A prime number has exactly two factors: 1 and itself. Try dividing each number by small primes: 3, 7, 11, 13.
Solución paso a paso
Test 51: digit sum 5 + 1 = 6 is divisible by 3, so 51 = 3 \times 17. Not prime.
Test 57: digit sum 5 + 7 = 12 is divisible by 3, so 57 = 3 \times 19. Not prime.
Test 91: 91 \div 7 = 13, so 91 = 7 \times 13. Not prime.
Test 59: not even, digit sum 14 (not divisible by 3), does not end in 0 or 5, and 59 \div 7 \approx 8.4. Since 8^2 = 64 > 59, we only need to test primes up to 7. Nothing divides it.
The prime number is 59.
Check: the only factor pair of 59 is 1 \times 59. ✓
Tip: To test whether n is prime, only try primes whose square is at most n. Odd numbers like 51, 57 and 91look prime but are not — always try 3 and 7.
Explicación
Prueba 51: la suma de sus dígitos, 5 + 1 = 6, es divisible entre 3, así que 51 = 3 \times 17. No es primo.
Prueba 57: la suma de sus dígitos, 5 + 7 = 12, es divisible entre 3, así que 57 = 3 \times 19. No es primo.
Prueba 91: 91 \div 7 = 13, así que 91 = 7 \times 13. No es primo.
Prueba 59: no es par, la suma de sus dígitos es 14 (no es divisible entre 3), no termina en 0 ni en 5, y 59 \div 7 \approx 8.4. Como 8^2 = 64 > 59, solo hay que probar los primos hasta 7. Ninguno lo divide.
El número primo es 59.
Comprobación: el único par de factores de 59 es 1 \times 59. ✓
Consejo: Para saber si n es primo, prueba solo los primos cuyo cuadrado sea menor o igual que n. Los números impares como 51, 57 y 91parecen primos, pero no lo son: prueba siempre con 3 y con 7.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál de estos números es primo?
Opciones
A. 51
B. 57
C. 59
D. 91
Pista
Un número primo tiene exactamente dos factores: 1 y él mismo. Intenta dividir cada número entre primos pequeños: 3, 7, 11, 13.
Pregunta 2 de 36
Sin calculadoraCompletar
What is the greatest common factor (GCF) of 24 and 36?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
List the factors of each number, then find the largest one they share.
Solución paso a paso
Factors of 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Factors of 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Common factors: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
The greatest common factor is 12.
Prime-factor method:24 = 2^3 \times 3 and 36 = 2^2 \times 3^2. Take each shared prime with its smaller power: 2^2 \times 3 = 12.
Answer: 12.
Check:24 \div 12 = 2 and 36 \div 12 = 3, and 2 and 3 share no factor except 1, so nothing bigger works. ✓
Tip:6 is a common factor, but not the greatest. And 72 is the LCM (a multiple), not a factor — a factor can never be bigger than the numbers themselves.
Explicación
Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Factores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Factores comunes: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
El máximo común divisor es 12.
Método de factores primos:24 = 2^3 \times 3 y 36 = 2^2 \times 3^2. Toma cada primo que comparten con su exponente menor: 2^2 \times 3 = 12.
Respuesta: 12.
Comprobación:24 \div 12 = 2 y 36 \div 12 = 3, y 2 y 3 no comparten ningún factor excepto 1, así que ningún número mayor funciona. ✓
Consejo:6 es un factor común, pero no el máximo. Y 72 es el mcm (un múltiplo), no un factor: un factor nunca puede ser mayor que los números mismos.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el máximo común divisor (MCD) de 24 y 36?
Pista
Haz una lista de los factores de cada número y luego busca el mayor que compartan.
Pregunta 3 de 36
Sin calculadora
What is the least common multiple (LCM) of 6 and 8?
Pista
List the multiples of 8 (8, 16, 24, ...) and stop at the first one that 6 also divides.
Solución paso a paso
Multiples of 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, \ldots
Check each one for divisibility by 6:
8 \div 6 — no
16 \div 6 — no
24 \div 6 = 4 — yes!
The first common multiple is 24.
Prime-factor method:6 = 2 \times 3, 8 = 2^3. Take every prime with its largest power: 2^3 \times 3 = 24.
Answer: 24.
Check:24 = 6 \times 4 = 8 \times 3. ✓
Tip: Multiplying the two numbers (6 \times 8 = 48) always gives a common multiple, but not always the least one. It works only when the numbers share no factor other than 1.
Explicación
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, \ldots
Revisa si cada uno es divisible entre 6:
8 \div 6: no
16 \div 6: no
24 \div 6 = 4: ¡sí!
El primer múltiplo común es 24.
Método de factores primos:6 = 2 \times 3, 8 = 2^3. Toma cada primo con su exponente mayor: 2^3 \times 3 = 24.
Respuesta: 24.
Comprobación:24 = 6 \times 4 = 8 \times 3. ✓
Consejo: Multiplicar los dos números (6 \times 8 = 48) siempre da un múltiplo común, pero no siempre el mínimo. Solo funciona cuando los números no comparten ningún factor aparte del 1.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 6 y 8?
Opciones
A. 2
B. 14
C. 24
D. 48
Pista
Haz una lista de los múltiplos de 8 (8, 16, 24, ...) y detente en el primero que también sea divisible entre 6.
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
Which of these numbers is composite (not prime)?
Pista
A composite number has a factor other than 1 and itself. Try dividing by 3: add the digits.
Solución paso a paso
29: not divisible by 2, 3 (digit sum 11) or 5. Since 6^2 = 36 > 29, no more tests are needed. Prime.
37: not divisible by 2, 3 (digit sum 10) or 5; 7^2 = 49 > 37. Prime.
87: digit sum 8 + 7 = 15, which is divisible by 3. So 87 = 3 \times 29. Composite.
41: not divisible by 2, 3 (digit sum 5) or 5; 7^2 = 49 > 41. Prime.
Answer: 87.
Check:3 \times 29 = 87, so 87 has the factors 1, 3, 29, 87 — more than two. ✓
Tip: The digit-sum test for 3 catches many numbers that look prime: 51, 57, 87, 111. Always try it before deciding a number is prime.
Explicación
29: no es divisible entre 2, 3 (suma de dígitos 11) ni 5. Como 6^2 = 36 > 29, no hacen falta más pruebas. Primo.
37: no es divisible entre 2, 3 (suma de dígitos 10) ni 5; 7^2 = 49 > 37. Primo.
87: la suma de dígitos es 8 + 7 = 15, que es divisible entre 3. Entonces, 87 = 3 \times 29. Compuesto.
41: no es divisible entre 2, 3 (suma de dígitos 5) ni 5; 7^2 = 49 > 41. Primo.
Respuesta: 87.
Comprobación:3 \times 29 = 87, así que 87 tiene los factores 1, 3, 29, 87: más de dos. ✓
Consejo: La prueba de la suma de dígitos para el 3 detecta muchos números que parecen primos: 51, 57, 87, 111. Úsala siempre antes de decidir que un número es primo.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál de estos números es compuesto (no primo)?
Opciones
A. 29
B. 37
C. 41
D. 87
Pista
Un número compuesto tiene un factor distinto de 1 y de sí mismo. Intenta dividir entre 3: suma los dígitos.
Pregunta 5 de 36
Sin calculadoraCompletar
Find the largest whole number that divides both 42 and 70 with no remainder. (This number is called their greatest common factor.)
GCF =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Write each number as a product of primes, or list the factors of the smaller number and test which ones divide the larger.
Solución paso a paso
Prime factorizations:
42 = 2 \times 3 \times 7
70 = 2 \times 5 \times 7
Primes they share: 2 and 7.
Multiply the shared primes (each appears once in both): 2 \times 7 = 14.
Listing method: factors of 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Which divide 70? 1, 2, 7, 14. The greatest is 14.
Answer: 14.
Check:42 \div 14 = 3 and 70 \div 14 = 5; since 3 and 5 share no factor except 1, no larger common factor exists. ✓
Tip: After dividing both numbers by your GCF, the results should have no common factor left. If they still share one, your GCF is too small.
Explicación
Factorizaciones en primos:
42 = 2 \times 3 \times 7
70 = 2 \times 5 \times 7
Primos que comparten: 2 y 7.
Multiplica los primos compartidos (cada uno aparece una vez en los dos): 2 \times 7 = 14.
Método de la lista: factores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. ¿Cuáles dividen a 70? 1, 2, 7, 14. El mayor es 14.
Respuesta: 14.
Comprobación:42 \div 14 = 3 y 70 \div 14 = 5; como 3 y 5 no comparten ningún factor excepto 1, no existe un factor común mayor. ✓
Consejo: Después de dividir los dos números entre tu MCD, los resultados no deben tener ningún factor común. Si todavía comparten uno, tu MCD es demasiado pequeño.
Ver en español
Pregunta
Encuentra el mayor número entero que divide tanto a 42 como a 70 sin dejar residuo. (Este número se llama su máximo común divisor).
