La tasa unitaria como pendiente

1. La recta empieza en (0, 0), así que es una relación proporcional: 0 horas → \$0.
2. El punto marcado (4,\ 60) significa que 4 horas de trabajo dan \$60.
3. Tasa unitaria = dólares ÷ horas: \frac{60 \text{ dólares}}{4 \text{ horas}} = 15 \text{ dólares por hora}
4. Esta es también la pendiente de la recta: m = \frac{60 - 0}{4 - 0} = 15.

Dana gana $15 por hora.

Comprobación: A las 8 horas, la recta llega a \$120, y 120 \div 8 = 15 ✓

Consejo: En una gráfica proporcional, la tasa unitaria = la pendiente = el valor de y cuando x = 1. Aquí, a 1 hora la recta está en \$15.

1. La ecuación tiene la forma y = kx, una relación proporcional con constante k = 1.85.
2. k es la pendiente: cuando x aumenta 1 libra, y aumenta 1.85 dólares.
3. Pruébalo: x = 1 \Rightarrow y = 1.85(1) = 1.85. Una libra cuesta \$1.85.

Así que 1.85 es el precio por libra de manzanas, en dólares.

Comprobación: 2 libras: 1.85 \times 2 = \$3.70, que es el doble del costo de 1 libra; esto concuerda con un precio constante por libra ✓

Consejo: Lee las unidades de la pendiente como "unidades de y por unidad de x": dólares por libra.

1. La recta pasa por (0, 0) y por el punto marcado (3, 39): después de 3 horas, el ciclista ha recorrido 39 millas.
2. La rapidez son las millas en una hora, así que divide las millas entre las horas: \frac{39 \text{ millas}}{3 \text{ horas}} = 13 \text{ millas por hora}
3. Esto también es la pendiente de la recta: m = \frac{39 - 0}{3 - 0} = 13.

El ciclista va a 13 millas por hora.

Comprobación: Después de 1 hora, la recta debe estar en 13 millas, y la primera línea marcada en el eje vertical es 13; la recta la cruza en 1 hora ✓

Consejo: En una gráfica proporcional (una recta que pasa por el origen), la tasa unitaria es \frac{y}{x} de cualquier punto de la recta, y es igual a la pendiente.

1. Precio unitario = precio ÷ número de onzas.
2. Caja de 18 onzas: \frac{\$4.32}{18 \text{ oz}} = \$0.24 \text{ por onza}
3. Caja de 24 onzas: \frac{\$5.52}{24 \text{ oz}} = \$0.23 \text{ por onza}
4. \$0.23 < \$0.24, así que la caja de 24 onzas cuesta menos por onza.

La caja de 24 onzas es la mejor compra, a $0.23 por onza.

Comprobación: 0.23 \times 24 = 5.52 ✓ y 0.24 \times 18 = 4.32 ✓

Consejo: "Mejor compra" significa el precio unitario más bajo, no el precio total más bajo. Siempre divide dólares entre unidades para que la respuesta sea "dólares por onza".

1. Impresora A (gráfica): la recta pasa por (0, 0) y (5, 90). \text{tasa}_A = \frac{90 \text{ páginas}}{5 \text{ min}} = 18 \text{ páginas por minuto}
2. Impresora B (ecuación y = 20x): la pendiente es 20, así que imprime 20 páginas por minuto.
3. Compara: 20 - 18 = 2.

La impresora B es más rápida por 2 páginas por minuto.

Comprobación: En 5 minutos, la impresora B imprime 20 \times 5 = 100 páginas y la impresora A, 90 páginas: B imprime 10 más en 5 minutos, que son 10 \div 5 = 2 más por minuto ✓

Consejo: Para comparar tasas dadas de formas distintas (gráfica, ecuación, tabla), convierte primero cada una a la misma tasa unitaria.

1. La recta pasa por (0, 0), así que es proporcional: y = kx.
2. Halla k (la tasa unitaria) con el punto (3, 2): k = \frac{2 \text{ in}}{3 \text{ h}} = \frac{2}{3} \text{ pulgada por hora}
3. Así que la ecuación es y = \frac{2}{3}x

La respuesta es y = \tfrac{2}{3}x.

