: 38 ft
Gráfica de la altura de la pelota h = −16t² + 48t + 6

Respuesta: 38 pies

Comprobación: la pelota empieza a 6 ft (t = 0). Después de 1 segundo está a -16 + 48 + 6 = 38 ft, la misma altura que a los 2 segundos, lo cual tiene sentido porque sube y baja de forma simétrica ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problema verbal): Apretones de manos

Si cada una de n personas le da la mano una vez a cada una de las demás, el número de apretones de manos es \dfrac{n^2 - n}{2}. ¿Cuántos apretones de manos hay en una reunión de 12 personas?

  1. Sustituye n = 12: \dfrac{(12)^2 - 12}{2}.
  2. Potencia: 12^2 = 144.
  3. Numerador: 144 - 12 = 132.
  4. Divide: 132 \div 2 = 66.

La figura lo resume:

Handshake diagrams: 3 people A, B, C joined by 3 lines (3 handshakes, and (9 − 3) ÷ 2 = 3), and 4 people A, B, C, D joined by 6 lines (6 handshakes, and (16 − 4) ÷ 2 = 6). For 12 people the formula gives (144 − 12) ÷ 2 = 66.Handshakes = (n² − n) ÷ 2ABCABCD3 people: 3 handshakes(9 − 3) ÷ 2 = 34 people: 6 handshakes(16 − 4) ÷ 2 = 612 people: (144 − 12) ÷ 2 = 66 handshakes
Diagramas de apretones de manos para 3 y 4 personas

Respuesta: 66 apretones de manos

Comprobación: con 3 personas (A, B, C) hay 3 apretones de manos: AB, AC, BC. La fórmula da \dfrac{9 - 3}{2} = 3 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): Hallar el coeficiente que falta

El polinomio p(x) = 2x^2 + kx - 5 tiene el valor p(-2) = 7. ¿Cuánto vale k?

  1. Sustituye x = -2: 2(-2)^2 + k(-2) - 5 = 7.
  2. Potencia: (-2)^2 = 4, así que 2 \cdot 4 = 8.
  3. Simplifica: 8 - 2k - 5 = 7, así que 3 - 2k = 7.
  4. Resta 3: -2k = 4.
  5. Divide entre -2: k = -2.

La figura lo resume:

Steps to find k in p(x) = 2x² + kx − 5 with p(−2) = 7: substitute to get 2(−2)² + k(−2) − 5 = 7, simplify to 8 − 2k − 5 = 7, then 3 − 2k = 7, subtract 3 to get −2k = 4, and divide by −2 to get k = −2.p(−2) = 7substitute x = −22(−2)² + k(−2) − 5 = 7power and multiply8 − 2k − 5 = 7combine 8 − 53 − 2k = 7subtract 3−2k = 4divide by −2k = −2x = −2
Pasos para hallar k = −2

Respuesta: k = -2

Comprobación: p(-2) = 2(4) + (-2)(-2) - 5 = 8 + 4 - 5 = 7 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

La calculadora sigue el orden de las operaciones, así que puedes escribir un polinomio tal como está, siempre que manejes bien los negativos.

  • Elevar un número al cuadrado: presiona la tecla x². 4 x² da 16.
  • Otras potencias: usa la tecla ^. 2 ^ 3 da 8. Presiona la flecha derecha para salir del exponente antes de seguir escribiendo.
  • Las entradas negativas necesitan paréntesis. ( (−) 2 ) x² da 4. Si escribes (−) 2 x² sin paréntesis, da -4, porque la calculadora primero eleva 2 al cuadrado y luego toma el opuesto, igual que en -2^2.
  • Ejemplo: -16t^2 + 48t + 6 con t = 2: (−) 1 6 × 2 x² + 4 8 × 2 + 6 enter → 38.

La calculadora es especialmente útil cuando las entradas son decimales, como t = 1.5, o cuando los números son grandes.

Cuándo no usarla: las sustituciones con números enteros pequeños, como x^2 + 3x - 4 con x = 3, son más rápidas a mano, y hacerlas mentalmente desarrolla el sentido numérico que necesitas en el resto del examen.

Error común

Errores comunes

  • Multiplicar por dos en lugar de elevar al cuadrado. Incorrecto: x^2 con x = 3 es 6. Correcto: 3 \cdot 3 = 9.
  • Elevar al cuadrado también el coeficiente. Incorrecto: -16t^2 con t = 1.5 es (-16 \cdot 1.5)^2 = 576. Correcto: eleva al cuadrado solo t: -16(2.25) = -36.
  • Perder el signo de una entrada negativa. Incorrecto: (-2)^2 = -4. Correcto: (-2)^2 = 4.
  • No hacer caso del negativo al inicio. Incorrecto: -x^2 con x = -2 es 4. Correcto: -(-2)^2 = -(4) = -4.
  • Negativo por negativo en un término del medio. Incorrecto: -2ab con a = 5, b = -1 es -10. Correcto: -2(5)(-1) = +10.
  • Responder con un solo valor cuando la pregunta pide una diferencia. Lee con cuidado "cuánto más": evalúa dos veces y luego resta.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Escribe cada sustitución con paréntesis en tu pizarra de apuntes. Para x^2 con x = -3, escribe (-3)^2 = 9, no -3^2 = -9.
  • Usa la calculadora para los decimales, pero escribe los negativos entre paréntesis.
  • Estima para detectar errores grandes. Para -16t^2 + 64t + 5 con t = 1.5, la pelota no puede estar a 677 pies de altura un segundo y medio después de lanzarla a una rapidez moderada.
  • Mira las opciones de respuesta. Si dos opciones solo se diferencian en el signo, vuelve a revisar tus potencias de números negativos.
  • Preguntas de trabajar hacia atrás: también puedes probar cada opción de respuesta como el coeficiente que falta en el polinomio y ver cuál da el valor indicado.
  • Unidades: altura en pies, volumen en pulgadas cúbicas, dinero en dólares. Asegúrate de que la respuesta que elijas tenga el significado correcto.

Compruébalo

Evaluar polinomiosSin calculadora

What is the value of x^2 + 3x - 4 when x = 3?

Opciones de respuesta
Pista

Square 3 first (3 \cdot 3), then multiply 3 \cdot 3 for the middle term, then add and subtract.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el valor de x^2 + 3x - 4 cuando x = 3?

Opciones

  • A. 11
  • B. 14
  • C. 22
  • D. 38
Pista

Primero eleva 3 al cuadrado (3 \cdot 3), luego multiplica 3 \cdot 3 para el término del medio, y después suma y resta.

Compruébalo

Evaluar polinomiosSin calculadoraCompletar

Evaluate 2x^2 - 5 when x = -3.

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Square -3 first. A negative number times itself is positive. Then multiply by 2.

Ver en español

Pregunta

Evalúa 2x^2 - 5 cuando x = -3.

Pista

Primero eleva -3 al cuadrado. Un número negativo multiplicado por sí mismo es positivo. Luego multiplica por 2.

Resumen

  • Sustituye entre paréntesis y luego: potencias → multiplicar/dividir → sumar/restar.
  • x^2 significa x \cdot x (no 2x); solo se eleva al cuadrado la base, no el coeficiente.
  • Un número negativo elevado a una potencia par es positivo; elevado a una potencia impar es negativo.
  • -x^2 significa "el opuesto de x^2", así que -x^2 con x = -2 es -4.
  • Para "cuánto más", evalúa con los dos valores y resta.
  • Para hallar un coeficiente que falta, sustituye los valores conocidos y resuelve.
Practicar esta destreza →