MCD = _____
Pista
Escribe cada número como producto de primos, o haz una lista de los factores del número menor y prueba cuáles dividen al mayor.
Pregunta 6 de 36
Sin calculadora
Which number is the smallest positive number that both 9 and 15 divide into evenly (their least common multiple)?
Pista
List the multiples of 15 and stop at the first one that 9 divides evenly.
Solución paso a paso
Multiples of 15: 15, 30, 45, 60, \ldots
Test each for divisibility by 9:
15 \div 9 — no
30 \div 9 — no
45 \div 9 = 5 — yes!
The first common multiple is 45.
Prime-factor method:9 = 3^2 and 15 = 3 \times 5. Take each prime with its largest power: 3^2 \times 5 = 45.
Answer: 45.
Check:45 = 9 \times 5 = 15 \times 3. ✓
Tip:9 \times 15 = 135 is a common multiple, but because 9 and 15 share the factor 3, a smaller one exists. Divide the product by the GCF: 135 \div 3 = 45.
Explicación
Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, \ldots
Revisa si cada uno es divisible entre 9:
15 \div 9: no
30 \div 9: no
45 \div 9 = 5: ¡sí!
El primer múltiplo común es 45.
Método de los factores primos:9 = 3^2 y 15 = 3 \times 5. Toma cada primo con su potencia más grande: 3^2 \times 5 = 45.
Respuesta: 45.
Comprobación:45 = 9 \times 5 = 15 \times 3. ✓
Consejo:9 \times 15 = 135 es un múltiplo común, pero como 9 y 15 comparten el factor 3, existe uno más pequeño. Divide el producto entre el MCD: 135 \div 3 = 45.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el menor número positivo que es divisible exactamente tanto entre 9 como entre 15 (su mínimo común múltiplo)?
Opciones
A. 3
B. 24
C. 45
D. 135
Pista
Haz una lista de los múltiplos de 15 y detente en el primero que sea divisible exactamente entre 9.
Pregunta 7 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Select all of the numbers that are factors of 54.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
A factor of 54 divides 54 with no remainder. Find factor pairs that multiply to 54.
Solución paso a paso
List the factor pairs of 54:
1 \times 54
2 \times 27
3 \times 18
6 \times 9
So the factors of 54 are 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
Check:54 \div 4 = 13.5 and 54 \div 12 = 4.5 are not whole numbers. 108 = 2 \times 54 is a multiple of 54, not a factor. ✓
Tip: Find factors in pairs, starting from 1 and working up. When the pairs start repeating (after 6 \times 9), you have them all. A factor can never be larger than the number itself.
Explicación
Haz una lista de los pares de factores de 54:
1 \times 54
2 \times 27
3 \times 18
6 \times 9
Entonces, los factores de 54 son 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
Comprobación:54 \div 4 = 13.5 y 54 \div 12 = 4.5 no son números enteros. 108 = 2 \times 54 es un múltiplo de 54, no un factor. ✓
Consejo: Busca los factores en pares, empezando por 1 y subiendo. Cuando los pares empiezan a repetirse (después de 6 \times 9), ya los tienes todos. Un factor nunca puede ser mayor que el número mismo.
Ver en español
Pregunta
Selecciona todos los números que son factores de 54.
Opciones
A. 2
B. 4
C. 6
D. 9
E. 12
F. 18
G. 27
H. 108
Pista
Un factor de 54 divide a 54 sin dejar residuo. Busca pares de factores cuyo producto sea 54.
Pregunta 8 de 36
Sin calculadora
Hot dogs are sold in packages of 10, and hot dog buns are sold in packages of 8. Tasha wants exactly the same number of hot dogs and buns, with none left over.
What is the smallest number of hot dogs she can buy?
Pista
The number of hot dogs must be a multiple of 10, and the number of buns a multiple of 8. You need a number that is on both lists.
Solución paso a paso
Hot dogs come in groups of 10, so possible totals are multiples of 10: 10, 20, 30, 40, 50, \ldots
Buns come in groups of 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, \ldots
The smallest number on both lists is 40, the LCM of 10 and 8.
Prime check: 10 = 2 \times 5, 8 = 2^3, so LCM = 2^3 \times 5 = 40.
She should buy 40 hot dogs (4 packages of hot dogs and 5 packages of buns).
Check:4 \times 10 = 40 and 5 \times 8 = 40. ✓
Tip: Phrases like "the same number", "at the same time again" or "smallest amount to buy" in a word problem point to the LCM. Splitting things into equal groups points to the GCF.
Explicación
Las salchichas vienen en grupos de 10, así que los totales posibles son múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, \ldots
Los panes vienen en grupos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, \ldots
El número más pequeño que está en las dos listas es 40, el mcm de 10 y 8.
Comprobación con primos: 10 = 2 \times 5, 8 = 2^3, así que mcm = 2^3 \times 5 = 40.
Debe comprar 40 salchichas (4 paquetes de salchichas y 5 paquetes de panes).
Consejo: En un problema verbal, frases como "la misma cantidad", "otra vez al mismo tiempo" o "la menor cantidad que se puede comprar" apuntan al mcm. Repartir cosas en grupos iguales apunta al MCD.
Ver en español
Pregunta
Las salchichas se venden en paquetes de 10 y los panes para hot dog, en paquetes de 8. Tasha quiere exactamente la misma cantidad de salchichas que de panes, sin que sobre nada.
¿Cuál es la menor cantidad de salchichas que puede comprar?
Opciones
A. 2
B. 18
C. 40
D. 80
Pista
La cantidad de salchichas debe ser un múltiplo de 10, y la cantidad de panes, un múltiplo de 8. Necesitas un número que esté en las dos listas.
Pregunta 9 de 36
Sin calculadora
A florist has 48 red roses and 60 white roses. She wants to make identical bouquets, each with the same number of red roses and the same number of white roses, using all the roses.
What is the greatest number of bouquets she can make?
Pista
The number of bouquets must divide evenly into both 48 and 60.
Solución paso a paso
Each bouquet is identical, so the number of bouquets must divide 48and60 — it is a common factor.
We want the greatest number of bouquets, so find the GCF.
48 = 2^4 \times 3 and 60 = 2^2 \times 3 \times 5.
Shared primes with smaller powers: 2^2 \times 3 = 12.
She can make 12 bouquets, each with 48 \div 12 = 4 red and 60 \div 12 = 5 white roses.
Check:12 \times 4 = 48 and 12 \times 5 = 60, so no roses are left. ✓
Tip: Read what the question asks for. The GCF (12) is the number of bouquets; 4 and 5 are the roses per bouquet. Many wrong answers come from answering a different quantity.
Explicación
Todos los ramos son idénticos, así que el número de ramos debe dividir a 48y a 60: es un factor común.
Queremos el mayor número de ramos, así que buscamos el MCD.
48 = 2^4 \times 3 y 60 = 2^2 \times 3 \times 5.
Primos que comparten, con el exponente menor: 2^2 \times 3 = 12.
Puede hacer 12 ramos, cada uno con 48 \div 12 = 4 rosas rojas y 60 \div 12 = 5 rosas blancas.
Comprobación:12 \times 4 = 48 y 12 \times 5 = 60, así que no sobra ninguna rosa. ✓
Consejo: Lee lo que pide la pregunta. El MCD (12) es el número de ramos; 4 y 5 son las rosas por ramo. Muchas respuestas incorrectas vienen de responder otra cantidad.
Ver en español
Pregunta
Una florista tiene 48 rosas rojas y 60 rosas blancas. Quiere hacer ramos idénticos, cada uno con la misma cantidad de rosas rojas y la misma cantidad de rosas blancas, usando todas las rosas.
¿Cuál es el mayor número de ramos que puede hacer?
Opciones
A. 4
B. 6
C. 12
D. 240
Pista
El número de ramos debe dividir exactamente tanto a 48 como a 60.
Pregunta 10 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Select all of the numbers that divide 2{,}340 evenly (with no remainder).
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Use the divisibility rules: digit sum for 3 and 9, last two digits for 4 and 25, last three digits for 8.
Solución paso a paso
By 3: digit sum 2 + 3 + 4 + 0 = 9, divisible by 3 ✓
By 4: last two digits 40, and 40 \div 4 = 10 ✓
By 8: last three digits 340, and 340 \div 8 = 42.5 ✗
By 9: digit sum 9, divisible by 9 ✓
By 25: last two digits must be 00, 25, 50 or 75; they are 40 ✗
Answer: 3, 4, and 9.
Check:2340 \div 3 = 780, 2340 \div 4 = 585, 2340 \div 9 = 260. And 2340 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 13 has only two factors of 2, so 8 = 2^3 cannot divide it. ✓
Tip: Being even does not make a number divisible by 8, and ending in 0 does not make it divisible by 25. Use the full rule for each divisor.
