Resolver ecuaciones cuadráticas

1. En la ecuación, x^2 está sola, así que saca la raíz cuadrada en ambos lados.
2. x = \pm\sqrt{64} = \pm 8
3. Los dos valores funcionan, así que las soluciones son x = 8 y x = -8.

Comprobación: 8^2 = 8 \times 8 = 64 ✓ y (-8)^2 = (-8) \times (-8) = 64 ✓ (un negativo por un negativo da positivo).

Consejo: Cuando sacas la raíz cuadrada para resolver una ecuación, escribe siempre \pm. Un número positivo tiene dos raíces cuadradas.

1. La ecuación no tiene término en x, así que usa el método de la raíz cuadrada. Primero despeja x^2.
2. Divide los dos lados entre 2: x^2 = \frac{72}{2} = 36
3. Saca la raíz cuadrada de los dos lados. Tanto 6^2 = 36 como (-6)^2 = 36, así que hay dos soluciones: x = \pm\sqrt{36} = \pm 6
4. Las soluciones son x = 6 y x = -6.

Comprobación: 2(6)^2 = 2(36) = 72 ✓ y 2(-6)^2 = 2(36) = 72 ✓

Consejo: Cuando sacas la raíz cuadrada para resolver una ecuación, siempre escribe \pm. Un número positivo tiene dos raíces cuadradas, así que x^2 = k (con k > 0) tiene dos soluciones.

1. Factoriza x^2 - 9x + 20. Necesitamos dos números cuyo producto sea 20 y cuya suma sea -9.
2. Prueba parejas de factores de 20 con los dos números negativos (producto positivo y suma negativa):
   • -1 y -20: suma -21 ✗
   • -2 y -10: suma -12 ✗
   • -4 y -5: suma -9 ✓
3. Así que x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) = 0.
4. Propiedad del producto cero: x - 4 = 0 o x - 5 = 0, así que x = 4 o x = 5.

Comprobación: 4^2 - 9(4) + 20 = 16 - 36 + 20 = 0 ✓ y 5^2 - 9(5) + 20 = 25 - 45 + 20 = 0 ✓

Consejo: Los números dentro de los factores tienen el signo opuesto al de las soluciones: (x - 4) da x = +4.

1. Empieza con x^2 + 6 = 42. Para despejar x^2, deshaz el "+ 6" restando 6 de los dos lados: x^2 = 42 - 6 = 36
2. Jordan escribió x^2 = 48, lo que significa que sumó 6. Así que el primer error está en el Paso 1.
3. Los Pasos 2 y 3 están bien hechos a partir de su valor equivocado: \pm\sqrt{48} \approx \pm 6.93. Pero parten de un número equivocado.
4. Solución correcta: x = \pm\sqrt{36} = \pm 6.

Comprobación: La respuesta de Jordan no funciona: 6.93^2 + 6 \approx 48 + 6 = 54 \ne 42. La respuesta correcta sí funciona: 6^2 + 6 = 42 ✓

Consejo: En las preguntas sobre errores, sustituye la respuesta final en la ecuación original. Si no funciona, revisa cada paso desde el principio: el primer paso equivocado es la respuesta.

1. La ecuación está en forma estándar con b = 3 y c = -10.
2. Busca dos números que multiplicados den -10 y sumados den 3: 5 \times (-2) = -10 y 5 + (-2) = 3.
3. Factoriza: (x + 5)(x - 2) = 0
4. Propiedad del producto cero: x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5; x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2.
5. Las soluciones son x = -5 o x = 2.

Comprobación: (-5)^2 + 3(-5) - 10 = 25 - 15 - 10 = 0 ✓; 2^2 + 3(2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0 ✓

Consejo: Comprueba tus factores multiplicándolos de nuevo: (x + 5)(x - 2) = x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10 ✓

1. Forma estándar ax^2 + bx + c = 0: a = 3, b = -5, c = -1.
2. Fórmula cuadrática: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
3. -b = -(-5) = 5.
4. Discriminante: b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(3)(-1) = 25 - (-12) = 25 + 12 = 37.
5. Denominador: 2a = 2(3) = 6.
6. x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6} Así que la respuesta es \dfrac{5 \pm \sqrt{37}}{6}.

