Which ordered pair is the solution to the system of equations?
\begin{cases} y = x + 2 \\ y = 3x - 4 \end{cases}
Pista
Both equations equal y, so set the right sides equal. Or test each choice in both equations.
Solución paso a paso
Both expressions equal y, so they equal each other: x + 2 = 3x - 4.
Subtract x from both sides: 2 = 2x - 4.
Add 4: 6 = 2x. Divide by 2: x = 3.
Find y using the first equation: y = 3 + 2 = 5.
The solution is (3, 5).
Check: In both equations, 5 = 3 + 2 ✓ and 5 = 3(3) - 4 = 9 - 4 ✓
Tip: A wrong choice often works in one of the equations. Always check both — that is what "solution of the system" means.
Explicación
Las dos expresiones son iguales a y, así que son iguales entre sí: x + 2 = 3x - 4.
Resta x en los dos lados: 2 = 2x - 4.
Suma 4: 6 = 2x. Divide entre 2: x = 3.
Encuentra y con la primera ecuación: y = 3 + 2 = 5.
La solución es (3, 5).
Comprobación: En las dos ecuaciones, 5 = 3 + 2 ✓ y 5 = 3(3) - 4 = 9 - 4 ✓
Consejo: Una opción incorrecta muchas veces funciona en una de las ecuaciones. Revisa siempre las dos: eso es lo que significa "solución del sistema".
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Pregunta
¿Qué par ordenado es la solución del sistema de ecuaciones?
\begin{cases} y = x + 2 \\ y = 3x - 4 \end{cases}
Opciones
A.(5,\ 3)
B.(1,\ 3)
C.(3,\ 5)
D.(2,\ 2)
Pista
Las dos ecuaciones son iguales a y, así que iguala los lados derechos. O prueba cada opción en ambas ecuaciones.
Pregunta 2 de 36
Zona activa
The graph shows the lines y = -x + 3 and y = 2x - 3.
Click the point that represents the solution of the system.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
The solution is the point that lies on both lines at once.
Solución paso a paso
The solution of a system is the point on both lines — where the lines cross.
From the graph, the lines cross at (2, 1): 2 units right of the origin and 1 unit up.
Confirm with algebra. Both equal y, so -x + 3 = 2x - 3.
Add x to both sides: 3 = 3x - 3. Add 3: 6 = 3x, so x = 2.
y = -2 + 3 = 1.
The solution is the point (2, 1).
Check:1 = -(2) + 3 ✓ and 1 = 2(2) - 3 ✓
Tip: Points where a line crosses an axis, like (0, 3) or (0, -3), are on only one line. Only the crossing point of the two lines is on both.
Explicación
La solución de un sistema es el punto que está en las dos rectas: donde las rectas se cruzan.
En la gráfica, las rectas se cruzan en (2, 1): 2 unidades a la derecha del origen y 1 unidad hacia arriba.
Confírmalo con álgebra. Las dos son iguales a y, así que -x + 3 = 2x - 3.
Suma x en los dos lados: 3 = 3x - 3. Suma 3: 6 = 3x, así que x = 2.
y = -2 + 3 = 1.
La solución es el punto (2, 1).
Comprobación:1 = -(2) + 3 ✓ y 1 = 2(2) - 3 ✓
Consejo: Los puntos donde una recta cruza un eje, como (0, 3) o (0, -3), están en una sola recta. Solo el punto donde se cruzan las dos rectas está en las dos.
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Pregunta
La gráfica muestra las rectas y = -x + 3 y y = 2x - 3.
Haz clic en el punto que representa la solución del sistema.
Pista
La solución es el punto que está en ambas rectas al mismo tiempo.
Pregunta 3 de 36
Completar
Solve the system of equations.
\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 18 \end{cases}
x =y =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Replace y in the second equation with 2x.
Solución paso a paso
The first equation says y = 2x. Substitute 2x for y in the second equation: x + 2x = 18.
Combine like terms: 3x = 18.
Divide by 3: x = 6.
Back-substitute: y = 2(6) = 12.
The solution is x = 6, y = 12.
Check:12 = 2(6) ✓ and 6 + 12 = 18 ✓
Tip: When one equation already says "y = \ldots", substitution is the fastest method. Don't forget the last step — finding the second variable.
Explicación
La primera ecuación dice y = 2x. Sustituye 2x en lugar de y en la segunda ecuación: x + 2x = 18.
Combina los términos semejantes: 3x = 18.
Divide entre 3: x = 6.
Sustituye de vuelta: y = 2(6) = 12.
La solución es x = 6, y = 12.
Comprobación:12 = 2(6) ✓ y 6 + 12 = 18 ✓
Consejo: Cuando una ecuación ya dice "y = \ldots", la sustitución es el método más rápido. No olvides el último paso: encontrar la segunda variable.
Ver en español
Pregunta
Resuelve el sistema de ecuaciones.
\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 18 \end{cases}
x = _____ y = _____
Pista
Reemplaza y en la segunda ecuación por 2x.
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
Leah graphed two lines and wants to know exactly where they meet. Which ordered pair (x, y) makes both of her equations true at the same time?
\begin{cases} y = -2x + 7 \\ y = x - 5 \end{cases}
Pista
Both right sides equal y, so they equal each other. Solve for x first.
Solución paso a paso
Both expressions equal y, so set them equal: -2x + 7 = x - 5.
Add 2x to both sides: 7 = 3x - 5.
Add 5 to both sides: 12 = 3x, so x = 4.
Substitute into the simpler equation: y = 4 - 5 = -1.
Consejo: Escribe la respuesta como (x, y): el valor de x siempre va primero. Luego sustitúyelo en las dos ecuaciones; una respuesta equivocada muchas veces funciona solo en una.
Ver en español
Pregunta
Leah graficó dos rectas y quiere saber exactamente dónde se encuentran. ¿Qué par ordenado (x, y) hace verdaderas sus dos ecuaciones al mismo tiempo?
\begin{cases} y = -2x + 7 \\ y = x - 5 \end{cases}
Opciones
A.(-1,\ 4)
B.(4,\ 1)
C.(2,\ 3)
D.(4,\ -1)
Pista
Los dos lados derechos son iguales a y, así que son iguales entre sí. Primero encuentra x.
Pregunta 5 de 36
Sin calculadora
The table shows some values of y for two linear equations, y = 3x + 1 and y = -x + 9.
x
0
1
2
3
4
y = 3x + 1
1
4
7
10
13
y = -x + 9
9
8
7
6
5
What is the solution to the system made of these two equations?
Pista
The solution is the (x, y) pair that is the same for both equations. Look for a column where both rows match.
Solución paso a paso
A solution of the system must have the same y for the same x in both equations.
Scan the columns: at x = 0 the y-values are 1 and 9; at x = 1, 4 and 8; at x = 2, 7 and 7. They match.
So the point (2, 7) is on both lines.
The solution is (2, 7).
Check:3(2) + 1 = 7 ✓ and -2 + 9 = 7 ✓. Algebra agrees: 3x + 1 = -x + 9 gives 4x = 8, so x = 2.
Tip: In a table, the solution is the column where the two output rows are equal. If no column matches, look for where the rows "cross over" (one row goes from smaller to larger than the other) — the solution lies between those columns.
Explicación
Una solución del sistema debe tener la misma y para la misma x en las dos ecuaciones.
Revisa las columnas: en x = 0 los valores de y son 1 y 9; en x = 1, 4 y 8; en x = 2, 7 y 7. Coinciden.
Entonces el punto (2, 7) está en las dos rectas.
La solución es (2, 7).