Comprobación: x = 9: y = \frac{2}{3}(9) = 6; coincide con el punto (9, 6) ✓

Consejo: En una gráfica proporcional, k = \frac{y}{x} para cualquier punto de la recta (excepto el origen).

1. Rapidez de Ben a partir del punto (2.5,\ 15): \frac{15 \text{ mi}}{2.5 \text{ h}} = 6 \text{ mi/h}
2. Rapidez de Ana: es la pendiente de d = 6.5t: 6.5 mi/h.
3. Distancias en 4 horas: \text{Ana: } 6.5 \times 4 = 26 \text{ mi} \qquad \text{Ben: } 6 \times 4 = 24 \text{ mi}
4. Diferencia: 26 - 24 = 2.

Ana corre 2 millas más.

Comprobación: Ana le gana 6.5 - 6 = 0.5 milla cada hora; en 4 horas eso es 0.5 \times 4 = 2 millas ✓

Consejo: "¿Cuántas más en 4 horas?" = (diferencia de las tasas) × (tiempo). No te detengas en la diferencia de las tasas.

1. La ecuación tiene la forma y = kx con k = 0.12. Es una relación proporcional.
2. Si x = 1 (una copia), entonces y = 0.12 \times 1 = 0.12. Así que 1 copia cuesta $0.12.
3. Cada copia adicional suma otros $0.12, así que 0.12 es la tasa unitaria: dólares por copia.
4. No hay una constante sumada, así que no hay cargo inicial: 0 copias cuestan $0.

0.12 significa que cada copia cuesta $0.12.

Comprobación: 100 copias cuestan 0.12 \times 100 = \$12, que son $0.12 por cada una de las 100 copias ✓

Consejo: Lee las unidades de k como "unidades de y por unidad de x": aquí, dólares por copia. Di la frase "___ dólares por cada copia" para asegurarte de que tenga sentido.

1. En una relación proporcional y = kx, la constante es k = \frac{y}{x}.
2. Calcúlala para cada columna: \frac{3}{2} = 1.5, \qquad \frac{6}{4} = 1.5, \qquad \frac{10.5}{7} = 1.5
3. La razón es constante, así que k = 1.5 y la ecuación es y = 1.5x

La ecuación es y = 1.5x.

Comprobación: 1.5 \times 2 = 3 ✓, 1.5 \times 4 = 6 ✓, 1.5 \times 7 = 10.5 ✓

Consejo: Una ecuación que solo funciona con la primera columna (como y = x + 1) es una trampa común. Prueba todas las columnas antes de escoger.

1. Cajas por minuto: \frac{45 \text{ cajas}}{15 \text{ min}} = 3 \text{ cajas por minuto}
2. Una hora = 60 minutos, así que multiplica por 60: 3 \times 60 = 180 \text{ cajas por hora}
3. Otra forma: 15 minutos es \frac{1}{4} de hora, así que una hora tiene 4 de esos periodos: 45 \times 4 = 180.

La banda mueve 180 cajas por hora.

Comprobación: A 180 cajas por hora, un cuarto de hora (15 minutos) da 180 \div 4 = 45 cajas ✓

Consejo: Cuando la pregunta pide otra unidad de tiempo, convierte al final y pregúntate: "¿El número debe crecer o hacerse más pequeño?". Una hora es más larga que un minuto, así que hay más cajas por hora.

1. Tasa unitaria de la Tienda A: \dfrac{3.78}{2} = 1.89 dólares por libra (comprobación: 5.67 \div 3 = 1.89, 9.45 \div 5 = 1.89).
2. Tasa unitaria de la Tienda B: en y = 1.95x, k = 1.95 dólares por libra.
3. Compara: 1.89 < 1.95, así que la Tienda A es más barata.
4. Diferencia: 1.95 - 1.89 = 0.06 dólares por libra.

