Solo \{(7, 2), (-3, 5), (7, -2), (1, 0)\} tiene una entrada con dos salidas.
Respuesta: \{(7, 2), (-3, 5), (7, -2), (1, 0)\}
Comprobación: Pregunta "¿Cuál es la salida para 7?": la lista da dos respuestas, 2 y -2. Una función nunca puede hacer eso ✓.
Consejo: Las salidas repetidas están bien. Solo una entrada repetida con salidas distintas rompe una función.
Ver en español
Pregunta
Una maestra escribe en el pizarrón cuatro relaciones como listas de pares (x, y). Tres de las listas son funciones. ¿Qué lista no es una función?
Opciones
A.\{(7, 2),\ (-3, 5),\ (7, -2),\ (1, 0)\}
B.\{(-2, 3),\ (-1, 3),\ (0, 3),\ (1, 3)\}
C.\{(4, -1),\ (6, 0),\ (8, 1),\ (10, 2)\}
D.\{(0, 0),\ (1, 1),\ (-1, 1),\ (2, 4)\}
Pista
Mira el primer número de cada par. ¿Hay algún primer número emparejado con dos segundos números diferentes?
Pregunta 5 de 36
Sin calculadora
Kim made a table of values for a relation. She wants to know whether her table shows y as a function of x.
x
-3
-1
0
1
3
y
9
1
0
1
9
Which statement is correct?
Pista
Check the top row (the inputs). Does any input appear more than once?
Solución paso a paso
To decide, look at the inputs in the x row: -3, -1, 0, 1, 3.
Every input appears once, so each input has exactly one output.
The outputs 9 and 1 each appear twice, but that is allowed: different inputs may share an output. (-3 and 3 both give 9 — this table follows y = x^2.)
The order of the outputs does not matter either.
Answer: Yes, because each x-value is paired with exactly one y-value.
Check: Name the output for every input without hesitation: -3 \to 9, -1 \to 1, 0 \to 0, 1 \to 1, 3 \to 9 — one answer each ✓.
Tip: For a table, scan only the input row for repeats. If no input repeats, the table is a function — no matter what the outputs do.
Explicación
Para decidir, mira las entradas de la fila x: -3, -1, 0, 1, 3.
Cada entrada aparece una sola vez, así que cada entrada tiene exactamente una salida.
Las salidas 9 y 1 aparecen dos veces cada una, pero eso está permitido: entradas distintas pueden compartir una salida. (-3 y 3 dan 9; esta tabla sigue y = x^2.)
El orden de las salidas tampoco importa.
Respuesta: Sí, porque cada valor de x está emparejado con exactamente un valor de y.
Comprobación: Di la salida de cada entrada sin dudar: -3 \to 9, -1 \to 1, 0 \to 0, 1 \to 1, 3 \to 9: una respuesta para cada una ✓.
Consejo: En una tabla, busca repeticiones solo en la fila de las entradas. Si ninguna entrada se repite, la tabla es una función, sin importar lo que hagan las salidas.
Ver en español
Pregunta
Kim hizo una tabla de valores para una relación. Quiere saber si su tabla muestra a y como función de x.
x
-3
-1
0
1
3
y
9
1
0
1
9
¿Qué enunciado es correcto?
Opciones
A. No, porque los valores de y 9 y 1 aparecen dos veces cada uno.
B. Sí, porque cada valor de x está emparejado con exactamente un valor de y.
C. No, porque los valores de y bajan y luego suben en lugar de aumentar siempre.
D. Sí, porque todos los valores de y son 0 o mayores.
Pista
Revisa la fila de arriba (las entradas). ¿Aparece alguna entrada más de una vez?
Pregunta 6 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Four graphs
Select all graphs that represent y as a function of x.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Use the vertical line test on each graph. Be careful with lines: which direction fails?
Solución paso a paso
Graph A — a parabola opening to the right. The vertical line x = 0 crosses it twice (near y \approx 1.7 and y \approx -1.7) → not a function.
Graph B — a non-vertical straight line. Every vertical line crosses it exactly once → function.
Graph C — the vertical line x = 2. The input 2 has infinitely many outputs → not a function.
Graph D — an S-shaped curve that always rises. Every vertical line crosses it once → function.
Answer: Graphs B and D
Check: For B and D, pick any x — you can find exactly one point above or below it. For A and C, x = 0 and x = 2 (respectively) each have more than one point ✓
Tip: Sideways shapes and vertical lines fail; curves that keep moving left-to-right (even if they wiggle up and down) pass.
Explicación
Gráfica A: una parábola que abre hacia la derecha. La recta vertical x = 0 la cruza dos veces (cerca de y \approx 1.7 y y \approx -1.7) → no es función.
Gráfica B: una recta que no es vertical. Cada recta vertical la cruza exactamente una vez → función.
Gráfica C: la recta verticalx = 2. La entrada 2 tiene infinitas salidas → no es función.
Gráfica D: una curva en forma de S que siempre sube. Cada recta vertical la cruza una vez → función.
Respuesta: Gráficas B y D
Comprobación: En B y D, elige cualquier x: encontrarás exactamente un punto arriba o abajo de él. En A y C, x = 0 y x = 2 (respectivamente) tienen más de un punto cada una ✓
Consejo: Las figuras acostadas y las rectas verticales fallan; las curvas que siguen avanzando de izquierda a derecha (aunque suban y bajen) pasan la prueba.
Ver en español
Pregunta
Selecciona todas las gráficas que representan a y como función de x.
Opciones
A. Gráfica A (Graph A)
B. Gráfica B (Graph B)
C. Gráfica C (Graph C)
D. Gráfica D (Graph D)
Pista
Usa la prueba de la recta vertical en cada gráfica. Ten cuidado con las rectas: ¿en qué dirección no pasan la prueba?
Pregunta 7 de 36
Sin calculadora
Which relation is NOT a function?
Pista
For each one, ask: if I know the input, can there be more than one possible output?
Solución paso a paso
Gallons → total cost at $3.60 per gallon: each number of gallons has one cost (C = 3.60g) → function.
Date → that day's high temperature in a city: each day has one recorded high → function.
Age in years → height of an adult: two 30-year-olds can have different heights, so the input 30 can have many outputs → not a function.
Side length of a square → its area: each side length s gives one area s^2 → function.
Answer: input = an adult's age in years, output = that person's height
Check: Find a counterexample: two people, both 30 years old, one 5 ft 4 in and one 6 ft 1 in — one input, two outputs ✓
Tip: In real-world questions, try to imagine two different outputs for the same input. If you can, it is not a function.
Explicación
Galones → costo total a $3.60 por galón: cada cantidad de galones tiene un solo costo (C = 3.60g) → función.
Fecha → temperatura máxima de ese día en una ciudad: cada día tiene una sola máxima registrada → función.
Edad en años → estatura de un adulto: dos personas de 30 años pueden tener estaturas diferentes, así que la entrada 30 puede tener muchas salidas → no es función.
Longitud del lado de un cuadrado → su área: cada longitud de lado s da una sola área s^2 → función.
Respuesta: entrada = la edad en años de un adulto, salida = la estatura de esa persona
Comprobación: Busca un contraejemplo: dos personas, las dos de 30 años, una mide 5 ft 4 in y la otra 6 ft 1 in: una entrada, dos salidas ✓
Consejo: En las preguntas de la vida real, trata de imaginar dos salidas diferentes para la misma entrada. Si puedes, no es una función.
Ver en español
Pregunta
¿Qué relación NO es una función?
Opciones
A. Entrada: la edad de un adulto en años; salida: la estatura de esa persona
B. Entrada: el número de galones de gasolina comprados a $3.60 por galón; salida: el costo total
C. Entrada: una fecha del calendario; salida: la temperatura máxima en Chicago en esa fecha
D. Entrada: la longitud del lado de un cuadrado; salida: su área
Pista
En cada una, pregúntate: si conozco la entrada, ¿puede haber más de una salida posible?
Pregunta 8 de 36
Sin calculadora
The graph shows a relation made of six points.
Six points
Does the graph represent y as a function of x?
Pista
Look for two points stacked on the same vertical line.
Entradas: -4, -2, 0, 2, 2, 4. La entrada 2 aparece dos veces.
Sus salidas son 3 y -1: diferentes. Una recta vertical en x = 2 pasa por los dos puntos.
(La salida 3 aparece dos veces, en x = -2 y en x = 2; eso solo no sería problema).
Respuesta: No, porque los puntos (2, 3) y (2, -1) tienen el mismo valor de x pero diferentes valores de y.
Comprobación: Prueba de la recta vertical: la recta x = 2 toca dos puntos ✓; falla.
Consejo: En los diagramas de dispersión, busca puntos que estén uno directamente encima del otro. Los puntos lado a lado a la misma altura no son problema.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra una relación formada por seis puntos.
¿Representa la gráfica a y como función de x?
Opciones
A. No, porque los puntos (-2, 3) y (2, 3) tienen el mismo valor de y.
B. No, porque los puntos (2, 3) y (2, -1) tienen el mismo valor de x pero diferentes valores de y.
C. Sí, porque los puntos no están unidos por una recta.
D. Sí, porque no hay dos puntos exactamente iguales.
Pista
Busca dos puntos uno encima del otro en la misma recta vertical.
