Rectas paralelas y perpendiculares

1. La recta dada y = 3x - 5 está en la forma pendiente-intersección, así que su pendiente es m = 3.
2. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente y una intersección con el eje y diferente.
3. Revisa la pendiente de cada opción:
   • y = 3x + 2: pendiente 3 ✓, intersección 2 \ne -5 ✓
   • y = -3x - 5: pendiente -3 ✗
   • y = -\tfrac{1}{3}x + 2: pendiente -\tfrac{1}{3} ✗ (esta es perpendicular)
   • y = 2x - 5: pendiente 2 ✗

Respuesta: y = 3x + 2

Comprobación: Ambas rectas suben 3 por cada 1 a la derecha, y cruzan el eje y en puntos diferentes (-5 y 2), así que nunca se encuentran ✓

Consejo: Fíjate solo en el número delante de x. La intersección no hace que las rectas sean paralelas; solo tiene que ser diferente para que no sean la misma recta.

1. La recta dada tiene pendiente m = -2 (el número delante de x).
2. Escribe -2 como fracción: -\tfrac{2}{1}.
3. Invierte: -\tfrac{1}{2}. Cambia el signo: +\tfrac{1}{2}.

Respuesta: \tfrac{1}{2}

Comprobación: -2 \cdot \tfrac{1}{2} = -1 ✓

Consejo: El recíproco negativo de un número negativo es positivo. La perpendicular de una recta que baja siempre sube (y viceversa), así que una pendiente perpendicular siempre tiene el signo opuesto.

1. Dos rectas distintas en un plano nunca se cruzan solo si son paralelas.
2. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente e intersecciones con el eje y distintas.
3. La pendiente de y = -4x + 1 es -4.
4. Revisa las opciones: solo y = -4x - 6 tiene pendiente -4 (y una intersección distinta, -6).
   • y = 4x + 1 tiene pendiente 4.
   • y = \tfrac{1}{4}x + 1 tiene pendiente \tfrac{1}{4} (es perpendicular).
   • y = -\tfrac{1}{4}x + 3 tiene pendiente -\tfrac{1}{4}.

Respuesta: y = -4x - 6

Comprobación: Intenta resolver -4x + 1 = -4x - 6: los términos con x se cancelan y queda 1 = -6, lo cual es imposible; así que no hay punto de intersección ✓.

Consejo: "Nunca se cruzan", "nunca se intersecan" y "van lado a lado" son palabras clave del GED® para paralelas: misma pendiente, intersección distinta.

1. La recta y = 3 contiene todos los puntos cuya coordenada y es 3, como (0, 3), (2, 3), (-5, 3). Es una recta horizontal con pendiente 0.
2. Una recta perpendicular a una recta horizontal debe ser vertical.
3. Las rectas verticales tienen ecuaciones de la forma x = c.
4. Entre las opciones, solo x = -2 es vertical.

Respuesta: x = -2

Comprobación: La recta vertical x = -2 cruza y = 3 en el punto (-2, 3) y forma un ángulo recto, como la esquina de una hoja de papel cuadriculado ✓.

Consejo: La regla de "invierte y cambia" no funciona con rectas horizontales y verticales (la pendiente 0 no tiene recíproco). Solo recuerda: horizontal ⊥ vertical; y = número es horizontal y x = número es vertical.

1. La pendiente dada es -\tfrac{1}{2}. Una recta paralela tiene la misma pendiente: y = -\tfrac{1}{2}x + b.
2. Sustituye (4, 5): 5 = -\tfrac{1}{2}(4) + b.
3. Multiplica: 5 = -2 + b.
4. Suma 2: b = 7.
5. Ecuación: y = -\tfrac{1}{2}x + 7.