La Tienda A es más barata por $0.06 por libra.

Comprobación: Para 10 libras: Tienda A 10 \times 1.89 = \$18.90, Tienda B 10 \times 1.95 = \$19.50. Diferencia de \$0.60 en 10 libras, que son $0.06 por libra ✓

Consejo: Para comparar dos representaciones, convierte las dos en el mismo tipo de número (la tasa unitaria) antes de comparar.

1. Proporcional significa y = kx: la razón \frac{y}{x} es idéntica para cada par (y la gráfica es una recta que pasa por el origen).
2. Prueba cada tabla:
   • x: 1, 2, 3; y: 2.5, 5, 7.5 → razones 2.5, 2.5, 2.5 ✓ proporcional.
   • x: 1, 2, 3; y: 3, 5, 7 → razones 3, 2.5, 2.33: no es constante (esta es y = 2x + 1).
   • x: 2, 4, 6; y: 4, 16, 36 → razones 2, 4, 6: no es constante (esta es y = x^2).
   • x: 1, 2, 4; y: 6, 12, 18 → razones 6, 6, 4.5: no es constante.

La tabla proporcional es x: 1, 2, 3 y y: 2.5, 5, 7.5, con k = 2.5.

Comprobación: y = 2.5x: 2.5(1) = 2.5, 2.5(2) = 5, 2.5(3) = 7.5 ✓

Consejo: Una tabla puede subir de forma constante y aun así no ser proporcional. Calcula \frac{y}{x} para cada par; una sola diferencia la descarta.

1. Tasa unitaria = millas ÷ horas: \frac{2}{3} \div \frac{1}{4}
2. Dividir entre \frac{1}{4} es lo mismo que multiplicar por 4: \frac{2}{3} \times \frac{4}{1} = \frac{8}{3}
3. Como número mixto: \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.67.

La rapidez es \tfrac{8}{3} millas por hora (2\tfrac{2}{3} mph).

Comprobación: En 1 hora hay cuatro cuartos de hora, y 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3} millas ✓

Consejo: En la gráfica de distancia contra tiempo, esto es la pendiente \frac{2/3}{1/4} = \frac{8}{3}. Una tasa con "fracción compleja" sigue siendo simplemente lo de arriba ÷ lo de abajo.

1. Azúcar por taza de harina = tazas de azúcar ÷ tazas de harina: \frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{2}{3} \div \frac{1}{2}
2. Dividir entre una fracción = multiplicar por su recíproco: \frac{2}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{4}{3}
3. \tfrac{4}{3} = 1\tfrac{1}{3} tazas de azúcar por taza de harina.

La receta usa \tfrac{4}{3} (o 1\tfrac{1}{3}) tazas de azúcar por taza de harina.

Comprobación: Una taza de harina son dos medias tazas. Cada media taza necesita \tfrac{2}{3} de taza de azúcar, así que 2 \times \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{3} ✓

Consejo: "Por" significa dividir, y la unidad que va después de "por" va abajo. Con fracciones, voltea la fracción de abajo y multiplica.

1. Bomba A (gráfica): pasa por (0, 0) y (5, 60): \frac{60}{5} = 12 \text{ galones por minuto}
2. Bomba B (texto): \frac{100}{8} = 12.5 \text{ galones por minuto}
3. Tiempo para 300 galones = 300 ÷ tasa: \text{A: } \frac{300}{12} = 25 \text{ min}, \qquad \text{B: } \frac{300}{12.5} = 24 \text{ min}
4. La bomba B es más rápida: 25 - 24 = 1 minuto menos.

La bomba B es más rápida, por 1 minuto.

Comprobación: 12.5 \times 24 = 300 ✓ y 12 \times 25 = 300 ✓

Consejo: Una diferencia en las tasas (0.5 galón por minuto) no es una diferencia en el tiempo. Vuelve a leer qué mide la pregunta y calcula esa cantidad para cada opción.