Pregunta 9 de 36
Sin calculadoraMenú
Consider the relation
\{(-4, 2),\ (1, 7),\ (6, 2),\ (1, -7),\ (3, 0)\}
Complete the statement.
The input is paired with more than one output, so the relation a function.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Inputs are the first numbers in each pair. Find one that appears twice with different second numbers.
Solución paso a paso
List the inputs: -4, 1, 6, 1, 3.
The input 1 appears twice: (1, 7) and (1, -7), with different outputs 7 and -7.
The output 2 appears twice (with inputs -4 and 6) — repeated outputs are allowed, so that does not matter.
Because one input has two outputs, the relation is not a function.
Answer: The input 1 is paired with more than one output, so the relation is not a function.
Check: "What is the output when the input is 1?" — there are two answers (7 and -7), so the definition fails ✓
Tip: Do not be distracted by repeated outputs or by opposite numbers like 7 and -7. Focus on the inputs.
Explicación
Haz una lista de las entradas: -4, 1, 6, 1, 3.
La entrada 1 aparece dos veces: (1, 7) y (1, -7), con salidas diferentes, 7 y -7.
La salida 2 aparece dos veces (con las entradas -4 y 6); las salidas repetidas están permitidas, así que eso no importa.
Como una entrada tiene dos salidas, la relación no es una función.
Respuesta: La entrada 1 está emparejada con más de una salida, así que la relación no es una función.
Comprobación: "¿Cuál es la salida cuando la entrada es 1?": hay dos respuestas (7 y -7), así que la definición falla ✓
Consejo: No te distraigas con salidas repetidas ni con números opuestos como 7 y -7. Concéntrate en las entradas.
Ver en español
Pregunta
Considera la relación
\{(-4, 2),\ (1, 7),\ (6, 2),\ (1, -7),\ (3, 0)\}
Completa el enunciado.
La entrada _____ está emparejada con más de una salida, así que la relación _____ una función.
Opciones
1
2
7
no es
es
Pista
Las entradas son los primeros números de cada par. Busca una que aparezca dos veces con segundos números diferentes.
Pregunta 10 de 36
Sin calculadoraCompletar
How many of the following relations define y as a function of x?
y = 3x - 2
x = 4
\{(1, 2),\ (2, 2),\ (3, 2)\}
y = x^2
x = y^2
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
For each one ask: for a single input x, can there be two different values of y?
Solución paso a paso
y = 3x - 2 — a non-vertical line; each x gives one y → function.
x = 4 — a vertical line; the input 4 goes with every y → not a function.
\{(1, 2), (2, 2), (3, 2)\} — inputs 1, 2, 3 are all different; repeated output 2 is fine → function.
y = x^2 — each x gives one y (e.g. x = 3 \to 9) → function.
x = y^2 — for x = 4, y = 2ory = -2 → not a function.
Count the functions: relations 1, 3 and 4.
Answer: 3
Check: The two non-functions both fail the vertical line test: x = 4is a vertical line, and x = y^2 is a parabola opening sideways ✓
Tip:y = x^2 (opens up) is a function, but x = y^2 (opens sideways) is not. Watch which variable is squared.
Explicación
y = 3x - 2: una recta que no es vertical; cada x da una sola y → función.
x = 4: una recta vertical; la entrada 4 va con todos los valores de y → no es función.
\{(1, 2), (2, 2), (3, 2)\}: las entradas 1, 2, 3 son todas diferentes; la salida repetida 2 no es problema → función.
y = x^2: cada x da una sola y (por ejemplo, x = 3 \to 9) → función.
x = y^2: para x = 4, y = 2oy = -2 → no es función.
Cuenta las funciones: las relaciones 1, 3 y 4.
Respuesta: 3
Comprobación: Las dos que no son funciones fallan la prueba de la recta vertical: x = 4es una recta vertical, y x = y^2 es una parábola que abre hacia un lado ✓
Consejo:y = x^2 (abre hacia arriba) es una función, pero x = y^2 (abre hacia un lado) no lo es. Fíjate en qué variable está al cuadrado.
Ver en español
Pregunta
¿Cuántas de las siguientes relaciones definen a y como función de x?
y = 3x - 2
x = 4
\{(1, 2),\ (2, 2),\ (3, 2)\}
y = x^2
x = y^2
Pista
En cada una pregúntate: para una sola entrada x, ¿puede haber dos valores diferentes de y?
Pregunta 11 de 36
Sin calculadoraCompletar
The table below represents y as a function of x. One output is missing.
x
1
3
5
3
y
4
8
12
?
What number must replace the question mark?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The input 3 appears twice. In a function, how many outputs can the input 3 have?
Solución paso a paso
The input x = 3 appears in the second column with output 8.
It appears again in the last column.
For the table to be a function, the input 3 can have only one output.
So the missing value must be the same output as before: 8. (The pair (3, 8) is simply listed twice.)
Answer: 8
Check: Any other value, such as 16 (continuing the "add 4" pattern), would give the input 3 two different outputs — not a function ✓
Tip: A repeated input is allowed only if it repeats with the same output. Do not just continue a pattern — apply the definition.
Explicación
La entrada x = 3 aparece en la segunda columna con la salida 8.
Aparece otra vez en la última columna.
Para que la tabla sea una función, la entrada 3 puede tener solo una salida.
Así que el valor que falta debe ser la misma salida de antes: 8. (El par (3, 8) simplemente aparece dos veces).
Respuesta: 8
Comprobación: Cualquier otro valor, como 16 (siguiendo el patrón de "sumar 4"), le daría a la entrada 3 dos salidas diferentes: no sería una función ✓
Consejo: Una entrada repetida solo está permitida si se repite con la misma salida. No sigas simplemente un patrón: aplica la definición.
Ver en español
Pregunta
La tabla de abajo representa a y como función de x. Falta una salida.
x
1
3
5
3
y
4
8
12
?
¿Qué número debe reemplazar el signo de interrogación?
Pista
La entrada 3 aparece dos veces. En una función, ¿cuántas salidas puede tener la entrada 3?
Pregunta 12 de 36
Sin calculadora
Six points are plotted on the coordinate plane below. Right now they do not form a function.
Six points
Which one point could be removed so that the remaining points represent y as a function of x?
Pista
Look for two points on the same vertical line — they share an x-value.
Solución paso a paso
List the points: (-3, 2), (-1, 4), (0, -1), (2, 3), (2, -2), (4, 1).
Look for a repeated x-value: x = 2 appears twice, with y = 3 and y = -2.
That pair makes the relation fail: a vertical line at x = 2 hits two points.
Removing either(2, 3) or (2, -2) fixes it. Among the choices, only (2, -2) is one of these points.
Answer: (2, -2)
Check: Without (2, -2) the x-values are -3, -1, 0, 2, 4 — all different, so every vertical line meets at most one point ✓.
Tip: For a graph of separate points, the vertical line test still works: two dots stacked in the same column mean "not a function."
Explicación
Haz una lista de los puntos: (-3, 2), (-1, 4), (0, -1), (2, 3), (2, -2), (4, 1).
Busca un valor de x repetido: x = 2 aparece dos veces, con y = 3 y y = -2.
Ese par hace que la relación falle: una recta vertical en x = 2 toca dos puntos.
Quitar cualquiera de los dos, (2, 3) o (2, -2), lo arregla. Entre las opciones, solo (2, -2) es uno de esos puntos.
Respuesta: (2, -2)
Comprobación: Sin (2, -2), los valores de x son -3, -1, 0, 2, 4, todos distintos, así que cada recta vertical toca como máximo un punto ✓.
Consejo: En una gráfica de puntos sueltos, la prueba de la recta vertical también funciona: dos puntos apilados en la misma columna significan "no es función".
Ver en español
Pregunta
En el plano de coordenadas de abajo hay seis puntos marcados. Por ahora no forman una función.
¿Qué punto (uno solo) se podría quitar para que los puntos que quedan representen a y como función de x?
Opciones
A.(0, -1)
B.(-1, 4)
C.(2, -2)
D.(4, 1)
Pista
Busca dos puntos en la misma recta vertical: tienen el mismo valor de x.
Pregunta 13 de 36
Sin calculadora
A shipping company charges by weight using this table.
Package weight
Shipping cost
Up to 8 oz
$4.50
Over 8 oz, up to 16 oz
$6.75
Over 16 oz, up to 32 oz
$9.20
Which relation IS a function?
Pista
For each relation, ask: once I know the input, could there be two different outputs?
Solución paso a paso
Weight of a package → shipping cost: the table gives exactly one price for any weight (for example 12 oz → $6.75) → function.
A person's first name → their phone number: many people are named Maria, with different numbers → not a function.
A ZIP code → a person who lives in that ZIP code: thousands of people share one ZIP code → not a function.
A month → a day in that month when it rained: one month can have many rainy days → not a function.
Answer: input = a package's weight; output = its shipping cost from the table
Check: Different weights may share a price (10 oz and 15 oz both cost $6.75). That is allowed — two inputs, same output ✓.