Explicación
Entre 3: la suma de los dígitos, 2 + 3 + 4 + 0 = 9, es divisible entre 3 ✓
Entre 4: los dos últimos dígitos son 40, y 40 \div 4 = 10 ✓
Entre 8: los tres últimos dígitos son 340, y 340 \div 8 = 42.5 ✗
Entre 9: la suma de los dígitos es 9, divisible entre 9 ✓
Entre 25: los dos últimos dígitos deben ser 00, 25, 50 o 75; son 40 ✗
Respuesta: 3, 4 y 9.
Comprobación:2340 \div 3 = 780, 2340 \div 4 = 585, 2340 \div 9 = 260. Y 2340 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 13 tiene solo dos factores 2, así que 8 = 2^3 no puede dividirlo. ✓
Consejo: Ser par no hace que un número sea divisible entre 8, y terminar en 0 no lo hace divisible entre 25. Usa la regla completa de cada divisor.
Ver en español
Pregunta
Selecciona todos los números que dividen exactamente a 2{,}340 (sin residuo).
Opciones
A. 3
B. 4
C. 8
D. 9
E. 25
Pista
Usa las reglas de divisibilidad: la suma de los dígitos para 3 y 9, los dos últimos dígitos para 4 y 25, los tres últimos dígitos para 8.
Pregunta 11 de 36
Sin calculadoraArrastrar y soltar
Drag the correct prime factorization under each number. One tile is not used.
36
60
84
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Every number in a prime factorization must be prime. Multiply each tile out to see which number it equals.
Consejo: La factorización en primos es única: cada número tiene exactamente una, y todos sus factores deben ser primos. Sigue descomponiendo hasta que solo queden primos.
Ver en español
Pregunta
Arrastra la factorización en primos correcta debajo de cada número. Una ficha no se usa.
36
60
84
_____
_____
_____
Opciones
2^2 \times 3^2
2^2 \times 3 \times 5
2^2 \times 3 \times 7
2 \times 3 \times 6
Pista
Cada número de una factorización en primos debe ser primo. Multiplica lo que dice cada ficha para ver a qué número es igual.
Pregunta 12 de 36
Sin calculadoraCompletar
Bus Route A leaves the station every 12 minutes. Bus Route B leaves every 18 minutes. Both buses leave the station together at 8:00 a.m.
How many minutes after 8:00 a.m. will both buses next leave the station at the same time?
minutes
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Route A leaves at 12, 24, 36, ... minutes after 8:00. When does Route B leave?
Solución paso a paso
Route A leaves at multiples of 12: 12, 24, 36, 48, \ldots minutes after 8:00.
Route B leaves at multiples of 18: 18, 36, 54, \ldots minutes after 8:00.
The first time on both lists is 36 — the LCM of 12 and 18.
They next leave together 36 minutes after 8:00, at 8:36 a.m.
Check:36 \div 12 = 3 trips for Route A and 36 \div 18 = 2 trips for Route B — both whole numbers. ✓
Tip: "Together again" or "at the same time" = LCM. Watch out: 12 \times 18 = 216 is a common multiple but not the first one, and 6 (the GCF) is too small — Route A has not even left once.
Explicación
La Ruta A sale en múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, \ldots minutos después de las 8:00.
La Ruta B sale en múltiplos de 18: 18, 36, 54, \ldots minutos después de las 8:00.
El primer tiempo que está en las dos listas es 36: el mcm de 12 y 18.
La siguiente vez que salen juntos es 36 minutos después de las 8:00, a las 8:36 a.m.
Comprobación:36 \div 12 = 3 salidas de la Ruta A y 36 \div 18 = 2 salidas de la Ruta B: los dos son números enteros. ✓
Consejo: "Otra vez juntos" o "al mismo tiempo" = mcm. Cuidado: 12 \times 18 = 216 es un múltiplo común, pero no el primero, y 6 (el MCD) es demasiado pequeño: la Ruta A ni siquiera ha salido una vez.
Ver en español
Pregunta
La Ruta de autobús A sale de la estación cada 12 minutos. La Ruta B sale cada 18 minutos. Los dos autobuses salen juntos de la estación a las 8:00 a.m.
¿Cuántos minutos después de las 8:00 a.m. será la siguiente vez que los dos autobuses salgan juntos de la estación?
_____ minutos
Pista
La Ruta A sale 12, 24, 36, ... minutos después de las 8:00. ¿Cuándo sale la Ruta B?
Pregunta 13 de 36
Sin calculadora
Which expression is the prime factorization of 180?
Pista
Use a factor tree: split 180 into any two factors, then keep splitting until every branch ends in a prime.
Tip: After you finish, multiply your answer back out. It must equal the original number and every factor must be prime. Both checks catch most mistakes.
Consejo: Cuando termines, vuelve a multiplicar tu respuesta. Debe ser igual al número original y todos los factores deben ser primos. Estas dos comprobaciones detectan la mayoría de los errores.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es la factorización en primos de 180?
Opciones
A.2^2 \times 3^2 \times 5
B.4 \times 5 \times 9
C.2^2 \times 3 \times 5
D.2^2 \times 3^2 \times 5^2
Pista
Usa un árbol de factores: separa 180 en dos factores cualesquiera y sigue separando hasta que cada rama termine en un primo.
Pregunta 14 de 36
Sin calculadora
A warehouse packs water bottles in cases of 6. Which order can be packed into full cases with no bottles left over?
Pista
A number is divisible by 6 only if it passes both tests: divisible by 2 (even) and divisible by 3 (digit sum).
Solución paso a paso
A number is divisible by 6 when it is divisible by both2 and 3.
2,145 bottles: digit sum 2+1+4+5 = 12 ✓ for 3, but it is odd ✗ for 2. Not divisible by 6.
1,334 bottles: even ✓, but digit sum 1+3+3+4 = 11 ✗ for 3. Not divisible by 6.
1,236 bottles: even ✓ and digit sum 1+2+3+6 = 12 ✓. Divisible by 6.
1,516 bottles: even ✓, digit sum 1+5+1+6 = 13 ✗. Not divisible by 6.
Answer: 1,236 bottles (206 full cases).
Check:206 \times 6 = 1{,}236. ✓
Tip: For 6, test both2 and 3. Ending in 6 does not matter — 1{,}516 ends in 6 but fails the test for 3.
Explicación
Un número es divisible entre 6 cuando es divisible tanto entre 2 como entre 3.
2,145 botellas: suma de dígitos 2+1+4+5 = 12 ✓ para el 3, pero es impar ✗ para el 2. No es divisible entre 6.
1,334 botellas: es par ✓, pero la suma de dígitos 1+3+3+4 = 11 ✗ para el 3. No es divisible entre 6.
1,236 botellas: es par ✓ y la suma de dígitos es 1+2+3+6 = 12 ✓. Es divisible entre 6.
1,516 botellas: es par ✓, suma de dígitos 1+5+1+6 = 13 ✗. No es divisible entre 6.
Respuesta: 1,236 botellas (206 cajas llenas).
Comprobación:206 \times 6 = 1{,}236. ✓
Consejo: Para el 6, prueba tanto el 2 como el 3. Terminar en 6 no importa: 1{,}516 termina en 6, pero no pasa la prueba del 3.
Ver en español
Pregunta
Un almacén empaca botellas de agua en cajas de 6. ¿Qué pedido se puede empacar en cajas llenas sin que sobre ninguna botella?
Opciones
A. 2,145 botellas
B. 1,334 botellas
C. 1,516 botellas
D. 1,236 botellas
Pista
Un número es divisible entre 6 solo si pasa las dos pruebas: es divisible entre 2 (par) y entre 3 (suma de los dígitos).
Pregunta 15 de 36
Sin calculadora
A teacher has 36 pencils and 54 erasers. She wants to make identical supply kits, using all of the pencils and erasers, and she wants as many kits as possible.
How many pencils will be in each kit?
Pista
First find the greatest number of kits — it must divide both 36 and 54. Then share the pencils among those kits.
Solución paso a paso
The number of kits must divide 36 and 54, and be as large as possible, so find the GCF.
36 = 2^2 \times 3^2 and 54 = 2 \times 3^3. GCF = 2 \times 3^2 = 18. She can make 18 kits.
Pencils per kit: 36 \div 18 = 2.
(Erasers per kit: 54 \div 18 = 3.)
Answer: 2 pencils in each kit.
Check:18 kits \times 2 pencils = 36 and 18 \times 3 erasers = 54; nothing is left over. ✓
Tip: GCF problems hide three different numbers: the GCF (number of groups) and the amount of each item per group. Underline what the question asks for before choosing.
Explicación
El número de kits debe dividir a 36 y a 54 y ser lo más grande posible, así que busca el MCD.
Comprobación:18 kits \times 2 lápices = 36 y 18 \times 3 borradores = 54; no sobra nada. ✓
Consejo: Los problemas de MCD esconden tres números diferentes: el MCD (el número de grupos) y la cantidad de cada artículo por grupo. Subraya lo que pide la pregunta antes de elegir.
Ver en español
Pregunta
Una maestra tiene 36 lápices y 54 borradores. Quiere armar kits de útiles idénticos usando todos los lápices y borradores, y quiere tantos kits como sea posible.