Comprobación:3(2) + 1 = 7 ✓ y -2 + 9 = 7 ✓. El álgebra coincide: 3x + 1 = -x + 9 da 4x = 8, así que x = 2.
Consejo: En una tabla, la solución es la columna donde las dos filas de salida son iguales. Si ninguna columna coincide, busca dónde las filas "se cruzan" (una fila pasa de ser menor a ser mayor que la otra): la solución está entre esas columnas.
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Pregunta
La tabla muestra algunos valores de y para dos ecuaciones lineales, y = 3x + 1 y y = -x + 9.
x
0
1
2
3
4
y = 3x + 1
1
4
7
10
13
y = -x + 9
9
8
7
6
5
¿Cuál es la solución del sistema formado por estas dos ecuaciones?
Opciones
A.(2,\ 7)
B.(7,\ 2)
C.(0,\ 1)
D.(0,\ 9)
Pista
La solución es el par (x, y) que es igual para ambas ecuaciones. Busca una columna en la que las dos filas coincidan.
Pregunta 6 de 36
Sin calculadoraCompletar
In the system below, the first equation is already solved for x. Use substitution to find the solution, and enter each value.
Consejo: Siempre pon la expresión sustituida entre paréntesis, para que el 2 multiplique tanto el 3y como el -1. Escribir 2 \cdot 3y - 1 es un descuido muy común.
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Pregunta
En el sistema de abajo, la primera ecuación ya tiene x despejada. Usa la sustitución para encontrar la solución y escribe cada valor.
Tip: After you find one variable, substitute it into whichever original equation is easier. Then check the pair in the other equation — that catches arithmetic mistakes.
Explicación
Los términos con x son +x y -x, así que suma las dos ecuaciones:
Consejo: Cuando encuentres una variable, sustitúyela en la ecuación original que sea más fácil. Luego comprueba el par en la otra ecuación; así detectas errores de cálculo.
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Pregunta
Marcus dice que este sistema se puede resolver en un solo paso combinando las ecuaciones. Encuentra el par de números que funciona en las dos.
Consejo: La mayoría de los problemas verbales con dos artículos dan un dato de cantidad y un dato de valor. Después de resolver, asegúrate de dar el artículo que pide la pregunta.
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Pregunta
Una obra de teatro escolar vendió 200 boletos por un total de $1,390. Los boletos de adulto cuestan $8 y los de niño cuestan $5. ¿Cuántos boletos de adulto se vendieron?
Opciones
A. 70
B. 100
C. 130
D. 173.75
Pista
Escribe una ecuación para el número de boletos y otra para el dinero. Sea a = boletos de adulto y c = boletos de niño.
Pregunta 10 de 36
Menú
Select the choice that makes each statement true.
The system \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 10 \end{cases} has .
The system \begin{cases} y = 3x + 1 \\ y = 3x - 2 \end{cases} has .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Write each equation in y = mx + b form and compare the slopes and the y-intercepts.
Solución paso a paso
First system.
Solve 2x + y = 5 for y: y = -2x + 5.
Solve 4x + 2y = 10 for y: 2y = -4x + 10, so y = -2x + 5.
The equations describe the same line (same slope -2, same intercept 5). Every point on the line is a solution.
The first system has infinitely many solutions. (Notice the second equation is just the first one multiplied by 2.)
Second system.
Both lines have slope 3, but the intercepts are different (1 and -2). The lines are parallel and never meet.
Algebra agrees: 3x + 1 = 3x - 2 gives 1 = -2, which is false.
The second system has no solution.
Check: in the first system, try (0, 5) and (1, 3) — both work in both equations. In the second system, at any x the two y-values always differ by 3.
Tip: Same slope + same intercept → infinitely many. Same slope + different intercept → none. Different slopes → exactly one.
Explicación
Primer sistema.
Despeja y en 2x + y = 5: y = -2x + 5.
Despeja y en 4x + 2y = 10: 2y = -4x + 10, así que y = -2x + 5.
Las ecuaciones describen la misma recta (misma pendiente -2, misma intersección con el eje y, 5). Cada punto de la recta es una solución.
El primer sistema tiene infinitas soluciones. (Fíjate en que la segunda ecuación es simplemente la primera multiplicada por 2).
Segundo sistema.
Las dos rectas tienen pendiente 3, pero las intersecciones con el eje y son diferentes (1 y -2). Las rectas son paralelas y nunca se encuentran.
El álgebra lo confirma: 3x + 1 = 3x - 2 da 1 = -2, que es falso.
El segundo sistema no tiene solución.
Comprobación: en el primer sistema, prueba (0, 5) y (1, 3): los dos funcionan en las dos ecuaciones. En el segundo sistema, para cualquier x, los dos valores de y siempre difieren en 3.
Consejo: Misma pendiente + misma intersección → infinitas soluciones. Misma pendiente + intersección diferente → ninguna. Pendientes diferentes → exactamente una.
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Pregunta
Selecciona la opción que hace verdadera cada afirmación.
El sistema \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 10 \end{cases}: _____.
El sistema \begin{cases} y = 3x + 1 \\ y = 3x - 2 \end{cases}: _____.
Opciones
tiene exactamente una solución
no tiene solución
tiene infinitas soluciones
tiene exactamente una solución
no tiene solución
tiene infinitas soluciones
Pista
Escribe cada ecuación en la forma y = mx + b y compara las pendientes y las intersecciones con el eje y.
Pregunta 11 de 36
Completar
The sum of two numbers is 52. Their difference is 14. What is the larger number?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Let x be the larger number and y the smaller. Write one equation for the sum and one for the difference, then add them.
Solución paso a paso
Let x = the larger number and y = the smaller number.
Sum: x + y = 52. Difference: x - y = 14.
Add the equations (the y terms cancel): 2x = 66.
Divide by 2: x = 33.
The smaller number is y = 52 - 33 = 19.
The larger number is 33.
Check:33 + 19 = 52 ✓ and 33 - 19 = 14 ✓
Tip: For "sum and difference" problems, adding the two equations always eliminates y. A quick shortcut: larger = \dfrac{\text{sum} + \text{difference}}{2}.
Explicación
Sea x = el número mayor y y = el número menor.
Suma: x + y = 52. Diferencia: x - y = 14.
Suma las ecuaciones (los términos en y se cancelan): 2x = 66.
Divide entre 2: x = 33.
El número menor es y = 52 - 33 = 19.
El número mayor es 33.
Comprobación:33 + 19 = 52 ✓ y 33 - 19 = 14 ✓
Consejo: En los problemas de "suma y diferencia", sumar las dos ecuaciones siempre elimina y. Un atajo rápido: mayor = \dfrac{\text{suma} + \text{diferencia}}{2}.
Ver en español
Pregunta
La suma de dos números es 52. Su diferencia es 14. ¿Cuál es el número mayor?
Pista
Sea x el número mayor y y el menor. Escribe una ecuación para la suma y otra para la diferencia, y luego súmalas.
Pregunta 12 de 36
A coffee shop mixes beans that cost $9 per pound with beans that cost $14 per pound. It wants 20 pounds of a blend worth $12 per pound. How many pounds of the $14 beans should it use?
Pista
Write one equation for the total weight and one for the total value. The blend is worth 20 \times 12 dollars.
Solución paso a paso
Let x = pounds of $9 beans and y = pounds of $14 beans.
La cafetería debe usar 12 libras de los granos de $14 (y 8 libras de los granos de $9).
Comprobación:9(8) + 14(12) = 72 + 168 = \$240, y \$240 \div 20 = \$12 por libra ✓
Consejo: Primero estima. $12 está más cerca de $14 que de $9, así que tiene que haber más granos de $14: más de 10 libras.