Tip: In word problems, try to imagine one input with two outputs. If you can, it is not a function.
Explicación
Peso de un paquete → costo de envío: la tabla da exactamente un precio para cualquier peso (por ejemplo, 12 oz → $6.75) → función.
El primer nombre de una persona → su número de teléfono: muchas personas se llaman María, con números distintos → no es función.
Un código postal → una persona que vive en ese código postal: miles de personas comparten un mismo código postal → no es función.
Un mes → un día de ese mes en que llovió: un mes puede tener muchos días de lluvia → no es función.
Respuesta: entrada = el peso de un paquete; salida = su costo de envío según la tabla
Comprobación: Pesos distintos pueden compartir un precio (10 oz y 15 oz cuestan $6.75). Eso está permitido: dos entradas, la misma salida ✓.
Consejo: En los problemas verbales, intenta imaginar una entrada con dos salidas. Si puedes, no es una función.
Ver en español
Pregunta
Una compañía de envíos cobra por peso según esta tabla.
Peso del paquete
Costo de envío
Hasta 8 oz
$4.50
Más de 8 oz y hasta 16 oz
$6.75
Más de 16 oz y hasta 32 oz
$9.20
¿Qué relación SÍ es una función?
Opciones
A. Entrada: el nombre de pila de una persona; salida: el número de teléfono de esa persona
B. Entrada: un código postal; salida: una persona que vive en ese código postal
C. Entrada: un mes del año; salida: un día de ese mes en que llovió
D. Entrada: el peso de un paquete en onzas; salida: su costo de envío según la tabla
Pista
En cada relación, pregúntate: cuando ya conozco la entrada, ¿podría haber dos salidas diferentes?
Pregunta 14 de 36
Sin calculadoraMenú
Consider the relation in the table.
x
-2
0
3
5
0
y
6
1
6
4
-1
Complete the statement.
The input is paired with the outputs , so the relation a function.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Find the x-value that appears in two columns. What y-values sit under it?
Solución paso a paso
Scan the x row for a repeat: -2, 0, 3, 5, 0. The input 0 appears twice.
Read the outputs under each 0: the second column gives y = 1 and the last column gives y = -1.
One input with two different outputs means the relation is not a function.
The output 6 appears twice (for x = -2 and x = 3), but a repeated output is allowed.
Answer: The input 0 is paired with the outputs 1 and -1, so the relation is not a function.
Check: Ask "What is y when x = 0?" The table answers both 1 and -1 — two answers, so not a function ✓.
Tip: To justify "not a function," name the input and its two different outputs. That is exactly what the GED wants to see.
Explicación
Busca una repetición en la fila x: -2, 0, 3, 5, 0. La entrada 0 aparece dos veces.
Lee las salidas debajo de cada 0: la segunda columna da y = 1 y la última columna da y = -1.
Una entrada con dos salidas distintas significa que la relación no es una función.
La salida 6 aparece dos veces (para x = -2 y x = 3), pero una salida repetida está permitida.
Respuesta: La entrada 0 está emparejada con las salidas 1 y -1, así que la relación no es una función.
Comprobación: Pregunta "¿Cuánto vale y cuando x = 0?". La tabla responde 1 y también -1: dos respuestas, así que no es función ✓.
Consejo: Para justificar "no es función", nombra la entrada y sus dos salidas distintas. Eso es exactamente lo que el GED® quiere ver.
Ver en español
Pregunta
Considera la relación de la tabla.
x
-2
0
3
5
0
y
6
1
6
4
-1
Completa el enunciado.
La entrada _____ está emparejada con las salidas _____, así que la relación _____ una función.
Opciones
0
6
-2
1 y -1
-2 y 3
no es
es
Pista
Busca el valor de x que aparece en dos columnas. ¿Qué valores de y tiene debajo?
Pregunta 15 de 36
Sin calculadoraCompletar
The relation
\{(3, 8),\ (-1, 4),\ (k, 6),\ (0, 2)\}
is NOT a function. If k is a positive number, what is k?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
For the relation to fail, (k, 6) must share its input with another pair that has a different output.
Solución paso a paso
A relation fails to be a function when one input has two different outputs.
The pair (k, 6) has output 6. No other pair has output 6, so k must equal one of the other inputs: 3, -1, or 0.
Then that input would have two outputs: e.g. k = 3 gives (3, 8) and (3, 6).
k must be positive. Of 3, -1, 0, only 3 is positive (0 is neither positive nor negative).
Answer: k = 3
Check: With k = 3 the relation is \{(3, 8), (-1, 4), (3, 6), (0, 2)\}: input 3 → 8 and 6, so it is not a function ✓.
Tip: To break a function, a new pair must reuse an existing input with a different output. To keep a function, use a new input or the same output.
Explicación
Una relación deja de ser función cuando una entrada tiene dos salidas distintas.
El par (k, 6) tiene salida 6. Ningún otro par tiene salida 6, así que k debe ser igual a una de las otras entradas: 3, -1 o 0.
Entonces esa entrada tendría dos salidas: por ejemplo, k = 3 da (3, 8) y (3, 6).
k debe ser positivo. De 3, -1, 0, solo 3 es positivo (0 no es ni positivo ni negativo).
Respuesta: k = 3
Comprobación: Con k = 3, la relación es \{(3, 8), (-1, 4), (3, 6), (0, 2)\}: la entrada 3 → 8 y 6, así que no es una función ✓.
Consejo: Para romper una función, un par nuevo debe repetir una entrada existente con una salida distinta. Para mantener una función, usa una entrada nueva o la misma salida.
Ver en español
Pregunta
La relación
\{(3, 8),\ (-1, 4),\ (k, 6),\ (0, 2)\}
NO es una función. Si k es un número positivo, ¿cuánto vale k?
Pista
Para que la relación no sea función, (k, 6) debe compartir su entrada con otro par que tenga una salida diferente.
Pregunta 16 de 36
Sin calculadora
Each mapping diagram sends inputs (left) to outputs (right).
Four mapping diagrams
Which mapping diagram represents a function?
Pista
In a function, each input on the left has exactly one arrow leaving it. Arrows may meet at the same output.
Solución paso a paso
Count the arrows leaving each input.
Diagram A: input 1 has two arrows (to 4 and to 9) ✗.
Diagram B: 2 → 3, 4 → 5, 6 → 3, 8 → 5. Each input has exactly one arrow ✓. (Two arrows arriving at 3, and two at 5, is fine.)
Diagram C: input 5 has two arrows (to 2 and to 3) ✗.
Diagram D: input 10 has two arrows (to 20 and to 40) ✗.
Answer: Diagram B
Check: Write Diagram B as pairs: (2, 3), (4, 5), (6, 3), (8, 5). The inputs 2, 4, 6, 8 are all different ✓.
Tip: In a mapping diagram, look only at the left side: one arrow out of every input means a function. Many arrows into one output is allowed.
Explicación
Cuenta las flechas que salen de cada entrada.
Diagrama A: la entrada 1 tiene dos flechas (a 4 y a 9) ✗.
Diagrama B: 2 → 3, 4 → 5, 6 → 3, 8 → 5. Cada entrada tiene exactamente una flecha ✓. (Que lleguen dos flechas a 3, y dos a 5, está bien.)
Diagrama C: la entrada 5 tiene dos flechas (a 2 y a 3) ✗.
Diagrama D: la entrada 10 tiene dos flechas (a 20 y a 40) ✗.
Respuesta: Diagrama B
Comprobación: Escribe el diagrama B como pares: (2, 3), (4, 5), (6, 3), (8, 5). Las entradas 2, 4, 6, 8 son todas distintas ✓.
Consejo: En un diagrama de flechas, mira solo el lado izquierdo: si sale una sola flecha de cada entrada, es una función. Que lleguen muchas flechas a una salida está permitido.
Ver en español
Pregunta
Cada diagrama de flechas lleva las entradas (izquierda) a las salidas (derecha).
¿Qué diagrama de flechas representa una función?
Opciones
A. Diagrama A (Diagram A)
B. Diagrama B (Diagram B)
C. Diagrama C (Diagram C)
D. Diagrama D (Diagram D)
Pista
En una función, de cada entrada de la izquierda sale exactamente una flecha. Varias flechas pueden llegar a la misma salida.
Pregunta 17 de 36
Sin calculadora
Two students discuss the relation \{(4, 1),\ (5, 1),\ (6, 1)\}.
Ava: "It is not a function, because every input gives the same output."
Ben: "It is a function, because each input has only one output."
Who is correct?
Pista
Check the inputs. Are any inputs repeated? Does it matter that the outputs are all the same?
Solución paso a paso
The inputs are 4, 5 and 6 — no input repeats.
Each input has exactly one output: 4 \to 1, 5 \to 1, 6 \to 1.
The rule for a function only limits inputs: an input may not have two outputs. Many inputs sharing the same output is allowed.
So the relation is a function, and Ben's reason is the correct one. Ava's reason confuses repeated outputs with repeated inputs.
These points lie on the horizontal line y = 1, which passes the vertical line test.
Answer: Ben
Check: A vertical line through x = 4, 5, or 6 meets only one point each time ✓.