¿Cuántos lápices habrá en cada kit?
Opciones
A. 2
B. 3
C. 6
D. 18
Pista
Primero encuentra el mayor número de kits: debe dividir tanto a 36 como a 54. Luego reparte los lápices entre esos kits.
Pregunta 16 de 36
Sin calculadoraCompletar
The prime factorization of 250 can be written as 2 \times 5^{n}.
What is the value of n?
n =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Divide 250 by 2 first. Then keep dividing what is left by 5 and count how many times you divide.
Solución paso a paso
Take out the factor 2: 250 \div 2 = 125.
Divide 125 by 5 repeatedly:
125 \div 5 = 25
25 \div 5 = 5
5 \div 5 = 1
You divided by 5three times, so 125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3.
So 250 = 2 \times 5^3, and n = 3.
Answer: n = 3.
Check:2 \times 5^3 = 2 \times 125 = 250. ✓
Tip: An exponent counts how many times a prime appears. A common slip is to write n = 2 because 250 "looks like" 2 \times 25 \times 5 — always multiply back to check.
Explicación
Saca el factor 2: 250 \div 2 = 125.
Divide 125 entre 5 varias veces:
125 \div 5 = 25
25 \div 5 = 5
5 \div 5 = 1
Dividiste entre 5tres veces, así que 125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3.
Entonces, 250 = 2 \times 5^3, y n = 3.
Respuesta: n = 3.
Comprobación:2 \times 5^3 = 2 \times 125 = 250. ✓
Consejo: Un exponente cuenta cuántas veces aparece un primo. Un error común es escribir n = 2 porque 250 "parece" 2 \times 25 \times 5; multiplica siempre de vuelta para comprobar.
Ver en español
Pregunta
La factorización en primos de 250 se puede escribir como 2 \times 5^{n}.
¿Cuál es el valor de n?
n = _____
Pista
Primero divide 250 entre 2. Luego sigue dividiendo lo que queda entre 5 y cuenta cuántas veces divides.
Pregunta 17 de 36
Sin calculadora
A craft store has two rolls of ribbon, one 72 inches long and one 120 inches long. The clerk will cut both rolls into pieces that are all the same length, as long as possible, with no ribbon left over.
How many pieces of ribbon will there be in all?
Pista
The piece length must divide both 72 and 120. Find the largest such length, then count the pieces from each roll.
Solución paso a paso
The piece length must divide 72 and 120 and be as long as possible → GCF.
Comprobación:8 \times 24 = 192 = 72 + 120, así que se usa todo el listón. ✓
Consejo: El MCD es la longitud de cada pedazo. La pregunta pide el número de pedazos, así que termina con longitud total \div longitud del pedazo.
Ver en español
Pregunta
Una tienda de manualidades tiene dos rollos de listón, uno de 72 pulgadas de largo y otro de 120 pulgadas de largo. El empleado cortará los dos rollos en pedazos que tengan todos la misma longitud, lo más largos posible, sin que sobre listón.
¿Cuántos pedazos de listón habrá en total?
Opciones
A. 8
B. 16
C. 24
D. 360
Pista
La longitud de los pedazos debe dividir tanto a 72 como a 120. Encuentra la mayor longitud que cumpla esto y luego cuenta los pedazos de cada rollo.
Pregunta 18 de 36
Sin calculadora
Which situation is solved by finding the least common multiple (LCM)?
Pista
LCM questions ask when two repeating things happen together again, or the smallest amount that both numbers divide. GCF questions split things into equal groups.
Solución paso a paso
Look at what each situation asks for:
Packing 24 apples and 30 oranges into identical bags: splitting into equal groups → GCF (6 bags).
Two sprinklers that turn on every 15 and every 20 minutes: when do they turn on together again? Times are multiples of each number → LCM (60 minutes).
Cutting 18-ft and 27-ft boards into the longest equal pieces: the piece length divides both → GCF (9 ft).
Total time of a 15-minute and a 20-minute task: just add → 35 minutes. No GCF or LCM.
Answer: the sprinklers.
Check:60 \div 15 = 4 and 60 \div 20 = 3, and no smaller time works (30 \div 20 and 45 \div 20 are not whole). ✓
Tip: Ask yourself: is the answer smaller than the given numbers (pieces, groups) → GCF; or larger (a later time, a bigger amount) → LCM.
Explicación
Fíjate en lo que pide cada situación:
Empacar 24 manzanas y 30 naranjas en bolsas idénticas: repartir en grupos iguales → MCD (6 bolsas).
Dos rociadores que se encienden cada 15 y cada 20 minutos: ¿cuándo se vuelven a encender juntos? Los tiempos son múltiplos de cada número → mcm (60 minutos).
Cortar tablas de 18 ft y 27 ft en los pedazos iguales más largos: la longitud del pedazo divide a las dos → MCD (9 ft).
Tiempo total de una tarea de 15 minutos y otra de 20 minutos: solo se suma → 35 minutos. Ni MCD ni mcm.
Respuesta: los rociadores.
Comprobación:60 \div 15 = 4 y 60 \div 20 = 3, y ningún tiempo menor funciona (30 \div 20 y 45 \div 20 no dan números enteros). ✓
Consejo: Pregúntate: ¿la respuesta es menor que los números dados (pedazos, grupos)? → MCD. ¿Es mayor (un momento posterior, una cantidad más grande)? → mcm.
Ver en español
Pregunta
¿Qué situación se resuelve encontrando el mínimo común múltiplo (mcm)?
Opciones
A. Encontrar cuándo dos aspersores que se encienden cada 15 y cada 20 minutos volverán a encenderse juntos
B. Empacar 24 manzanas y 30 naranjas en bolsas idénticas sin que sobre ninguna
C. Cortar una tabla de 18 ft y otra de 27 ft en los pedazos iguales más largos posible
D. Encontrar el tiempo total de una tarea de 15 minutos seguida de una tarea de 20 minutos
Pista
Las preguntas de mcm preguntan cuándo dos cosas que se repiten vuelven a coincidir, o cuál es la menor cantidad que es divisible entre ambos números. Las preguntas de MCD reparten cosas en grupos iguales.
Pregunta 19 de 36
Sin calculadora
Which statement about prime numbers is true?
Pista
Recall the definition: a prime number has exactly two different factors, 1 and itself. Test each statement with examples.
Solución paso a paso
Test each statement:
"1 is a prime number."1 has only one factor (itself). A prime needs exactly two factors. False.
"Every odd number is prime."9 = 3 \times 3 and 15 = 3 \times 5 are odd but not prime. False.
"2 is the only even prime number."2 has factors 1 and 2, so it is prime. Every other even number has 2 as an extra factor, so it is composite. True.
"51 is prime because it is odd and does not end in 5."5 + 1 = 6 is divisible by 3, so 51 = 3 \times 17. False.
Answer: 2 is the only even prime number.
Check: even numbers 4, 6, 8, 10, \ldots all have the factors 1, 2 and themselves — at least three factors. ✓
Tip: To disprove a statement that says "every" or "always", one counterexample is enough. To prove a number is not prime, find one factor besides 1 and itself.
Explicación
Pon a prueba cada afirmación:
"1 es un número primo".1 tiene solo un factor (él mismo). Un primo necesita exactamente dos factores. Falsa.
"Todo número impar es primo".9 = 3 \times 3 y 15 = 3 \times 5 son impares, pero no son primos. Falsa.
"2 es el único número primo par".2 tiene los factores 1 y 2, así que es primo. Todos los demás números pares tienen el 2 como factor extra, así que son compuestos. Verdadera.
"51 es primo porque es impar y no termina en 5".5 + 1 = 6 es divisible entre 3, así que 51 = 3 \times 17. Falsa.
Respuesta: 2 es el único número primo par.
Comprobación: los números pares 4, 6, 8, 10, \ldots tienen todos los factores 1, 2 y ellos mismos: al menos tres factores. ✓
Consejo: Para refutar una afirmación que dice "todo" o "siempre", basta con un contraejemplo. Para probar que un número no es primo, busca un factor distinto de 1 y del número mismo.
Ver en español
Pregunta
¿Qué afirmación sobre los números primos es verdadera?
Opciones
A. 1 es un número primo.
B. 2 es el único número primo par.
C. Todo número impar es primo.
D. 51 es primo porque es impar y no termina en 5.
Pista
Recuerda la definición: un número primo tiene exactamente dos factores diferentes, 1 y él mismo. Prueba cada afirmación con ejemplos.
Pregunta 20 de 36
Sin calculadoraCompletar
A baker has 48 cupcakes. She wants to arrange them in a rectangle with the same number of cupcakes in every row and no cupcakes left over. (One row of 48 counts, and so does 48 rows of 1.)
How many different numbers of rows are possible?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Each possible number of rows must be a factor of 48. List the factor pairs of 48 carefully.
Solución paso a paso
The number of rows must divide 48 evenly, so we need all the factors of 48.
