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Probabilidad y estadística en las ciencias

Calcula y elige medidas de tendencia central y de dispersión, usa cuadros de Punnett y la probabilidad, y evalúa muestras y barras de error.

Practicar esta destreza 18 min Probabilidad y estadística en las ciencias Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Los seres vivos varían, las mediciones nunca son perfectas y muchos sucesos naturales ocurren por azar. Los científicos usan la estadística para resumir datos y la probabilidad para predecir resultados. El GED® llama a esta destreza probabilidad y estadística en las ciencias.

En esta lección aprenderás a:

  • calcular la media, la mediana y la moda y elegir entre ellas, y medir la dispersión con el rango;
  • reconocer los valores atípicos y cómo afectan a cada medida;
  • calcular la probabilidad, incluso con un cuadro de Punnett, y convertir una probabilidad en un número esperado;
  • evaluar muestras: aleatorias frente a sesgadas, pequeñas frente a grandes;
  • leer barras de error y decidir si una diferencia entre grupos es convincente.

Cómo aparece en el GED®: Verás tablas de pruebas repetidas, cuadros de Punnett, datos de encuestas y gráficas de barras con barras de error. Las preguntas te piden calcular una media o una mediana (a menudo para completar), dar la probabilidad de un rasgo en la descendencia, estimar una población a partir de una muestra, explicar por qué los resultados observados difieren de las predicciones o elegir la conclusión que mejor apoyan unos datos inciertos.

Vocabulario

Términos clave

  • media (promedio): la suma de los valores dividida entre la cantidad de valores (112 ÷ 8 = 14).
  • mediana: el valor del medio cuando los datos están en orden (8, 11, 12, 12, 15, 16, 18, 20 → 13.5).
  • moda: el valor que aparece más veces (el 12 aparece dos veces).
  • rango: el valor mayor menos el valor menor; una medida de dispersión (20 − 8 = 12).
  • valor atípico: un valor muy alejado del resto de los datos (0.92 s entre tiempos cercanos a 0.30 s).
  • probabilidad: qué tan posible es un suceso, de 0 (imposible) a 1 (seguro); se escribe como fracción, decimal o porcentaje (\tfrac{1}{4} = 0.25 = 25%).
  • alelo: una versión de un gen (T para alto, t para bajo).
  • dominante / recesivo: un alelo dominante muestra su rasgo con una sola copia; un alelo recesivo solo se muestra con dos copias.
  • genotipo / fenotipo: las letras de los alelos (Tt) frente al rasgo visible (alto).
  • homocigoto / heterocigoto: dos alelos idénticos (TT, tt) frente a dos alelos diferentes (Tt).
  • cuadro de Punnett: una cuadrícula que muestra todas las combinaciones de alelos igual de probables en un cruce.
  • valor esperado: probabilidad × número de pruebas (\tfrac{3}{4} \times 200 = 150).
  • muestra: la parte de una población que realmente se mide.
  • muestra aleatoria: cada miembro tiene la misma probabilidad de ser elegido.
  • sesgo: un error sistemático que empuja los resultados en una dirección.
  • barra de error: una línea en una gráfica que muestra la incertidumbre de un valor.

Todas las palabras de Ciencias en el glosario

1. Media, mediana y moda

Cada uno de estos tres números describe el centro de un conjunto de datos.

Media. Suma todos los valores y divide entre la cantidad de valores. Alturas de plántulas 15, 12, 8, 20, 12, 16, 11, 18: suma = 112, cantidad = 8, media = 14 cm.

Mediana. Ordena los valores y luego busca el del medio.

  • Cantidad impar de valores: la mediana es el único valor del medio. (0.29, 0.30, 0.31, 0.33, 0.92 → 0.31)
  • Cantidad par de valores: la mediana es la media de los dos valores del medio. (8, 11, 12, 12, 15, 16, 18, 20 → \dfrac{12 + 15}{2} = 13.5)

Moda. El valor más frecuente. Un conjunto de datos puede tener una moda, más de una o ninguna (si cada valor aparece una sola vez). En los datos de las plántulas, el 12 aparece dos veces, así que la moda es 12 cm.

