What is the value of \dfrac{x + 6}{x - 1} when x = 3?
Pista
Work out the entire numerator and the entire denominator first, then divide.
Solución paso a paso
Substitute x = 3: \dfrac{(3) + 6}{(3) - 1}.
Numerator: 3 + 6 = 9.
Denominator: 3 - 1 = 2.
Divide: \dfrac{9}{2} = 4.5.
Answer: \dfrac{9}{2} (4.5)
Check:4.5 \times 2 = 9, which is the numerator ✓.
Tip: The fraction bar works like parentheses: (x + 6) \div (x - 1). Never divide just part of the top by part of the bottom. Substituting into parentheses first, \dfrac{(3) + 6}{(3) - 1}, keeps every number in the right place.
Explicación
Sustituye x = 3: \dfrac{(3) + 6}{(3) - 1}.
Numerador: 3 + 6 = 9.
Denominador: 3 - 1 = 2.
Divide: \dfrac{9}{2} = 4.5.
Respuesta: \dfrac{9}{2} (4.5)
Comprobación:4.5 \times 2 = 9, que es el numerador ✓.
Consejo: La barra de fracción funciona como paréntesis: (x + 6) \div (x - 1). Nunca dividas solo una parte de arriba entre una parte de abajo. Sustituir primero dentro de paréntesis, \dfrac{(3) + 6}{(3) - 1}, mantiene cada número en su lugar.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de \dfrac{x + 6}{x - 1} cuando x = 3?
Opciones
A.\dfrac{9}{4}
B.\dfrac{9}{2}
C.4
D.\dfrac{2}{9}
Pista
Calcula primero todo el numerador y todo el denominador, y luego divide.
Pregunta 2 de 36
Sin calculadoraCompletar
Evaluate \dfrac{2x^2 - 5}{x + 4} when x = -2.
Enter your answer as a decimal or fraction.
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Put -2 in parentheses. Remember that (-2)^2 is positive.
Solución paso a paso
Substitute with parentheses: \dfrac{2(-2)^2 - 5}{(-2) + 4}.
Exponent first: (-2)^2 = 4.
Numerator: 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3.
Denominator: -2 + 4 = 2.
Divide: \dfrac{3}{2} = 1.5.
Answer: 1.5 (or \dfrac{3}{2})
Check:1.5 \times 2 = 3 ✓. If you had used -2^2 = -4, the numerator would be -13 and the answer -6.5 — a sign that the parentheses were missing.
Tip: Squaring a negative number always gives a positive result. Write (-2)^2, never -2^2.
Comprobación:1.5 \times 2 = 3 ✓. Si hubieras usado -2^2 = -4, el numerador sería -13 y la respuesta -6.5, una señal de que faltaban los paréntesis.
Consejo: Elevar al cuadrado un número negativo siempre da un resultado positivo. Escribe (-2)^2, nunca -2^2.
Ver en español
Pregunta
Evalúa \dfrac{2x^2 - 5}{x + 4} cuando x = -2.
Escribe tu respuesta como decimal o fracción.
Pista
Pon -2 entre paréntesis. Recuerda que (-2)^2 es positivo.
Pregunta 3 de 36
Sin calculadora
For which value of x is the expression \dfrac{x + 2}{x^2 - 9} undefined?
Pista
A fraction is undefined when its denominator is 0.
Solución paso a paso
Set the denominator equal to zero: x^2 - 9 = 0.
Factor: (x - 3)(x + 3) = 0.
So x = 3 or x = -3.
Of the choices, only 3 appears.
Answer: x = 3
Check: At x = 3: denominator = 9 - 9 = 0, so \dfrac{5}{0} is undefined ✓. At x = -2: \dfrac{0}{-5} = 0, which is defined.
Tip: Ignore the numerator when looking for undefined values. A zero numerator only makes the whole fraction equal 0.
Explicación
Iguala el denominador a cero: x^2 - 9 = 0.
Factoriza: (x - 3)(x + 3) = 0.
Así que x = 3 o x = -3.
De las opciones, solo aparece 3.
Respuesta: x = 3
Comprobación: En x = 3: denominador = 9 - 9 = 0, así que \dfrac{5}{0} es indefinida ✓. En x = -2: \dfrac{0}{-5} = 0, que está definida.
Consejo: No tomes en cuenta el numerador cuando busques valores indefinidos. Un numerador cero solo hace que toda la fracción sea igual a 0.
Ver en español
Pregunta
¿Para qué valor de x es indefinida la expresión \dfrac{x + 2}{x^2 - 9}?
Opciones
A.-2
B.0
C.3
D.9
Pista
Una fracción es indefinida cuando su denominador es 0.
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
Replace x with 7 in the expression \dfrac{3x - 4}{x + 5} and simplify. What number do you get?
Pista
Find the value of the whole top and the whole bottom first. Only then divide.
Solución paso a paso
Substitute x = 7 using parentheses: \dfrac{3(7) - 4}{(7) + 5}.
Numerator: 3(7) = 21, and 21 - 4 = 17.
Denominator: 7 + 5 = 12.
Divide: \dfrac{17}{12}. This fraction does not reduce, because 17 is prime and does not divide 12.
Answer: \dfrac{17}{12} (about 1.42)
Check:\dfrac{17}{12} \times 12 = 17, which matches the numerator ✓. A value a little more than 1 makes sense, because the top (17) is a little more than the bottom (12).
Tip: Treat the fraction bar as two sets of parentheses: (3x - 4) \div (x + 5). Finish each part completely before you divide.
Divide: \dfrac{17}{12}. Esta fracción no se puede simplificar, porque 17 es primo y no divide a 12.
Respuesta: \dfrac{17}{12} (aproximadamente 1.42)
Comprobación:\dfrac{17}{12} \times 12 = 17, que coincide con el numerador ✓. Un valor un poco mayor que 1 tiene sentido, porque el de arriba (17) es un poco mayor que el de abajo (12).
Consejo: Trata la barra de fracción como dos pares de paréntesis: (3x - 4) \div (x + 5). Termina cada parte por completo antes de dividir.
Ver en español
Pregunta
Reemplaza x por 7 en la expresión \dfrac{3x - 4}{x + 5} y simplifica. ¿Qué número obtienes?
Opciones
A.\dfrac{17}{2}
B.\dfrac{17}{12}
C.\dfrac{12}{17}
D.\dfrac{25}{12}
Pista
Primero halla el valor de todo el numerador y de todo el denominador. Solo después divide.
Pregunta 5 de 36
Sin calculadoraCompletar
If x = -6, what does the expression \dfrac{x^2 + 3x}{x - 2} equal?
Write your answer as a decimal or a fraction.
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Put -6 in parentheses everywhere you see x. What sign does (-6)^2 have?
Solución paso a paso
Substitute with parentheses: \dfrac{(-6)^2 + 3(-6)}{(-6) - 2}.
Exponent first: (-6)^2 = 36 (a negative times a negative is positive).
Multiply: 3(-6) = -18.
Numerator: 36 + (-18) = 18.
Denominator: -6 - 2 = -8.
Divide: \dfrac{18}{-8} = -\dfrac{9}{4} = -2.25.
Answer: -2.25 (or -\dfrac{9}{4})
Check:-2.25 \times (-8) = 18, the numerator ✓. Positive top, negative bottom, so a negative answer is right.
Tip: If you type -6^2 the calculator gives -36. Always use parentheses: (-6)^2 = 36.
Explicación
Sustituye con paréntesis: \dfrac{(-6)^2 + 3(-6)}{(-6) - 2}.
Primero el exponente: (-6)^2 = 36 (un negativo por un negativo es positivo).
Multiplica: 3(-6) = -18.
Numerador: 36 + (-18) = 18.
Denominador: -6 - 2 = -8.
Divide: \dfrac{18}{-8} = -\dfrac{9}{4} = -2.25.
Respuesta: -2.25 (o -\dfrac{9}{4})
Comprobación:-2.25 \times (-8) = 18, el numerador ✓. Arriba positivo y abajo negativo, así que una respuesta negativa es correcta.
Consejo: Si escribes -6^2, la calculadora da -36. Usa siempre paréntesis: (-6)^2 = 36.
