Tasas unitarias

1. La pregunta pide millas por galón, así que los galones van abajo en la fracción.
2. \frac{240\text{ millas}}{8\text{ galones}} = 240 \div 8
3. 240 \div 8 = 30

Su carro rindió 30 millas por galón.

Comprobación: A 30 millas por cada galón, con 8 galones recorre 30 \times 8 = 240 millas ✓

Consejo: La palabra por te dice entre qué dividir. "Millas por galón" → millas ÷ galones. Si tu respuesta es enorme (como 1,920), multiplicaste; si es muy pequeña (como 0.03), dividiste al revés.

1. Halla la tasa unitaria (el pago por hora): \frac{\$138}{8\text{ h}} = \$17.25\text{ por hora}
2. Multiplica por el nuevo número de horas: 17.25 \times 30 = 517.50

Ganará $517.50.

Comprobación: 30 horas es 30 \div 8 = 3.75 veces más que 8 horas, y 138 \times 3.75 = 517.50 ✓

Consejo: Los problemas de tasas de dos pasos siguen el mismo patrón: divide para obtener la tasa unitaria y luego multiplica por la nueva cantidad. La tasa unitaria misma ($17.25) suele ser una respuesta trampa; asegúrate de terminar el segundo paso.

1. La pregunta pide páginas por minuto, así que los minutos van abajo.
2. \frac{168\text{ páginas}}{7\text{ minutos}} = 168 \div 7
3. Divide por partes: 140 \div 7 = 20 y 28 \div 7 = 4, así que 168 \div 7 = 20 + 4 = 24.

La impresora imprime 24 páginas por minuto.

Comprobación: 24 \times 7 = 168 páginas en 7 minutos ✓

Consejo: La unidad que va después de por es el divisor. Separar 168 en 140 + 28 (dos múltiplos fáciles de 7) hace que la división mental sea rápida en la parte sin calculadora.

1. Halla la tasa unitaria: \frac{54\text{ pastelitos}}{6\text{ min}} = 9\text{ pastelitos por minuto}
2. Multiplica la tasa unitaria por el tiempo nuevo: 9 \times 25 = 225

La máquina decora 225 pastelitos en 25 minutos.

Comprobación: Plantea una proporción: \frac{54}{6} = \frac{225}{25}, y los dos lados son iguales a 9 ✓

Consejo: Las tasas crecen multiplicando, no sumando. Pasar de 6 minutos a 25 minutos no suma 19 pastelitos; cada minuto extra suma 9 pastelitos. Primero halla la tasa unitaria y luego ajústala a la escala.

1. Divide el precio entre las onzas de cada caja:
   • 12 oz: 3.48 \div 12 = 0.290 dólares por onza
   • 18 oz: 4.86 \div 18 = 0.270 dólares por onza
   • 24 oz: 6.60 \div 24 = 0.275 dólares por onza
   • 32 oz: 9.28 \div 32 = 0.290 dólares por onza
2. Compara: 0.270 < 0.275 < 0.290.

La caja de 18 oz es la mejor compra, a $0.27 por onza.

Comprobación: Si la caja de 24 oz tuviera el precio por onza de la de 18 oz, costaría 0.27 \times 24 = \$6.48. En realidad cuesta $6.60, que es más, así que la caja de 18 oz sí es la mejor oferta ✓

Consejo: Más grande no siempre es más barato por unidad, y el precio de etiqueta más bajo no es la mejor compra. Calcula todos los precios unitarios, y no redondees 0.275 a 0.27: ese medio centavo por onza decide la pregunta.

1. La línea empieza en (0, 0), así que la distancia y el tiempo son proporcionales.
2. Usa el punto (2, 130): en 2 horas el carro recorrió 130 millas. \text{rapidez} = \frac{130\text{ mi}}{2\text{ h}} = 65\text{ mi/h}
3. Confírmalo con el otro punto (4, 260): \frac{260}{4} = 65

La rapidez del carro es de 65 millas por hora.