List factor pairs:
1 \times 48
2 \times 24
3 \times 16
4 \times 12
6 \times 8
Factors: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. That is 10 factors.
Each factor gives a different number of rows (for example, 4 rows of 12 is different from 12 rows of 4).
Answer: 10 different numbers of rows.
Check (prime factors):48 = 2^4 \times 3. The number of factors is (4 + 1)(1 + 1) = 5 \times 2 = 10. ✓
Tip: Counting only the factor pairs (5) is the classic mistake. Each pair gives two different row counts unless the number is a perfect square.
Explicación
El número de filas debe dividir exactamente a 48, así que necesitamos todos los factores de 48.
Cada factor da un número de filas diferente (por ejemplo, 4 filas de 12 es diferente de 12 filas de 4).
Respuesta: 10 números de filas diferentes.
Comprobación (factores primos):48 = 2^4 \times 3. El número de factores es (4 + 1)(1 + 1) = 5 \times 2 = 10. ✓
Consejo: Contar solo los pares de factores (5) es el error clásico. Cada par da dos números de filas diferentes, a menos que el número sea un cuadrado perfecto.
Ver en español
Pregunta
Una panadera tiene 48 pastelitos. Quiere acomodarlos en un rectángulo con la misma cantidad de pastelitos en cada fila y sin que sobre ninguno. (Una fila de 48 cuenta, y también 48 filas de 1).
¿Cuántos números de filas diferentes son posibles?
Pista
Cada número posible de filas debe ser un factor de 48. Haz con cuidado una lista de los pares de factores de 48.
Pregunta 21 de 36
Sin calculadora
What is the greatest common factor of 18, 30, and 42?
Pista
Write all three numbers as products of primes. The GCF uses only primes that appear in all three.
Solución paso a paso
Prime factorizations:
18 = 2 \times 3^2
30 = 2 \times 3 \times 5
42 = 2 \times 3 \times 7
Primes in all three: 2 and 3.
Smallest power of each: 2^1 and 3^1.
GCF = 2 \times 3 = 6.
Answer: 6.
Check:18 \div 6 = 3, 30 \div 6 = 5, 42 \div 6 = 7. The results 3, 5, 7 share no common factor except 1. ✓
Tip:2 and 3 are also common factors, but they are not the greatest. Multiply all the shared primes together to get the GCF.
Explicación
Factorizaciones en primos:
18 = 2 \times 3^2
30 = 2 \times 3 \times 5
42 = 2 \times 3 \times 7
Primos que están en los tres: 2 y 3.
La potencia más pequeña de cada uno: 2^1 y 3^1.
MCD = 2 \times 3 = 6.
Respuesta: 6.
Comprobación:18 \div 6 = 3, 30 \div 6 = 5, 42 \div 6 = 7. Los resultados 3, 5, 7 no comparten ningún factor común excepto 1. ✓
Consejo:2 y 3 también son factores comunes, pero no son el máximo. Multiplica todos los primos compartidos para obtener el MCD.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el máximo común divisor de 18, 30 y 42?
Opciones
A. 2
B. 3
C. 6
D. 630
Pista
Escribe los tres números como productos de primos. El MCD usa solo los primos que aparecen en los tres.
Pregunta 22 de 36
Sin calculadoraCompletar
What is the least common multiple of 8, 12, and 20?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Write each number as a product of primes. The LCM uses every prime that appears, with its largest power.
Solución paso a paso
Prime factorizations:
8 = 2^3
12 = 2^2 \times 3
20 = 2^2 \times 5
Every prime that appears: 2, 3, 5.
Largest power of each: 2^3, 3^1, 5^1.
LCM = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 15 = 120.
Answer: 120.
Check:120 \div 8 = 15, 120 \div 12 = 10, 120 \div 20 = 6 — all whole numbers. A smaller multiple of 20 such as 60 fails, because 60 \div 8 = 7.5. ✓
Tip: Multiplying all three (8 \times 12 \times 20 = 1{,}920) gives a common multiple, but far from the least. Using 2^2 instead of 2^3 gives 60, which is not a multiple of 8.
Explicación
Factorizaciones en primos:
8 = 2^3
12 = 2^2 \times 3
20 = 2^2 \times 5
Todos los primos que aparecen: 2, 3, 5.
La potencia más grande de cada uno: 2^3, 3^1, 5^1.
mcm = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 15 = 120.
Respuesta: 120.
Comprobación:120 \div 8 = 15, 120 \div 12 = 10, 120 \div 20 = 6: todos son números enteros. Un múltiplo de 20 más pequeño, como 60, no sirve, porque 60 \div 8 = 7.5. ✓
Consejo: Multiplicar los tres (8 \times 12 \times 20 = 1{,}920) da un múltiplo común, pero está lejos de ser el mínimo. Usar 2^2 en vez de 2^3 da 60, que no es múltiplo de 8.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 8, 12 y 20?
Pista
Escribe cada número como producto de primos. El mcm usa todos los primos que aparecen, cada uno con su potencia mayor.
Pregunta 23 de 36
Sin calculadora
A whole number n is greater than 50, and the greatest common factor of n and 36 is 12.
Which of these could be n?
Pista
Test each choice against both conditions. For the GCF, write each number as a product of primes and compare with 36 = 2^2 \times 3^2.
Solución paso a paso
We need n > 50and\text{GCF}(n, 36) = 12. Note 36 = 2^2 \times 3^2.
Check:60 \div 12 = 5 and 36 \div 12 = 3; 5 and 3 share no factor except 1, so 12 really is the greatest. ✓
Tip: Being a multiple of 12 is not enough — 72 is a multiple of 12, but it shares the bigger factor 36 with 36. Check every condition the question gives.
Explicación
Necesitamos n > 50y\text{MCD}(n, 36) = 12. Observa que 36 = 2^2 \times 3^2.
48:48 = 2^4 \times 3, así que \text{MCD}(48, 36) = 2^2 \times 3 = 12 ✓, pero 48 < 50 ✗.
54:54 = 2 \times 3^3, así que \text{MCD}(54, 36) = 2 \times 3^2 = 18 ✗.
60:60 = 2^2 \times 3 \times 5, así que \text{MCD}(60, 36) = 2^2 \times 3 = 12 ✓, y 60 > 50 ✓.
72:72 = 2^3 \times 3^2, así que \text{MCD}(72, 36) = 2^2 \times 3^2 = 36 ✗.
Respuesta: n = 60.
Comprobación:60 \div 12 = 5 y 36 \div 12 = 3; 5 y 3 no comparten ningún factor excepto 1, así que 12 de verdad es el máximo. ✓
Consejo: Ser múltiplo de 12 no basta: 72 es múltiplo de 12, pero comparte con 36 el factor más grande 36. Revisa cada condición que da la pregunta.
Ver en español
Pregunta
Un número entero n es mayor que 50, y el máximo común divisor de n y 36 es 12.
¿Cuál de estos números podría ser n?
Opciones
A. 48
B. 54
C. 60
D. 72
Pista
Prueba cada opción con las dos condiciones. Para el MCD, escribe cada número como producto de primos y compáralo con 36 = 2^2 \times 3^2.
Pregunta 24 de 36
A rectangular floor measures 84 inches by 120 inches. It will be covered with identical square tiles, with no gaps and no cut tiles. The tiles should be as large as possible.
How many tiles are needed?
Pista
The side of each tile must divide both 84 and 120 evenly. Find the largest such side first, then count tiles along each edge.
Solución paso a paso
The tile side must divide 84 and 120, and be as large as possible → find the GCF.
84 = 2^2 \times 3 \times 7 and 120 = 2^3 \times 3 \times 5. GCF = 2^2 \times 3 = 12. Each tile is 12 in by 12 in.
Tiles along the 84-inch side: 84 \div 12 = 7.
Tiles along the 120-inch side: 120 \div 12 = 10.
Total tiles: 7 \times 10 = 70.
Answer: 70 tiles.
Check (area): floor area 84 \times 120 = 10{,}080 in²; one tile is 12^2 = 144 in²; 10{,}080 \div 144 = 70. ✓
Tip: Multi-step GED problems often stop at a value you need along the way (here, 12). Before choosing, reread the question: it asks for the number of tiles, not the tile size.
Explicación
El lado de la loseta debe dividir a 84 y a 120, y ser lo más grande posible → busca el MCD.
84 = 2^2 \times 3 \times 7 y 120 = 2^3 \times 3 \times 5. MCD = 2^2 \times 3 = 12. Cada loseta mide 12 in por 12 in.
Losetas a lo largo del lado de 84 pulgadas: 84 \div 12 = 7.
Losetas a lo largo del lado de 120 pulgadas: 120 \div 12 = 10.
Total de losetas: 7 \times 10 = 70.
Respuesta: 70 losetas.
Comprobación (con el área): área del piso 84 \times 120 = 10{,}080 in²; una loseta mide 12^2 = 144 in²; 10{,}080 \div 144 = 70. ✓
Consejo: Los problemas de varios pasos del GED® a menudo te dejan en un valor que necesitas en el camino (aquí, 12). Antes de elegir, vuelve a leer la pregunta: pide el número de losetas, no el tamaño de la loseta.