Ver en español
Pregunta
Si x = -6, ¿a qué es igual la expresión \dfrac{x^2 + 3x}{x - 2}?
Escribe tu respuesta como decimal o fracción.
Pista
Pon -6 entre paréntesis en cada lugar donde veas x. ¿Qué signo tiene (-6)^2?
Pregunta 6 de 36
Sin calculadora
Given a = 4 and b = -2, simplify \dfrac{2a + b}{a - b} to a single number.
Pista
Replace b with (-2), including the parentheses. Subtracting a negative is the same as adding.
Solución paso a paso
Substitute: \dfrac{2(4) + (-2)}{(4) - (-2)}.
Numerator: 2(4) = 8, and 8 + (-2) = 6.
Denominator: 4 - (-2) = 4 + 2 = 6.
Divide: \dfrac{6}{6} = 1.
Answer: 1
Check: The top and bottom are the same number, 6, so the fraction must equal 1 ✓. If you get a different denominator, look again at 4 - (-2): the two minus signs make a plus.
Tip: With two variables, write the substitution with parentheses for both before doing any arithmetic. It keeps you from mixing up the values and from losing a negative sign.
Explicación
Sustituye: \dfrac{2(4) + (-2)}{(4) - (-2)}.
Numerador: 2(4) = 8, y 8 + (-2) = 6.
Denominador: 4 - (-2) = 4 + 2 = 6.
Divide: \dfrac{6}{6} = 1.
Respuesta: 1
Comprobación: Arriba y abajo está el mismo número, 6, así que la fracción debe ser igual a 1 ✓. Si obtienes otro denominador, revisa de nuevo 4 - (-2): los dos signos menos se convierten en un más.
Consejo: Con dos variables, escribe la sustitución con paréntesis para las dos antes de hacer cualquier cálculo. Así no confundes los valores ni pierdes un signo negativo.
Ver en español
Pregunta
Si a = 4 y b = -2, simplifica \dfrac{2a + b}{a - b} hasta obtener un solo número.
Opciones
A.1
B.3
C.0
D.5
Pista
Reemplaza b por (-2), con los paréntesis. Restar un negativo es lo mismo que sumar.
Pregunta 7 de 36
A gym charges a one-time $120 sign-up fee plus $35 per month. The average cost per month, in dollars, for a membership that lasts m months is
\frac{120 + 35m}{m}
What is the average cost per month for a membership that lasts 8 months?
Pista
First find the total cost for 8 months (the numerator). Then share it over the 8 months.
Solución paso a paso
Substitute m = 8: \dfrac{120 + 35(8)}{8}.
Multiply: 35 \times 8 = 280.
Numerator (total cost): 120 + 280 = 400 dollars.
Divide by the number of months: \dfrac{400}{8} = 50.
Answer: $50 per month
Check: Another way: \dfrac{120}{8} + 35 = 15 + 35 = 50 ✓. The sign-up fee adds $15 to each of the 8 months.
Tip: In an average-cost formula the numerator is the total cost and the denominator is the number of units. The average is always more than the per-unit rate ($35) because the fixed fee gets spread out.
Explicación
Sustituye m = 8: \dfrac{120 + 35(8)}{8}.
Multiplica: 35 \times 8 = 280.
Numerador (costo total): 120 + 280 = 400 dólares.
Divide entre el número de meses: \dfrac{400}{8} = 50.
Respuesta: $50 al mes
Comprobación: Otra forma: \dfrac{120}{8} + 35 = 15 + 35 = 50 ✓. La cuota de inscripción agrega $15 a cada uno de los 8 meses.
Consejo: En una fórmula de costo promedio, el numerador es el costo total y el denominador es el número de unidades. El promedio siempre es mayor que la tarifa por unidad ($35), porque la cuota fija se reparte.
Ver en español
Pregunta
Un gimnasio cobra una cuota única de inscripción de $120 más $35 al mes. El costo promedio por mes, en dólares, de una membresía que dura m meses es
\frac{120 + 35m}{m}
¿Cuál es el costo promedio por mes de una membresía que dura 8 meses?
Opciones
A. $19.38
B. $50
C. $155
D. $400
Pista
Primero halla el costo total de 8 meses (el numerador). Luego repártelo entre los 8 meses.
Pregunta 8 de 36
A print shop charges a $75 setup fee plus $6 per T-shirt. The average cost per shirt, in dollars, for an order of n shirts is
\frac{75 + 6n}{n}
What is the average cost per shirt for an order of 25 shirts?
Pista
Find the whole numerator first (total cost), then divide by the number of shirts.
Solución paso a paso
Substitute n = 25: \dfrac{75 + 6(25)}{25}.
Multiply: 6 \cdot 25 = 150.
Numerator (total cost): 75 + 150 = 225.
Divide by 25: \dfrac{225}{25} = 9.
Answer: $9 per shirt
Check:25 shirts at $9 each is 25 \times 9 = \$225, which equals the $75 fee plus 25 \times \$6 = \$150 ✓.
Tip: The average cost must be more than the $6 per-shirt price (the fee is spread over the shirts) and much less than the total. That quickly rules out $3 and $225.
Explicación
Sustituye n = 25: \dfrac{75 + 6(25)}{25}.
Multiplica: 6 \cdot 25 = 150.
Numerador (costo total): 75 + 150 = 225.
Divide entre 25: \dfrac{225}{25} = 9.
Respuesta: $9 por camiseta
Comprobación:25 camisetas a $9 cada una es 25 \times 9 = \$225, que es igual a la tarifa de $75 más 25 \times \$6 = \$150 ✓.
Consejo: El costo promedio debe ser mayor que el precio de $6 por camiseta (la tarifa se reparte entre las camisetas) y mucho menor que el total. Eso descarta rápidamente $3 y $225.
Ver en español
Pregunta
Una imprenta cobra una tarifa de preparación de $75 más $6 por camiseta. El costo promedio por camiseta, en dólares, para un pedido de n camisetas es
\frac{75 + 6n}{n}
¿Cuál es el costo promedio por camiseta para un pedido de 25 camisetas?
Opciones
A. $3
B. $9
C. $81
D. $225
Pista
Primero halla todo el numerador (el costo total) y luego divide entre el número de camisetas.
Pregunta 9 de 36
Completar
One pump can fill a tank in 4 hours. A second pump can fill the same tank in 12 hours. When both pumps run together, the time in hours to fill the tank is
t = \frac{ab}{a + b}
where a and b are the times for each pump alone. How many hours will the two pumps take together?
hours
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Substitute a = 4 and b = 12. Should the answer be more or less than 4 hours?
Solución paso a paso
Substitute a = 4, b = 12: t = \dfrac{4 \cdot 12}{4 + 12}.
Numerator: 4 \cdot 12 = 48.
Denominator: 4 + 12 = 16.
Divide: t = \dfrac{48}{16} = 3.
Answer: 3 hours
Check: In 3 hours the first pump fills \tfrac{3}{4} of the tank and the second fills \tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}. Together: \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4} = 1 full tank ✓.
Tip: Working together is always faster than the faster worker alone, so the answer must be under 4 hours. Averaging the times (\tfrac{4 + 12}{2} = 8) is a classic wrong answer.
Explicación
Sustituye a = 4, b = 12: t = \dfrac{4 \cdot 12}{4 + 12}.
Numerador: 4 \cdot 12 = 48.
Denominador: 4 + 12 = 16.
Divide: t = \dfrac{48}{16} = 3.
Respuesta: 3 horas
Comprobación: En 3 horas la primera bomba llena \tfrac{3}{4} del tanque y la segunda llena \tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}. Juntas: \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4} = 1 tanque lleno ✓.
Consejo: Trabajar juntos siempre es más rápido que el trabajador más rápido solo, así que la respuesta debe ser menos de 4 horas. Promediar los tiempos (\tfrac{4 + 12}{2} = 8) es una respuesta incorrecta clásica.
Ver en español
Pregunta
Una bomba puede llenar un tanque en 4 horas. Una segunda bomba puede llenar el mismo tanque en 12 horas. Cuando las dos bombas funcionan juntas, el tiempo en horas para llenar el tanque es
t = \frac{ab}{a + b}
donde a y b son los tiempos de cada bomba sola. ¿Cuántas horas tardarán las dos bombas juntas?