Tip: "Every input gives the same output" describes a constant function — still a function.
Explicación
Las entradas son 4, 5 y 6: ninguna entrada se repite.
Cada entrada tiene exactamente una salida: 4 \to 1, 5 \to 1, 6 \to 1.
La regla de una función solo limita las entradas: una entrada no puede tener dos salidas. Se permite que muchas entradas compartan la misma salida.
Así que la relación sí es una función, y la razón de Ben es la correcta. La razón de Ava confunde salidas repetidas con entradas repetidas.
Estos puntos están en la recta horizontal y = 1, que pasa la prueba de la recta vertical.
Respuesta: Ben
Comprobación: Una recta vertical que pase por x = 4, 5 o 6 toca un solo punto cada vez ✓.
Consejo: "Todas las entradas dan la misma salida" describe una función constante, que sigue siendo una función.
Ver en español
Pregunta
Dos estudiantes hablan sobre la relación \{(4, 1),\ (5, 1),\ (6, 1)\}.
Ava: "No es una función, porque todas las entradas dan la misma salida."
Ben: "Sí es una función, porque cada entrada tiene una sola salida."
¿Quién tiene razón?
Opciones
A. Ben
B. Ava
C. Ava y Ben
D. Ni Ava ni Ben
Pista
Revisa las entradas. ¿Se repite alguna? ¿Importa que todas las salidas sean iguales?
Pregunta 18 de 36
Sin calculadora
Four equations relate x and y. Only one of them gives exactly one value of y for every value of x you put in. Which one is it?
Pista
Try one input, like x = 0, in each equation. How many y-values work?
Solución paso a paso
x^2 + y^2 = 25 — at x = 0: y^2 = 25, so y = 5ory = -5 ✗ (a circle).
y^2 = x + 4 — at x = 0: y^2 = 4, so y = 2 or y = -2 ✗ (a sideways parabola).
x = 7 — the single input 7 pairs with everyy ✗ (a vertical line).
y = -2x^2 + 3 — for any x you square it, multiply by -2, and add 3: exactly one result ✓ (a parabola opening down).
Answer: y = -2x^2 + 3
Check: Try x = 1 and x = -1: both give y = -2 + 3 = 1. Two inputs sharing one output is allowed, and each input still has one output ✓.
Tip: If an equation is already solved as "y = (expression in x)", it is a function. If y is squared and cannot be isolated without \pm, it is not.
Explicación
x^2 + y^2 = 25: en x = 0: y^2 = 25, así que y = 5oy = -5 ✗ (un círculo).
y^2 = x + 4: en x = 0: y^2 = 4, así que y = 2 o y = -2 ✗ (una parábola acostada).
x = 7: la única entrada 7 se empareja con todos los valores de y ✗ (una recta vertical).
y = -2x^2 + 3: para cualquier x, lo elevas al cuadrado, lo multiplicas por -2 y le sumas 3: exactamente un resultado ✓ (una parábola que abre hacia abajo).
Respuesta: y = -2x^2 + 3
Comprobación: Prueba x = 1 y x = -1: los dos dan y = -2 + 3 = 1. Se permite que dos entradas compartan una salida, y cada entrada sigue teniendo una sola salida ✓.
Consejo: Si una ecuación ya está despejada como "y = (expresión en x)", es una función. Si y está al cuadrado y no se puede despejar sin \pm, no lo es.
Ver en español
Pregunta
Cuatro ecuaciones relacionan x y y. Solo una de ellas da exactamente un valor de y para cada valor de x que pongas. ¿Cuál es?
Opciones
A.x^2 + y^2 = 25
B.y = -2x^2 + 3
C.y^2 = x + 4
D.x = 7
Pista
Prueba una entrada, como x = 0, en cada ecuación. ¿Cuántos valores de y funcionan?
Pregunta 19 de 36
Sin calculadoraCompletar
A function is given by the pairs
\{(-2, 5),\ (0, 1),\ (2, 5),\ (3, 10),\ (4, 1)\}
A new relation is made by swapping the input and output in every pair. In the new relation, how many inputs are paired with more than one output?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Write out the swapped pairs. Then look for repeated first numbers.
So 2 inputs have more than one output, and the swapped relation is not a function.
Answer: 2
Check: In the original function, the outputs 5 and 1 each appear twice. Every repeated output in the original becomes a repeated input after the swap — 2 repeated outputs → 2 problem inputs ✓.
Tip: Swapping inputs and outputs keeps a function only if the original had no repeated outputs.
La entrada 5 tiene las salidas -2 y 2 (dos salidas).
La entrada 1 tiene las salidas 0 y 4 (dos salidas).
La entrada 10 tiene una sola salida, 3.
Así que 2 entradas tienen más de una salida, y la relación intercambiada no es una función.
Respuesta: 2
Comprobación: En la función original, las salidas 5 y 1 aparecen dos veces cada una. Cada salida repetida en la original se convierte en una entrada repetida después del intercambio: 2 salidas repetidas → 2 entradas con problema ✓.
Consejo: Intercambiar entradas y salidas mantiene una función solo si la original no tenía salidas repetidas.
Ver en español
Pregunta
Una función está dada por los pares
\{(-2, 5),\ (0, 1),\ (2, 5),\ (3, 10),\ (4, 1)\}
Se forma una relación nueva intercambiando la entrada y la salida en cada par. En la relación nueva, ¿cuántas entradas están emparejadas con más de una salida?
Pista
Escribe los pares intercambiados. Luego busca primeros números repetidos.
Pregunta 20 de 36
Sin calculadoraZona activa
Use the vertical line test on each curve.
Three of these curves fail the test. Click the one curve that shows y as a function of x.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
Imagine sliding a vertical line (like a ruler held up and down) across each graph. Does it ever touch two points at once?
Solución paso a paso
Use the vertical line test: a graph is a function if no vertical line crosses it more than once.
Graph A (oval): the line x = 0 crosses it at y = 2 and y = -2 ✗.
Graph B (parabola opening left): the line x = 0 crosses it at y = 2 and y = -2 ✗.
Graph C (S-shaped curve): it goes up, down, then up again, but every vertical line crosses it exactly once ✓.
Graph D (sideways V): the line x = 0 crosses it at y = 1 and y = -1 ✗.
Answer: Graph C
Check: Graph C crosses the x-axis three times (a horizontal line meets it three times), but the horizontal line test is not the test for a function. Vertical lines meet it once ✓.
Tip: Curves that open left or right, and closed loops, always fail the vertical line test. Wiggly curves that keep moving to the right can pass.
Explicación
Usa la prueba de la recta vertical: una gráfica es una función si ninguna recta vertical la cruza más de una vez.
Gráfica A (óvalo): la recta x = 0 la cruza en y = 2 y en y = -2 ✗.
Gráfica B (parábola que abre hacia la izquierda): la recta x = 0 la cruza en y = 2 y en y = -2 ✗.
Gráfica C (curva en forma de S): sube, baja y vuelve a subir, pero cada recta vertical la cruza exactamente una vez ✓.
Gráfica D (V acostada): la recta x = 0 la cruza en y = 1 y en y = -1 ✗.
Respuesta: Gráfica C
Comprobación: La gráfica C cruza el eje x tres veces (una recta horizontal la toca tres veces), pero la prueba de la recta horizontal no es la prueba para una función. Las rectas verticales la tocan una vez ✓.
Consejo: Las curvas que abren hacia la izquierda o hacia la derecha y las curvas cerradas siempre fallan la prueba de la recta vertical. Las curvas onduladas que siguen avanzando hacia la derecha pueden pasarla.
Ver en español
Pregunta
Usa la prueba de la recta vertical en cada curva.
Tres de estas curvas no pasan la prueba. Haz clic en la única curva que muestra a y como función de x.
Pista
Imagina que deslizas una recta vertical (como una regla puesta de arriba abajo) a lo largo de cada gráfica. ¿Toca en algún momento dos puntos a la vez?
Pregunta 21 de 36
Which equation does NOT define y as a function of x?
Pista
Try to solve each equation for y. Watch for a result with \pm.
Solución paso a paso
y = x^2 - 4 — one y for each x (a parabola opening up) → function.
y = 5 — every x gives y = 5 (horizontal line) → function.
x + y^2 = 9 — solve: y^2 = 9 - x, so y = \pm\sqrt{9 - x}. For x = 0: y = 3ory = -3 → not a function.
y = \lvert x - 2 \rvert — one y for each x (a V-shape) → function.
Answer: x + y^2 = 9
Check: Both (0, 3) and (0, -3) satisfy x + y^2 = 9: 0 + 9 = 9 ✓ and 0 + (-3)^2 = 9 ✓ — one input, two outputs.
Tip: When y is squared (and you cannot get rid of it), solving for y gives \pm, which means two outputs — not a function.
Explicación
y = x^2 - 4: una y para cada x (una parábola que abre hacia arriba) → función.
y = 5: cada x da y = 5 (recta horizontal) → función.
x + y^2 = 9: despeja: y^2 = 9 - x, así que y = \pm\sqrt{9 - x}. Para x = 0: y = 3oy = -3 → no es función.
y = \lvert x - 2 \rvert: una y para cada x (una forma de V) → función.