Respuesta: y = -\tfrac{1}{2}x + 7

Comprobación: -\tfrac{1}{2}(4) + 7 = -2 + 7 = 5 ✓ Misma pendiente que la recta dada, intersección diferente (7 \ne 3) ✓

Consejo: Conserva la pendiente y cambia la intersección. Si tu nueva recta tiene la misma intersección que la anterior, solo volviste a escribir la recta original.

1. Pendiente dada: \tfrac{3}{4}. Pendiente perpendicular: invierte y cambia el signo → -\tfrac{4}{3}.
2. Sustituye (3, -1) en y = -\tfrac{4}{3}x + b: -1 = -\tfrac{4}{3}(3) + b = -4 + b
3. Suma 4: b = 3.
4. Ecuación: y = -\tfrac{4}{3}x + 3.

Respuesta: y = -\tfrac{4}{3}x + 3

Comprobación: Pendientes: \tfrac{3}{4} \cdot \left(-\tfrac{4}{3}\right) = -1 ✓ Punto: -\tfrac{4}{3}(3) + 3 = -4 + 3 = -1 ✓

Consejo: -\tfrac{4}{3} \times 3 = -4 (negativo × positivo = negativo). Luego deshaz el -4 sumando 4.

1. Puntos marcados en la recta l: (-4, -1) y (2, 3).
2. Pendiente de l: \dfrac{3 - (-1)}{2 - (-4)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.
3. Pendiente perpendicular: invierte y cambia el signo → -\tfrac{3}{2}.
4. La nueva recta cruza el eje y en (0, -2), así que b = -2.
5. Ecuación: y = -\tfrac{3}{2}x - 2.

Respuesta: y = -\tfrac{3}{2}x - 2

Comprobación: \tfrac{2}{3} \cdot \left(-\tfrac{3}{2}\right) = -1 ✓ y en x = 0, y = -2 ✓

Consejo: La recta l sube, así que cualquier recta perpendicular debe bajar (pendiente negativa). Solo eso elimina dos opciones.

1. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, así que m = \tfrac{2}{5}.
2. Sustituye (-5, 4) en y = \tfrac{2}{5}x + b: 4 = \tfrac{2}{5}(-5) + b
3. Multiplica: \tfrac{2}{5} \times (-5) = -2, así que 4 = -2 + b.
4. Suma 2: b = 6.

Respuesta: y = \tfrac{2}{5}x + 6

Comprobación: \tfrac{2}{5}(-5) + 6 = -2 + 6 = 4 ✓, y la pendiente coincide con la recta original ✓.

Consejo: Para una recta paralela, copia la pendiente pero nunca la intersección: la nueva recta pasa por otro punto, así que debes calcular su b de nuevo.

1. La pendiente dada es -3 = -\tfrac{3}{1}.
2. Pendiente perpendicular: invierte a -\tfrac{1}{3} y cambia el signo a +\tfrac{1}{3}.
3. Sustituye (6, 1) en y = \tfrac{1}{3}x + b: 1 = \tfrac{1}{3}(6) + b = 2 + b.
4. Resta 2: b = -1.

Respuesta: y = \tfrac{1}{3}x - 1

Comprobación: Pendientes: -3 \times \tfrac{1}{3} = -1 ✓ (perpendiculares). Punto: \tfrac{1}{3}(6) - 1 = 1 ✓.

Consejo: Una pendiente entera como -3 es la fracción -\tfrac{3}{1}. Escribir el 1 hace que sea fácil ver cómo se invierte.

1. Despeja y en 3x - 4y = 12:
   • Resta 3x: -4y = -3x + 12.
   • Divide cada término entre -4: y = \tfrac{3}{4}x - 3.
2. La pendiente es \tfrac{3}{4}.
3. Una recta paralela tiene pendiente \tfrac{3}{4}. Solo y = \tfrac{3}{4}x + 5 tiene esa pendiente.

Respuesta: y = \tfrac{3}{4}x + 5

Comprobación: Atajo para Ax + By = C: pendiente = -\tfrac{A}{B} = -\tfrac{3}{-4} = \tfrac{3}{4} ✓.