_____ horas
Pista
Sustituye a = 4 y b = 12. ¿La respuesta debe ser mayor o menor que 4 horas?
Pregunta 10 de 36
Menú
Consider the expression \dfrac{x^2 - 16}{x^2 + 4x}.
When x = 4, the value of the expression is .
When x = -4, the expression is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Check the numerator and the denominator separately at each value. Which one being zero makes a fraction undefined?
Solución paso a paso
At x = 4: numerator = 16 - 16 = 0; denominator = 16 + 16 = 32.
\dfrac{0}{0} es indefinida, porque el denominador es cero.
Nota: la forma simplificada \dfrac{x - 4}{x} da 2 en x = -4, pero la expresión original todavía tiene un denominador cero ahí, así que es indefinida.
Respuesta: 0; indefinida
Comprobación: Factoriza el denominador: x^2 + 4x = x(x + 4), que es cero en x = 0 y en x = -4 ✓. x = 4 no es un valor excluido.
Consejo: Un cero arriba está bien (el valor es 0). Un cero abajo nunca está bien, y cancelar un factor no cambia eso.
Ver en español
Pregunta
Considera la expresión \dfrac{x^2 - 16}{x^2 + 4x}.
Cuando x = 4, el valor de la expresión es _____.
Cuando x = -4, la expresión es _____.
Opciones
0
indefinida
−1
indefinida
2
0
Pista
Revisa el numerador y el denominador por separado en cada valor. ¿Cuál de los dos, si es cero, hace que una fracción sea indefinida?
Pregunta 11 de 36
Marcus drives to his sister's house at 40 miles per hour and drives home along the same route at 60 miles per hour. His average speed for the whole round trip, in miles per hour, is
\frac{2r_1 r_2}{r_1 + r_2}
where r_1 and r_2 are the two speeds. What is his average speed?
Pista
Substitute both speeds, and compute the whole numerator and the whole denominator before dividing.
Comprobación: Prueba con un viaje de 120 millas en cada dirección: la ida toma 120 \div 40 = 3 h y el regreso toma 120 \div 60 = 2 h. Total: 240 millas en 5 h = 48 mph ✓.
Consejo: La rapidez promedio es menor que el promedio simple (50) porque Marcus pasa más tiempo a la rapidez más lenta.
Ver en español
Pregunta
Marcus maneja a la casa de su hermana a 40 millas por hora y regresa a casa por la misma ruta a 60 millas por hora. Su rapidez promedio en todo el viaje de ida y vuelta, en millas por hora, es
\frac{2r_1 r_2}{r_1 + r_2}
donde r_1 y r_2 son las dos rapideces. ¿Cuál es su rapidez promedio?
Opciones
A.24
B.48
C.50
D.4800
Pista
Sustituye las dos rapideces y calcula todo el numerador y todo el denominador antes de dividir.
Pregunta 12 de 36
Completar
Evaluate \dfrac{a^2 - b}{a - b} when a = -3 and b = 5.
Enter your answer as a decimal or fraction.
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Put each value in its own parentheses. Watch the sign of a^2 and the sign of a - b.
Solución paso a paso
Substitute: \dfrac{(-3)^2 - (5)}{(-3) - (5)}.
Exponent: (-3)^2 = 9.
Numerator: 9 - 5 = 4.
Denominator: -3 - 5 = -8.
Divide: \dfrac{4}{-8} = -0.5.
Answer: -0.5 (or -\dfrac{1}{2})
Check:-0.5 \times (-8) = 4, the numerator ✓.
Tip: A positive divided by a negative is negative. If your answer is positive, recheck the denominator -3 - 5. Common slips here are writing a^2 = -9 (which gives \dfrac{-14}{-8} = 1.75) or computing -3 - 5 as 2.
Explicación
Sustituye: \dfrac{(-3)^2 - (5)}{(-3) - (5)}.
Exponente: (-3)^2 = 9.
Numerador: 9 - 5 = 4.
Denominador: -3 - 5 = -8.
Divide: \dfrac{4}{-8} = -0.5.
Respuesta: -0.5 (o -\dfrac{1}{2})
Comprobación:-0.5 \times (-8) = 4, el numerador ✓.
Consejo: Un positivo dividido entre un negativo es negativo. Si tu respuesta es positiva, revisa otra vez el denominador -3 - 5. Los errores comunes aquí son escribir a^2 = -9 (que da \dfrac{-14}{-8} = 1.75) o calcular -3 - 5 como 2.
Ver en español
Pregunta
Evalúa \dfrac{a^2 - b}{a - b} cuando a = -3 y b = 5.
Escribe tu respuesta como decimal o fracción.
Pista
Pon cada valor dentro de sus propios paréntesis. Fíjate en el signo de a^2 y en el signo de a - b.
Pregunta 13 de 36
Varias respuestas
Select all values of x for which \dfrac{x - 5}{x^2 - x - 12} is undefined.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Set the denominator equal to zero and factor it.
Solución paso a paso
Undefined means the denominator is zero: x^2 - x - 12 = 0.
Factor: two numbers that multiply to -12 and add to -1 are -4 and 3, so (x - 4)(x + 3) = 0.
So x - 4 = 0 or x + 3 = 0, giving x = 4 or x = -3.
Consejo: Los números dentro de los factores tienen el signo opuesto al de las soluciones: (x - 4) da x = 4.
Ver en español
Pregunta
Selecciona todos los valores de x para los que \dfrac{x - 5}{x^2 - x - 12} es indefinida.
Opciones
A.4
B.-3
C.5
D.-4
E.3
F.12
Pista
Iguala el denominador a cero y factorízalo.
Pregunta 14 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
The expression \dfrac{x + 1}{x^2 - 5x} has no value for certain numbers. Choose every number x that makes the expression undefined.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
An expression is undefined when its denominator is zero. Try factoring out the common factor in x^2 - 5x.
Solución paso a paso
A fraction is undefined only when its denominator equals 0.
Set the denominator to zero: x^2 - 5x = 0.
Factor out the common factor x: x(x - 5) = 0.
A product is zero when either factor is zero: x = 0 or x - 5 = 0, so x = 5.
The numerator, x + 1, does not matter here. At x = -1 the value is simply \dfrac{0}{6} = 0.
Answer: 0 and 5
Check:x = 0: 0^2 - 5(0) = 0 ✓. x = 5: 25 - 25 = 0 ✓. x = -5: 25 + 25 = 50 \ne 0, so -5 is fine.
Tip: Do not divide both sides of x^2 - 5x = 0 by x — that throws away the solution x = 0. Factor instead.
Explicación
Una fracción es indefinida solo cuando su denominador es igual a 0.
Iguala el denominador a cero: x^2 - 5x = 0.
Saca el factor común x: x(x - 5) = 0.
Un producto es cero cuando uno de los factores es cero: x = 0 o x - 5 = 0, así que x = 5.
El numerador, x + 1, no importa aquí. En x = -1 el valor es simplemente \dfrac{0}{6} = 0.
Respuesta: 0 y 5
Comprobación:x = 0: 0^2 - 5(0) = 0 ✓. x = 5: 25 - 25 = 0 ✓. x = -5: 25 + 25 = 50 \ne 0, así que -5 no causa problema.
Consejo: No dividas los dos lados de x^2 - 5x = 0 entre x, porque así pierdes la solución x = 0. Mejor factoriza.
Ver en español
Pregunta
La expresión \dfrac{x + 1}{x^2 - 5x} no tiene valor para ciertos números. Elige todos los números x que hacen que la expresión sea indefinida.
Opciones
A.0
B.5
C.-1
D.-5
E.\sqrt{5}
Pista
Una expresión es indefinida cuando su denominador es cero. Intenta sacar el factor común de x^2 - 5x.
Pregunta 15 de 36
Sin calculadoraMenú
Consider the expression \dfrac{2x - 8}{x^2 - 1}.
When x = 4, the expression .
When x = 1, the expression .