Respuesta: x + y^2 = 9
Comprobación: Tanto (0, 3) como (0, -3) cumplen x + y^2 = 9: 0 + 9 = 9 ✓ y 0 + (-3)^2 = 9 ✓: una entrada, dos salidas.
Consejo: Cuando y está al cuadrado (y no puedes eliminar el cuadrado), al despejar y obtienes \pm, lo que significa dos salidas: no es una función.
Ver en español
Pregunta
¿Qué ecuación NO define a y como función de x?
Opciones
A.y = x^2 - 4
B.y = 5
C.x + y^2 = 9
D.y = \lvert x - 2 \rvert
Pista
Intenta despejar y en cada ecuación. Fíjate si obtienes un resultado con \pm.
Pregunta 22 de 36
Sin calculadora
A group of friends lists each person's birth month.
Friend
Lena
Omar
Priya
Theo
Birth month
March
July
March
October
Consider two relations: Relation 1 has input = friend and output = birth month. Relation 2 has input = birth month and output = friend. Which statement is true?
Pista
For each relation, find out whether any input leads to two different outputs. Notice which months are shared.
Solución paso a paso
Relation 1 (friend → month): Lena → March, Omar → July, Priya → March, Theo → October. Each friend has exactly one birth month → function. (Two friends share March, which is a repeated output — allowed.)
Relation 2 (month → friend): March → Lena and March → Priya. The input March has two outputs → not a function.
So Relation 1 is a function, but Relation 2 is not.
Answer: Relation 1 is a function, but Relation 2 is not.
Check: Ask Relation 2 "which friend was born in March?" — two possible answers ✓ Ask Relation 1 "when was Priya born?" — exactly one answer, March ✓
Tip: Reversing a function (swapping inputs and outputs) turns repeated outputs into repeated inputs — so the reverse may not be a function.
Explicación
Relación 1 (amigo → mes): Lena → marzo, Omar → julio, Priya → marzo, Theo → octubre. Cada amigo tiene exactamente un mes de nacimiento → función. (Dos amigos comparten marzo, que es una salida repetida: está permitido).
Relación 2 (mes → amigo): marzo → Lena y marzo → Priya. La entrada marzo tiene dos salidas → no es función.
Así que la relación 1 es una función, pero la relación 2 no lo es.
Respuesta: La relación 1 es una función, pero la relación 2 no lo es.
Comprobación: Pregúntale a la relación 2: "¿qué amigo nació en marzo?": hay dos respuestas posibles ✓ Pregúntale a la relación 1: "¿cuándo nació Priya?": hay exactamente una respuesta, marzo ✓
Consejo: Invertir una función (intercambiar entradas y salidas) convierte las salidas repetidas en entradas repetidas, así que la relación invertida puede no ser una función.
Ver en español
Pregunta
Un grupo de amigos anota el mes de nacimiento de cada persona.
Amigo
Lena
Omar
Priya
Theo
Mes de nacimiento
marzo
julio
marzo
octubre
Considera dos relaciones: la relación 1 tiene como entrada al amigo y como salida el mes de nacimiento. La relación 2 tiene como entrada el mes de nacimiento y como salida al amigo. ¿Qué enunciado es verdadero?
Opciones
A. Las dos relaciones son funciones.
B. La relación 2 es una función, pero la relación 1 no lo es.
C. Ninguna de las dos relaciones es una función.
D. La relación 1 es una función, pero la relación 2 no lo es.
Pista
En cada relación, averigua si alguna entrada lleva a dos salidas diferentes. Fíjate qué meses se repiten.
Pregunta 23 de 36
Sin calculadoraArrastrar y soltar
The tiles mix equations, word descriptions, ordered pairs and a graph description. Sort them: is y (the output) a function of x (the input)? Three tiles belong in each box.
Function
Not a function
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
For each tile, try to find one input that could have two different outputs.
Solución paso a paso
y = 0.5x - 3 — a non-vertical line; one y per x → function.
x = y^2 + 1 — at x = 5: y^2 = 4, y = \pm 2 → not a function.
Input: a book's ISBN; output: its number of pages — each ISBN names one edition with one page count → function.
Input: a U.S. state; output: a city in that state — Texas has many cities → not a function.
\{(-1, 0), (0, -1), (1, 0)\} — inputs -1, 0, 1 all different → function (the repeated output 0 is fine).
The vertical line through (4, 0) — the input 4 pairs with every y → not a function.
Answer: Function — y = 0.5x - 3, the ISBN relation, \{(-1, 0), (0, -1), (1, 0)\}. Not a function — x = y^2 + 1, the state → city relation, the vertical line.
Check: Each "not a function" tile has a concrete counterexample: (5, 2) and (5, -2); Texas → Dallas and Austin; (4, 0) and (4, 1) ✓.
Tip: One counterexample is enough to prove "not a function." Proving "function" means every input has one output.
Explicación
y = 0.5x - 3: una recta no vertical; un valor de y por cada x → función.
x = y^2 + 1: en x = 5: y^2 = 4, y = \pm 2 → no es función.
Entrada: el ISBN de un libro; salida: su número de páginas: cada ISBN identifica una edición con un solo número de páginas → función.
Entrada: un estado de EE. UU.; salida: una ciudad de ese estado: Texas tiene muchas ciudades → no es función.
\{(-1, 0), (0, -1), (1, 0)\}: las entradas -1, 0, 1 son todas distintas → función (la salida repetida 0 está bien).
La recta vertical que pasa por (4, 0): la entrada 4 se empareja con todos los valores de y → no es función.
Respuesta: Función: y = 0.5x - 3, la relación del ISBN, \{(-1, 0), (0, -1), (1, 0)\}. No es función: x = y^2 + 1, la relación estado → ciudad, la recta vertical.
Comprobación: Cada ficha de "no es función" tiene un contraejemplo concreto: (5, 2) y (5, -2); Texas → Dallas y Austin; (4, 0) y (4, 1) ✓.
Consejo: Un solo contraejemplo basta para probar "no es función". Probar "función" significa que cada entrada tiene una sola salida.
Ver en español
Pregunta
Las fichas mezclan ecuaciones, descripciones en palabras, pares ordenados y la descripción de una gráfica. Clasifícalas: ¿es y (la salida) una función de x (la entrada)? En cada recuadro van tres fichas.
Función
No es función
_____
_____
Opciones
y = 0.5x - 3
x = y^2 + 1
Entrada: el ISBN de un libro; salida: su número de páginas
Entrada: un estado de EE. UU.; salida: una ciudad de ese estado
\{(-1, 0),\ (0, -1),\ (1, 0)\}
La recta vertical que pasa por (4, 0)
Pista
En cada ficha, intenta encontrar una entrada que pueda tener dos salidas diferentes.
Pregunta 24 de 36
Sin calculadoraMenú
Study the mapping diagram.
Mapping diagram
Complete the statement.
The relation a function, because the input is mapped to .
The input 2 has two arrows, so it is mapped to two different outputs.
Therefore the relation is not a function.
The output 4 receives two arrows (from -3 and from 6). That is allowed and is not the reason.
Answer: The relation is not a function, because the input 2 is mapped to two different outputs.
Check: As ordered pairs the relation contains (2, 5) and (2, 9) — the same input with different outputs ✓.
Tip: Two arrows out of an input = not a function. Two arrows into an output = still fine.
Explicación
Flechas que salen de cada entrada: -3 → 4 (una); 0 → 1 (una); 2 → 5 y 9 (dos); 6 → 4 (una).
La entrada 2 tiene dos flechas, así que va a dos salidas distintas.
Por lo tanto, la relación no es una función.
La salida 4 recibe dos flechas (de -3 y de 6). Eso está permitido y no es la razón.
Respuesta: La relación no es una función, porque la entrada 2 va a dos salidas distintas.
Comprobación: Como pares ordenados, la relación contiene (2, 5) y (2, 9): la misma entrada con salidas distintas ✓.
Consejo: Dos flechas que salen de una entrada = no es función. Dos flechas que llegan a una salida = sigue estando bien.
Ver en español
Pregunta
Estudia el diagrama de flechas.
Completa el enunciado.
La relación _____ una función, porque la entrada _____ va a _____.
Opciones
es
no es
2
4
-3
dos salidas diferentes
la misma salida que otra entrada
Pista
Cuenta las flechas que salen de cada entrada de la izquierda.
Pregunta 25 de 36
Sin calculadora
Marcus checks whether this table represents y as a function of x.
x
1
2
3
4
5
y
7
7
8
8
9
His work:
Step 1: Look at the y-values.
Step 2: 7 appears twice and 8 appears twice.
Step 3: So the table is not a function.
Which statement about Marcus's work is correct?
Pista
Which row should you check for repeats when testing a function?
Solución paso a paso
The definition: a function gives each input exactly one output. So the check is on the x row.
Marcus went wrong at Step 1: he looked at the y-values (outputs) instead of the x-values (inputs).
Correct check: inputs 1, 2, 3, 4, 5 — none repeats. So each input has one output.
The repeated outputs 7 and 8 are allowed. The table is a function, so Step 3's conclusion is also wrong — it follows from the wrong check.