Dot plot of 8 seedling heights in centimeters: 8, 11, 12, 12, 15, 16, 18, 20, with two dots stacked at 12. The mode, 12, is the tallest stack. The median, 13.5, is halfway between the two middle values 12 and 15. The mean, 14, is the sum 112 divided by 8. 6810121416182022mode 12median 13.5mean 14Seedling height (cm)Sorted: 8, 11, 12, 12, 15, 16, 18, 20 (sum 112, count 8)
Diagrama de puntos de las alturas de las plántulas con media 14, mediana 13.5 y moda 12

¿Qué medida debes informar?

SituaciónMejor medidaPor qué
Los valores son bastante parejos, sin valores atípicosMediaUsa todos los valores
Hay un valor atípico o los datos están sesgadosMedianaLos valores extremos no la arrastran
Quieres la categoría o el valor más comúnModaFunciona incluso con datos que no son números (color de ojos)

2. Dispersión, valores atípicos y pruebas repetidas

Dos conjuntos de datos pueden tener la misma media pero una dispersión muy diferente. El rango (máximo − mínimo) es la medida de dispersión más sencilla.

Valores atípicos. Un valor atípico es un valor muy alejado de los demás. Puede venir de una equivocación (un instrumento mal leído, una distracción) o de un suceso real pero poco común. Los valores atípicos afectan mucho a la media y al rango, pero casi no afectan a la mediana.

Tiempos de reacción (s)MediaMedianaRango
0.31, 0.29, 0.33, 0.300.30750.3050.04
0.31, 0.29, 0.33, 0.30, 0.920.430.310.63

Agregar un solo valor atípico subió la media unos 0.12 s, pero la mediana cambió solo 0.005 s.

Dot plot of five reaction times: 0.29, 0.30, 0.31 and 0.33 seconds clustered together, and an outlier at 0.92 seconds. The median, 0.31 seconds, stays with the cluster. The mean, 0.43 seconds, is pulled up toward the outlier. 0.30.40.50.60.70.80.9outlier 0.92median 0.31mean 0.43the outlier pulls the mean upReaction time (s)
Diagrama de puntos: un valor atípico jala la media a 0.43 s, pero la mediana se queda en 0.31 s

Por qué los científicos repiten las pruebas. Toda medición tiene algo de error aleatorio. Repetir las pruebas y sacar el promedio reduce el efecto de ese error y deja ver los valores atípicos. Un resultado que aparece en muchas pruebas es más confiable que un resultado de una sola prueba. Un rango pequeño entre las pruebas significa que las mediciones son precisas (cercanas entre sí).

3. Probabilidad y cuadros de Punnett

Probabilidad de un suceso = \dfrac{\text{número de resultados favorables}}{\text{número total de resultados igual de probables}}.

Una moneda justa: P(cara) = \tfrac{1}{2}. Un dado de seis caras: P(sacar un 4) = \tfrac{1}{6}.

Cuadros de Punnett. Cada progenitor pasa un alelo a cada descendiente, elegido al azar. Un cuadro de Punnett muestra todas las combinaciones. Cada casilla es igual de probable, así que cada casilla es \tfrac{1}{4} (25%) en un cuadro de 2 × 2.

CruceCasillasProporción de genotiposProporción de fenotipos (dominante : recesivo)
Tt \times TtTT, Tt, Tt, tt1 TT : 2 Tt : 1 tt3 : 1 (75% : 25%)
Tt \times ttTt, Tt, tt, tt2 Tt : 2 tt1 : 1 (50% : 50%)
TT \times ttTt, Tt, Tt, Tttodos Tttodos dominantes (100%)
TT \times TtTT, TT, Tt, Tt2 TT : 2 Tttodos dominantes (100%)

Lee la pregunta con cuidado: ¿pregunta por un genotipo (TT, Tt, tt) o por un fenotipo (alto, bajo)? Para Tt \times Tt: P(Tt) = 50%, pero P(alto) = 75%.

Números esperados. Multiplica la probabilidad por el número de descendientes. De 200 descendientes de Tt \times Tt: altos = \tfrac{3}{4} \times 200 = 150; bajos = \tfrac{1}{4} \times 200 = 50.