When x = 0, the expression .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
At each value, find the numerator and the denominator separately. Which one being zero makes the expression undefined?
Solución paso a paso
x = 4: numerator 2(4) - 8 = 0; denominator 4^2 - 1 = 15. So the value is \dfrac{0}{15} = 0.
x = 1: numerator 2(1) - 8 = -6; denominator 1^2 - 1 = 0. Dividing by zero is impossible, so the expression is undefined.
x = 0: numerator 2(0) - 8 = -8; denominator 0^2 - 1 = -1. So the value is \dfrac{-8}{-1} = 8.
Answer: equals 0; is undefined; equals 8
Check: The denominator x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) is zero only at x = 1 and x = -1 ✓. So x = 4 and x = 0 give real numbers, and x = 1 does not.
Tip: Zero on top gives a value of 0. Zero on the bottom means undefined. A 0 under the fraction bar is never a value.
Explicación
x = 4: numerador 2(4) - 8 = 0; denominador 4^2 - 1 = 15. Entonces el valor es \dfrac{0}{15} = 0.
x = 1: numerador 2(1) - 8 = -6; denominador 1^2 - 1 = 0. Dividir entre cero es imposible, así que la expresión es indefinida.
x = 0: numerador 2(0) - 8 = -8; denominador 0^2 - 1 = -1. Entonces el valor es \dfrac{-8}{-1} = 8.
Respuesta: es igual a 0; es indefinida; es igual a 8
Comprobación: El denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) es cero solo en x = 1 y x = -1 ✓. Entonces x = 4 y x = 0 dan números reales, y x = 1 no.
Consejo: Un cero arriba da un valor de 0. Un cero abajo significa indefinida. Un 0 debajo de la barra de fracción nunca es un valor.
Ver en español
Pregunta
Considera la expresión \dfrac{2x - 8}{x^2 - 1}.
Cuando x = 4, la expresión _____.
Cuando x = 1, la expresión _____.
Cuando x = 0, la expresión _____.
Opciones
es igual a 0
es indefinida
es igual a 0
es indefinida
es igual a −6
es igual a 8
es igual a −8
es indefinida
Pista
En cada valor, halla el numerador y el denominador por separado. ¿Cuál de los dos, si es cero, hace que la expresión sea indefinida?
Pregunta 16 de 36
In a science lab, two resistors are connected side by side (in parallel). Their combined resistance, in ohms, is
R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}
where R_1 and R_2 are the resistances of the two resistors. What is the combined resistance of a 6-ohm resistor and a 3-ohm resistor connected in parallel?
Pista
Multiply the two resistances for the top. Add them for the bottom.
Solución paso a paso
Substitute R_1 = 6 and R_2 = 3: R = \dfrac{6 \cdot 3}{6 + 3}.
Numerator: 6 \times 3 = 18.
Denominator: 6 + 3 = 9.
Divide: R = \dfrac{18}{9} = 2.
Answer: 2 ohms
Check: In parallel, the combined resistance is always less than the smaller resistor (3 ohms). 2 < 3 ✓. Answers like 9 or 4.5 are larger than 3, so they cannot be right.
Tip: "Product over sum" formulas (\dfrac{ab}{a + b}) show up for resistors, for two pumps or workers, and for lenses. Follow the formula exactly; do not just add or average the inputs.
Explicación
Sustituye R_1 = 6 y R_2 = 3: R = \dfrac{6 \cdot 3}{6 + 3}.
Numerador: 6 \times 3 = 18.
Denominador: 6 + 3 = 9.
Divide: R = \dfrac{18}{9} = 2.
Respuesta: 2 ohmios
Comprobación: En paralelo, la resistencia combinada siempre es menor que la resistencia más pequeña (3 ohmios). 2 < 3 ✓. Respuestas como 9 o 4.5 son mayores que 3, así que no pueden ser correctas.
Consejo: Las fórmulas de "producto entre suma" (\dfrac{ab}{a + b}) aparecen con resistencias, con dos bombas o trabajadores y con lentes. Sigue la fórmula exactamente; no te limites a sumar o promediar los datos.
Ver en español
Pregunta
En un laboratorio de ciencias, dos resistencias están conectadas una al lado de la otra (en paralelo). Su resistencia combinada, en ohmios, es
R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}
donde R_1 y R_2 son las resistencias de los dos resistores. ¿Cuál es la resistencia combinada de una resistencia de 6 ohmios y una de 3 ohmios conectadas en paralelo?
Opciones
A.9 ohmios
B.4.5 ohmios
C.18 ohmios
D.2 ohmios
Pista
Multiplica las dos resistencias para el numerador. Súmalas para el denominador.
Pregunta 17 de 36
Completar
The concentration of a medicine in a patient's blood, in milligrams per liter, t hours after a dose is
C = \frac{50t}{t^2 + 4}
A nurse started this table.
Hours after dose, t
1
2
4
Concentration, C (mg/L)
10
?
10
What is the missing concentration at t = 2 hours?
mg/L
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Substitute t = 2. Square 2 before you add 4.
Solución paso a paso
Substitute t = 2: C = \dfrac{50(2)}{(2)^2 + 4}.
Numerator: 50 \times 2 = 100.
Denominator: 2^2 = 4, and 4 + 4 = 8.
Divide: C = \dfrac{100}{8} = 12.5.
Answer: 12.5 mg/L
Check: Test a known column. t = 1: \dfrac{50}{1 + 4} = 10 ✓. t = 4: \dfrac{200}{16 + 4} = 10 ✓. The level rises and then falls, so a value above 10 at t = 2 makes sense.
Tip: When a table gives you some values already, use one of them to test that you are reading the formula correctly before you fill in the gap.
Explicación
Sustituye t = 2: C = \dfrac{50(2)}{(2)^2 + 4}.
Numerador: 50 \times 2 = 100.
Denominador: 2^2 = 4, y 4 + 4 = 8.
Divide: C = \dfrac{100}{8} = 12.5.
Respuesta: 12.5 mg/L
Comprobación: Prueba una columna conocida. t = 1: \dfrac{50}{1 + 4} = 10 ✓. t = 4: \dfrac{200}{16 + 4} = 10 ✓. El nivel sube y luego baja, así que un valor mayor que 10 en t = 2 tiene sentido.
Consejo: Cuando una tabla ya te da algunos valores, usa uno de ellos para comprobar que estás leyendo bien la fórmula antes de llenar el espacio vacío.
Ver en español
Pregunta
La concentración de un medicamento en la sangre de un paciente, en miligramos por litro, t horas después de una dosis es
C = \frac{50t}{t^2 + 4}
Una enfermera empezó esta tabla.
Horas después de la dosis, t
1
2
4
Concentración, C (mg/L)
10
?
10
¿Cuál es la concentración que falta en t = 2 horas?
_____ mg/L
Pista
Sustituye t = 2. Eleva 2 al cuadrado antes de sumar 4.
Pregunta 18 de 36
Sin calculadora
Luis evaluated \dfrac{5 - x^2}{2x + 1} for x = -3. His work is shown.
Step 1:\dfrac{5 - (-3)^2}{2(-3) + 1}
Step 2:\dfrac{5 + 9}{-6 + 1}
Step 3:\dfrac{14}{-5}
Step 4:-2.8
In which step did Luis make his first error?
Pista
Work out (-3)^2 yourself. Then decide what 5 - (\text{that number}) is.
Solución paso a paso
Step 1 is correct: every x is replaced by (-3) in parentheses.
Step 2: (-3)^2 = 9, so the numerator is 5 - 9, not5 + 9. Luis treated the square of -3 as -9 and then subtracted it. This is the first error.
Valor correcto: \dfrac{-4}{-5} = \dfrac{4}{5} = 0.8.
Los Pasos 3 y 4 se deducen correctamente del Paso 2, así que no son errores nuevos.
Respuesta: Paso 2 (el valor correcto es 0.8)
Comprobación:0.8 \times (-5) = -4, el numerador correcto ✓.
Consejo: Elevar al cuadrado elimina el signo negativo: (-3)^2 = +9. El signo menos que está delante de x^2 es parte de la expresión, así que 5 - x^2 se convierte en 5 - 9.