Consejo: En la forma estándar, la pendiente no es el número delante de x. Despeja y (o usa -\tfrac{A}{B}) y divide entre un número negativo con cuidado.

1. Las pendientes son 2 y -2.
2. Para ser paralelas se necesitan pendientes iguales: 2 \ne -2, así que las rectas no son paralelas.
3. Para ser perpendiculares se necesitan pendientes cuyo producto sea -1 (recíprocos negativos): 2 \times (-2) = -4 \ne -1, así que no son perpendiculares.
4. La pendiente perpendicular a 2 sería -\tfrac{1}{2}, no -2.
5. Así que las rectas no son ni paralelas ni perpendiculares. Se cruzan, pero no en ángulo recto.

Respuesta: Sam está equivocado; el producto de las pendientes es -4, así que las rectas no son ni paralelas ni perpendiculares.

Comprobación: 2 \times (-\tfrac{1}{2}) = -1 ✓. Ese par sí sería perpendicular, lo que confirma que -2 no lo es.

Consejo: Las pendientes opuestas solo cambian el signo. Las pendientes perpendiculares cambian el signo y invierten la fracción.

1. Pendiente del camino para bicicletas: m = \dfrac{9 - 3}{4 - 0} = \dfrac{6}{4} = 1.5.
2. El camino peatonal paralelo tiene la misma pendiente: y = 1.5x + b.
3. Sustituye la fuente (2, -1): -1 = 1.5(2) + b = 3 + b.
4. Resta 3: b = -4.

Respuesta: y = 1.5x - 4

Comprobación: 1.5(2) - 4 = 3 - 4 = -1 ✓ (pasa por la fuente). El camino para bicicletas es y = 1.5x + 3; misma pendiente e intersección distinta, así que los caminos nunca se juntan ✓.

Consejo: Las preguntas de "paralelas" en la vida real son iguales a las del libro: misma pendiente, punto nuevo, intersección nueva.

1. x = 4 contiene todos los puntos con coordenada x igual a 4, como (4, 0) y (4, 7). Es una recta vertical.
2. Una recta perpendicular a una recta vertical es horizontal, con una ecuación y = c.
3. Una recta horizontal que pasa por (-2, 5) tiene todos sus valores de y iguales a 5: y = 5.

Respuesta: y = 5

Comprobación: y = 5 contiene (-2, 5) ✓ y cruza x = 4 en (4, 5) formando un ángulo recto ✓.

Consejo: Una recta horizontal usa la coordenada y del punto (y = 5); una recta vertical usa la coordenada x del punto (x = -2). Decide primero la dirección y luego elige la coordenada.

1. Pendientes de los lados:
   • AB: \dfrac{3 - 1}{5 - 1} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}
   • BC: \dfrac{5 - 3}{4 - 5} = \dfrac{2}{-1} = -2
   • CD: \dfrac{3 - 5}{0 - 4} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}
   • DA: \dfrac{1 - 3}{1 - 0} = \dfrac{-2}{1} = -2
2. Lados opuestos: AB \parallel CD (ambos \tfrac{1}{2}) y BC \parallel DA (ambos -2). Entonces es un paralelogramo.
3. Lados vecinos: \tfrac{1}{2} \cdot (-2) = -1, así que cada esquina es un ángulo recto. Es un rectángulo.
4. ¿Es un cuadrado? Longitudes de los lados: AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}; BC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}. No son iguales, así que no es un cuadrado.

Respuesta: ABCD es un rectángulo que no es un cuadrado.

Comprobación: DA: de (0, 3) baja 2 y avanza 1 a la derecha hasta (1, 1) ✓ pendiente -2; AB: 4 a la derecha, sube 2 ✓ pendiente \tfrac{1}{2}.

Consejo: Pendientes iguales → lados paralelos; pendientes cuyo producto es -1 → ángulos rectos. Para decidir si es un "cuadrado", todavía necesitas las longitudes de los lados.