Answer: Step 1 is the error: he should check the x-values. The table is a function.
Check: A vertical line at each x from 1 to 5 hits exactly one point of the table's graph ✓.
Tip: In "find the error" questions, find the first step that goes wrong. Every later step built on it is suspect too.
Explicación
La definición: una función le da a cada entrada exactamente una salida. Así que la revisión se hace en la fila x.
Marcus se equivocó en el Paso 1: miró los valores de y (salidas) en vez de los valores de x (entradas).
Revisión correcta: entradas 1, 2, 3, 4, 5; ninguna se repite. Así que cada entrada tiene una salida.
Las salidas repetidas 7 y 8 están permitidas. La tabla sí es una función, así que la conclusión del Paso 3 también está mal: sale de la revisión equivocada.
Respuesta: El error está en el Paso 1: debía revisar los valores de x. La tabla es una función.
Comprobación: Una recta vertical en cada x de 1 a 5 toca exactamente un punto de la gráfica de la tabla ✓.
Consejo: En las preguntas de "encuentra el error", busca el primer paso que sale mal. Todos los pasos siguientes que se basan en él también son dudosos.
Ver en español
Pregunta
Marcus revisa si esta tabla representa a y como función de x.
x
1
2
3
4
5
y
7
7
8
8
9
Su trabajo:
Paso 1: Mirar los valores de y.
Paso 2: El 7 aparece dos veces y el 8 aparece dos veces.
Paso 3: Entonces la tabla no es una función.
¿Qué enunciado sobre el trabajo de Marcus es correcto?
Opciones
A. Marcus tiene razón. Los valores de y repetidos significan que la tabla no es una función.
B. Su conclusión es correcta, pero el paso 2 debería decir que se repiten los valores de x 7 y 8.
C. El paso 1 es el error: debería revisar los valores de x. La tabla es una función.
D. El paso 3 es el único error: un valor debe repetirse al menos tres veces para que la tabla no sea función.
Pista
¿En qué fila debes buscar repeticiones cuando revisas si es una función?
¿Cuál es el menor número de pares ordenados que debes quitar para que la relación sea una función?
Pista
Agrupa los pares según su primer número. Cada grupo puede quedarse con un solo par.
Pregunta 27 de 36
Sin calculadoraCompletar
A relation is shown in the table.
x
1
4
2
4
6
1
3
4
y
0
3
5
3
2
-1
5
8
How many different x-values are paired with more than one differenty-value?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
List every output for each input. A pair written twice, like (4, 3), counts as one output.
Solución paso a paso
List the outputs for each input:
x = 1: y = 0 and y = -1 → two different outputs ✓.
x = 2: y = 5 → one.
x = 3: y = 5 → one.
x = 4: y = 3, 3, 8 → the different outputs are 3 and 8 ✓.
x = 6: y = 2 → one.
The inputs with more than one different output are 1 and 4.
The output 5 is shared by x = 2 and x = 3 — allowed, not counted.
Answer: 2
Check: If the column (4, 8) and the column (1, -1) were deleted, the remaining table — with (4, 3) listed twice — would be a function. So exactly those 2 inputs cause trouble ✓.
Tip: A pair that is simply repeated, such as (4, 3) twice, does not break a function. Look for different outputs.
Explicación
Haz una lista de las salidas de cada entrada:
x = 1: y = 0 y y = -1 → dos salidas distintas ✓.
x = 2: y = 5 → una.
x = 3: y = 5 → una.
x = 4: y = 3, 3, 8 → las salidas distintas son 3 y 8 ✓.
x = 6: y = 2 → una.
Las entradas con más de una salida distinta son 1 y 4.
La salida 5 la comparten x = 2 y x = 3: está permitido y no se cuenta.
Respuesta: 2
Comprobación: Si se borraran la columna (4, 8) y la columna (1, -1), la tabla que queda, con (4, 3) escrito dos veces, sería una función. Así que exactamente esas 2 entradas causan el problema ✓.
Consejo: Un par que simplemente se repite, como (4, 3) dos veces, no rompe una función. Busca salidas distintas.
Ver en español
Pregunta
Se muestra una relación en la tabla.
x
1
4
2
4
6
1
3
4
y
0
3
5
3
2
-1
5
8
¿Cuántos valores de x distintos están emparejados con más de un valor de ydiferente?
Pista
Haz una lista de todas las salidas de cada entrada. Un par escrito dos veces, como (4, 3), cuenta como una sola salida.
Pregunta 28 de 36
Sin calculadora
A shoe store records the height and shoe size of seven adults. Height is the input and shoe size is the output.
Height and shoe size
Does the scatter plot show shoe size as a function of height for these seven adults?
Pista
Look for two dots in the same vertical column (the same height).
Solución paso a paso
List the points: (62, 7), (64, 8), (65, 9), (68, 9), (68, 10.5), (71, 11), (74, 12).
The height 68 inches appears twice, with shoe sizes 9 and 10.5.
One input (68 in) with two different outputs means the data do not form a function.
The shoe size 9 appears for heights 65 and 68 — two inputs sharing an output is allowed and is not the reason.
The upward trend does not matter; the definition is about one output per input.
Answer: No, because the height 68 inches is paired with two different shoe sizes.
Check: A vertical line at x = 68 passes through two dots, (68, 9) and (68, 10.5) ✓.
Tip: Real data often fail to be functions because two people (or days, or items) share an input. Check for stacked dots.
Explicación
Haz una lista de los puntos: (62, 7), (64, 8), (65, 9), (68, 9), (68, 10.5), (71, 11), (74, 12).
La estatura de 68 pulgadas aparece dos veces, con tallas de zapato 9 y 10.5.
Una entrada (68 in) con dos salidas distintas significa que los datos no forman una función.
La talla 9 aparece con las estaturas 65 y 68: se permite que dos entradas compartan una salida, y esa no es la razón.
La tendencia hacia arriba no importa; la definición trata de una salida por cada entrada.
Respuesta: No, porque la estatura de 68 pulgadas está emparejada con dos tallas de zapato distintas.
Comprobación: Una recta vertical en x = 68 pasa por dos puntos, (68, 9) y (68, 10.5) ✓.
Consejo: Los datos reales muchas veces no son funciones porque dos personas (o días, o artículos) comparten una entrada. Busca puntos apilados.
Ver en español
Pregunta
Una zapatería anota la estatura y la talla de zapato de siete adultos. La estatura es la entrada y la talla de zapato es la salida.
¿Muestra el diagrama de dispersión la talla de zapato como función de la estatura para estos siete adultos?
Opciones
A. Sí, porque las tallas de zapato aumentan a medida que aumentan las estaturas.
B. No, porque dos adultos diferentes usan talla 9.
C. Sí, porque no hay dos puntos exactamente en el mismo lugar.
D. No, porque la estatura de 68 pulgadas está emparejada con dos tallas de zapato diferentes.
Pista
Busca dos puntos en la misma columna vertical (la misma estatura).
Pregunta 29 de 36
Sin calculadora
A shuttle bus drives a loop and visits some stops twice. Its morning schedule is shown.
Relation II: input = arrival time, output = stop number.
Which statement is true?
Pista
Check each relation separately. Which column is the input in each one, and does any input repeat?
Solución paso a paso
Relation I (stop → time): the inputs are 1, 2, 3, 4, 3, 1. Stop 3 has two times (7:20 and 7:40), and stop 1 has two times (7:05 and 7:52) → not a function.
Relation II (time → stop): the inputs are the six times, which are all different. Each time has exactly one stop → function.
In Relation II, stops 1 and 3 appear twice as outputs, which is allowed.
Answer: Only Relation II is a function.
Check: Ask Relation I "When does the bus reach stop 3?" — two answers. Ask Relation II "Where is the bus at 7:40?" — one answer, stop 3 ✓.
Tip: Swapping input and output can change the answer. Repeated values in a column only matter when that column is the input.
Explicación
Relación I (parada → hora): las entradas son 1, 2, 3, 4, 3, 1. La parada 3 tiene dos horas (7:20 y 7:40), y la parada 1 tiene dos horas (7:05 y 7:52) → no es función.
Relación II (hora → parada): las entradas son las seis horas, que son todas distintas. Cada hora tiene exactamente una parada → función.
En la relación II, las paradas 1 y 3 aparecen dos veces como salidas, lo cual está permitido.
Respuesta: Solo la relación II es una función.
Comprobación: Pregúntale a la relación I "¿A qué hora llega el autobús a la parada 3?": dos respuestas. Pregúntale a la relación II "¿Dónde está el autobús a las 7:40?": una respuesta, la parada 3 ✓.
Consejo: Intercambiar la entrada y la salida puede cambiar la respuesta. Los valores repetidos en una columna solo importan cuando esa columna es la entrada.
Ver en español
Pregunta
Un autobús de enlace recorre un circuito y pasa dos veces por algunas paradas. Se muestra su horario de la mañana.
Número de parada
1
2
3
4
3
1
Hora de llegada
7:05
7:12
7:20
7:31
7:40
7:52
Relación I: entrada = número de parada, salida = hora de llegada.