Ver en español
Pregunta
Una cafetería mezcla granos que cuestan $9 por libra con granos que cuestan $14 por libra. Quiere 20 libras de una mezcla que valga $12 por libra. ¿Cuántas libras de los granos de $14 debe usar?
Opciones
A. 12
B. 8
C. 10
D. Aproximadamente 17.1
Pista
Escribe una ecuación para el peso total y otra para el valor total. La mezcla vale 20 \times 12 dólares.
Pregunta 13 de 36
A yoga studio offers two plans:
Plan A: a $30 monthly membership plus $5 per class
Plan B: no membership, $10 per class
Let x be the number of classes in a month and y be the total monthly cost in dollars. Which system can be used to find the number of classes for which the plans cost the same?
Pista
For each plan, which amount is paid once a month, and which is paid for every class?
Solución paso a paso
Plan A: $30 once per month (constant) plus $5 for each class (5x): y = 5x + 30.
Plan B: $10 for each class, nothing else: y = 10x.
The system is \begin{cases} y = 5x + 30 \\ y = 10x \end{cases}
The correct system is y = 5x + 30 and y = 10x.
Check: By solving, 5x + 30 = 10x gives 30 = 5x, so x = 6 classes. Plan A: 5(6) + 30 = \$60; Plan B: 10(6) = \$60 ✓
Tip: In each equation, the per-class price multiplies x and the one-time fee is the constant. Test with x = 1: Plan A should cost $35 and Plan B $10.
Explicación
Plan A: $30 una vez al mes (constante) más $5 por cada clase (5x): y = 5x + 30.
Plan B: $10 por cada clase, nada más: y = 10x.
El sistema es \begin{cases} y = 5x + 30 \\ y = 10x \end{cases}
El sistema correcto es y = 5x + 30 y y = 10x.
Comprobación: Al resolver, 5x + 30 = 10x da 30 = 5x, así que x = 6 clases. Plan A: 5(6) + 30 = \$60; Plan B: 10(6) = \$60 ✓
Consejo: En cada ecuación, el precio por clase multiplica a x y la cuota única es la constante. Prueba con x = 1: el Plan A debería costar $35 y el Plan B $10.
Ver en español
Pregunta
Un estudio de yoga ofrece dos planes:
Plan A: una membresía mensual de $30 más $5 por clase
Plan B: sin membresía, $10 por clase
Sea x el número de clases en un mes y y el costo mensual total en dólares. ¿Qué sistema se puede usar para encontrar el número de clases con el que los dos planes cuestan lo mismo?
Opciones
A.\begin{cases} y = 30x + 5 \\ y = 10x \end{cases}
B.\begin{cases} y = 5x + 30 \\ y = 10x \end{cases}
C.\begin{cases} y = 5x + 30 \\ y = x + 10 \end{cases}
D.\begin{cases} y = 35x \\ y = 10x \end{cases}
Pista
En cada plan, ¿qué cantidad se paga una vez al mes y cuál se paga por cada clase?
Pregunta 14 de 36
Sin calculadora
Adding these two equations makes one variable drop out. Use that idea to decide which point lies on both lines.
\begin{cases} 4x + y = 11 \\ 2x - y = 7 \end{cases}
Pista
The y-terms are +y and -y. What happens if you add the two equations?
Solución paso a paso
The y-terms are opposites (+y and -y), so add the equations:
Tip: Look for a pair of opposite coefficients first — adding makes that variable disappear. Be careful with the second variable: 12 + y = 11 means y is negative.
Explicación
Los términos con y son opuestos (+y y -y), así que suma las ecuaciones:
Consejo: Primero busca un par de coeficientes opuestos: al sumar, esa variable desaparece. Ten cuidado con la segunda variable: 12 + y = 11 significa que y es negativa.
Ver en español
Pregunta
Al sumar estas dos ecuaciones se elimina una variable. Usa esa idea para decidir qué punto está en ambas rectas.
\begin{cases} 4x + y = 11 \\ 2x - y = 7 \end{cases}
Opciones
A.(3,\ 1)
B.(3,\ -1)
C.(-1,\ 3)
D.(2,\ 3)
Pista
Los términos con y son +y y -y. ¿Qué pasa si sumas las dos ecuaciones?
Pregunta 15 de 36
Which system of equations has no solution?
Pista
Write every equation in y = mx + b form. Lines with no common point are parallel: what do parallel lines have in common, and what is different?
Solución paso a paso
A system has no solution when its lines are parallel: same slope, different y-intercepts.
In every choice the first line is y = 4x - 1 (slope 4, intercept -1).
A:8x - 2y = 6 \Rightarrow -2y = -8x + 6 \Rightarrow y = 4x - 3. Same slope 4, different intercept (-3). Parallel → no solution.
B:8x - 2y = 2 \Rightarrow y = 4x - 1. The same line → infinitely many solutions.
C:y = -4x - 1 has slope -4, which is different from 4 → the lines cross once.
D:y = \tfrac{1}{4}x - 3 has slope \tfrac{1}{4}, different from 4 → one solution.
System A has no solution.
Check: try to solve A: substitute y = 4x - 1 into 8x - 2y = 6: 8x - 8x + 2 = 6, so 2 = 6, which is false for every x ✓
Tip: Same slope + different intercept → no solution. Same slope + same intercept → infinitely many. Different slopes → exactly one, even if the slopes are opposites or reciprocals.
Explicación
Un sistema no tiene solución cuando sus rectas son paralelas: la misma pendiente y distintas intersecciones con el eje y.
En todas las opciones, la primera recta es y = 4x - 1 (pendiente 4, intersección -1).
A:8x - 2y = 6 \Rightarrow -2y = -8x + 6 \Rightarrow y = 4x - 3. Misma pendiente 4, distinta intersección (-3). Paralelas → sin solución.
B:8x - 2y = 2 \Rightarrow y = 4x - 1. La misma recta → infinitas soluciones.
C:y = -4x - 1 tiene pendiente -4, distinta de 4 → las rectas se cruzan una vez.
D:y = \tfrac{1}{4}x - 3 tiene pendiente \tfrac{1}{4}, distinta de 4 → una solución.
El sistema A no tiene solución.
Comprobación: intenta resolver A: sustituye y = 4x - 1 en 8x - 2y = 6: 8x - 8x + 2 = 6, así que 2 = 6, lo cual es falso para cualquier x ✓
Consejo: Misma pendiente + distinta intersección → sin solución. Misma pendiente + misma intersección → infinitas soluciones. Pendientes distintas → exactamente una, aunque las pendientes sean opuestas o recíprocas.
C.\begin{cases} y = 4x - 1 \\ y = -4x - 1 \end{cases}
D.\begin{cases} y = 4x - 1 \\ y = \frac{1}{4}x - 3 \end{cases}
Pista
Escribe cada ecuación en la forma y = mx + b. Las rectas sin ningún punto en común son paralelas: ¿qué tienen en común las rectas paralelas y qué tienen diferente?
Pregunta 16 de 36
The graph shows the lines 2x + y = 4 and x - y = 5.
Two lines on a coordinate plane crossing at a marked point
Which ordered pair is the solution to the system?
Pista
The solution is where the two lines meet. Count across first (for x), then up or down (for y).
Solución paso a paso
The solution of a system is the point that lies on both lines — the marked crossing point.
Read it: the point is 3 units to the right of the origin and 2 units down, so it is (3, -2).