Ver en español
Pregunta
Un piso rectangular mide 84 pulgadas por 120 pulgadas. Se va a cubrir con losetas cuadradas idénticas, sin huecos y sin cortar losetas. Las losetas deben ser lo más grandes posible.
¿Cuántas losetas se necesitan?
Opciones
A. 12
B. 70
C. 280
D. 840
Pista
El lado de cada loseta debe dividir exactamente a 84 y a 120. Primero encuentra el lado más grande que cumpla esto y luego cuenta las losetas a lo largo de cada borde.
Pregunta 25 de 36
Sin calculadora
Ana waters her ferns every 4 days and her cactus every 10 days. She watered both plants on June 1.
On what date will she next water both plants on the same day? (June has 30 days.)
Pista
Find the number of days until both schedules line up, then count forward from June 1.
Solución paso a paso
Fern days are multiples of 4 after June 1; cactus days are multiples of 10.
The first number of days on both lists is the LCM of 4 and 10.
4 = 2^2 and 10 = 2 \times 5, so LCM = 2^2 \times 5 = 20 days.
Count forward: June 1 + 20 days = June 21.
Answer: June 21.
Check: from June 1 to June 21 is 20 days; 20 \div 4 = 5 fern waterings and 20 \div 10 = 2 cactus waterings. ✓
Tip: Add the number of days to the start date: June 1 + 20 = June 21, not June 20. Product trap: 4 \times 10 = 40 days would skip the June 21 match.
Explicación
Los días de los helechos son múltiplos de 4 después del 1 de junio; los días del cactus son múltiplos de 10.
El primer número de días que está en las dos listas es el mcm de 4 y 10.
4 = 2^2 y 10 = 2 \times 5, así que mcm = 2^2 \times 5 = 20 días.
Cuenta hacia adelante desde el 1 de junio: día 1 + 20 días = 21 de junio.
Respuesta: el 21 de junio.
Comprobación: del 1 al 21 de junio hay 20 días; 20 \div 4 = 5 riegos de los helechos y 20 \div 10 = 2 riegos del cactus. ✓
Consejo: Suma el número de días a la fecha de inicio: día 1 + 20 = 21 de junio, no 20 de junio. Trampa del producto: 4 \times 10 = 40 días se saltaría la coincidencia del 21 de junio.
Ver en español
Pregunta
Ana riega sus helechos cada 4 días y su cactus cada 10 días. Regó las dos plantas el 1 de junio.
¿En qué fecha volverá a regar las dos plantas el mismo día por siguiente vez? (Junio tiene 30 días).
Opciones
A. 3 de junio
B. 15 de junio
C. 21 de junio
D. 11 de julio
Pista
Encuentra el número de días que pasan hasta que los dos horarios coincidan y luego cuenta hacia adelante desde el 1 de junio.
Pregunta 26 de 36
Sin calculadoraCompletar
A community food bank has 72 cans of soup, 108 boxes of pasta, and 60 jars of sauce. Volunteers will pack identical bags, using all of the food, with each bag containing the same number of each item.
What is the greatest number of bags they can pack?
bags
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The number of bags must divide 72, 108 and 60. Use prime factorization for all three numbers.
Solución paso a paso
The number of bags must divide all three amounts and be as large as possible → GCF of 72, 108, 60.
Prime factorizations:
72 = 2^3 \times 3^2
108 = 2^2 \times 3^3
60 = 2^2 \times 3 \times 5
Shared primes with the smallest powers: 2^2 \times 3 = 12.
Each bag gets 72 \div 12 = 6 cans, 108 \div 12 = 9 boxes, and 60 \div 12 = 5 jars.
Answer: 12 bags.
Check:12 \times 6 = 72, 12 \times 9 = 108, 12 \times 5 = 60 — nothing left over. And 6, 9, 5 share no common factor, so more bags are impossible. ✓
Tip: With three numbers, a prime must appear in all three to count. 5 is in 60 only, so it is not part of the GCF.
Explicación
El número de bolsas debe dividir a las tres cantidades y ser lo más grande posible → MCD de 72, 108, 60.
Factorizaciones en primos:
72 = 2^3 \times 3^2
108 = 2^2 \times 3^3
60 = 2^2 \times 3 \times 5
Primos compartidos con las potencias más pequeñas: 2^2 \times 3 = 12.
Cada bolsa recibe 72 \div 12 = 6 latas, 108 \div 12 = 9 cajas y 60 \div 12 = 5 frascos.
Respuesta: 12 bolsas.
Comprobación:12 \times 6 = 72, 12 \times 9 = 108, 12 \times 5 = 60: no sobra nada. Y 6, 9, 5 no comparten ningún factor común, así que es imposible tener más bolsas. ✓
Consejo: Con tres números, un primo debe aparecer en los tres para contar. El 5 solo está en 60, así que no es parte del MCD.
Ver en español
Pregunta
Un banco de alimentos comunitario tiene 72 latas de sopa, 108 cajas de pasta y 60 frascos de salsa. Los voluntarios van a empacar bolsas idénticas usando toda la comida, y cada bolsa tendrá la misma cantidad de cada artículo.
¿Cuál es el mayor número de bolsas que pueden empacar?
_____ bolsas
Pista
El número de bolsas debe dividir a 72, 108 y 60. Usa la factorización en primos de los tres números.
Pregunta 27 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
A school is planning seating for 3{,}960 people at a graduation. The planner wants rows that all hold the same number of seats, with no empty seats. Which row sizes would work? Choose all that apply.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Use divisibility rules: last three digits for 8, last four digits for 16, digit sum for 9, alternating sum of digits for 11, last two digits for 25.
Solución paso a paso
8: last three digits 960; 960 \div 8 = 120 ✓
9: digit sum 3 + 9 + 6 + 0 = 18, divisible by 9 ✓
11: alternating sum 3 - 9 + 6 - 0 = 0, which is divisible by 11 ✓
16:3{,}960 \div 16 = 247.5 ✗ (only three factors of 2)
25: last two digits 60 are not 00, 25, 50 or 75 ✗
7:3{,}960 \div 7 \approx 565.7 ✗
Answer: 8, 9, and 11.
Check (prime factorization):3{,}960 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 11. It contains 2^3 = 8, 3^2 = 9 and 11, but not 2^4 = 16, 5^2 = 25 or 7. ✓
Tip: When divisibility rules get long, the prime factorization answers every question at once: a number divides 3{,}960 only if all of its prime factors fit inside 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 11.
Explicación
8: las últimas tres cifras son 960; 960 \div 8 = 120 ✓
9: suma de dígitos 3 + 9 + 6 + 0 = 18, divisible entre 9 ✓
11: suma alternada 3 - 9 + 6 - 0 = 0, que es divisible entre 11 ✓
16:3{,}960 \div 16 = 247.5 ✗ (solo tiene tres factores 2)
25: las últimas dos cifras, 60, no son 00, 25, 50 ni 75 ✗
7:3{,}960 \div 7 \approx 565.7 ✗
Respuesta: 8, 9 y 11.
Comprobación (factorización en primos):3{,}960 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 11. Contiene 2^3 = 8, 3^2 = 9 y 11, pero no 2^4 = 16, 5^2 = 25 ni 7. ✓
Consejo: Cuando las reglas de divisibilidad se vuelven largas, la factorización en primos responde todas las preguntas a la vez: un número divide a 3{,}960 solo si todos sus factores primos caben dentro de 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 11.
Ver en español
Pregunta
Una escuela está planeando los asientos para 3{,}960 personas en una graduación. El organizador quiere filas que tengan todas la misma cantidad de asientos, sin asientos vacíos. ¿Qué tamaños de fila funcionarían? Elige todos los que correspondan.
Opciones
A. 8
B. 9
C. 11
D. 16
E. 25
F. 7
Pista
Usa las reglas de divisibilidad: los tres últimos dígitos para 8, los cuatro últimos dígitos para 16, la suma de los dígitos para 9, la suma alternada de los dígitos para 11 y los dos últimos dígitos para 25.
Pregunta 28 de 36
Sin calculadora
A community sports league has 45 men and 60 women signed up. The organizer wants to form as many teams as possible so that every team has the same number of men and the same number of women, with everyone on a team.
How many people will be on each team?
Pista
First find the greatest number of teams. Then find how many men and how many women go on each team, and add.
Solución paso a paso
The number of teams must divide 45 and 60 and be as large as possible → GCF.
Consejo: Los problemas de MCD de varios pasos casi siempre piden algo después del MCD. Aquí el MCD (15) es el número de equipos; la pregunta pide el tamaño de cada equipo.
Ver en español
Pregunta
Una liga deportiva comunitaria tiene 45 hombres y 60 mujeres inscritos. El organizador quiere formar tantos equipos como sea posible, de modo que cada equipo tenga la misma cantidad de hombres y la misma cantidad de mujeres, y que todos estén en un equipo.