Ver en español
Pregunta
Luis evaluó \dfrac{5 - x^2}{2x + 1} para x = -3. Este es su trabajo.
Paso 1:\dfrac{5 - (-3)^2}{2(-3) + 1}
Paso 2:\dfrac{5 + 9}{-6 + 1}
Paso 3:\dfrac{14}{-5}
Paso 4:-2.8
¿En qué paso cometió Luis su primer error?
Opciones
A. Paso 2
B. Paso 1
C. Paso 3
D. Paso 4
Pista
Calcula tú mismo (-3)^2. Luego decide cuánto es 5 - (\text{ese número}).
Pregunta 19 de 36
Sin calculadora
Which statement about the expression \dfrac{x + 2}{x - 1} is true?
Pista
Test each statement by substituting its value of x. Watch for a zero on top versus a zero on the bottom.
Solución paso a paso
Test A (x = 1): denominator 1 - 1 = 0, so the expression is undefined, not 0. False.
Test B (x = -2): numerator -2 + 2 = 0, denominator -3. Value \dfrac{0}{-3} = 0, so it is not undefined. False.
Test C (x = 4): \dfrac{4 + 2}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2. True.
Test D (x = 0): \dfrac{0 + 2}{0 - 1} = \dfrac{2}{-1} = -2, not 2. False.
Answer: C — When x = 4, the value is 2.
Check:2 \times (4 - 1) = 6 = 4 + 2 ✓.
Tip: For "which statement is true" questions, check every choice quickly. Two of the wrong choices here swap the ideas of "zero" and "undefined" — a favorite GED trap.
Explicación
Prueba la A (x = 1): denominador 1 - 1 = 0, así que la expresión es indefinida, no 0. Falsa.
Prueba la B (x = -2): numerador -2 + 2 = 0, denominador -3. Valor \dfrac{0}{-3} = 0, así que no es indefinida. Falsa.
Prueba la C (x = 4): \dfrac{4 + 2}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2. Verdadera.
Prueba la D (x = 0): \dfrac{0 + 2}{0 - 1} = \dfrac{2}{-1} = -2, no 2. Falsa.
Respuesta: C. Cuando x = 4, el valor es 2.
Comprobación:2 \times (4 - 1) = 6 = 4 + 2 ✓.
Consejo: En las preguntas de "¿qué afirmación es verdadera?", revisa rápido cada opción. Aquí, dos de las opciones incorrectas intercambian las ideas de "cero" e "indefinida", una trampa favorita del GED®.
Ver en español
Pregunta
¿Qué afirmación sobre la expresión \dfrac{x + 2}{x - 1} es verdadera?
Opciones
A. Cuando x = 1, el valor es 0.
B. Cuando x = -2, la expresión es indefinida.
C. Cuando x = 4, el valor es 2.
D. Cuando x = 0, el valor es 2.
Pista
Prueba cada afirmación sustituyendo su valor de x. Fíjate si el cero está arriba o abajo.
Pregunta 20 de 36
Sin calculadora
Kayla made a table of values for the expression \dfrac{60}{x + 2}.
x
-1
1
4
10
\dfrac{60}{x + 2}
60
20
15
5
Which column of the table contains an error?
Pista
Compute x + 2 for each column first, then divide 60 by that number.
Solución paso a paso
x = -1: x + 2 = 1, and \dfrac{60}{1} = 60 ✓.
x = 1: x + 2 = 3, and \dfrac{60}{3} = 20 ✓.
x = 4: x + 2 = 6, and \dfrac{60}{6} = 10. The table shows 15, which is \dfrac{60}{4} — Kayla forgot to add 2. ✗
x = 10: x + 2 = 12, and \dfrac{60}{12} = 5 ✓.
Answer: the column for x = 4 (the value should be 10)
Tip: The whole denominator, x + 2, divides 60. A common slip is dividing by x alone. Also notice that as x grows, the values should shrink steadily: 60, 20, 10, 5.
Explicación
x = -1: x + 2 = 1, y \dfrac{60}{1} = 60 ✓.
x = 1: x + 2 = 3, y \dfrac{60}{3} = 20 ✓.
x = 4: x + 2 = 6, y \dfrac{60}{6} = 10. La tabla muestra 15, que es \dfrac{60}{4}: Kayla olvidó sumar 2. ✗
x = 10: x + 2 = 12, y \dfrac{60}{12} = 5 ✓.
Respuesta: la columna de x = 4 (el valor debería ser 10)
Comprobación:10 \times 6 = 60 ✓, mientras que 15 \times 6 = 90 \ne 60.
Consejo: Todo el denominador, x + 2, divide a 60. Un error común es dividir solo entre x. Fíjate también en que, a medida que x crece, los valores deben bajar de forma constante: 60, 20, 10, 5.
Ver en español
Pregunta
Kayla hizo una tabla de valores para la expresión \dfrac{60}{x + 2}.
x
-1
1
4
10
\dfrac{60}{x + 2}
60
20
15
5
¿Qué columna de la tabla tiene un error?
Opciones
A.x = -1
B.x = 4
C.x = 1
D.x = 10
Pista
Primero calcula x + 2 en cada columna y luego divide 60 entre ese número.
Pregunta 21 de 36
Sin calculadoraCompletar
Evaluate \dfrac{2x^3 + 4}{x^2 - 6} when x = -2.
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
A negative number cubed stays negative, but a negative number squared is positive.
Solución paso a paso
Substitute with parentheses: \dfrac{2(-2)^3 + 4}{(-2)^2 - 6}.
Cube: (-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8.
Numerator: 2(-8) + 4 = -16 + 4 = -12.
Square: (-2)^2 = 4.
Denominator: 4 - 6 = -2.
Divide: \dfrac{-12}{-2} = 6.
Answer: 6
Check:6 \times (-2) = -12, the numerator ✓. Both parts are negative, so the result is positive.
Tip: Odd powers keep the sign ((-2)^3 = -8); even powers make it positive ((-2)^2 = 4). On the calculator, use the (-) key inside parentheses before pressing ^.
Explicación
Sustituye con paréntesis: \dfrac{2(-2)^3 + 4}{(-2)^2 - 6}.
Eleva al cubo: (-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = -8.
Numerador: 2(-8) + 4 = -16 + 4 = -12.
Eleva al cuadrado: (-2)^2 = 4.
Denominador: 4 - 6 = -2.
Divide: \dfrac{-12}{-2} = 6.
Respuesta: 6
Comprobación:6 \times (-2) = -12, el numerador ✓. Las dos partes son negativas, así que el resultado es positivo.
Consejo: Las potencias impares mantienen el signo ((-2)^3 = -8); las potencias pares lo hacen positivo ((-2)^2 = 4). En la calculadora, usa la tecla (-) dentro de paréntesis antes de presionar ^.
Ver en español
Pregunta
Evalúa \dfrac{2x^3 + 4}{x^2 - 6} cuando x = -2.
Pista
Un número negativo elevado al cubo sigue siendo negativo, pero un número negativo elevado al cuadrado es positivo.
Pregunta 22 de 36
A company's average cost, in dollars, to make n phone cases is
\frac{2400 + 8n}{n}
How many phone cases must the company make so that the average cost is $20 per case?
Pista
Set the expression equal to 20 and solve for n, or test each answer choice in the formula.
Solución paso a paso
Set the average cost equal to 20: \dfrac{2400 + 8n}{n} = 20.
Consejo: En una pregunta de opción múltiple donde se puede "trabajar hacia atrás", sustituir cada opción en la fórmula es una alternativa confiable a resolver.
Ver en español
Pregunta
El costo promedio de una empresa, en dólares, para fabricar n fundas de teléfono es
\frac{2400 + 8n}{n}
¿Cuántas fundas de teléfono debe fabricar la empresa para que el costo promedio sea de $20 por funda?
Opciones
A. 86
B. 120
C. 200
D. 300
Pista
Iguala la expresión a 20 y despeja n, o prueba cada opción de respuesta en la fórmula.
Pregunta 23 de 36
What is the value of \dfrac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 25} when x = 4.8?
Pista
Factor the top and bottom first. After canceling, the substitution is much easier.