Confirm with elimination: add the equations, (2x + y) + (x - y) = 4 + 5, so 3x = 9 and x = 3. Then 2(3) + y = 4 gives y = -2.
Tip: Points where a line crosses an axis (like (0, 4) or (5, 0)) are on only one line. The answer must be on both. When a graph point falls below the x-axis, its y-value is negative.
Explicación
La solución de un sistema es el punto que está en las dos rectas: el punto de cruce marcado.
Léelo: el punto está 3 unidades a la derecha del origen y 2 unidades hacia abajo, así que es (3, -2).
Confirma con eliminación: suma las ecuaciones, (2x + y) + (x - y) = 4 + 5, así que 3x = 9 y x = 3. Luego 2(3) + y = 4 da y = -2.
Consejo: Los puntos donde una recta cruza un eje (como (0, 4) o (5, 0)) están en una sola recta. La respuesta debe estar en las dos. Cuando un punto de la gráfica está debajo del eje x, su valor de y es negativo.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra las rectas 2x + y = 4 y x - y = 5.
¿Qué par ordenado es la solución del sistema?
Opciones
A.(-2,\ 3)
B.(0,\ 4)
C.(3,\ -2)
D.(5,\ 0)
Pista
La solución es donde se encuentran las dos rectas. Cuenta primero hacia los lados (para x) y luego hacia arriba o hacia abajo (para y).
Pregunta 17 de 36
A florist sells roses for $3 each and tulips for $2 each. On Saturday she sold 85 flowers for a total of $215. Let r be the number of roses and t the number of tulips sold. Which system can be used to find r and t?
Pista
Write one equation that counts flowers and one equation that counts dollars.
Solución paso a paso
A word problem with two unknowns needs two equations — one for each fact.
Count of flowers: roses plus tulips is 85: r + t = 85.
Money: each rose brings $3 and each tulip $2, for $215 total: 3r + 2t = 215.
\begin{cases} r + t = 85 \\ 3r + 2t = 215 \end{cases}
The correct system is r + t = 85 and 3r + 2t = 215.
Check: solving gives r = 45, t = 40: 45 + 40 = 85 ✓ and 3(45) + 2(40) = 135 + 80 = 215 ✓
Tip: Label each total with its unit: 85 flowers, $215 dollars. The "count" equation has no prices in it; the "money" equation multiplies each count by its price.
Explicación
Un problema verbal con dos incógnitas necesita dos ecuaciones, una por cada dato.
Número de flores: rosas más tulipanes es 85: r + t = 85.
Dinero: cada rosa deja $3 y cada tulipán $2, para un total de $215: 3r + 2t = 215.
\begin{cases} r + t = 85 \\ 3r + 2t = 215 \end{cases}
El sistema correcto es r + t = 85 y 3r + 2t = 215.
Comprobación: al resolver se obtiene r = 45, t = 40: 45 + 40 = 85 ✓ y 3(45) + 2(40) = 135 + 80 = 215 ✓
Consejo: Escribe la unidad de cada total: 85 flores, $215 dólares. La ecuación de "conteo" no lleva precios; la ecuación de "dinero" multiplica cada cantidad por su precio.
Ver en español
Pregunta
Una florista vende rosas a $3 cada una y tulipanes a $2 cada uno. El sábado vendió 85 flores por un total de $215. Sea r el número de rosas y t el número de tulipanes vendidos. ¿Qué sistema se puede usar para encontrar r y t?
Opciones
A.\begin{cases} r + t = 215 \\ 3r + 2t = 85 \end{cases}
B.\begin{cases} r + t = 85 \\ 2r + 3t = 215 \end{cases}
C.\begin{cases} r + t = 85 \\ 5(r + t) = 215 \end{cases}
D.\begin{cases} r + t = 85 \\ 3r + 2t = 215 \end{cases}
Pista
Escribe una ecuación que cuente las flores y otra que cuente los dólares.
Pregunta 18 de 36
Completar
The lines y = \tfrac{1}{2}x + 3 and y = -x + 9 intersect at one point. Find the coordinates of that intersection point.
x-coordinate:
y-coordinate:
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Set the two right sides equal. To clear the fraction, you can multiply every term by 2.
Solución paso a paso
Both right sides equal y: \tfrac{1}{2}x + 3 = -x + 9.
Multiply every term by 2 to clear the fraction: x + 6 = -2x + 18.
Tip: Fractions are easier to handle if you clear them first: multiply every term on both sides by the denominator. Without that step, you can also add x to get \tfrac{3}{2}x = 6, then multiply by \tfrac{2}{3}.
Explicación
Los dos lados derechos son iguales a y: \tfrac{1}{2}x + 3 = -x + 9.
Multiplica cada término por 2 para quitar la fracción: x + 6 = -2x + 18.
Suma 2x a ambos lados: 3x + 6 = 18.
Resta 6: 3x = 12, así que x = 4.
Encuentra y con la segunda ecuación: y = -4 + 9 = 5.
Consejo: Las fracciones son más fáciles de manejar si las quitas primero: multiplica cada término de ambos lados por el denominador. Sin ese paso, también puedes sumar x para obtener \tfrac{3}{2}x = 6 y luego multiplicar por \tfrac{2}{3}.
Ver en español
Pregunta
Las rectas y = \tfrac{1}{2}x + 3 y y = -x + 9 se cruzan en un punto. Encuentra las coordenadas de ese punto de intersección.
Coordenada x: _____
Coordenada y: _____
Pista
Iguala los dos lados derechos. Para quitar la fracción, puedes multiplicar cada término por 2.
Pregunta 19 de 36
Solve this system by first rewriting the top equation so that y is alone. Which ordered pair is the solution?
Tip: When you isolate a variable with a minus sign in front (-y), divide every term by -1. Writing y = 5 - 3x by mistake leads to an answer with very strange numbers — a useful warning sign.
Explicación
Despeja y en la primera ecuación: 3x - y = 5 \Rightarrow -y = -3x + 5 \Rightarrow y = 3x - 5.
Sustituye en la segunda ecuación: 5x + 2(3x - 5) = 23.
Consejo: Cuando despejas una variable que tiene un signo menos delante (-y), divide cada término entre -1. Escribir y = 5 - 3x por error lleva a una respuesta con números muy raros, lo cual es una señal de alerta útil.
Ver en español
Pregunta
Resuelve este sistema reescribiendo primero la ecuación de arriba para que y quede sola. ¿Qué par ordenado es la solución?
Despeja y en la primera ecuación; cuidado con el signo de y. Luego sustituye en la segunda ecuación.
Pregunta 20 de 36
A farm stand sells small baskets of strawberries for $4 and large baskets for $7. One morning it sold 64 baskets and took in $340. How many small baskets were sold?
Pista
Let s = small and \ell = large. Write one equation for the number of baskets and one for the money.
Solución paso a paso
Let s = small baskets, \ell = large baskets.
Baskets: s + \ell = 64
Money: 4s + 7\ell = 340
Multiply the first equation by 4: 4s + 4\ell = 256.
Subtract it from the money equation: (4s + 7\ell) - (4s + 4\ell) = 340 - 256, so 3\ell = 84 and \ell = 28.
Tip: Before you choose an answer, reread which quantity the question asks for. Here the system gives both numbers, and the large-basket count (28) is waiting as a trap.
Explicación
Sea s = canastas pequeñas y \ell = canastas grandes.
Canastas: s + \ell = 64
Dinero: 4s + 7\ell = 340
Multiplica la primera ecuación por 4: 4s + 4\ell = 256.
Réstala de la ecuación del dinero: (4s + 7\ell) - (4s + 4\ell) = 340 - 256, así que 3\ell = 84 y \ell = 28.