¿Cuántas personas habrá en cada equipo?
Opciones
A. 7
B. 15
C. 21
D. 180
Pista
Primero encuentra el mayor número de equipos. Luego encuentra cuántos hombres y cuántas mujeres van en cada equipo, y súmalos.
Pregunta 29 de 36
Sin calculadora
Jamal found the least common multiple of 12 and 18. Here is his work.
Step 1:12 = 2^2 \times 3
Step 2:18 = 2 \times 3^2
Step 3: Take each prime with its smaller power: 2 \times 3.
Step 4: LCM = 6.
In which step did Jamal make his first error?
Pista
Multiply out Steps 1 and 2 to check them. Then ask: does the LCM use the smaller or the larger power of each prime?
Solución paso a paso
Step 1:2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12. Correct.
Step 2:2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18. Correct.
Step 3: Taking the smaller powers gives the GCF, not the LCM. For the LCM, take each prime with its larger power: 2^2 \times 3^2. This is the first error.
Step 4: follows from Step 3. The correct LCM is 2^2 \times 3^2 = 36.
Answer: Step 3.
Check:6 cannot be a multiple of 12 — it is smaller than 12. And 36 \div 12 = 3, 36 \div 18 = 2. ✓
Tip: Memory aid: GCF = Give up the extra powers (smaller); LCM = Larger powers. A quick sanity check: the LCM is never smaller than the larger number.
Explicación
Paso 1:2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12. Correcto.
Paso 2:2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18. Correcto.
Paso 3: Tomar las potencias menores da el MCD, no el mcm. Para el mcm, toma cada primo con su potencia mayor: 2^2 \times 3^2. Este es el primer error.
Paso 4: sale del Paso 3. El mcm correcto es 2^2 \times 3^2 = 36.
Respuesta: el Paso 3.
Comprobación:6 no puede ser múltiplo de 12, porque es menor que 12. Y 36 \div 12 = 3, 36 \div 18 = 2. ✓
Consejo: Para recordarlo: el MCD usa las potencias menores (es el máximo número que cabe en los dos); el mcm usa las potencias mayores. Una comprobación rápida: el mcm nunca es menor que el número más grande.
Ver en español
Pregunta
Jamal encontró el mínimo común múltiplo de 12 y 18. Este es su trabajo.
Paso 1:12 = 2^2 \times 3
Paso 2:18 = 2 \times 3^2
Paso 3: Toma cada primo con su potencia menor: 2 \times 3.
Paso 4: mcm = 6.
¿En qué paso cometió Jamal su primer error?
Opciones
A. Paso 1
B. Paso 2
C. Paso 4
D. Paso 3
Pista
Multiplica lo que dicen los pasos 1 y 2 para comprobarlos. Luego pregúntate: ¿el mcm usa la potencia menor o la mayor de cada primo?
Pregunta 30 de 36
Completar
Three warning lights blink at regular intervals. The first blinks every 4 seconds, the second every 6 seconds, and the third every 10 seconds. All three blink together at exactly 12:00 noon.
How many more times will all three blink together during the next 10 minutes (up to and including 12:10)?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
First find how often all three blink together (the LCM of 4, 6 and 10). Then work in seconds: 10 minutes = ? seconds.
Count the shared blinks after noon: 600 \div 60 = 10. They happen at 1, 2, 3, ..., 10 minutes after noon.
Answer: 10 times.
Check: at t = 60 s, 60 \div 4 = 15, 60 \div 6 = 10, 60 \div 10 = 6 — all whole numbers, and no smaller positive time works (for example, 30 \div 4 = 7.5). ✓
Tip: For three numbers, use prime factorization rather than multiplying (4 \times 6 \times 10 = 240 is too big and gives only 2 shared blinks). Also notice the question excludes the 12:00 blink ("more times").
Cuenta los parpadeos juntos después del mediodía: 600 \div 60 = 10. Ocurren a los 1, 2, 3, ..., 10 minutos después del mediodía.
Respuesta: 10 veces.
Comprobación: en t = 60 s, 60 \div 4 = 15, 60 \div 6 = 10, 60 \div 10 = 6: todos son números enteros, y ningún tiempo positivo menor funciona (por ejemplo, 30 \div 4 = 7.5). ✓
Consejo: Con tres números, usa la factorización en primos en lugar de multiplicar (4 \times 6 \times 10 = 240 es demasiado grande y da solo 2 parpadeos juntos). Fíjate también en que la pregunta no cuenta el parpadeo de las 12:00 ("veces más").
Ver en español
Pregunta
Tres luces de advertencia parpadean a intervalos regulares. La primera parpadea cada 4 segundos, la segunda cada 6 segundos y la tercera cada 10 segundos. Las tres parpadean juntas exactamente a las 12:00 del mediodía.
¿Cuántas veces más parpadearán las tres juntas durante los 10 minutos siguientes (hasta las 12:10, incluida esa hora)?
Pista
Primero encuentra cada cuánto parpadean las tres juntas (el mcm de 4, 6 y 10). Luego trabaja en segundos: 10 minutos = ¿cuántos segundos?
Pregunta 31 de 36
Two whole numbers have a greatest common factor of 6 and a least common multiple of 72. One of the numbers is 18.
What is the other number?
Pista
For any two whole numbers, (GCF) \times (LCM) equals the product of the two numbers.
Solución paso a paso
Use the rule \text{GCF} \times \text{LCM} = a \times b.
Verify with prime factors: 18 = 2 \times 3^2 and 24 = 2^3 \times 3.
GCF = 2 \times 3 = 6 ✓
LCM = 2^3 \times 3^2 = 72 ✓
Answer: 24.
Check: multiples of 24: 24, 48, 72 — and 72 \div 18 = 4, so 72 is the first common multiple. ✓
Tip: When a question gives you some facts and asks for a missing number, try each answer choice — plugging in is fast here. 12 gives the right GCF but the wrong LCM (36).
Explicación
Usa la regla \text{MCD} \times \text{mcm} = a \times b.
Sustituye: 6 \times 72 = 18 \times b, así que 432 = 18b.
Resuelve: b = 432 \div 18 = 24.
Verifica con factores primos: 18 = 2 \times 3^2 y 24 = 2^3 \times 3.
MCD = 2 \times 3 = 6 ✓
mcm = 2^3 \times 3^2 = 72 ✓
Respuesta: 24.
Comprobación: múltiplos de 24: 24, 48, 72; y 72 \div 18 = 4, así que 72 es el primer múltiplo común. ✓
Consejo: Cuando una pregunta te da algunos datos y pide un número que falta, prueba cada opción de respuesta: aquí sustituir es rápido. 12 da el MCD correcto, pero el mcm incorrecto (36).
Ver en español
Pregunta
Dos números enteros tienen un máximo común divisor de 6 y un mínimo común múltiplo de 72. Uno de los números es 18.
¿Cuál es el otro número?
Opciones
A. 4
B. 12
C. 24
D. 432
Pista
Para dos números enteros cualesquiera, (MCD) \times (mcm) es igual al producto de los dos números.
Pregunta 32 de 36
Sin calculadora
Which number is a multiple of both6 and 15 but is not a multiple of 9?
Pista
A number that is a multiple of both 6 and 15 must be a multiple of their LCM. Then test each choice for 9 with the digit sum.
Solución paso a paso
A common multiple of 6 and 15 must be a multiple of \text{LCM}(6, 15). 6 = 2 \times 3 and 15 = 3 \times 5, so LCM = 2 \times 3 \times 5 = 30.
Test each choice:
45: 45 \div 30 = 1.5 ✗ (it is not even, so not a multiple of 6)
90: 90 \div 30 = 3 ✓, but digit sum 9 → multiple of 9 ✗
120: 120 \div 30 = 4 ✓, digit sum 3 → not a multiple of 9 ✓
180: 180 \div 30 = 6 ✓, but digit sum 9 → multiple of 9 ✗
Consejo: "Múltiplo de los dos" significa "múltiplo del mcm". Luego revisa la condición extra: el GED® muchas veces agrega un "pero no" para atrapar a quienes se detienen antes de tiempo.
Ver en español
Pregunta
¿Qué número es múltiplo tanto de 6 como de 15, pero no es múltiplo de 9?
Opciones
A. 45
B. 90
C. 120
D. 180
Pista
Un número que es múltiplo de 6 y de 15 debe ser múltiplo de su mcm. Luego prueba cada opción con 9 usando la suma de los dígitos.
Pregunta 33 de 36
Completar
Two gears turn together. Gear A has 18 teeth. A mark on each gear lines up at the start. The marks line up again for the first time after gear A makes 5 full turns and gear B makes 3 full turns.
How many teeth does gear B have?
teeth
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
When the gears mesh, the same number of teeth pass the contact point on both gears. How many teeth pass while gear A makes 5 turns?
Solución paso a paso
While gear A turns, its teeth pass the meeting point one by one. In 5 turns, 5 \times 18 = 90 teeth pass.