1. Pendiente de \overline{AB}: \dfrac{3 - 1}{2 - (-2)} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.
2. Pendiente de \overline{BC}: \dfrac{-1 - 3}{4 - 2} = \dfrac{-4}{2} = -2.
3. Pendiente de \overline{AC}: \dfrac{-1 - 1}{4 - (-2)} = \dfrac{-2}{6} = -\dfrac{1}{3}.
4. Prueba los productos: \tfrac{1}{2} \times (-2) = -1 ✓, así que \overline{AB} \perp \overline{BC}. Comparten el vértice B.
5. Los otros productos: \tfrac{1}{2} \times (-\tfrac{1}{3}) = -\tfrac{1}{6} y -2 \times (-\tfrac{1}{3}) = \tfrac{2}{3}; no hay otros ángulos rectos.

Respuesta: ABC es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en B.

Comprobación: Teorema de Pitágoras: AB^2 = 4^2 + 2^2 = 20, BC^2 = 2^2 + 4^2 = 20, AC^2 = 6^2 + 2^2 = 40, y 20 + 20 = 40 ✓.

Consejo: El ángulo recto está en el vértice que comparten los dos lados perpendiculares. \overline{AB} y \overline{BC} contienen a B.

1. El Paso 1 está mal. Nia cambió el signo, pero no invirtió la fracción. La pendiente perpendicular a \tfrac{4}{3} es -\tfrac{3}{4}. Prueba: \tfrac{4}{3} \times (-\tfrac{4}{3}) = -\tfrac{16}{9} \ne -1.
2. Los Pasos 2 a 4 usan correctamente su pendiente equivocada.
3. Trabajo correcto: -1 = -\tfrac{3}{4}(8) + b = -6 + b, así que b = 5 y y = -\tfrac{3}{4}x + 5.

Respuesta: Paso 1

Comprobación: \tfrac{4}{3} \times (-\tfrac{3}{4}) = -1 ✓ y -\tfrac{3}{4}(8) + 5 = -6 + 5 = -1 ✓.

Consejo: Invierte y cambia el signo. Comprobar que el producto de las pendientes es -1 toma segundos y detecta las dos versiones incompletas.

1. Pendiente de la recta a: \dfrac{4 - 2}{3 - (-1)} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.
2. Pendiente de la recta b: \dfrac{1 - 5}{2 - 0} = \dfrac{-4}{2} = -2.
3. Compara: las pendientes no son iguales, así que las rectas no son paralelas.
4. Producto: \tfrac{1}{2} \times (-2) = -1, así que las rectas son perpendiculares.

Respuesta: Las rectas son perpendiculares.

Comprobación: -2 es el recíproco negativo de \tfrac{1}{2}: invierte \tfrac{1}{2} \to 2, cambia el signo \to -2 ✓.

Consejo: Cuando las rectas se dan con puntos, necesitas calcular dos pendientes antes de comparar. Mantén el mismo orden de resta en cada una.

1. Puntos marcados: (-3, 3) y (3, -1). Pendiente: \dfrac{-1 - 3}{3 - (-3)} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3}.
2. La recta paralela tiene pendiente -\tfrac{2}{3} y pasa por P(3, 4): 4 = -\tfrac{2}{3}(3) + b = -2 + b
3. Suma 2: b = 6.

Respuesta: y = -\tfrac{2}{3}x + 6

Comprobación: -\tfrac{2}{3}(3) + 6 = -2 + 6 = 4 ✓. La recta que se muestra es y = -\tfrac{2}{3}x + 1; misma pendiente e intersección distinta ✓.

Consejo: En las preguntas con gráficas, cuenta la pendiente con cuidado: de (-3, 3) a (3, -1) son 4 hacia abajo y 6 a la derecha. Luego simplifica: -\tfrac{4}{6} = -\tfrac{2}{3}.