Solución paso a paso
Factor the numerator: two numbers that multiply to -15 and add to 2 are 5 and -3, so x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3).
Consejo: Cuando un valor de entrada es un decimal complicado, simplificar primero convierte un cálculo largo en uno corto y te da una comprobación independiente.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de \dfrac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 25} cuando x = 4.8?
Opciones
A.9
B. aproximadamente 0.80
C.0.216
D.-9
Pista
Primero factoriza el numerador y el denominador. Después de cancelar, la sustitución es mucho más fácil.
Pregunta 24 de 36
Sin calculadora
Dana was asked to find the value of \dfrac{x + 8}{4x} when x = 2. She wrote:
What is the correct value, and what did Dana do wrong?
Pista
Can you divide only the 8 by 4 when the numerator is a sum? Try substituting x = 2 into the original expression.
Solución paso a paso
Substitute directly into the original: \dfrac{(2) + 8}{4(2)}.
Numerator: 2 + 8 = 10.
Denominator: 4 \times 2 = 8.
Value: \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4} = 1.25.
Dana's error: she divided the term 8 by 4 but left the term x alone. You may only cancel a factor that multiplies the entire numerator and the entire denominator. The 4 is a factor of 4x, but not of x + 8.
Answer: 1.25 — Dana canceled the 4 from only one term of the numerator.
Check:1.25 \times 8 = 10 ✓. Dana's answer, 2, would need a numerator of 16.
Tip: If you are not sure a shortcut is legal, just substitute into the original expression. It is never wrong.
Explicación
Sustituye directamente en la expresión original: \dfrac{(2) + 8}{4(2)}.
Numerador: 2 + 8 = 10.
Denominador: 4 \times 2 = 8.
Valor: \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4} = 1.25.
El error de Dana: dividió el término 8 entre 4, pero dejó igual el término x. Solo puedes cancelar un factor que multiplica todo el numerador y todo el denominador. El 4 es un factor de 4x, pero no de x + 8.
Respuesta: 1.25. Dana canceló el 4 en solo un término del numerador.
Comprobación:1.25 \times 8 = 10 ✓. La respuesta de Dana, 2, necesitaría un numerador de 16.
Consejo: Si no estás seguro de que un atajo sea válido, simplemente sustituye en la expresión original. Eso nunca falla.
Ver en español
Pregunta
A Dana le pidieron hallar el valor de \dfrac{x + 8}{4x} cuando x = 2. Ella escribió:
B.5; debió dividir entre 4 y luego multiplicar por x.
C.0.8; debió poner 4x arriba.
D.1.25; dividió solo el 8 entre 4 en vez de todo el numerador.
Pista
¿Puedes dividir solo el 8 entre 4 cuando el numerador es una suma? Prueba sustituir x = 2 en la expresión original.
Pregunta 25 de 36
Two shops print team banners. For an order of n banners, the average cost per banner, in dollars, is
Shop A: \dfrac{90 + 4n}{n}
Shop B: \dfrac{40 + 6n}{n}
A league needs 30 banners. Which shop has the lower average cost per banner, and by about how much?
Pista
Evaluate both expressions at n = 30, then subtract the smaller from the larger.
Solución paso a paso
Shop A at n = 30: \dfrac{90 + 4(30)}{30} = \dfrac{90 + 120}{30} = \dfrac{210}{30} = 7 dollars.
Shop B at n = 30: \dfrac{40 + 6(30)}{30} = \dfrac{40 + 180}{30} = \dfrac{220}{30} \approx 7.33 dollars.
Shop A is lower. Difference: 7.33 - 7 = 0.33 dollars per banner.
Answer: Shop A, by about $0.33 per banner
Check: Total costs are $210 (A) and $220 (B). The $10 difference spread over 30 banners is \dfrac{10}{30} \approx 0.33 ✓.
Tip: When a question asks about the average cost, compare averages, not totals or setup fees. Shop B has the smaller setup fee, but its higher per-banner charge wins out for a big order.
Explicación
Tienda A con n = 30: \dfrac{90 + 4(30)}{30} = \dfrac{90 + 120}{30} = \dfrac{210}{30} = 7 dólares.
Tienda B con n = 30: \dfrac{40 + 6(30)}{30} = \dfrac{40 + 180}{30} = \dfrac{220}{30} \approx 7.33 dólares.
La Tienda A es más barata. Diferencia: 7.33 - 7 = 0.33 dólares por banderín.
Respuesta: la Tienda A, por aproximadamente $0.33 por banderín
Comprobación: Los costos totales son $210 (A) y $220 (B). La diferencia de $10 repartida entre 30 banderines es \dfrac{10}{30} \approx 0.33 ✓.
Consejo: Cuando una pregunta habla del costo promedio, compara promedios, no totales ni cuotas iniciales. La Tienda B tiene la cuota inicial más baja, pero su mayor cobro por banderín pesa más en un pedido grande.
Ver en español
Pregunta
Dos tiendas imprimen banderines para equipos. Para un pedido de n banderines, el costo promedio por banderín, en dólares, es
Tienda A: \dfrac{90 + 4n}{n}
Tienda B: \dfrac{40 + 6n}{n}
Una liga necesita 30 banderines. ¿Qué tienda tiene el menor costo promedio por banderín, y por aproximadamente cuánto?
Opciones
A. La Tienda A, por aproximadamente $0.33
B. La Tienda B, por aproximadamente $0.33
C. La Tienda A, por $10
D. La Tienda B, por $50
Pista
Evalúa las dos expresiones en n = 30 y luego resta la menor de la mayor.
Pregunta 26 de 36
Completar
For what value of x does \dfrac{5x + 3}{x - 1} equal 6?
x =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Set the expression equal to 6 and multiply both sides by x - 1. Distribute the 6 to both terms.
Solución paso a paso
Write the equation: \dfrac{5x + 3}{x - 1} = 6.
Multiply both sides by (x - 1): 5x + 3 = 6(x - 1).
Distribute: 5x + 3 = 6x - 6.
Subtract 5x from both sides: 3 = x - 6.
Add 6 to both sides: x = 9.
Make sure x = 9 does not make the denominator zero: 9 - 1 = 8 \ne 0 ✓.
Tip: "Work backwards" questions turn into equations. Clear the fraction by multiplying by the denominator, and remember to distribute to every term inside the parentheses (6 \cdot xand6 \cdot 1).
Explicación
Escribe la ecuación: \dfrac{5x + 3}{x - 1} = 6.
Multiplica los dos lados por (x - 1): 5x + 3 = 6(x - 1).
Consejo: Las preguntas de "trabajar hacia atrás" se convierten en ecuaciones. Elimina la fracción multiplicando por el denominador, y recuerda aplicar la propiedad distributiva a cada término dentro del paréntesis (6 \cdot xy6 \cdot 1).
Ver en español
Pregunta
¿Para qué valor de x es \dfrac{5x + 3}{x - 1} igual a 6?
x = _____
Pista
Iguala la expresión a 6 y multiplica los dos lados por x - 1. Distribuye el 6 a los dos términos.
Pregunta 27 de 36
Sin calculadora
Let x = \dfrac{1}{2}. Find the exact value of \dfrac{x^2 - 4x}{x^2 - 16}.
Pista
Factor the top and the bottom first. A common factor will cancel, leaving a much simpler expression.
Solución paso a paso
Factor the numerator: x^2 - 4x = x(x - 4).
Factor the denominator (difference of squares): x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4).
Cancel the common factor (x - 4) (allowed because x = \tfrac{1}{2} does not make it zero): \dfrac{x}{x + 4}.
Substitute x = \tfrac{1}{2}: \dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2} + 4} = \dfrac{0.5}{4.5}.
Simplify: \dfrac{0.5}{4.5} = \dfrac{1}{9}.
Answer: \dfrac{1}{9}
Check: Use the original: numerator \tfrac{1}{4} - 2 = -\tfrac{7}{4}; denominator \tfrac{1}{4} - 16 = -\tfrac{63}{4}. Ratio \dfrac{7}{63} = \dfrac{1}{9} ✓.