1. Tasa unitaria (altura por hora): \frac{6 \text{ cm}}{15 \text{ h}} = 0.4 \text{ cm por hora}
2. Tiempo para 10 cm = altura ÷ tasa: \frac{10}{0.4} = 25 \text{ horas}
3. Otra forma: las horas por centímetro son \frac{15}{6} = 2.5, así que 10 cm toman 10 \times 2.5 = 25 horas.

Tardará 25 horas.

Comprobación: 0.4 \times 25 = 10 cm ✓

Consejo: Las situaciones proporcionales cambian de escala multiplicando, no sumando. Pasar de 6 cm a 10 cm no es "+4 horas"; es \frac{10}{6} veces el tiempo.

1. Agua por taza de concentrado = agua ÷ concentrado.
2. Usa la última columna (tiene un número entero de tazas): \frac{10\tfrac{1}{2}}{3} = \frac{10.5}{3} = 3.5
3. Revisa la primera columna: 1\tfrac{3}{4} \div \tfrac{1}{2} = 1.75 \div 0.5 = 3.5 ✓
4. Revisa la columna del medio: 5\tfrac{1}{4} \div 1\tfrac{1}{2} = 5.25 \div 1.5 = 3.5 ✓

La mezcla usa 3.5 tazas de agua por taza de concentrado.

Comprobación: 3.5 \times 1.5 = 5.25 = 5\tfrac{1}{4} ✓

Consejo: Escoge la columna más fácil para calcular la tasa unitaria (una entrada con número entero ayuda) y luego confirma con otra columna.

1. Tasa unitaria (pendiente) a partir de (8, 6): k = \frac{6}{8} = 0.75 \text{ dólares por libra} Así que la recta es y = 0.75x.
2. Prueba cada opción:
   • (20, 15): 0.75 \times 20 = 15 ✓
   • (6, 8): 0.75 \times 6 = 4.5 \ne 8 ✗
   • (10, 8): 0.75 \times 10 = 7.5 \ne 8 ✗
   • (16, 14): 0.75 \times 16 = 12 \ne 14 ✗

El punto (20,\ 15) está en la recta.

Comprobación: \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = \frac{6}{8}: la misma razón, así que el punto está en la misma recta proporcional ✓

Consejo: Los puntos de una recta proporcional mantienen la misma razón \frac{y}{x}. Sumar la misma cantidad a ambas coordenadas (como en (10, 8) o (16, 14)) no mantiene la razón.

1. Precio unitario = precio ÷ onzas.
2. 17 oz: \dfrac{6.29}{17} = \$0.37 por onza.
3. 34 oz: \dfrac{11.90}{34} = \$0.35 por onza.
4. 51 oz: \dfrac{18.36}{51} = \$0.36 por onza.
5. El más bajo: \$0.35 < \$0.36 < \$0.37.

La botella de 34 onzas tiene el precio más bajo, $0.35 por onza.

Comprobación: 0.35 \times 34 = 11.90 ✓, 0.36 \times 51 = 18.36 ✓, 0.37 \times 17 = 6.29 ✓

Consejo: Las tiendas no siempre dan la mejor oferta en el tamaño más grande. Calcula cada precio unitario; solo toma una división en la calculadora para cada uno.

1. Cambia millas a pies: 18 \text{ mi/h} \times 5{,}280 \text{ ft/mi} = 95{,}040 \text{ ft/h}
2. Una hora = 60 \times 60 = 3{,}600 segundos. Cambia "por hora" a "por segundo" dividiendo entre 3,600: \frac{95{,}040}{3{,}600} = 26.4 \text{ ft/s}
3. En una sola expresión: 18 \times \frac{5{,}280}{3{,}600} = 26.4

La rapidez es 26.4 pies por segundo.

Comprobación: 26.4 \text{ ft/s} \times 3{,}600 \text{ s} = 95{,}040 ft en una hora, y 95{,}040 \div 5{,}280 = 18 millas ✓

Consejo: Convierte las dos unidades: la de distancia (millas → pies) y la de tiempo (horas → segundos). Escribir las unidades en cada paso muestra cuáles se cancelan.