Observado frente a esperado. Los conteos reales casi nunca coinciden exactamente. 140 altos y 60 bajos está cerca de 150 y 50; la diferencia se debe al azar. Las muestras más grandes por lo general se acercan más a la proporción predicha, de la misma manera que 1,000 lanzamientos de moneda se acercan más a la mitad de caras que 10 lanzamientos.

Bar graph for 200 offspring of a Tt by Tt cross. Tall: expected 150 (three-fourths of 200), observed 140. Short: expected 50 (one-fourth of 200), observed 60. Chance makes observed counts differ a little from expected. 0255075100125150175Number of offspring150140tall5060shortexpectedobservedExpected:¾ × 200 = 150¼ × 200 = 50Chance makesobserved countsdiffer a little.
Gráfica de barras: 150 altos y 50 bajos esperados frente a 140 y 60 observados

4. Muestreo, sesgo y barras de error

Los científicos casi nunca miden a todos los miembros de una población. Miden una muestra y la usan para estimar el total.

Estimar una población. Calcula la media por unidad (por m², por litro, por hora) y luego multiplica por el total. Ejemplo: 10 cuadrantes aleatorios de 1 m² contienen 40 plantas de algodoncillo → media de 4 por m². El campo mide 500 m². Estimación: 4 \times 500 = 2{,}000 plantas.

A 25 meter by 20 meter field, 500 square meters, with 10 randomly placed 1 square meter quadrats. The plant counts in the quadrats total 40, a mean of 4 plants per square meter. Estimate for the field: 4 times 500 equals 2,000 plants. Field: 25 m × 20 m = 500 m²435462453410 random 1 m²quadratsplants counted:4+3+5+4+6+2+4+5+3+4= 40mean = 40 ÷ 10= 4 per m²estimate:4 × 500 = 2,000
Campo con 10 cuadrantes aleatorios: 40 plantas, 4 por m², unas 2,000 en total

Las buenas muestras son:

  • Aleatorias: cada parte de la población tiene la misma probabilidad de ser elegida. Esto evita el sesgo.
  • Suficientemente grandes: las muestras más grandes reducen el efecto del azar (error de muestreo).

El sesgo empuja los resultados en una dirección. Tomar muestras solo en la zona más tupida de plantas sobreestima la población; encuestar sobre hábitos de ejercicio solo a personas en un gimnasio sobreestima cuánto hace ejercicio la gente. Aumentar el tamaño de la muestra no corrige el sesgo; solo lo corrigen mejores métodos de muestreo.

Barras de error. En una gráfica, una barra de error muestra la incertidumbre de una media.

  • Una barra de error corta: los resultados fueron constantes; la media es bastante segura.
  • Una barra de error larga: los resultados variaron mucho; la media es menos segura.
  • Barras de error que se superponen: la diferencia entre los grupos puede deberse al azar.
  • Barras de error que no se superponen: es más probable que la diferencia sea real.
Fórmula

Fórmulas

\text{media} = \bar{x} = \dfrac{\text{suma de todos los valores}}{\text{número de valores}} \text{rango} = \text{máximo} - \text{mínimo} \text{mediana} = \text{valor del medio de los datos ordenados (media de los dos valores del medio si la cantidad es par)} P(\text{suceso}) = \dfrac{\text{resultados favorables}}{\text{total de resultados igual de probables}} \text{número esperado} = P(\text{suceso}) \times \text{número de pruebas} \text{estimación de la población} = \text{media por unidad de muestra} \times \text{número total de unidades}

La moda no tiene fórmula: es simplemente el valor más frecuente.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 1: Elegir la medida de tendencia central correcta

Estímulo. Cinco estudiantes anotan cuánto tarda un cubo de hielo en derretirse en un vaso de agua: 182 s, 175 s, 190 s, 178 s y 410 s. La estudiante con 410 s anota que su agua acababa de salir del refrigerador y estaba mucho más fría que la de los demás.

Pregunta. ¿Qué valor representa mejor el tiempo típico de derretimiento?

A. Media, 227 s B. Mediana, 182 s C. Rango, 235 s D. 410 s

Pensando en voz alta.