Comprobación: La pendiente entre los dos puntos es \dfrac{260 - 130}{4 - 2} = \dfrac{130}{2} = 65 ✓, igual que la tasa unitaria.

Consejo: En una gráfica que pasa por el origen, la tasa unitaria es la pendiente: y \div x para cualquier punto de la línea. Leer solo un valor de y (130 o 260) te da una distancia, no una tasa.

1. Convierte el tiempo a minutos: 8\text{ h} \times 60\ \tfrac{\text{min}}{\text{h}} = 480\text{ min}
2. Divide los mililitros entre los minutos: \frac{1{,}000\text{ mL}}{480\text{ min}} = 2.0833\ldots\ \text{mL/min}
3. Redondea a la centésima más cercana: 2.08.

La velocidad de flujo es de unos 2.08 mL por minuto.

Comprobación: 2.08 \times 480 = 998.4 \approx 1{,}000 mL ✓ (la pequeña diferencia viene del redondeo).

Consejo: Antes de dividir, haz que las unidades coincidan con lo que pide la pregunta. Aquí la tasa por hora (1{,}000 \div 8 = 125 mL/h) es una opción incorrecta tentadora; dividirla entre 60 también funciona: 125 \div 60 \approx 2.08.

1. Su ritmo dice que 1 milla le toma 20 minutos. La rapidez en millas por hora significa millas ÷ horas.
2. Convierte 20 minutos a horas: 20\text{ min} = \frac{20}{60}\text{ h} = \frac{1}{3}\text{ h}
3. Divide: \frac{1\text{ milla}}{\tfrac{1}{3}\text{ h}} = 1 \times 3 = 3\text{ millas por hora}

Rosa camina a 3 millas por hora.

Comprobación: En una hora (60 minutos) completa 60 \div 20 = 3 millas de veinte minutos cada una ✓

Consejo: "Minutos por milla" (un ritmo) está al revés de "millas por hora" (una rapidez). Para cambiar de uno a otro, divide 60 entre el ritmo: 60 \div 20 = 3. Un número de ritmo más grande significa una persona más lenta.

Convierte cada resultado a palabras por minuto.

1. Andre: 3{,}000 \div 60 = 50\text{ palabras por minuto}
2. Bianca: 270 \div 5 = 54\text{ palabras por minuto}
3. Chen: 0.85 \times 60 = 51\text{ palabras por minuto}
4. Dana: 104 \div 2 = 52\text{ palabras por minuto}
5. Compara: 54 > 52 > 51 > 50.

Bianca escribió más rápido, a 54 palabras por minuto.

Comprobación: En 10 minutos Bianca escribiría 540 palabras, Dana 520, Chen 510 y Andre 500; Bianca sigue adelante ✓

Consejo: No compares los números tal como vienen (3,000 parece enorme, pero es de una hora completa). Primero convierte todas las tasas a las mismas unidades y luego compara.

1. El empleo A pasa por (4,\ 60): \frac{\$60}{4\text{ h}} = \$15\text{ por hora}
2. El empleo B pasa por (5,\ 90): \frac{\$90}{5\text{ h}} = \$18\text{ por hora}
3. Diferencia: \$18 - \$15 = \$3

El empleo B paga $3 más por hora.

Comprobación: Después de 10 horas, el empleo A paga 10 \times 15 = \$150 y el empleo B paga 10 \times 18 = \$180; la diferencia es de $30, que son $3 por cada una de las 10 horas ✓

Consejo: Para comparar tasas en una gráfica, halla cada tasa unitaria (y \div x) a partir de un punto que puedas leer con exactitud. La recta más inclinada tiene la tasa mayor. Comparar dos puntos con valores de x distintos compara totales, no tasas.

1. Usa la primera fila: \frac{\$55.50}{3\text{ h}} = \$18.50\text{ por hora}
2. Revisa la segunda fila: \$92.50 \div 5 = \$18.50 ✓
3. Revisa la tercera fila: \$148.00 \div 8 = \$18.50 ✓

Gana $18.50 por hora.