Comprobación: \sqrt{37} \approx 6.083, así que x \approx \tfrac{11.083}{6} \approx 1.847. Entonces 3(1.847)^2 - 5(1.847) - 1 \approx 10.235 - 9.235 - 1 \approx 0 ✓

Consejo: Escribe a, b y c con sus signos antes de sustituir. Una c negativa hace que -4ac sea positivo.

1. Saca la raíz cuadrada en ambos lados: x + 2 = \pm\sqrt{25} = \pm 5
2. Caso 1: x + 2 = 5 \Rightarrow x = 5 - 2 = 3.
3. Caso 2: x + 2 = -5 \Rightarrow x = -5 - 2 = -7.
4. Las soluciones son x = 3 o x = -7.

Comprobación: (3 + 2)^2 = 5^2 = 25 ✓ y (-7 + 2)^2 = (-5)^2 = 25 ✓

Consejo: Con un grupo elevado al cuadrado, no hace falta desarrollarlo: saca la raíz cuadrada (con \pm) y resuelve dos ecuaciones sencillas.

1. Pasa todos los términos a un lado para que el otro lado sea 0: x^2 - 7x = 0
2. Los dos términos tienen el factor x. Sácalo (el MCD): x(x - 7) = 0
3. Propiedad del producto cero: x = 0 o x - 7 = 0.
4. Así que las soluciones son x = 0 o x = 7.

Comprobación: 0^2 = 7(0) da 0 = 0 ✓. 7^2 = 49 y 7(7) = 49 ✓

Consejo: Nunca dividas los dos lados entre x: x podría ser 0, y al dividir pierdes esa solución. En cambio, pasa todo a un lado y saca x como factor.

1. Identifica los coeficientes: a = 3, b = -5, c = 4.
2. Calcula el discriminante: b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(3)(4) = 25 - 48 = -23
3. Interprétalo:
   • positivo → dos soluciones reales
   • cero → exactamente una solución real
   • negativo → ninguna solución real
4. Como -23 < 0, la respuesta es -23; ninguna solución real.

Comprobación: La fórmula cuadrática necesitaría \sqrt{-23}. No hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, así que no existe solución real ✓

Consejo: (-5)^2 es +25: elevar un negativo al cuadrado da un positivo. Y usa el 4ac completo: aquí 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48.

1. Compara 3x^2 + 2x - 5 = 0 con ax^2 + bx + c = 0: a = 3, b = 2, c = -5.
2. Sustituye en x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}: x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-5)}}{2(3)}
3. Simplifica con cuidado: 2^2 = 4, -4(3)(-5) = +60 y 2(3) = 6: x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}
4. Así que el planteamiento correcto es x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}.

Comprobación: Termínalo: \sqrt{64} = 8, así que x = \tfrac{6}{6} = 1 o x = \tfrac{-10}{6} = -\tfrac{5}{3}. Prueba x = 1: 3 + 2 - 5 = 0 ✓

Consejo: Cuando c es negativo, -4ac se vuelve positivo (un negativo por un negativo). La fórmula está en la hoja de fórmulas del GED®, pero los signos dependen de ti.

1. Cada solución r da un factor (x - r):
   • x = 5 → (x - 5)
   • x = -3 → (x - (-3)) = (x + 3)
2. Así que la ecuación es (x + 3)(x - 5) = 0.
3. Desarrolla (FOIL: primeros, externos, internos, últimos): x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15
4. La ecuación es x^2 - 2x - 15 = 0.

Comprobación: x = -3: 9 + 6 - 15 = 0 ✓. x = 5: 25 - 10 - 15 = 0 ✓

Consejo: También puedes probar cada opción de respuesta: sustituye las dos soluciones. La ecuación correcta da 0 para las dos.

1. Escribe la ecuación en forma estándar restando 5x y 2 en ambos lados: 3x^2 - 5x - 2 = 0
2. a = 3, b = -5, c = -2. Discriminante: (-5)^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49.
3. x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{5 \pm 7}{6}
4. x = \dfrac{5 + 7}{6} = 2 o x = \dfrac{5 - 7}{6} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}.
5. Las soluciones son x = 2 o x = -\tfrac{1}{3}. (Factorizando: (3x + 1)(x - 2) = 0.)