Relación II: entrada = hora de llegada, salida = número de parada.
¿Qué enunciado es verdadero?
Opciones
A. Solo la relación II es una función.
B. Solo la relación I es una función.
C. Las dos relaciones son funciones, porque usan los mismos datos.
D. Ninguna de las dos relaciones es una función, porque las paradas 1 y 3 se repiten.
Pista
Revisa cada relación por separado. ¿Qué columna es la entrada en cada una y se repite alguna entrada?
Pregunta 30 de 36
Sin calculadora
A pizza shop sells small pizzas for $10 and large pizzas for $15.
Which situation describes y as a function of x?
Pista
For each choice, try to find one value of x that could go with two different values of y.
Solución paso a paso
x = total cost of an order, y = number of pizzas: a $30 order could be 3 small pizzas (3 \times 10) or 2 large pizzas (2 \times 15). One input, two outputs → not a function.
x = number of large pizzas only, y = total cost:y = 15x — each number of pizzas has exactly one cost → function.
x = pizza size, y = a topping chosen: a large pizza can have pepperoni or mushrooms → not a function.
x = delivery time in minutes, y = the address delivered to: two orders can both take 25 minutes to different addresses → not a function.
Answer: x = the number of large pizzas in an order of only large pizzas; y = the total cost
Check: Test inputs: 1 pizza → $15, 2 → $30, 3 → $45. No input ever gets two costs ✓.
Tip: A rule like y = 15x always makes a function. If the input could come from several different situations, look for a counterexample.
Explicación
x = costo total de un pedido, y = número de pizzas: un pedido de $30 podría ser 3 pizzas pequeñas (3 \times 10) o 2 pizzas grandes (2 \times 15). Una entrada, dos salidas → no es función.
x = número de pizzas grandes solamente, y = costo total:y = 15x: cada número de pizzas tiene exactamente un costo → función.
x = tamaño de la pizza, y = un ingrediente elegido: una pizza grande puede llevar pepperoni o champiñones → no es función.
x = tiempo de entrega en minutos, y = la dirección de entrega: dos pedidos pueden tardar 25 minutos cada uno en llegar a direcciones distintas → no es función.
Respuesta: x = el número de pizzas grandes en un pedido de solo pizzas grandes; y = el costo total
Comprobación: Prueba entradas: 1 pizza → $15, 2 → $30, 3 → $45. Ninguna entrada recibe nunca dos costos ✓.
Consejo: Una regla como y = 15x siempre da una función. Si la entrada podría venir de varias situaciones distintas, busca un contraejemplo.
Ver en español
Pregunta
Una pizzería vende pizzas pequeñas a $10 y pizzas grandes a $15.
¿Qué situación describe a y como función de x?
Opciones
A.x = el costo total de un pedido; y = el número de pizzas del pedido
B.x = el número de pizzas grandes en un pedido que solo tiene pizzas grandes; y = el costo total
C.x = el tamaño de una pizza; y = un ingrediente que se eligió para ella
D.x = un tiempo de entrega en minutos; y = la dirección a la que se entregó la pizza
Pista
En cada opción, intenta encontrar un valor de x que pueda ir con dos valores diferentes de y.
Pregunta 31 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
A relation is shown in the table.
x
2
-1
4
2
0
-1
7
4
y
5
3
8
5
6
9
1
-8
Select all of the values that are inputs keeping this relation from being a function.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
For each repeated input, compare its outputs. Are they different, or the exact same number?
Solución paso a paso
Find inputs that appear more than once: 2, -1 and 4.
Input 2: outputs 5 and 5 — the same pair (2, 5) written twice. Still only one output → not a problem.
Input -1: outputs 3 and 9 — two different outputs → problem ✓.
Input 4: outputs 8 and -8 — two different outputs → problem ✓.
Inputs 0 and 7 appear once. The value 5 is an output, not an input.
Answer: -1 and 4
Check: Delete the columns (-1, 9) and (4, -8). The remaining inputs are 2, -1, 4, 2, 0, 7, and the repeated 2 always gives 5 — now a function ✓.
Tip: "Repeated input" is only a problem when the outputs differ. 8 and -8 are different numbers — watch the signs.
Explicación
Busca las entradas que aparecen más de una vez: 2, -1 y 4.
Entrada 2: salidas 5 y 5, el mismo par (2, 5) escrito dos veces. Sigue habiendo una sola salida → no es un problema.
Entrada -1: salidas 3 y 9, dos salidas distintas → problema ✓.
Entrada 4: salidas 8 y -8, dos salidas distintas → problema ✓.
Las entradas 0 y 7 aparecen una vez. El valor 5 es una salida, no una entrada.
Respuesta: -1 y 4
Comprobación: Borra las columnas (-1, 9) y (4, -8). Las entradas que quedan son 2, -1, 4, 2, 0, 7, y el 2 repetido siempre da 5: ahora es una función ✓.
Consejo: Una "entrada repetida" solo es un problema cuando las salidas son distintas. 8 y -8 son números distintos: fíjate en los signos.
Ver en español
Pregunta
Se muestra una relación en la tabla.
x
2
-1
4
2
0
-1
7
4
y
5
3
8
5
6
9
1
-8
Selecciona todos los valores que son entradas que impiden que esta relación sea una función.
Opciones
A. 2
B.-1
C. 4
D. 0
E. 7
F. 5
Pista
Para cada entrada repetida, compara sus salidas. ¿Son diferentes o exactamente el mismo número?
Pregunta 32 de 36
Sin calculadoraArrastrar y soltar
Six relations are shown on the tiles. Drag each relation into the correct column. Each column will hold more than one tile.
Function
Not a function
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
For equations, solve for y and see whether you get one value or two. For lists and tables, look for repeated inputs.
Solución paso a paso
\{(1, 5), (2, 5), (3, 5)\} — inputs 1, 2, 3 all different → Function.
x = -3 — vertical line; input -3 has infinitely many outputs → Not a function.
y = x^3 — each x gives one cube (e.g. 2 \to 8, -2 \to -8) → Function.
Table (0, 2), (1, 3), (1, 4) — input 1 has outputs 3 and 4 → Not a function.
x = \lvert y \rvert — for x = 2, y = 2 or y = -2 → Not a function.
y = 7 — horizontal line; every input → 7 → Function.
Answer: Function — \{(1,5),(2,5),(3,5)\}, y = x^3, y = 7. Not a function — x = -3, the table, x = \lvert y \rvert.
Check: Each "not a function" has a specific input with two outputs: (-3, 0) & (-3, 1); (1, 3) & (1, 4); (2, 2) & (2, -2) ✓
Tip:y = \lvert x \rvert is a function, but x = \lvert y \rvert is not — just like y = x^2 versus x = y^2.
Explicación
\{(1, 5), (2, 5), (3, 5)\}: las entradas 1, 2, 3 son todas diferentes → Función.
x = -3: recta vertical; la entrada -3 tiene infinitas salidas → No es función.
y = x^3: cada x da un solo cubo (por ejemplo, 2 \to 8, -2 \to -8) → Función.
Tabla (0, 2), (1, 3), (1, 4): la entrada 1 tiene las salidas 3 y 4 → No es función.
x = \lvert y \rvert: para x = 2, y = 2 o y = -2 → No es función.
y = 7: recta horizontal; cada entrada → 7 → Función.
Respuesta: Función: \{(1,5),(2,5),(3,5)\}, y = x^3, y = 7. No es función: x = -3, la tabla, x = \lvert y \rvert.
Comprobación: Cada "no es función" tiene una entrada concreta con dos salidas: (-3, 0) y (-3, 1); (1, 3) y (1, 4); (2, 2) y (2, -2) ✓
Consejo:y = \lvert x \rvert es una función, pero x = \lvert y \rvert no lo es, igual que y = x^2 comparada con x = y^2.
Ver en español
Pregunta
En las fichas se muestran seis relaciones. Arrastra cada relación a la columna correcta. Cada columna tendrá más de una ficha.
Función
No es función
_____
_____
Opciones
\{(1, 5),\ (2, 5),\ (3, 5)\}
x = -3
y = x^3
tabla: x 0, 1, 1; y 2, 3, 4
x = \lvert y \rvert
y = 7
Pista
En las ecuaciones, despeja y y fíjate si obtienes un valor o dos. En las listas y tablas, busca entradas repetidas.
Pregunta 33 de 36
Sin calculadora
A relation is shown in the table, where a is an unknown number.
x
a
3
6
9
y
10
4
10
2
Which value of a would make the relation NOT a function?
Pista
Try each choice. Does the new pair (a, 10) clash with another column that has the same input but a different output?
Solución paso a paso
The first column is the pair (a, 10). The relation fails only if a equals another input whose output is not 10.
a = 3: pairs (3, 10) and (3, 4) — input 3 has two outputs → not a function ✓.
a = 6: pairs (6, 10) and (6, 10) — the same pair twice; input 6 still has only the output 10 → function.
a = 10: 10 is a new input, so (10, 10) causes no clash → function.
a = 0: 0 is a new input → function.
Answer: a = 3
Check: With a = 3, asking "what is y when x = 3?" gets two answers, 10 and 4 ✓. (a = 9 would also fail, but it is not a choice.)