Tip: When the value of x is messy, look for factors to cancel first. Cancel factors (things multiplied), never separate terms.
Explicación
Factoriza el numerador: x^2 - 4x = x(x - 4).
Factoriza el denominador (diferencia de cuadrados): x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4).
Cancela el factor común (x - 4) (se permite porque x = \tfrac{1}{2} no lo hace cero): \dfrac{x}{x + 4}.
Sustituye x = \tfrac{1}{2}: \dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2} + 4} = \dfrac{0.5}{4.5}.
Consejo: Cuando el valor de x es complicado, busca primero factores para cancelar. Cancela factores (cosas que se multiplican), nunca términos separados.
Ver en español
Pregunta
Sea x = \dfrac{1}{2}. Halla el valor exacto de \dfrac{x^2 - 4x}{x^2 - 16}.
Opciones
A.\dfrac{1}{9}
B.-\dfrac{1}{7}
C.\dfrac{1}{8}
D.9
Pista
Primero factoriza el numerador y el denominador. Un factor común se cancelará y quedará una expresión mucho más sencilla.
Pregunta 28 de 36
Sin calculadora
Which expression is undefined when x = -3?
Pista
Substitute -3 into each denominator only. Which denominator becomes zero?
Solución paso a paso
An expression is undefined when its denominator is zero. Test each denominator at x = -3.
A: x - 3 = -3 - 3 = -6. Not zero. (The numerator is zero, so the value is 0.)
C: x^2 + 9 = 9 + 9 = 18. No es cero. De hecho, x^2 + 9 nunca es cero, porque x^2 \ge 0.
D: x^2 - 3x = 9 - 3(-3) = 9 + 9 = 18. No es cero.
Respuesta: B, \dfrac{x - 3}{x^2 - 9}
Comprobación:x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3), y el factor x + 3 es cero en x = -3 ✓.
Consejo: Solo el denominador decide si es "indefinida". Un numerador cero solo hace que el valor sea 0. Una suma de cuadrados como x^2 + 9 nunca es cero para los números reales.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es indefinida cuando x = -3?
Opciones
A.\dfrac{x + 3}{x - 3}
B.\dfrac{x - 3}{x^2 - 9}
C.\dfrac{x - 3}{x^2 + 9}
D.\dfrac{x + 3}{x^2 - 3x}
Pista
Sustituye -3 solo en cada denominador. ¿Qué denominador se vuelve cero?
Pregunta 29 de 36
A community center rents its hall for $1,200 plus $28 per guest for food. The average cost per guest, in dollars, for g guests is
\frac{1200 + 28g}{g}
How much less is the average cost per guest with 150 guests than with 100 guests?
Pista
Find the average cost for 100 guests and for 150 guests separately, then subtract.
Check: Only the hall fee is shared. Per guest it is \dfrac{1200}{100} = 12 versus \dfrac{1200}{150} = 8; the food cost ($28) is the same either way. 12 - 8 = 4 ✓.
Tip: In "how much less/more" questions, compute both values first and subtract last. Read carefully whether the question wants a total, an average, or a difference.
Comprobación: Solo el alquiler del salón se reparte. Por invitado, es \dfrac{1200}{100} = 12 frente a \dfrac{1200}{150} = 8; el costo de la comida ($28) es el mismo en los dos casos. 12 - 8 = 4 ✓.
Consejo: En las preguntas de "¿cuánto menos/más?", calcula primero los dos valores y resta al final. Lee con cuidado si la pregunta pide un total, un promedio o una diferencia.
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Pregunta
Un centro comunitario alquila su salón por $1,200 más $28 por invitado para la comida. El costo promedio por invitado, en dólares, para g invitados es
\frac{1200 + 28g}{g}
¿Cuánto menos es el costo promedio por invitado con 150 invitados que con 100 invitados?
Opciones
A. $4
B. $8
C. $36
D. $1,400
Pista
Halla por separado el costo promedio para 100 invitados y para 150 invitados, y luego resta.
Pregunta 30 de 36
Using a = -1.5 and b = 0.5, compute \dfrac{a^2 - 2b}{3a + b}.
Pista
Square -1.5 with parentheses. Then find the numerator and denominator separately.
Check:-0.3125 \times (-4) = 1.25 ✓. Positive numerator, negative denominator, so the value is negative.
Tip: On the calculator, type the whole thing with parentheses: ((-)1.5)² − 2(0.5) for the top and 3((-)1.5) + 0.5 for the bottom, or use the n/d template so the fraction bar groups each part.
Comprobación:-0.3125 \times (-4) = 1.25 ✓. Numerador positivo y denominador negativo, así que el valor es negativo.
Consejo: En la calculadora, escribe todo con paréntesis: ((-)1.5)² − 2(0.5) para la parte de arriba y 3((-)1.5) + 0.5 para la de abajo, o usa la plantilla n/d para que la barra de fracción agrupe cada parte.
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Pregunta
Usando a = -1.5 y b = 0.5, calcula \dfrac{a^2 - 2b}{3a + b}.
Opciones
A.-3.2
B.-0.3125
C.0.3125
D.0.8125
Pista
Eleva -1.5 al cuadrado con paréntesis. Luego halla el numerador y el denominador por separado.
Pregunta 31 de 36
Sin calculadoraArrastrar y soltar
Complete the table of values for \dfrac{x + 6}{x - 2}. Drag a value into each empty box. Two values are not used.
x
-6
2
4
\dfrac{x + 6}{x - 2}
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
For each x, check the denominator first. Is it zero?
Solución paso a paso
x = -6: numerator -6 + 6 = 0; denominator -6 - 2 = -8. Value \dfrac{0}{-8} = 0.
x = 2: numerator 2 + 6 = 8; denominator 2 - 2 = 0. Division by zero, so the expression is undefined.
x = 4: numerator 4 + 6 = 10; denominator 4 - 2 = 2. Value \dfrac{10}{2} = 5.
Not used: \tfrac{1}{5} (the value at x = 4 turned upside down) and 8 (the numerator at x = 2 with the zero denominator ignored).
Answer: 0; undefined; 5
Check:5 \times 2 = 10 ✓. And x - 2 = 0 only at x = 2, so that is the only undefined column ✓.
Tip: A table of values for a rational expression usually has one "trap" column where the denominator is zero. Spot it before you calculate.
Explicación
x = -6: numerador -6 + 6 = 0; denominador -6 - 2 = -8. Valor \dfrac{0}{-8} = 0.
x = 2: numerador 2 + 6 = 8; denominador 2 - 2 = 0. División entre cero, así que la expresión es indefinida.
x = 4: numerador 4 + 6 = 10; denominador 4 - 2 = 2. Valor \dfrac{10}{2} = 5.
No se usan: \tfrac{1}{5} (el valor en x = 4 al revés) y 8 (el numerador en x = 2, ignorando el denominador cero).
Respuesta: 0; indefinida; 5
Comprobación:5 \times 2 = 10 ✓. Y x - 2 = 0 solo en x = 2, así que esa es la única columna indefinida ✓.
Consejo: Una tabla de valores de una expresión racional suele tener una columna "trampa" donde el denominador es cero. Encuéntrala antes de calcular.
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Pregunta
Completa la tabla de valores de \dfrac{x + 6}{x - 2}. Arrastra un valor a cada casilla vacía. Dos valores no se usan.
x
-6
2
4
\dfrac{x + 6}{x - 2}
_____
_____
_____
Opciones
0
indefinida
5
\dfrac{1}{5}
8
Pista
Para cada x, revisa primero el denominador. ¿Es cero?
Pregunta 32 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Select all true statements about the expression \dfrac{x^2 - 1}{x + 3}.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Test each statement separately. For each value, compute the numerator and the denominator.
E (x = -2): (-2)^2 = 4, así que \dfrac{4 - 1}{-2 + 3} = \dfrac{3}{1} = 3, no -5. Falsa.
Respuesta: A, B y D
Comprobación: El único valor que hace x + 3 = 0 es x = -3 ✓, así que B es la única afirmación de "indefinida" que puede ser verdadera.
Consejo: En las preguntas de seleccionar todas, trata cada opción como su propia pregunta de verdadero o falso. No hay una regla sobre cuántas son correctas.