Consejo: Antes de escoger una respuesta, vuelve a leer qué cantidad pide la pregunta. Aquí el sistema da los dos números, y la cantidad de canastas grandes (28) está esperando como trampa.
Ver en español
Pregunta
Un puesto de una granja vende canastas pequeñas de fresas a $4 y canastas grandes a $7. Una mañana vendió 64 canastas y recaudó $340. ¿Cuántas canastas pequeñas se vendieron?
Opciones
A. 28
B. 32
C. 36
D. 85
Pista
Sea s = pequeñas y \ell = grandes. Escribe una ecuación para el número de canastas y otra para el dinero.
Pregunta 21 de 36
Varias respuestas
Consider the system of equations.
\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}
Select all the statements that are true.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Find the solution first. Then test each point in each equation separately.
Solución paso a paso
Solve: substitute y = 2x - 1 into 3x + y = 9: 3x + 2x - 1 = 9, so 5x = 10 and x = 2. Then y = 2(2) - 1 = 3. The solution is (2, 3).
A — (2, 3) is a solution of the system: true (shown above).
B — (0, 9): first equation: 2(0) - 1 = -1 \ne 9. It is on the second line only. False.
C — (1, 1) lies on y = 2x - 1:2(1) - 1 = 1 ✓. True.
D — (1, 1) is a solution of the system: second equation: 3(1) + 1 = 4 \ne 9. False.
E — (3, 2) is a solution: first equation: 2(3) - 1 = 5 \ne 2. False.
True statements: A and C.
Check:(2, 3): 2(2) - 1 = 3 ✓ and 3(2) + 3 = 9 ✓
Tip: A point can be on one line without being a solution of the system. "Solution of the system" means it works in every equation.
Explicación
Resuelve: sustituye y = 2x - 1 en 3x + y = 9: 3x + 2x - 1 = 9, así que 5x = 10 y x = 2. Entonces y = 2(2) - 1 = 3. La solución es (2, 3).
A — (2, 3) es una solución del sistema: verdadera (se mostró arriba).
B — (0, 9): primera ecuación: 2(0) - 1 = -1 \ne 9. Está solo en la segunda recta. Falsa.
C — (1, 1) está en y = 2x - 1:2(1) - 1 = 1 ✓. Verdadera.
D — (1, 1) es una solución del sistema: segunda ecuación: 3(1) + 1 = 4 \ne 9. Falsa.
E — (3, 2) es una solución: primera ecuación: 2(3) - 1 = 5 \ne 2. Falsa.
No variable cancels yet. Multiply each equation by a number so that the y terms become +12y and -12y.
Solución paso a paso
To eliminate y, make the coefficients +12y and -12y. Multiply the first equation by 4 and the second by 3:
\begin{cases} 8x + 12y = 28 \\ 9x - 12y = 57 \end{cases}
Add the equations: 17x = 85, so x = 5.
Back-substitute into 2x + 3y = 7: 10 + 3y = 7, so 3y = -3 and y = -1.
Tip: When you multiply an equation, multiply every term, including the number on the right side. Then check the pair in both original equations.
Explicación
Para eliminar y, haz que los coeficientes sean +12y y -12y. Multiplica la primera ecuación por 4 y la segunda por 3:
\begin{cases} 8x + 12y = 28 \\ 9x - 12y = 57 \end{cases}
Suma las ecuaciones: 17x = 85, así que x = 5.
Sustituye de vuelta en 2x + 3y = 7: 10 + 3y = 7, así que 3y = -3 y y = -1.
Consejo: Cuando multipliques una ecuación, multiplica cada término, incluido el número del lado derecho. Luego comprueba el par en las dos ecuaciones originales.
Todavía no se cancela ninguna variable. Multiplica cada ecuación por un número para que los términos con y se conviertan en +12y y -12y.
Pregunta 23 de 36
Completar
Two companies rent moving trucks for one day.
Company A: $45 plus $0.20 per mile
Company B: $30 plus $0.35 per mile
For what number of miles do the two companies charge the same amount, and what is that cost?
Miles: Cost: $
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Write y = (\text{rate})m + (\text{fee}) for each company. Set the two costs equal to find m, then substitute to find the cost.
Solución paso a paso
Let m = miles and y = cost in dollars.
Company A: y = 0.20m + 45
Company B: y = 0.35m + 30
Set the costs equal: 0.20m + 45 = 0.35m + 30.
Subtract 0.20m: 45 = 0.15m + 30.
Subtract 30: 15 = 0.15m.
Divide: m = \dfrac{15}{0.15} = 100 miles.
Cost: y = 0.20(100) + 45 = 20 + 45 = 65.
At 100 miles, both companies charge $65.
Check: With Company B, 0.35(100) + 30 = 35 + 30 = \$65 ✓
Tip: The solution of a "which plan is cheaper" system is the break-even point. Below 100 miles, Company B (lower fee) is cheaper; above 100 miles, Company A (lower per-mile rate) is cheaper.
Explicación
Sea m = las millas y y = el costo en dólares.
Compañía A: y = 0.20m + 45
Compañía B: y = 0.35m + 30
Iguala los costos: 0.20m + 45 = 0.35m + 30.
Resta 0.20m: 45 = 0.15m + 30.
Resta 30: 15 = 0.15m.
Divide: m = \dfrac{15}{0.15} = 100 millas.
Costo: y = 0.20(100) + 45 = 20 + 45 = 65.
Con 100 millas, las dos compañías cobran $65.
Comprobación: Con la Compañía B, 0.35(100) + 30 = 35 + 30 = \$65 ✓
Consejo: La solución de un sistema de "qué plan es más barato" es el punto de equilibrio. Con menos de 100 millas, la Compañía B (cuota más baja) es más barata; con más de 100 millas, la Compañía A (tarifa por milla más baja) es más barata.
Ver en español
Pregunta
Dos compañías alquilan camiones de mudanza por un día.
Compañía A: $45 más $0.20 por milla
Compañía B: $30 más $0.35 por milla
¿Con qué número de millas cobran lo mismo las dos compañías, y cuál es ese costo?
Millas: _____ Costo: $_____
Pista
Escribe y = (\text{tasa})m + (\text{cargo}) para cada compañía. Iguala los dos costos para encontrar m y luego sustituye para encontrar el costo.
Pregunta 24 de 36
Simply adding or subtracting these equations will not cancel a variable — you will need to multiply first. Which point satisfies both equations?
Tip: Multiply every term of an equation, including the number on the right side (10 \times 3 = 30, 18 \times 4 = 72). Forgetting the right side is the most common elimination error.
Explicación
Haz que los coeficientes de y sean opuestos: multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 4.
Consejo: Multiplica cada término de una ecuación, incluido el número del lado derecho (10 \times 3 = 30, 18 \times 4 = 72). Olvidar el lado derecho es el error de eliminación más común.
Ver en español
Pregunta
Si solo sumas o restas estas ecuaciones, no se cancela ninguna variable: primero tendrás que multiplicar. ¿Qué punto cumple con las dos ecuaciones?
Todavía no se cancela ninguna variable. Multiplica cada ecuación por un número para que los términos con y se conviertan en +12y y -12y.
Pregunta 25 de 36
Menú
Select the choices that make the statement true.
The system \begin{cases} 6x - 3y = 9 \\ y = 2x - 3 \end{cases} has because the two lines have .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Rewrite 6x - 3y = 9 in y = mx + b form and compare it with the second equation.