Gear B meshes with A, so exactly 90 of B's teeth pass too.
Gear B makes 3 turns in that time, so B has 90 \div 3 = 30 teeth.
Confirm it is the first time: the marks line up when the number of passed teeth is a common multiple of 18 and 30. \text{LCM}(18, 30): 18 = 2 \times 3^2, 30 = 2 \times 3 \times 5, LCM = 2 \times 3^2 \times 5 = 90. ✓
Answer: 30 teeth.
Check:90 \div 18 = 5 turns of A and 90 \div 30 = 3 turns of B, and 90 is the least common multiple, so this is the first time. ✓
Tip: Working backwards, find the shared total first (90), then divide. Always confirm both facts: if B had 15 teeth, the marks would also first line up after \text{LCM}(18, 15) = 90 teeth, but B would make 6 turns, not 3.
Explicación
Mientras el engranaje A gira, sus dientes pasan uno por uno por el punto de contacto. En 5 vueltas pasan 5 \times 18 = 90 dientes.
El engranaje B encaja con A, así que también pasan exactamente 90 dientes de B.
El engranaje B da 3 vueltas en ese tiempo, así que B tiene 90 \div 3 = 30 dientes.
Confirma que es la primera vez: las marcas se alinean cuando el número de dientes que pasaron es un múltiplo común de 18 y 30. \text{mcm}(18, 30): 18 = 2 \times 3^2, 30 = 2 \times 3 \times 5, mcm = 2 \times 3^2 \times 5 = 90. ✓
Respuesta: 30 dientes.
Comprobación:90 \div 18 = 5 vueltas de A y 90 \div 30 = 3 vueltas de B, y 90 es el mínimo común múltiplo, así que es la primera vez. ✓
Consejo: Trabajando al revés, halla primero el total compartido (90) y luego divide. Confirma siempre los dos datos: si B tuviera 15 dientes, las marcas también se alinearían por primera vez después de \text{mcm}(18, 15) = 90 dientes, pero B daría 6 vueltas, no 3.
Ver en español
Pregunta
Dos engranajes giran juntos. El engranaje A tiene 18 dientes. Al inicio, una marca en cada engranaje está alineada. Las marcas vuelven a alinearse por primera vez después de que el engranaje A da 5 vueltas completas y el engranaje B da 3 vueltas completas.
¿Cuántos dientes tiene el engranaje B?
_____ dientes
Pista
Cuando los engranajes encajan, pasa la misma cantidad de dientes por el punto de contacto en los dos engranajes. ¿Cuántos dientes pasan mientras el engranaje A da 5 vueltas?
Pregunta 34 de 36
Sin calculadora
An event planner has 78 sandwiches and 108 bottles of juice. She first sets aside 3 sandwiches and 3 bottles for the staff. She then puts the rest on tables so that every table gets the same number of sandwiches and the same number of bottles, with nothing left over.
What is the greatest number of tables she can set up?
Pista
Subtract the items set aside first. Then find the greatest number that divides both new amounts.
Solución paso a paso
Remove the staff items: 78 - 3 = 75 sandwiches and 108 - 3 = 105 bottles.
The number of tables must divide 75 and 105 and be as large as possible → GCF.
Consejo: Lee todas las condiciones antes de calcular. Usar los números originales 78 y 108 da un MCD de 6: un cálculo correcto con los números equivocados.
Ver en español
Pregunta
Una organizadora de eventos tiene 78 sándwiches y 108 botellas de jugo. Primero aparta 3 sándwiches y 3 botellas para el personal. Luego pone el resto en mesas de modo que cada mesa reciba la misma cantidad de sándwiches y la misma cantidad de botellas, sin que sobre nada.
¿Cuál es el mayor número de mesas que puede preparar?
Opciones
A. 5
B. 6
C. 15
D. 525
Pista
Primero resta los artículos que se apartaron. Luego encuentra el mayor número que divide a las dos cantidades nuevas.
Pregunta 35 de 36
A farmer divides a rectangular field that is 150 feet by 210 feet into identical square plots, with no land left over. The plots should be as large as possible. Each plot rents for $45 per season.
If every plot is rented, how much rent will the farmer collect in one season?
Pista
Find the largest square side that divides both 150 and 210. Then count the plots along each side, multiply, and finally multiply by the rent.
Solución paso a paso
The side of each square must divide 150 and 210 and be as large as possible → GCF.
Plots along each side: 150 \div 30 = 5 and 210 \div 30 = 7.
Number of plots: 5 \times 7 = 35.
Rent: 35 \times \$45 = \$1{,}575.
Answer: $1,575.
Check (area): field area 150 \times 210 = 31{,}500 ft²; one plot is 30^2 = 900 ft²; 31{,}500 \div 900 = 35 plots. ✓
Tip: This problem has three stages: GCF \rightarrow count \rightarrow money. Each wrong answer stops at, or skips, one of them. Write the stages down before you start.
Explicación
El lado de cada cuadrado debe dividir a 150 y a 210 y ser lo más grande posible → MCD.
Parcelas a lo largo de cada lado: 150 \div 30 = 5 y 210 \div 30 = 7.
Número de parcelas: 5 \times 7 = 35.
Renta: 35 \times \$45 = \$1{,}575.
Respuesta: $1,575.
Comprobación (área): área del terreno 150 \times 210 = 31{,}500 ft²; una parcela mide 30^2 = 900 ft²; 31{,}500 \div 900 = 35 parcelas. ✓
Consejo: Este problema tiene tres etapas: MCD \rightarrow conteo \rightarrow dinero. Cada respuesta incorrecta se detiene en una de ellas o se la salta. Escribe las etapas antes de empezar.
Ver en español
Pregunta
Un agricultor divide un terreno rectangular de 150 pies por 210 pies en parcelas cuadradas idénticas, sin que sobre terreno. Las parcelas deben ser lo más grandes posible. Cada parcela se renta por $45 por temporada.
Si se rentan todas las parcelas, ¿cuánto dinero de renta cobrará el agricultor en una temporada?
Opciones
A. $1,350
B. $1,575
C. $6,300
D. $47,250
Pista
Encuentra el lado de cuadrado más grande que divide tanto a 150 como a 210. Luego cuenta las parcelas a lo largo de cada lado, multiplica y, por último, multiplica por la renta.
Pregunta 36 de 36
Sin calculadora
Which statement is true for every pair of positive whole numbers a and b?
Pista
Try small examples, such as a = 4 and b = 8, or a = 3 and b = 7, against each statement.
Solución paso a paso
Test each statement with examples:
\text{GCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b. Example 6 and 8: 2 \times 24 = 48 = 6 \times 8 ✓. Example 4 and 8: 4 \times 8 = 32 = 4 \times 8 ✓. This always holds, because the GCF takes the smaller power of each prime and the LCM takes the larger, so together they use every prime factor exactly once from each number. True.
\text{LCM}(a, b) = a \times b. For 6 and 8: LCM = 24 \ne 48. False.
The GCF of two different primes is the smaller prime. For 3 and 7: the only common factor is 1. False.
The LCM is always greater than both numbers. For 4 and 8: LCM = 8, which equals b. False.
Answer: \text{GCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b.
Tip: For "always true" questions, hunt for one counterexample to knock out each wrong choice. Pairs where one number divides the other (like 4 and 8) and pairs of primes are great test cases.
Explicación
Pon a prueba cada afirmación con ejemplos:
\text{MCD}(a, b) \times \text{mcm}(a, b) = a \times b. Ejemplo con 6 y 8: 2 \times 24 = 48 = 6 \times 8 ✓. Ejemplo con 4 y 8: 4 \times 8 = 32 = 4 \times 8 ✓. Esto siempre se cumple, porque el MCD toma la potencia menor de cada primo y el mcm toma la mayor, así que juntos usan exactamente una vez cada factor primo de cada número. Verdadera.
\text{mcm}(a, b) = a \times b. Con 6 y 8: mcm = 24 \ne 48. Falsa.
El MCD de dos primos diferentes es el primo menor. Con 3 y 7: el único factor común es 1. Falsa.
El mcm siempre es mayor que los dos números. Con 4 y 8: mcm = 8, que es igual a b. Falsa.
Respuesta: \text{MCD}(a, b) \times \text{mcm}(a, b) = a \times b.
Consejo: En preguntas de "siempre es verdadero", busca un contraejemplo para descartar cada opción incorrecta. Los pares donde un número divide al otro (como 4 y 8) y los pares de primos son muy buenos casos de prueba.
Ver en español
Pregunta
¿Qué afirmación es verdadera para todos los pares de números enteros positivos a y b?
Opciones
A.\text{MCD}(a, b) \times \text{mcm}(a, b) = a \times b
B.\text{mcm}(a, b) = a \times b
C. El MCD de dos primos diferentes es el primo menor.
D. El mcm de a y b siempre es mayor que a y que b.
Pista
Prueba cada afirmación con ejemplos pequeños, como a = 4 y b = 8, o a = 3 y b = 7.