Comprobación: x = 2: 3(2)^2 = 12 y 5(2) + 2 = 12 ✓. x = -\tfrac{1}{3}: 3 \cdot \tfrac{1}{9} = \tfrac{1}{3} y 5(-\tfrac{1}{3}) + 2 = -\tfrac{5}{3} + \tfrac{6}{3} = \tfrac{1}{3} ✓

Consejo: Siempre deja primero "= 0". Cuando pasas un término al otro lado del signo igual, su signo cambia.

1. Escríbela en forma estándar restando 7x de los dos lados: 2x^2 - 7x + 3 = 0
2. Factoriza. Necesitamos (2x \;\_\;)(x \;\_\;) con un producto de +3 y un término del medio de -7x. Prueba (2x - 1)(x - 3): 2x^2 - 6x - x + 3 = 2x^2 - 7x + 3 \;✓
3. Propiedad del producto cero:
   • 2x - 1 = 0 → 2x = 1 → x = \tfrac{1}{2}
   • x - 3 = 0 → x = 3
4. Las soluciones son x = \tfrac{1}{2} o x = 3.

Comprobación: x = \tfrac{1}{2}: 2(\tfrac{1}{4}) + 3 = 3.5 y 7(\tfrac{1}{2}) = 3.5 ✓. x = 3: 18 + 3 = 21 = 7(3) ✓

Consejo: Cuando a \ne 1, siempre desarrolla tus factores para probar el término del medio. Dos parejas de factores diferentes pueden dar el primer y el último término correctos.

1. Despeja el grupo al cuadrado. Divide los dos lados entre 4: (x - 1)^2 = 9
2. Saca la raíz cuadrada de los dos lados con \pm: x - 1 = \pm 3
3. Resuelve cada ecuación sumando 1: x = 1 + 3 = 4 \quad \text{o} \quad x = 1 - 3 = -2
4. Las soluciones son x = 4 o x = -2.

Comprobación: 4(4 - 1)^2 = 4(9) = 36 ✓ y 4(-2 - 1)^2 = 4(9) = 36 ✓

Consejo: Deshaz las operaciones en orden inverso: el 4 multiplica al cuadrado, así que divide entre 4 primero, luego saca la raíz y después pasa el 1.

1. Identifica a = 1, b = 4, c = -7.
2. Discriminante: 4^2 - 4(1)(-7) = 16 + 28 = 44.
3. Fórmula cuadrática: x = \frac{-4 \pm \sqrt{44}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{44}}{2}
4. \sqrt{44} \approx 6.633.
   • Más: \dfrac{-4 + 6.633}{2} = \dfrac{2.633}{2} \approx 1.3
   • Menos: \dfrac{-4 - 6.633}{2} = \dfrac{-10.633}{2} \approx -5.3
5. Las soluciones son x \approx 1.3 y x \approx -5.3.

Comprobación: Las dos soluciones deben sumar -\tfrac{b}{a} = -4: 1.3 + (-5.3) = -4 ✓. Y 1.3^2 + 4(1.3) - 7 = 1.69 + 5.2 - 7 \approx -0.1 (cerca de 0 por el redondeo) ✓

Consejo: Divide todo el numerador entre 2a, no solo la raíz cuadrada.

1. Resolver x^2 + x - 12 = 0 significa encontrar los valores de x que hacen y = 0.
2. Busca el 0 en la fila de y. Aparece en dos columnas: x = -4 y x = 3.
3. Así que las soluciones son x = -4 y x = 3.
4. Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos soluciones, así que ya las encontramos todas.

Comprobación: Factoriza: x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3), que da x = -4 o x = 3 ✓. También (-4)^2 + (-4) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0 ✓

Consejo: En una tabla, las soluciones son los valores de x en las columnas donde y = 0; nunca los valores de y, ni donde y es más pequeño.

1. Como x = 5 es una solución, al sustituirlo la ecuación es verdadera: 2(5)^2 + b(5) - 15 = 0
2. Simplifica: 2(25) = 50, así que 50 + 5b - 15 = 0 \;\Rightarrow\; 35 + 5b = 0
3. Resta 35: 5b = -35. Divide entre 5: b = -7.
4. La ecuación es 2x^2 - 7x - 15 = 0.