Solución paso a paso
Solve 6x - 3y = 9 for y: subtract 6x: -3y = -6x + 9. Divide every term by -3: y = 2x - 3.
The second equation is also y = 2x - 3.
Same slope (2) and same y-intercept (-3): the two equations describe the same line. Every point on it solves both equations.
The system has infinitely many solutions because the lines have the same slope and the same y-intercept.
Check: substitute y = 2x - 3 into 6x - 3y = 9: 6x - 6x + 9 = 9, so 9 = 9 — true for every x ✓. For example, (0, -3) and (5, 7) both work.
Tip: When substitution makes the variable disappear, look at what is left: a true statement (9 = 9) means infinitely many solutions; a false one (2 = 6) means no solution.
Explicación
Despeja y en 6x - 3y = 9: resta 6x: -3y = -6x + 9. Divide cada término entre -3: y = 2x - 3.
La segunda ecuación también es y = 2x - 3.
Misma pendiente (2) y misma intersección con el eje y (-3): las dos ecuaciones describen la misma recta. Cada punto de ella resuelve las dos ecuaciones.
El sistema tiene infinitas soluciones porque las rectas tienen la misma pendiente y la misma intersección con el eje y.
Comprobación: sustituye y = 2x - 3 en 6x - 3y = 9: 6x - 6x + 9 = 9, así que 9 = 9, verdadero para cualquier x ✓. Por ejemplo, (0, -3) y (5, 7) funcionan los dos.
Consejo: Cuando la sustitución hace desaparecer la variable, mira lo que queda: una afirmación verdadera (9 = 9) significa infinitas soluciones; una falsa (2 = 6) significa que no hay solución.
Ver en español
Pregunta
Selecciona las opciones que hacen verdadera la afirmación.
El sistema \begin{cases} 6x - 3y = 9 \\ y = 2x - 3 \end{cases} _____ porque las dos rectas tienen _____.
Opciones
tiene exactamente una solución
no tiene solución
tiene infinitas soluciones
pendientes diferentes
la misma pendiente pero diferentes intersecciones con el eje y
la misma pendiente y la misma intersección con el eje y
Pista
Reescribe 6x - 3y = 9 en la forma y = mx + b y compárala con la segunda ecuación.
Pregunta 26 de 36
A lab technician needs 30 liters of a 20% saline solution. She will mix a 10% saline solution with a 40% saline solution. How many liters of the 40% solution should she use?
Pista
Write one equation for the total liters of liquid and one for the liters of pure salt. 20% of 30 liters is how much salt?
Solución paso a paso
Let x = liters of 10% solution and y = liters of 40% solution.
Total liquid:x + y = 30.
Pure salt: the mixture has 0.20 \times 30 = 6 liters of salt, so 0.10x + 0.40y = 6.
From the first equation, x = 30 - y. Substitute: 0.10(30 - y) + 0.40y = 6.
Distribute: 3 - 0.10y + 0.40y = 6, so 0.30y = 3 and y = 10.
Then x = 30 - 10 = 20.
She should use 10 liters of the 40% solution (and 20 liters of the 10% solution).
Tip: 20% is closer to 10% than to 40%, so you need more of the 10% solution — that is a quick way to spot that 10 (not 20) is the amount of the strong solution.
Explicación
Sea x = litros de solución al 10% y y = litros de solución al 40%.
Líquido total:x + y = 30.
Sal pura: la mezcla tiene 0.20 \times 30 = 6 litros de sal, así que 0.10x + 0.40y = 6.
De la primera ecuación, x = 30 - y. Sustituye: 0.10(30 - y) + 0.40y = 6.
Aplica la propiedad distributiva: 3 - 0.10y + 0.40y = 6, así que 0.30y = 3 y y = 10.
Entonces x = 30 - 10 = 20.
Debe usar 10 litros de la solución al 40% (y 20 litros de la solución al 10%).
Consejo: 20% está más cerca de 10% que de 40%, así que necesitas más de la solución al 10%; esa es una forma rápida de ver que 10 (no 20) es la cantidad de la solución fuerte.
Ver en español
Pregunta
Una técnica de laboratorio necesita 30 litros de una solución salina al 20%. Va a mezclar una solución salina al 10% con una solución salina al 40%. ¿Cuántos litros de la solución al 40% debe usar?
Opciones
A. 6
B. 10
C. 15
D. 20
Pista
Escribe una ecuación para el total de litros de líquido y otra para los litros de sal pura. ¿Cuánta sal es el 20% de 30 litros?
Pregunta 27 de 36
Jordan is 3 times as old as his niece. In 10 years, Jordan will be twice as old as his niece will be then. Let j be Jordan's age now and n be his niece's age now. Which system models this situation?
Pista
In 10 years, both people are 10 years older. Write each future age first, then compare them.
Solución paso a paso
Now: Jordan is 3 times as old as his niece: j = 3n.
In 10 years: Jordan will be j + 10 and his niece will be n + 10.
Jordan will then be twice her age: j + 10 = 2(n + 10).
El sistema correcto es j = 3n y j + 10 = 2(n + 10).
Comprobación: sustituye: 3n + 10 = 2n + 20, así que n = 10 y j = 30. Hoy, 30 es 3 veces 10 ✓. Dentro de 10 años, 40 es el doble de 20 ✓
Consejo: En los problemas de edades, la edad de todos cambia en la misma cantidad. Pon toda la edad futura, n + 10, entre paréntesis antes de multiplicar por 2.
Ver en español
Pregunta
Jordan tiene 3 veces la edad de su sobrina. Dentro de 10 años, Jordan tendrá el doble de la edad que tendrá su sobrina en ese momento. Sea j la edad actual de Jordan y n la edad actual de su sobrina. ¿Qué sistema representa esta situación?
Dentro de 10 años, las dos personas tendrán 10 años más. Primero escribe cada edad futura y luego compáralas.
Pregunta 28 de 36
The graph shows the total cost of two car-share plans for different numbers of miles driven.
Plan A: $12 plus $0.50 per mile
Plan B: $4 plus $0.90 per mile
Graph of total cost versus miles for Plan A and Plan B; the lines cross at a marked point
At how many miles do the two plans cost the same, and which plan costs less for a 30-mile trip?
Pista
The crossing point is where the costs are equal. Which axis shows miles? To the right of the crossing, which line is lower?
Solución paso a paso
Equal cost: the lines cross at the marked point (20, 22): at 20 miles, both plans cost $22. (The 22 is a cost in dollars, on the vertical axis.)
Confirm with algebra: 12 + 0.50m = 4 + 0.90m \Rightarrow 8 = 0.40m \Rightarrow m = 20, and 12 + 0.50(20) = 22.
30 miles: Plan A costs 12 + 0.50(30) = \$27. Plan B costs 4 + 0.90(30) = \$31. On the graph, the Plan A line is lower to the right of the crossing.
The plans cost the same at 20 miles, and Plan A is cheaper for a 30-mile trip.
Check: at 20 miles: Plan A 12 + 10 = 22, Plan B 4 + 18 = 22 ✓. At 30 miles: 27 < 31 ✓
Tip: A lower starting fee wins for short trips, but a lower per-mile rate wins for long trips. After the break-even point, the plan with the smaller rate (flatter line) is cheaper.
Explicación
Mismo costo: las rectas se cruzan en el punto marcado (20, 22): con 20 millas, los dos planes cuestan $22. (El 22 es un costo en dólares, en el eje vertical).
Confirma con álgebra: 12 + 0.50m = 4 + 0.90m \Rightarrow 8 = 0.40m \Rightarrow m = 20, y 12 + 0.50(20) = 22.