  1. Media: \dfrac{182 + 175 + 190 + 178 + 410}{5} = \dfrac{1135}{5} = 227 s.
  2. Ordenados: 175, 178, 182, 190, 410 → mediana de 182 s.
  3. 410 s es un valor atípico con una explicación (agua más fría). Jala la media hasta 227, más alta que las cuatro pruebas normales.
  4. La mediana, 182 s, está entre los valores típicos. ✓ C es una medida de dispersión, no de centro. D es el valor atípico.
Dot plot of ice cube melting times: 175, 178, 182 and 190 seconds clustered together, and an outlier at 410 seconds from colder water. The median, 182 seconds, sits among the typical values. The mean, 1135 divided by 5, is 227 seconds, higher than all four normal trials. 150180210240270300330360390420outlier 410 s(colder water)median 182 smean 227 sMelting time (s)Mean = 1135 ÷ 5 = 227 s: higher than all four normal trials
Diagrama de puntos de los tiempos de derretimiento: mediana de 182 s frente a media de 227 s

Respuesta: B.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 2: Probabilidad con un cuadro de Punnett

Estímulo. En los conejos, el pelaje negro (B) es dominante sobre el pelaje café (b). Se cruza un conejo negro heterocigoto (Bb) con un conejo café (bb).

Pregunta. ¿Qué porcentaje de la descendencia se espera que tenga pelaje café? De 12 descendientes, ¿cuántos se espera que sean cafés?

Pensando en voz alta.

  1. El progenitor 1 da B o b; el progenitor 2 da b o b.
  2. Casillas: Bb, Bb, bb, bb.
  3. El café requiere bb: 2 de 4 casillas → \tfrac{2}{4} = 50\%.
  4. Cafés esperados de 12: 0.50 \times 12 = 6.
  5. Reviso la trampa: "25%" viene de suponer que todo cruce da 3 : 1. Eso solo es cierto para Bb \times Bb.
Punnett square for a heterozygous black rabbit, Bb, crossed with a brown rabbit, bb. Parent 1 gives B or b; parent 2 gives b or b. The four boxes are Bb, Bb, bb, bb. Black Bb is 2 of 4 boxes and brown bb is 2 of 4, so the probability of brown is 50 percent, and 50 percent of 12 offspring is 6 brown. Parent 1: Bb (black)Parent 2: bb (brown)BbbbBbbbBbbbBb = black: 2 of 4bb = brown: 2 of 4P(brown) = 2/4 = 50%50% × 12 = 6 brown
Cuadro de Punnett Bb × bb: 2 de 4 casillas son cafés (bb)

Respuesta: 50%; unos 6 descendientes cafés.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 3: Detectar una muestra sesgada

Estímulo. Una investigadora quiere saber qué fracción de los peces de un lago grande tiene cierto parásito. Atrapa 50 peces, todos de una ensenada poco profunda y cálida cerca de una descarga de aguas residuales, y encuentra que el 40% tiene el parásito.

Pregunta. ¿Qué enunciado evalúa mejor su estimación?

A. La estimación es confiable porque 50 es una muestra grande. B. La estimación puede estar sesgada porque todos los peces vinieron de una parte poco común del lago. C. Exactamente el 40% de los peces del lago tiene el parásito. D. Debió atrapar solo 10 peces para ahorrar tiempo.

Pensando en voz alta.

  1. ¿La muestra es aleatoria? No: todos vienen de una ensenada cálida cerca de aguas residuales, donde los parásitos pueden ser más comunes.
  2. Entonces la muestra puede no representar todo el lago → sesgo. ✓ B
  3. A: el tamaño de la muestra no corrige el sesgo. C: una estimación nunca es "exacta", y esta puede estar sesgada. D: una muestra más pequeña haría que la estimación fuera menos confiable.
Two maps of the same lake. Left: all of the researcher’s fish came from one shallow, warm cove near a sewage outflow, so the sample may be biased and not representative. Right: a random sample spreads catches across the whole lake, so every part has an equal chance of being chosen. Her sample: one warm coveRandom sample: whole lakesewage outflowMay be biased: not representativeEvery part has an equal chance
Mapas del lago: peces muestreados en una sola ensenada frente a una muestra aleatoria

Respuesta: B.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 4: Leer barras de error

Estímulo. Un estudio compara la frecuencia cardíaca media en reposo de dos grupos. Grupo 1 (caminan a diario): 68 latidos por minuto, barra de error de 66 a 70. Grupo 2 (no caminan): 72 latidos por minuto, barra de error de 69 a 75.