1. Despeja y en la primera ecuación: 2y = -ax + 8, así que y = -\tfrac{a}{2}x + 4. Su pendiente es -\tfrac{a}{2}.
2. La segunda recta tiene pendiente \tfrac{2}{3}. Una pendiente perpendicular debe ser -\tfrac{3}{2}.
3. Iguala: -\tfrac{a}{2} = -\tfrac{3}{2}.
4. Multiplica ambos lados por -2: a = 3.

Respuesta: a = 3

Comprobación: Con a = 3: 3x + 2y = 8 → y = -\tfrac{3}{2}x + 4. Entonces -\tfrac{3}{2} \cdot \tfrac{2}{3} = -1 ✓

Consejo: Cuando hay una letra en una ecuación, trátala como un número: despeja y, lee la pendiente (una expresión con a), iguálala a la pendiente que necesitas y resuelve.

1. Pendiente por (1, 2) y (5, -4): \dfrac{-4 - 2}{5 - 1} = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2}.
2. Despeja y en 3x + ay = 6: ay = -3x + 6 \Rightarrow y = -\dfrac{3}{a}x + \dfrac{6}{a}. Su pendiente es -\dfrac{3}{a}.
3. Las rectas paralelas tienen pendientes iguales: -\dfrac{3}{a} = -\dfrac{3}{2}
4. Los numeradores coinciden, así que a = 2.

Respuesta: a = 2

Comprobación: 3x + 2y = 6 \Rightarrow y = -\tfrac{3}{2}x + 3. Pendiente -\tfrac{3}{2} ✓. Además, (1, 2) da 3 + 4 = 7 \ne 6, así que es una recta distinta (paralela) ✓.

Consejo: Para Ax + By = C, la pendiente es -\tfrac{A}{B}. Escribe la pendiente con la incógnita incluida y luego plantea la condición de paralelas (iguales) o perpendiculares (producto -1).

1. Recta j: los dos puntos tienen x = -2, así que j es la recta vertical x = -2. (La fórmula de la pendiente da \tfrac{-7}{0}, que no está definida.)
2. Recta k: los dos puntos tienen y = 3, así que k es la recta horizontal y = 3 (pendiente \tfrac{0}{9} = 0).
3. Recta n: los dos puntos tienen x = 1, así que n es la recta vertical x = 1.
4. Una recta vertical y una horizontal son perpendiculares: j \perp k.
5. Dos rectas verticales distintas son paralelas: j \parallel n.

Respuesta: j es perpendicular a k, y j es paralela a n.

Comprobación: k es horizontal y n es vertical, así que también k \perp n; j y n nunca se juntan porque x no puede ser -2 y 1 a la vez ✓.

Consejo: Mismos valores de x → recta vertical (x = c). Mismos valores de y → recta horizontal (y = c). La regla del producto -1 no se aplica, pero horizontal ⊥ vertical siempre.

1. El Paso 1 es correcto: se resta 4x en ambos lados.
2. El Paso 2 es correcto: se divide cada término entre -6: \tfrac{-4}{-6} = \tfrac{2}{3} y \tfrac{3}{-6} = -\tfrac{1}{2}.
3. El Paso 3 está mal: Omar dividió solo el 8 entre 2. Hay que dividir cada término: y = -\tfrac{3}{2}x + 4
4. Conclusión correcta: \tfrac{2}{3} \times (-\tfrac{3}{2}) = -1, así que las rectas son perpendiculares.

Respuesta: el Paso 3 es el primer error; en realidad las rectas son perpendiculares.

Comprobación: Atajo -\tfrac{A}{B}: primera recta -\tfrac{4}{-6} = \tfrac{2}{3}; segunda recta -\tfrac{3}{2}. Producto -1 ✓.

Consejo: Dividir "ambos lados entre 2" significa dividir cada término de ambos lados. Si te falta un término, cambian la pendiente y la conclusión.