30 millas: el Plan A cuesta 12 + 0.50(30) = \$27. El Plan B cuesta 4 + 0.90(30) = \$31. En la gráfica, la recta del Plan A (Plan A) está más abajo a la derecha del cruce.
Los planes cuestan lo mismo con 20 millas, y el Plan A es más barato para un viaje de 30 millas.
Comprobación: con 20 millas: Plan A 12 + 10 = 22, Plan B 4 + 18 = 22 ✓. Con 30 millas: 27 < 31 ✓
Consejo: Un cargo inicial más bajo gana en viajes cortos, pero una tasa por milla más baja gana en viajes largos. Después del punto de equilibrio, el plan con la tasa más pequeña (la recta menos inclinada) es más barato.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra el costo total de dos planes de carro compartido para diferentes números de millas recorridas.
Plan A: $12 más $0.50 por milla
Plan B: $4 más $0.90 por milla
¿Con cuántas millas cuestan lo mismo los dos planes, y qué plan cuesta menos para un viaje de 30 millas?
Opciones
A. 20 millas; el Plan A cuesta menos
B. 22 millas; el Plan B cuesta menos
C. 20 millas; el Plan B cuesta menos
D. 22 millas; el Plan A cuesta menos
Pista
El punto donde se cruzan es donde los costos son iguales. ¿Qué eje muestra las millas (miles)? A la derecha del cruce, ¿qué recta está más abajo?
The solution of the system has x = 2. What is the value of a?
a =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Use the equation without a to find y first.
Solución paso a paso
The second equation has no unknown constant. Substitute x = 2: 3(2) - y = 1, so 6 - y = 1 and y = 5.
The solution is (2, 5). It must also make the first equation true: a(2) + 2(5) = 16.
Simplify: 2a + 10 = 16, so 2a = 6 and a = 3.
a = 3.
Check: the system 3x + 2y = 16, 3x - y = 1: subtract the equations, 3y = 15, so y = 5, and then 3x = 6, x = 2 ✓
Tip: In "find the missing coefficient" problems, the known solution is the key. Find the full point first (both coordinates), then substitute it into the equation with the unknown.
Explicación
La segunda ecuación no tiene constante desconocida. Sustituye x = 2: 3(2) - y = 1, así que 6 - y = 1 y y = 5.
La solución es (2, 5). También debe hacer verdadera la primera ecuación: a(2) + 2(5) = 16.
Simplifica: 2a + 10 = 16, así que 2a = 6 y a = 3.
a = 3.
Comprobación: el sistema 3x + 2y = 16, 3x - y = 1: resta las ecuaciones, 3y = 15, así que y = 5, y luego 3x = 6, x = 2 ✓
Consejo: En los problemas de "encuentra el coeficiente que falta", la solución conocida es la clave. Primero encuentra el punto completo (las dos coordenadas) y luego sustitúyelo en la ecuación que tiene la incógnita.
No solution means parallel lines. Write the second equation in y = mx + b form to find its slope.
Solución paso a paso
Solve the second equation for y: 6x - 2y = 5 \Rightarrow -2y = -6x + 5 \Rightarrow y = 3x - 2.5.
Its slope is 3 and its y-intercept is -2.5.
No solution means the lines are parallel: equal slopes, different intercepts. The first line has intercept 4 (different from -2.5), so we only need k = 3.
k = 3.
Check: with k = 3, substitute y = 3x + 4 into 6x - 2y = 5: 6x - 6x - 8 = 5, so -8 = 5 — false for every x, so there is no solution ✓
Tip: The slope is the coefficient of xonly after the equation is solved for y. In 6x - 2y = 5 the slope is \tfrac{6}{2} = 3, not 6.
Explicación
Despeja y en la segunda ecuación: 6x - 2y = 5 \Rightarrow -2y = -6x + 5 \Rightarrow y = 3x - 2.5.
Su pendiente es 3 y su intersección con el eje y es -2.5.
Sin solución significa que las rectas son paralelas: pendientes iguales, intersecciones distintas. La primera recta tiene intersección 4 (distinta de -2.5), así que solo necesitamos k = 3.
k = 3.
Comprobación: con k = 3, sustituye y = 3x + 4 en 6x - 2y = 5: 6x - 6x - 8 = 5, así que -8 = 5, falso para cualquier x; por lo tanto, no hay solución ✓
Consejo: La pendiente es el coeficiente de xsolo después de despejar y. En 6x - 2y = 5 la pendiente es \tfrac{6}{2} = 3, no 6.
Ver en español
Pregunta
¿Para qué valor de k el sistema de abajo no tiene solución?
Tip: The y-intercepts (0, 3) and (0, -2) are each on only one line, so they cannot be the solution. For a point left of the y-axis, the x-coordinate is negative.
Explicación
La solución de un sistema es el punto donde se cruzan las dos rectas.
En la gráfica, las rectas se cruzan 2 unidades a la izquierda del origen y 2 unidades hacia arriba: (-2, 2).
Confirma con álgebra: \tfrac{1}{2}x + 3 = -2x - 2. Multiplica cada término por 2: x + 6 = -4x - 4. Suma 4x: 5x + 6 = -4. Resta 6: 5x = -10, así que x = -2.
Consejo: Las intersecciones con el eje y, (0, 3) y (0, -2), están cada una en una sola recta, así que no pueden ser la solución. Para un punto a la izquierda del eje y, la coordenada x es negativa.
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Pregunta
En el plano de coordenadas de abajo hay dos rectas graficadas: una recta azul, y = \tfrac{1}{2}x + 3, y una recta anaranjada, y = -2x - 2.
Selecciona el punto de la gráfica cuyas coordenadas cumplen con ambas ecuaciones.
Pista
Encuentra el único punto que está en las dos rectas. Puedes confirmar tu elección sustituyéndolo en las dos ecuaciones.
Pregunta 32 de 36
Consider the point (-1.5,\ 4) and the system of equations below.
Substitute x = -1.5 and y = 4 into each equation separately. Be careful with the negative signs.
Solución paso a paso
Test the point in each equation, with x = -1.5 and y = 4.
First equation:4(-1.5) + 4 = -6 + 4 = -2. The right side is -2 ✓
Second equation:2(-1.5) - 3(4) = -3 - 12 = -15. The right side is -15 ✓
The point makes both equations true, so it is the solution of the system.
(-1.5, 4) is the solution of the system.
Check: solve directly. From the first equation, y = -4x - 2. Substitute: 2x - 3(-4x - 2) = -15 \Rightarrow 2x + 12x + 6 = -15 \Rightarrow 14x = -21 \Rightarrow x = -1.5, and y = 6 - 2 = 4 ✓
Tip: Testing a point is often faster than solving. Write each substitution with parentheses — 4(-1.5), -3(4) — so the signs stay correct.
Explicación
Prueba el punto en cada ecuación, con x = -1.5 y y = 4.
Primera ecuación:4(-1.5) + 4 = -6 + 4 = -2. El lado derecho es -2 ✓
Segunda ecuación:2(-1.5) - 3(4) = -3 - 12 = -15. El lado derecho es -15 ✓
El punto hace verdaderas las dos ecuaciones, así que es la solución del sistema.
(-1.5, 4) es la solución del sistema.
Comprobación: resuelve directamente. De la primera ecuación, y = -4x - 2. Sustituye: 2x - 3(-4x - 2) = -15 \Rightarrow 2x + 12x + 6 = -15 \Rightarrow 14x = -21 \Rightarrow x = -1.5, y y = 6 - 2 = 4 ✓
Consejo: Probar un punto muchas veces es más rápido que resolver. Escribe cada sustitución con paréntesis, 4(-1.5), -3(4), para que los signos queden bien.