Pregunta. ¿Qué conclusión tiene más apoyo?

A. Caminar a diario definitivamente baja la frecuencia cardíaca exactamente 4 latidos por minuto. B. Las barras de error se superponen, así que los datos no muestran con claridad una diferencia entre los grupos. C. Las personas que no caminan tienen una frecuencia cardíaca más baja. D. El estudio prueba que caminar no tiene ningún efecto.

Pensando en voz alta.

  1. El rango del grupo 1 es 66–70; el del grupo 2 es 69–75. Se superponen entre 69 y 70.
  2. La superposición significa que la diferencia de 4 latidos entre las medias podría deberse al azar. ✓ B
  3. A afirma certeza. C invierte los datos. D: "ninguna diferencia clara" no es lo mismo que "prueba que no hay efecto".
Means with error bars for resting heart rate. Group 1, daily walkers: mean 68 beats per minute, error bar from 66 to 70. Group 2, non-walkers: mean 72, error bar from 69 to 75. The error bars overlap between 69 and 70, so the difference may be due to chance. 6062646668707274767880Resting heart rate (beats/min)mean 687066Group 1: walkersmean 727569Group 2: non-walkersoverlap 69–70
Las barras de error de 66–70 y 69–75 se superponen entre 69 y 70

Respuesta: B.

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

  • Media: escribe toda la suma entre paréntesis y luego divide: ( 15 + 12 + 8 + 20 + 12 + 16 + 11 + 18 ) ÷ 8 enter → 14. Sin los paréntesis, la calculadora dividiría entre 8 solo el último número.
  • Número esperado: 3 ÷ 4 × 200 enter → 150.
  • De porcentaje a decimal: divide entre 100 (25% = 0.25) antes de multiplicar.
  • La mediana, la moda y el rango suelen ser más rápidos a mano: primero ordena los valores en tu pizarra borrable.
Error común

Errores comunes

  • Buscar la mediana sin ordenar. Incorrecto: el medio de 15, 12, 8, 20, 12, 16, 11, 18 es "20 y 12 → 16". Correcto: primero ordena: 8, 11, 12, 12, 15, 16, 18, 20 → mediana 13.5.
  • Confundir media, mediana y moda. Incorrecto: dar el valor más frecuente como el "promedio". Correcto: media = suma ÷ cantidad; mediana = el del medio; moda = el más frecuente.
  • Usar la media cuando hay un valor atípico. Incorrecto: "El tiempo de reacción típico es 0.43 s" cuando cuatro de cinco pruebas están cerca de 0.30 s. Correcto: la mediana (0.31 s) representa mejor los datos típicos cuando hay un valor atípico.
  • Confundir las probabilidades de genotipo y de fenotipo. Incorrecto: P(Tt) = 75% para Tt \times Tt. Correcto: P(Tt) = 50%; P(alto) = 75%.
  • Esperar proporciones exactas. Incorrecto: "140 altos en lugar de 150 significa que el cuadro de Punnett está mal". Correcto: el azar causa variación; las muestras más grandes se acercan más a la predicción.
  • Elegir la barra más alta sin mirar las barras de error. Incorrecto: "El fertilizante C es el mejor porque su barra es la más alta". Correcto: revisa si su barra de error se superpone con la del grupo de control.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen: probabilidad y estadística

  1. Identifica la medida que se pide. Subraya media, mediana, moda, rango, probabilidad o número esperado en la pregunta; las respuestas incorrectas suelen ser las otras medidas.
  2. Ordena antes de buscar una mediana. Escribe la lista ordenada en tu pizarra borrable y tacha valores desde los dos extremos.
  3. Estima primero. Una media tiene que estar entre el valor más pequeño y el más grande. Una probabilidad tiene que estar entre 0 y 1 (0% y 100%).
  4. Busca valores atípicos y notas. Si un pasaje menciona algo poco común en una prueba, espera una pregunta sobre cómo afecta a la media o a la conclusión.
  5. Evalúa la muestra: ¿es aleatoria?, ¿es suficientemente grande?, ¿es de la población correcta?
  6. Con barras de error, revisa si se superponen antes de confiar en una diferencia. Prefiere las conclusiones prudentes ("puede", "se necesitan más pruebas") en lugar de "prueba" o "con seguridad".