Tip: A repeated input only breaks a function when its outputs differ. The trap here is a = 6, which repeats the input but keeps the same output.
Explicación
La primera columna es el par (a, 10). La relación falla solo si a es igual a otra entrada cuya salida no es 10.
a = 3: pares (3, 10) y (3, 4): la entrada 3 tiene dos salidas → no es función ✓.
a = 6: pares (6, 10) y (6, 10): el mismo par dos veces; la entrada 6 sigue teniendo solo la salida 10 → función.
a = 10: 10 es una entrada nueva, así que (10, 10) no causa conflicto → función.
a = 0: 0 es una entrada nueva → función.
Respuesta: a = 3
Comprobación: Con a = 3, la pregunta "¿cuánto vale y cuando x = 3?" tiene dos respuestas, 10 y 4 ✓. (a = 9 también haría que fallara, pero no está entre las opciones.)
Consejo: Una entrada repetida solo rompe una función cuando sus salidas son distintas. La trampa aquí es a = 6, que repite la entrada pero mantiene la misma salida.
Ver en español
Pregunta
Se muestra una relación en la tabla, donde a es un número desconocido.
x
a
3
6
9
y
10
4
10
2
¿Qué valor de a haría que la relación NO fuera una función?
Opciones
A.a = 6
B.a = 10
C.a = 3
D.a = 0
Pista
Prueba cada opción. ¿El nuevo par (a, 10) choca con otra columna que tiene la misma entrada pero una salida diferente?
Pregunta 34 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Select all of the relations that represent y as a function of x.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Test each one with a specific input. For equations with y^2 or \lvert y \rvert, try to find two y-values for one x.
Solución paso a paso
\{(0, 4), (4, 0), (0, -4)\}: input 0 has outputs 4 and -4 ✗.
y = x^3 - x: cube x and subtract x — one result for each input ✓.
Table with x: 5, 5, 5 and y: 1, 2, 3: input 5 has three outputs ✗ (a vertical line of points).
Mapping -1 \to 2, 1 \to 2, 3 \to 2: each input has one arrow; sharing the output 2 is fine ✓.
y = \sqrt{x} for x \ge 0: the symbol \sqrt{\ } means the non-negative root only, so \sqrt{9} = 3, not \pm 3 ✓.
x = \lvert y \rvert: at x = 2, both y = 2 and y = -2 work ✗.
Answer: y = x^3 - x; the mapping -1 \to 2, 1 \to 2, 3 \to 2; y = \sqrt{x}
Check: Counterexamples for the others: (0, 4) & (0, -4); (5, 1) & (5, 2); (2, 2) & (2, -2) ✓. None of the three correct relations has such a pair.
Tip:y = \sqrt{x} gives one output; y^2 = x gives two. The radical sign alone always means the positive root.
Explicación
\{(0, 4), (4, 0), (0, -4)\}: la entrada 0 tiene las salidas 4 y -4 ✗.
y = x^3 - x: eleva x al cubo y réstale x: un resultado por cada entrada ✓.
Tabla con x: 5, 5, 5 y y: 1, 2, 3: la entrada 5 tiene tres salidas ✗ (puntos en una recta vertical).
Diagrama -1 \to 2, 1 \to 2, 3 \to 2: cada entrada tiene una flecha; compartir la salida 2 está bien ✓.
y = \sqrt{x} para x \ge 0: el símbolo \sqrt{\ } significa solo la raíz no negativa, así que \sqrt{9} = 3, no \pm 3 ✓.
x = \lvert y \rvert: en x = 2 funcionan y = 2 y y = -2 ✗.
Respuesta: y = x^3 - x; el diagrama -1 \to 2, 1 \to 2, 3 \to 2; y = \sqrt{x}
Comprobación: Contraejemplos para las demás: (0, 4) y (0, -4); (5, 1) y (5, 2); (2, 2) y (2, -2) ✓. Ninguna de las tres relaciones correctas tiene un par así.
Consejo:y = \sqrt{x} da una salida; y^2 = x da dos. El signo de raíz por sí solo siempre significa la raíz positiva.
Ver en español
Pregunta
Selecciona todas las relaciones que representan a y como función de x.
Opciones
A.\{(0, 4),\ (4, 0),\ (0, -4)\}
B.y = x^3 - x
C. Una tabla con los valores de x 5, 5, 5 y los valores de y 1, 2, 3
D. Un diagrama de flechas con -1 \to 2, 1 \to 2, 3 \to 2
E.y = \sqrt{x}, para x \ge 0
F.x = \lvert y \rvert
Pista
Prueba cada una con una entrada específica. En las ecuaciones con y^2 o \lvert y \rvert, intenta encontrar dos valores de y para una x.
Pregunta 35 de 36
Sin calculadoraZona activa
Study the mapping diagram.
Click the number in the diagram that keeps this relation from being a function.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
Follow the arrows out of each input on the left. One input has more arrows than it should.
Solución paso a paso
Arrows leaving each input:
-4 \to 2 (one)
-1 \to 1 (one)
0 \to -2and0 \to 7 (two)
3 \to 7 (one)
5 \to 1 (one)
The input 0 is mapped to two different outputs, -2 and 7, so the relation is not a function.
The outputs 1 and 7 each receive two arrows, but many inputs may share one output — those are not the problem.
Answer: the input 0
Check: As ordered pairs: (-4, 2), (-1, 1), (0, -2), (0, 7), (3, 7), (5, 1). Only the input 0 repeats, with different outputs ✓.
Tip: The culprit in a mapping diagram is always on the input side — the number with two arrows leaving it.
Explicación
Flechas que salen de cada entrada:
-4 \to 2 (una)
-1 \to 1 (una)
0 \to -2y0 \to 7 (dos)
3 \to 7 (una)
5 \to 1 (una)
La entrada 0 va a dos salidas distintas, -2 y 7, así que la relación no es una función.
Las salidas 1 y 7 reciben dos flechas cada una, pero muchas entradas pueden compartir una salida: ese no es el problema.
Respuesta: la entrada 0
Comprobación: Como pares ordenados: (-4, 2), (-1, 1), (0, -2), (0, 7), (3, 7), (5, 1). Solo la entrada 0 se repite, con salidas distintas ✓.
Consejo: En un diagrama de flechas, el culpable siempre está del lado de las entradas: el número del que salen dos flechas.
Ver en español
Pregunta
Estudia el diagrama de flechas.
Haz clic en el número del diagrama que impide que esta relación sea una función.
Pista
Sigue las flechas que salen de cada entrada de la izquierda. Una entrada tiene más flechas de las que debería.
Pregunta 36 de 36
Sin calculadora
Which statement is always true?
Pista
For each statement, try to build a small counterexample with two or three ordered pairs.
Solución paso a paso
"If a relation is a function, then no output repeats." False: \{(1, 5), (2, 5)\} is a function with a repeated output.
"If a relation has an input with two different outputs, then its graph fails the vertical line test." True: the two points (a, b) and (a, c) lie on the same vertical line x = a, so that line meets the graph twice.
"Every straight line in the coordinate plane is the graph of a function." False: a vertical line such as x = 2 is not a function.
"If no output repeats, then the relation is a function." False: \{(1, 2), (1, 3)\} has different outputs but the input 1 repeats.
Answer: If a relation has an input with two different outputs, then its graph fails the vertical line test.
Check: The vertical line test is just the picture version of the definition: same x (one vertical line), two y's (two crossing points) ✓.
Tip: For "always true" questions, one counterexample is enough to reject a statement.
Explicación
"Si una relación es una función, entonces ninguna salida se repite." Falso: \{(1, 5), (2, 5)\} es una función con una salida repetida.
"Si una relación tiene una entrada con dos salidas distintas, entonces su gráfica no pasa la prueba de la recta vertical." Verdadero: los dos puntos (a, b) y (a, c) están en la misma recta vertical x = a, así que esa recta toca la gráfica dos veces.
"Toda recta en el plano de coordenadas es la gráfica de una función." Falso: una recta vertical como x = 2 no es una función.
"Si ninguna salida se repite, entonces la relación es una función." Falso: \{(1, 2), (1, 3)\} tiene salidas distintas, pero la entrada 1 se repite.
Respuesta: Si una relación tiene una entrada con dos salidas distintas, entonces su gráfica no pasa la prueba de la recta vertical.
Comprobación: La prueba de la recta vertical es solo la versión en dibujo de la definición: la misma x (una recta vertical), dos valores de y (dos puntos de cruce) ✓.
Consejo: En las preguntas de "siempre verdadero", basta un solo contraejemplo para descartar un enunciado.
Ver en español
Pregunta
¿Qué enunciado es siempre verdadero?
Opciones
A. Si una relación es una función, entonces ninguna salida se repite.
B. Toda recta del plano de coordenadas es la gráfica de una función.
C. Si ninguna salida se repite, entonces la relación es una función.
D. Si una relación tiene una entrada con dos salidas diferentes, entonces su gráfica no pasa la prueba de la recta vertical.
Pista
En cada enunciado, intenta construir un pequeño contraejemplo con dos o tres pares ordenados.