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Pregunta
Considera el punto (-1.5,\ 4) y el sistema de ecuaciones de abajo.
Sustituye x = -1.5 y y = 4 en cada ecuación por separado. Cuidado con los signos negativos.
Pregunta 33 de 36
A boat travels 36 miles downstream (with the current) in 2 hours. The return trip of 36 miles upstream (against the current) takes 3 hours. The boat's speed in still water and the speed of the current stay the same. What is the speed of the current, in miles per hour?
Pista
Downstream, the current adds to the boat's speed; upstream, it subtracts. Use d = rt to find each speed, then set up two equations.
Solución paso a paso
Let b = boat speed in still water and c = current speed (mph).
Downstream speed = \dfrac{36}{2} = 18 mph, and it equals b + c: b + c = 18.
Upstream speed = \dfrac{36}{3} = 12 mph, and it equals b - c: b - c = 12.
Tip: With/against problems (current, wind) always give a sum and a difference. Adding the equations finds the boat (or plane) speed; subtracting finds the current (or wind) speed. Read which one the question asks for.
Explicación
Sea b = la velocidad del bote en agua tranquila y c = la velocidad de la corriente (mph).
Velocidad río abajo = \dfrac{36}{2} = 18 mph, y es igual a b + c: b + c = 18.
Velocidad río arriba = \dfrac{36}{3} = 12 mph, y es igual a b - c: b - c = 12.
Consejo: Los problemas a favor y en contra (de la corriente, del viento) siempre dan una suma y una diferencia. Sumar las ecuaciones da la velocidad del bote (o del avión); restarlas da la velocidad de la corriente (o del viento). Lee cuál de las dos pide la pregunta.
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Pregunta
Un bote recorre 36 millas río abajo (a favor de la corriente) en 2 horas. El viaje de regreso de 36 millas río arriba (en contra de la corriente) toma 3 horas. La velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad de la corriente no cambian. ¿Cuál es la velocidad de la corriente, en millas por hora?
Opciones
A. 3
B. 6
C. 14.4
D. 15
Pista
Río abajo, la corriente se suma a la velocidad del bote; río arriba, se resta. Usa d = rt para encontrar cada velocidad y luego plantea dos ecuaciones.
The solution of the system is (-1, 2). Find b and c.
b =
c =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The point (-1, 2) means x = -1 and y = 2. Substitute into each equation separately.
Solución paso a paso
A solution must make both equations true, so substitute x = -1 and y = 2 into each one.
First equation:b(-1) + 3(2) = 4 \Rightarrow -b + 6 = 4 \Rightarrow -b = -2 \Rightarrow b = 2.
Second equation:2(-1) - c(2) = 16 \Rightarrow -2 - 2c = 16 \Rightarrow -2c = 18 \Rightarrow c = -9.
b = 2 and c = -9.
Check: the system becomes 2x + 3y = 4 and 2x + 9y = 16 (because -(-9)y = +9y). Subtract: 6y = 12, so y = 2; then 2x + 6 = 4, so x = -1 ✓
Tip: Keep the parentheses when you substitute negative numbers: b(-1) is -b, and -c(2) is -2c. Dividing -2c = 18 by -2 gives a negative answer.
Explicación
Una solución debe hacer verdaderas las dos ecuaciones, así que sustituye x = -1 y y = 2 en cada una.
Primera ecuación:b(-1) + 3(2) = 4 \Rightarrow -b + 6 = 4 \Rightarrow -b = -2 \Rightarrow b = 2.
Segunda ecuación:2(-1) - c(2) = 16 \Rightarrow -2 - 2c = 16 \Rightarrow -2c = 18 \Rightarrow c = -9.
b = 2 y c = -9.
Comprobación: el sistema queda 2x + 3y = 4 y 2x + 9y = 16 (porque -(-9)y = +9y). Resta: 6y = 12, así que y = 2; luego 2x + 6 = 4, así que x = -1 ✓
Consejo: Conserva los paréntesis cuando sustituyas números negativos: b(-1) es -b, y -c(2) es -2c. Dividir -2c = 18 entre -2 da una respuesta negativa.
Consejo: Los decimales en un sistema no lo hacen más difícil: quítalos primero multiplicando por 10 (o por 100). Luego usa los mismos pasos de eliminación de siempre.
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Pregunta
Todos los coeficientes de este sistema son decimales. Puede ayudar quitar primero los decimales. ¿Qué par ordenado (x, y) hace verdaderas las dos ecuaciones?
Multiplica las dos ecuaciones por 10 para quitar los decimales. Luego haz que los coeficientes de y sean opuestos.
Pregunta 36 de 36
Completar
A club is ordering printed T-shirts. Two shops give these prices:
Shop A: $75 setup fee plus $6.50 per shirt
Shop B: no setup fee, $9.00 per shirt
What is the least number of shirts the club must order for Shop A to be cheaper than Shop B?
shirts
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
First find the number of shirts where the two shops cost exactly the same. Then think about which shop is cheaper for one more shirt.
Solución paso a paso
Write the costs for n shirts: Shop A: C = 75 + 6.50n. Shop B: C = 9n.
Break-even: set them equal: 75 + 6.50n = 9n. Subtract 6.50n: 75 = 2.50n, so n = 30.
At 30 shirts both cost the same: 75 + 6.50(30) = 75 + 195 = \$270 and 9(30) = \$270.
Shop A has the smaller per-shirt price, so it becomes cheaper after the break-even point. The least whole number greater than 30 is 31.
The club must order at least 31 shirts.
Check: 31 shirts: Shop A 75 + 6.50(31) = 75 + 201.50 = \$276.50; Shop B 9(31) = \$279. Shop A is cheaper ✓. At 30 shirts they tie, so 30 is not "cheaper" ✓
Tip: "Cheaper than" is strict: at the break-even number the costs are equal, so you need the next whole number. Always check one value on each side of the break-even point.
Explicación
Escribe los costos de n camisetas: Tienda A: C = 75 + 6.50n. Tienda B: C = 9n.
Punto de equilibrio: iguálalos: 75 + 6.50n = 9n. Resta 6.50n: 75 = 2.50n, así que n = 30.
Con 30 camisetas las dos cuestan lo mismo: 75 + 6.50(30) = 75 + 195 = \$270 y 9(30) = \$270.
La Tienda A tiene el precio por camiseta más bajo, así que se vuelve más barata después del punto de equilibrio. El menor número entero mayor que 30 es 31.
El club debe pedir al menos 31 camisetas.
Comprobación: 31 camisetas: Tienda A 75 + 6.50(31) = 75 + 201.50 = \$276.50; Tienda B 9(31) = \$279. La Tienda A es más barata ✓. Con 30 camisetas empatan, así que 30 no es "más barata" ✓
Consejo: "Más barata que" es estricto: en el número del punto de equilibrio los costos son iguales, así que necesitas el siguiente número entero. Siempre comprueba un valor a cada lado del punto de equilibrio.
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Pregunta
Un club va a pedir camisetas estampadas. Dos tiendas dan estos precios:
Tienda A: cargo de preparación de $75 más $6.50 por camiseta
Tienda B: sin cargo de preparación, $9.00 por camiseta
¿Cuál es el menor número de camisetas que debe pedir el club para que la Tienda A sea más barata que la Tienda B?
_____ camisetas
Pista
Primero encuentra el número de camisetas con el que las dos tiendas cuestan exactamente lo mismo. Luego piensa qué tienda es más barata con una camiseta más.