Compruébalo

Probabilidad y estadística en las cienciasCompletar
Heights of Sunflower Seedlings

A student planted eight sunflower seeds from the same seed packet in identical pots. Each pot had the same amount of the same potting soil, and all the pots sat side by side on a sunny windowsill. She gave every pot the same amount of water each morning. After 21 days she measured the height of each seedling, from the soil surface to the tip of the top leaf, to the nearest centimeter. Even under identical conditions, the seedlings grew to different heights.

Plant12345678
Height (cm)151282012161118

What is the mean height of the eight seedlings?

cm

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Add all eight heights, then divide by the number of plants.

Ver en español
Texto: Alturas de plántulas de girasol

Una estudiante sembró ocho semillas de girasol del mismo paquete en macetas idénticas. Cada maceta tenía la misma cantidad de la misma tierra para macetas, y todas las macetas estaban una al lado de la otra en el borde de una ventana soleada. Cada mañana le dio a cada maceta la misma cantidad de agua. Después de 21 días midió la altura de cada plántula, desde la superficie de la tierra hasta la punta de la hoja más alta, al centímetro más cercano. Aun en condiciones idénticas, las plántulas alcanzaron alturas diferentes.

Planta12345678
Altura (cm)151282012161118

Pregunta

¿Cuál es la altura media de las ocho plántulas?

_____ cm

Pista

Suma las ocho alturas y luego divide entre el número de plantas.

Compruébalo

Probabilidad y estadística en las ciencias
Heights of Sunflower Seedlings

A student planted eight sunflower seeds from the same seed packet in identical pots. Each pot had the same amount of the same potting soil, and all the pots sat side by side on a sunny windowsill. She gave every pot the same amount of water each morning. After 21 days she measured the height of each seedling, from the soil surface to the tip of the top leaf, to the nearest centimeter. Even under identical conditions, the seedlings grew to different heights.

Plant12345678
Height (cm)151282012161118

What is the median height of the seedlings?

Opciones de respuesta
Pista

Put the heights in order first. With an even number of values, the median is halfway between the two middle values.

Ver en español
Texto: Alturas de plántulas de girasol

Una estudiante sembró ocho semillas de girasol del mismo paquete en macetas idénticas. Cada maceta tenía la misma cantidad de la misma tierra para macetas, y todas las macetas estaban una al lado de la otra en el borde de una ventana soleada. Cada mañana le dio a cada maceta la misma cantidad de agua. Después de 21 días midió la altura de cada plántula, desde la superficie de la tierra hasta la punta de la hoja más alta, al centímetro más cercano. Aun en condiciones idénticas, las plántulas alcanzaron alturas diferentes.

Planta12345678
Altura (cm)151282012161118

Pregunta

¿Cuál es la mediana de las alturas de las plántulas?

Opciones

  • A. 12 cm
  • B. 13.5 cm
  • C. 14 cm
  • D. 16 cm
Pista

Primero ordena las alturas. Con una cantidad par de valores, la mediana está a mitad de camino entre los dos valores del medio.

Resumen

  • Media = suma ÷ cantidad; mediana = el valor del medio de los datos ordenados; moda = el más frecuente; rango = máximo − mínimo.
  • Los valores atípicos jalan la media y el rango, pero casi no mueven la mediana: usa la mediana cuando hay un valor atípico.
  • Probabilidad = resultados favorables ÷ total de resultados igual de probables; en un cuadro de Punnett de 2 × 2, cada casilla es 25%. Tt \times Tt da 3 : 1 dominante : recesivo.
  • Número esperado = probabilidad × número de pruebas; los conteos observados varían por azar, menos en las muestras grandes.
  • Las buenas muestras son aleatorias (sin sesgo) y grandes (menos error por azar).
  • Si las barras de error se superponen, la diferencia puede deberse al azar; si no se superponen, sugieren una diferencia real.
Practicar esta destreza →