Comprobación: Factoriza: 2x^2 - 7x - 15 = (2x + 3)(x - 5), así que x = 5 es una solución ✓ (la otra es -\tfrac{3}{2}). También 2(25) - 7(5) - 15 = 50 - 35 - 15 = 0 ✓

Consejo: "Una solución es…" significa que puedes sustituirla. Primero eleva al cuadrado (5^2 = 25) y luego multiplica por 2.

1. El Paso 1 es correcto: x^2 - 4x - 5 tiene a = 1, b = -4, c = -5.
2. Paso 2: La fórmula empieza con -b. Como b = -4, -b = -(-4) = +4. Lena escribió -4, así que el Paso 2 tiene el primer error. (Su parte de la raíz cuadrada está bien: (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36.)
3. Trabajo correcto: x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}
4. Así que x = \tfrac{10}{2} = 5 o x = \tfrac{-2}{2} = -1.

Comprobación: 5^2 - 4(5) - 5 = 25 - 20 - 5 = 0 ✓. El x = 1 de Lena: 1 - 4 - 5 = -8 \ne 0 ✗: sus respuestas no funcionan. (Al factorizar también se obtiene (x - 5)(x + 1) = 0.)

Consejo: -b significa "el opuesto de b". Cuando b es negativo, -b es positivo.

1. Suma 15x a los dos lados para que el lado derecho sea 0: 6x^2 + 15x = 0
2. El MCD de 6x^2 y 15x es 3x. Sácalo como factor: 3x(2x + 5) = 0
3. Propiedad del producto cero:
   • 3x = 0 → x = 0
   • 2x + 5 = 0 → 2x = -5 → x = -\tfrac{5}{2}
4. Las soluciones son x = 0 o x = -\tfrac{5}{2}.

Comprobación: x = -\tfrac{5}{2}: 6(\tfrac{25}{4}) = 37.5 y -15(-\tfrac{5}{2}) = 37.5 ✓. x = 0: 0 = 0 ✓

Consejo: Pasar un término al otro lado del signo igual cambia su signo: -15x a la derecha se convierte en +15x a la izquierda. Y no pierdas x = 0: no dividas entre x.

1. Sustituye x = 4: 4^2 + k(4) - 20 = 0 \Rightarrow 16 + 4k - 20 = 0 \Rightarrow 4k - 4 = 0
2. Resuelve: 4k = 4, así que k = 1.
3. La ecuación es x^2 + x - 20 = 0.
4. Factoriza: dos números que multiplicados dan -20 y sumados dan 1 son 5 y -4: (x + 5)(x - 4) = 0
5. Soluciones: x = -5 y x = 4. La otra solución es -5.

Comprobación: (-5)^2 + (-5) - 20 = 25 - 5 - 20 = 0 ✓. Atajo: cuando el coeficiente de x^2 es 1, el producto de las dos soluciones es la constante: 4 \times (-5) = -20 ✓

Consejo: En los problemas "hacia atrás", usa la solución dada para hallar primero la constante que falta y luego resuelve de la manera normal.

1. Pasa todos los términos a la izquierda: resta 6x y suma 4: x^2 - 6x + 4 = 0 \quad (a = 1,\ b = -6,\ c = 4)
2. Discriminante: (-6)^2 - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20.
3. Fórmula: x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}
4. Simplifica \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}: x = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}
5. La respuesta es 3 \pm \sqrt{5}.

Comprobación: 3 + \sqrt{5} \approx 5.236: 5.236^2 \approx 27.42 y 6(5.236) - 4 \approx 27.42 ✓

Consejo: Cuando simplifiques \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}, divide los dos términos del numerador entre 2.

1. El lado derecho es 7, no 0, así que no puedes igualar cada factor a 7. Primero desarrolla: (x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5
2. Plantea la ecuación y resta 7: x^2 + 4x - 5 = 7 \;\Rightarrow\; x^2 + 4x - 12 = 0
3. Factoriza: dos números con producto -12 y suma 4 son 6 y -2: (x + 6)(x - 2) = 0
4. Así que x = -6 o x = 2.

Comprobación: x = 2: (7)(1) = 7 ✓. x = -6: (-1)(-7) = 7 ✓

Consejo: Si un producto es igual a un número distinto de cero, hay muchas parejas de factores posibles, así que no hay atajo. Desarrolla, pasa todo a un lado para obtener 0 y luego factoriza.