Comprobación: De 3 horas a 5 horas, las ganancias suben 92.50 - 55.50 = \$37.00 por 2 horas más, y 37.00 \div 2 = \$18.50 ✓

Consejo: En una tabla proporcional, ganancias ÷ horas da lo mismo en cada fila; esa constante es la tasa unitaria. Si usas el cambio entre dos filas, recuerda dividir también entre el cambio de horas.

1. Centro A: en C = 12.5h, el número que multiplica a h es la tasa unitaria: $12.50 por hora.
2. Centro B: \frac{\$27}{2\text{ h}} = \$13.50\text{ por hora} y \$54 \div 4 = \$13.50 ✓
3. Compara: 13.50 - 12.50 = 1.00, así que el centro A cuesta $1.00 menos por hora.

El centro A es más barato por $1.00 por hora.

Comprobación: Por 4 horas, el centro A cuesta 12.5 \times 4 = \$50 y el centro B cuesta $54. La diferencia de $4 es $1 por cada una de las 4 horas ✓

Consejo: En una ecuación proporcional y = kx, el número que multiplica a x es la tasa unitaria. Para compararla con una tabla o una gráfica, convierte también esa representación en una tasa unitaria y luego compara cosas del mismo tipo.

1. La marca X después del cupón: 7.68 - 1.00 = \$6.68
2. Precio unitario de la marca X: \frac{\$6.68}{64\text{ oz}} = \$0.104375 \approx 10.4\text{ centavos por oz}
3. Precio unitario de la marca Y: \frac{\$5.28}{48\text{ oz}} = \$0.11 = 11.0\text{ centavos por oz}
4. Compara: 10.4 < 11.0 centavos, así que la marca X con el cupón es la mejor compra.

La mejor compra cuesta unos 10.4¢ por onza (la marca X con el cupón).

Comprobación: A 10.4375¢ por onza, 64 oz cuestan 64 \times 0.104375 = \$6.68, y al sumar el cupón de nuevo da $7.68 ✓

Consejo: Sin el cupón, la marca X cuesta 12.0¢ por onza y gana la marca Y. Los cupones y las ofertas pueden cambiar la respuesta: siempre busca el precio que de verdad vas a pagar y luego divide.

1. Tasa unitaria: \frac{45\text{ gal}}{20\text{ min}} = 2.25\text{ gal por minuto}
2. Convierte el tiempo a minutos: 1.5\text{ h} \times 60 = 90\text{ min}
3. Multiplica: 2.25 \times 90 = 202.5\text{ gal}

El aspersor usa 202.5 galones en 1.5 horas.

Comprobación: 90 minutos son 90 \div 20 = 4.5 bloques de veinte minutos, y 4.5 \times 45 = 202.5 galones ✓

Consejo: Antes de multiplicar una tasa por un tiempo, asegúrate de que las unidades de tiempo coincidan. La tasa es por minuto, así que primero 1.5 horas se tienen que convertir en 90 minutos.

1. Escribe la cuenta como tarifa + tasa × horas: 85 + 62h = 333
2. Resta la tarifa: 62h = 333 - 85 = 248
3. Divide entre la tarifa por hora: h = 248 \div 62 = 4

El plomero trabajó 4 horas.

Comprobación: 85 + 62 \times 4 = 85 + 248 = 333 ✓

Consejo: Cuando un total incluye una tarifa que se cobra una sola vez, solo la parte que queda después de la tarifa depende de la tasa. Deshaz los pasos en orden inverso: resta la tarifa y luego divide entre la tasa.

1. Tasa unitaria a partir de una columna completa: \frac{26\text{ páginas}}{4\text{ min}} = 6.5\text{ páginas por minuto} Comprueba: 65 \div 10 = 6.5 ✓
2. Trabaja al revés: minutos = páginas ÷ tasa: 117 \div 6.5 = 18\text{ minutos}

Tarda 18 minutos en imprimir 117 páginas.