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Pregunta
Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre la expresión \dfrac{x^2 - 1}{x + 3}.
Opciones
A. Cuando x = 1, el valor es 0.
B. La expresión es indefinida cuando x = -3.
C. La expresión es indefinida cuando x = 1 y cuando x = -1.
D. Cuando x = 0, el valor es -\dfrac{1}{3}.
E. Cuando x = -2, el valor es -5.
Pista
Prueba cada afirmación por separado. Para cada valor, calcula el numerador y el denominador.
Pregunta 33 de 36
Sin calculadora
What is the value of \dfrac{1 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} when x = \dfrac{1}{3}?
Pista
First find \dfrac{1}{x} when x = \tfrac{1}{3}. Dividing by a fraction means multiplying by its reciprocal.
Check: Rewrite the expression by multiplying top and bottom by x: \dfrac{x + 1}{x - 1}. At x = \tfrac{1}{3}: \dfrac{\tfrac{4}{3}}{-\tfrac{2}{3}} = -2 ✓.
Tip: In a fraction inside a fraction, work out each small fraction first. "1 divided by one-third" is 3, because three thirds make one whole.
Comprobación: Reescribe la expresión multiplicando arriba y abajo por x: \dfrac{x + 1}{x - 1}. En x = \tfrac{1}{3}: \dfrac{\tfrac{4}{3}}{-\tfrac{2}{3}} = -2 ✓.
Consejo: En una fracción dentro de otra fracción, resuelve primero cada fracción pequeña. "1 dividido entre un tercio" es 3, porque tres tercios forman un entero.
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Pregunta
¿Cuál es el valor de \dfrac{1 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} cuando x = \dfrac{1}{3}?
Opciones
A.2
B.-\dfrac{1}{2}
C.4
D.-2
Pista
Primero halla \dfrac{1}{x} cuando x = \tfrac{1}{3}. Dividir entre una fracción significa multiplicar por su recíproco.
Pregunta 34 de 36
Completar
When two people work together, the time t (in hours) they need to finish a job is
t = \frac{ab}{a + b}
where a and b are the times each person needs alone. Ana can paint a fence alone in 6 hours. Working together, Ana and Ben paint the fence in 4 hours.
How many hours would Ben need to paint the fence alone?
hours
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Substitute a = 6 and t = 4, leaving b unknown. Then multiply both sides by the denominator.
Solución paso a paso
Substitute what you know: 4 = \dfrac{6b}{6 + b}.
Multiply both sides by (6 + b): 4(6 + b) = 6b.
Distribute: 24 + 4b = 6b.
Subtract 4b: 24 = 2b.
Divide by 2: b = 12.
Answer: 12 hours
Check:\dfrac{6 \cdot 12}{6 + 12} = \dfrac{72}{18} = 4 hours ✓. Also, Ben must be slower than the pair (more than 4 hours), and 12 is.
Tip: To clear a fraction in an equation, multiply both sides by the entire denominator, in parentheses. Then it is an ordinary linear equation.
Explicación
Sustituye lo que sabes: 4 = \dfrac{6b}{6 + b}.
Multiplica los dos lados por (6 + b): 4(6 + b) = 6b.
Aplica la propiedad distributiva: 24 + 4b = 6b.
Resta 4b: 24 = 2b.
Divide entre 2: b = 12.
Respuesta: 12 horas
Comprobación:\dfrac{6 \cdot 12}{6 + 12} = \dfrac{72}{18} = 4 horas ✓. Además, Ben debe ser más lento que los dos juntos (más de 4 horas), y 12 lo es.
Consejo: Para eliminar una fracción en una ecuación, multiplica los dos lados por todo el denominador, entre paréntesis. Luego es una ecuación lineal normal.
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Pregunta
Cuando dos personas trabajan juntas, el tiempo t (en horas) que necesitan para terminar un trabajo es
t = \frac{ab}{a + b}
donde a y b son los tiempos que necesita cada persona sola. Ana puede pintar una cerca sola en 6 horas. Trabajando juntos, Ana y Ben pintan la cerca en 4 horas.
¿Cuántas horas necesitaría Ben para pintar la cerca solo?
_____ horas
Pista
Sustituye a = 6 y t = 4, y deja b como incógnita. Luego multiplica los dos lados por el denominador.
Pregunta 35 de 36
Sin calculadoraCompletar
Compute \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9} for x = -2.5.
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Factor both the numerator and the denominator. They share a factor.
Solución paso a paso
Factor the numerator: find two numbers that multiply to -6 and add to -1: -3 and 2. So x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2).
Factor the denominator (difference of squares): x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).
Cancel (x - 3) — allowed because x = -2.5 does not make it zero: \dfrac{x + 2}{x + 3}.
Tip: Factoring first turns a decimal mess into one easy division. The GED often chooses values like -2.5 precisely so that the simplified form gives a clean answer.
Explicación
Factoriza el numerador: busca dos números que multiplicados den -6 y sumados den -1: -3 y 2. Entonces x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2).
Factoriza el denominador (diferencia de cuadrados): x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).
Cancela (x - 3); se permite porque x = -2.5 no lo hace cero: \dfrac{x + 2}{x + 3}.
Consejo: Factorizar primero convierte un lío de decimales en una sola división fácil. El GED® muchas veces escoge valores como -2.5 justamente para que la forma simplificada dé una respuesta limpia.
Ver en español
Pregunta
Calcula \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9} para x = -2.5.
Pista
Factoriza el numerador y el denominador. Tienen un factor en común.
Pregunta 36 de 36
Sin calculadora
Mei wants the value of x that makes \dfrac{2x + 6}{x - 3} equal to 4. Her work is shown.
Step 1:2x + 6 = 4(x - 3)
Step 2:2x + 6 = 4x - 3
Step 3:9 = 2x
Step 4:x = 4.5
Which statement is true?
Pista
Check each step on its own. Pay special attention to how the 4 is distributed.
Solución paso a paso
Step 1 is correct: multiply both sides by (x - 3).
Step 2 is wrong: 4(x - 3) = 4x - 12. Mei multiplied only the x by 4.
Correct work from Step 2: 2x + 6 = 4x - 12, so 18 = 2x, and x = 9.
Steps 3 and 4 follow from Mei's wrong Step 2, so the first error is in Step 2.
Answer: Mei's first error is in Step 2; the correct value is x = 9.
Tip: Always plug your answer back into the original expression. If it does not give the target value, hunt for a distribution or sign error.
Explicación
El Paso 1 es correcto: se multiplican los dos lados por (x - 3).
El Paso 2 está mal: 4(x - 3) = 4x - 12. Mei multiplicó solo la x por 4.
Trabajo correcto desde el Paso 2: 2x + 6 = 4x - 12, así que 18 = 2x, y x = 9.
Los Pasos 3 y 4 se deducen del Paso 2 equivocado de Mei, así que el primer error está en el Paso 2.
Respuesta: el primer error de Mei está en el Paso 2; el valor correcto es x = 9.
Comprobación:\dfrac{2(9) + 6}{9 - 3} = \dfrac{24}{6} = 4 ✓. El valor de Mei: \dfrac{2(4.5) + 6}{4.5 - 3} = \dfrac{15}{1.5} = 10 \ne 4.
Consejo: Siempre sustituye tu respuesta en la expresión original. Si no da el valor buscado, busca un error al aplicar la propiedad distributiva o un error de signo.
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Pregunta
Mei busca el valor de x que hace que \dfrac{2x + 6}{x - 3} sea igual a 4. Este es su trabajo.
Paso 1:2x + 6 = 4(x - 3)
Paso 2:2x + 6 = 4x - 3
Paso 3:9 = 2x
Paso 4:x = 4.5
¿Qué afirmación es verdadera?
Opciones
A. El trabajo de Mei es correcto; x = 4.5.
B. El primer error está en el Paso 2; el valor correcto es x = 9.
C. El primer error está en el Paso 1; el valor correcto es x = 1.5.
D. El primer error está en el Paso 3; el valor correcto es x = -4.5.
Pista
Revisa cada paso por separado. Pon mucha atención a cómo se distribuye el 4.