Comprobación: 6.5 \times 18 = 117 ✓, así que la razón \tfrac{117}{18} = 6.5 coincide con las otras columnas.

Consejo: No sigas un patrón en una sola fila de la tabla (4, 10, 16, …). En una tabla proporcional, la razón páginas ÷ minutos se mantiene igual, así que usa la tasa unitaria para completar un valor que falta.

1. Escribe el tiempo en horas. 30 minutos son \tfrac{30}{60} = 0.5 horas, así que 2\text{ h }30\text{ min} = 2.5\text{ h}
2. Divide los galones entre las horas: \frac{1{,}250\text{ gal}}{2.5\text{ h}} = 500\text{ gal por hora}

El tanque se llena a 500 galones por hora.

Comprobación: 500 \times 2.5 = 1{,}250 galones ✓ (500 en la primera hora, 500 en la segunda y 250 en la última media hora)

Consejo: "2 horas 30 minutos" son 2.5 horas, no 2.3 horas. Los minutos son sesentavos de hora, así que divide los minutos entre 60 antes de escribir un decimal.

1. Convierte 2 libras a onzas: 2 \times 16 = 32\text{ oz}
2. Bolsa de 12 onzas: \frac{\$8.88}{12\text{ oz}} = \$0.74\text{ por onza}
3. Bolsa de 2 libras: \frac{\$22.40}{32\text{ oz}} = \$0.70\text{ por onza}
4. Diferencia: 0.74 - 0.70 = 0.04

La bolsa de 2 libras cuesta $0.04 menos por onza, así que es la mejor compra.

Comprobación: 32 onzas de café al precio de la bolsa de 12 onzas costarían 32 \times 0.74 = \$23.68, que es más que $22.40 ✓

Consejo: Los precios unitarios solo se pueden comparar en la misma unidad. Primero convierte las libras a onzas (×16) y luego divide cada precio entre su número de onzas.

1. Tasa unitaria (millas por día): 2\tfrac{1}{4} \div \tfrac{3}{4} = \tfrac{9}{4} \times \tfrac{4}{3} = \tfrac{36}{12} = 3\text{ millas por día}
2. Trabaja al revés: días = millas ÷ (millas por día): 7\tfrac{1}{2} \div 3 = \tfrac{15}{2} \times \tfrac{1}{3} = \tfrac{15}{6} = 2\tfrac{1}{2}\text{ días}

El equipo necesita 2\tfrac{1}{2} días.

Comprobación: 3 \times 2\tfrac{1}{2} = 7\tfrac{1}{2} millas ✓

Consejo: Convierte los números mixtos en fracciones impropias antes de dividir (2\tfrac{1}{4} = \tfrac{9}{4}, 7\tfrac{1}{2} = \tfrac{15}{2}). Primero halla la tasa unitaria; luego fíjate en las unidades para decidir si multiplicas (para hallar millas) o divides (para hallar días).

1. Cuartos de galón por segundo: 3 \div 40 = 0.075\ \tfrac{\text{qt}}{\text{s}}
2. Cuartos de galón por hora (una hora tiene 3,600 segundos): 0.075 \times 3{,}600 = 270\ \tfrac{\text{qt}}{\text{h}}
3. Galones por hora (divide entre 4, porque 4 cuartos de galón forman un galón): 270 \div 4 = 67.5\ \tfrac{\text{gal}}{\text{h}}

Una tasa equivalente es 67.5 galones por hora.

Comprobación: En 40 segundos la máquina llena 3 cuartos de galón = 0.75 galones. En una hora hay 3{,}600 \div 40 = 90 bloques de cuarenta segundos, y 90 \times 0.75 = 67.5 galones ✓

Consejo: Cambia una unidad a la vez y pregúntate si cada cambio debe hacer el número más grande o más pequeño. Un galón es más grande que un cuarto de galón, así que el número de galones tiene que ser más pequeño (divide entre 4).