Consejo: escribe la respuesta en orden descendente de exponentes (x^3, x^2, x, número). Si una potencia aparece en un solo polinomio, simplemente se baja sin cambios.
Ver en español
Pregunta
Suma los polinomios 4x^3 - 2x + 7 y -x^3 + 5x^2 - 9. ¿Cuál es la suma, escrita en orden descendente de exponentes?
Opciones
A.3x^3 + 5x^2 - 2x + 16
B.4x^3 + 5x^2 - 2x - 2
C.3x^3 + 3x^2 - 2
D.3x^3 + 5x^2 - 2x - 2
Pista
Alinea los términos con la misma variable y el mismo exponente. Un término escrito como -x^3 tiene un coeficiente de -1.
Pregunta 5 de 36
Completar
A food truck owner models the daily sales, in dollars, at two locations, where n is the number of hours open:
Downtown: 2n^2 + 9n - 14
Riverside: 5n^2 - 4n + 30
The total daily sales of both locations can be written as an^2 + bn + c. Enter a, b and c.
a =
b =
c =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
"Total" means add the two expressions. Combine the n^2-terms, then the n-terms, then the numbers.
Solución paso a paso
Total = (2n^2 + 9n - 14) + (5n^2 - 4n + 30).
n^2-terms: 2n^2 + 5n^2 = 7n^2, so a = 7.
n-terms: 9n + (-4n) = 5n, so b = 5.
Constants: -14 + 30 = 16, so c = 16.
Total daily sales: 7n^2 + 5n + 16, so a = 7, b = 5, c = 16.
Consejo: palabras como total, combinado y en total indican una suma. Mantén cada signo pegado al término que lo sigue: el -4n sigue siendo negativo cuando sumas.
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Pregunta
El dueño de un camión de comida representa las ventas diarias, en dólares, en dos lugares, donde n es el número de horas que está abierto:
Centro: 2n^2 + 9n - 14
Riverside: 5n^2 - 4n + 30
Las ventas diarias totales de los dos lugares se pueden escribir como an^2 + bn + c. Escribe a, b y c.
a = _____
b = _____
c = _____
Pista
"Total" significa sumar las dos expresiones. Combina los términos con n^2, luego los términos con n y luego los números.
Pregunta 6 de 36
Simplify the difference below. Which choice shows the result in standard form?
(7x^2 + 2x - 5) - (3x^2 - 4x + 8)
Pista
The minus sign in front of the second parentheses changes the sign of every term inside it.
Solución paso a paso
Distribute the minus sign to each term of (3x^2 - 4x + 8): it becomes -3x^2 + 4x - 8.
Tip: before combining anything, rewrite the subtracted polynomial with all its signs flipped. Then the problem is just addition, and you will not lose a sign halfway through.
Explicación
Aplica el signo menos a cada término de (3x^2 - 4x + 8): queda -3x^2 + 4x - 8.
Consejo: antes de combinar nada, reescribe el polinomio que se resta con todos sus signos cambiados. Así el problema se vuelve solo una suma, y no perderás un signo a mitad del camino.
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Pregunta
Simplifica la diferencia de abajo. ¿Qué opción muestra el resultado en forma estándar?
(7x^2 + 2x - 5) - (3x^2 - 4x + 8)
Opciones
A.4x^2 - 2x + 3
B.10x^2 - 2x + 3
C.4x^2 + 6x + 3
D.4x^2 + 6x - 13
Pista
El signo menos delante del segundo paréntesis cambia el signo de cada término de adentro.
Pregunta 7 de 36
Distribute and simplify. What is the product of the monomial -4x^2 and the trinomial 3x^2 - 5x + 2?
Pista
Multiply -4x^2 by each of the three terms. Multiply the coefficients (watch the signs) and add the exponents.
Solución paso a paso
First term: (-4x^2)(3x^2) = (-4 \cdot 3)x^{2+2} = -12x^4.
Second term: (-4x^2)(-5x) = (-4)(-5)x^{2+1} = +20x^3 (negative times negative is positive).
Tip: a product of two binomials usually has three terms after combining. If your answer has only two terms, check whether you skipped the Outer and Inner products.
Explicación
Total de azulejos = filas \times azulejos por fila = (3x - 4)(x + 5). Multiplica con FOIL (Primeros, Externos, Internos, Últimos):
Consejo: el producto de dos binomios suele tener tres términos después de combinar. Si tu respuesta tiene solo dos términos, revisa si te saltaste los productos Externos e Internos.
Ver en español
Pregunta
Una pared de azulejos tiene (3x - 4) filas de azulejos, con (x + 5) azulejos en cada fila. ¿Qué polinomio da el número total de azulejos de la pared?
Opciones
A.3x^2 - 20
B.3x^2 + 19x - 20
C.3x^2 + 11x + 1
D.3x^2 + 11x - 20
Pista
Usa FOIL: primeros, externos, internos, últimos. Luego combina los dos términos del medio.
Pregunta 9 de 36
Which expression is equivalent to (2x - 3)^2?
Pista
Squaring means multiplying by itself: (2x - 3)(2x - 3). Do all four products.
Solución paso a paso
Write it as a product: (2x - 3)(2x - 3).
First: 2x \cdot 2x = 4x^2.
Outer: 2x \cdot (-3) = -6x.
Inner: -3 \cdot 2x = -6x.
Last: (-3)(-3) = 9.
Combine: 4x^2 - 6x - 6x + 9 = 4x^2 - 12x + 9.
The answer is 4x^2 - 12x + 9.
Check: with the pattern (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2: a = 2x, b = 3 gives 4x^2 - 2(2x)(3) + 9 = 4x^2 - 12x + 9 ✓. With x = 2: (1)^2 = 1 and 16 - 24 + 9 = 1 ✓
Tip: a squared binomial always has three terms, and the middle term is twice the product of the two terms.
Explicación
Escríbelo como un producto: (2x - 3)(2x - 3).
Primeros (First): 2x \cdot 2x = 4x^2.
Externos (Outer): 2x \cdot (-3) = -6x.
Internos (Inner): -3 \cdot 2x = -6x.
Últimos (Last): (-3)(-3) = 9.
Combina: 4x^2 - 6x - 6x + 9 = 4x^2 - 12x + 9.
La respuesta es 4x^2 - 12x + 9.
Comprobación: con el patrón (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2: a = 2x, b = 3 da 4x^2 - 2(2x)(3) + 9 = 4x^2 - 12x + 9 ✓. Con x = 2: (1)^2 = 1 y 16 - 24 + 9 = 1 ✓
Consejo: un binomio al cuadrado siempre tiene tres términos, y el término del medio es el doble del producto de los dos términos.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a (2x - 3)^2?
Opciones
A.4x^2 + 9
B.4x^2 - 6x + 9
C.4x^2 - 12x + 9
D.4x^2 - 12x - 9
Pista
Elevar al cuadrado significa multiplicar por sí mismo: (2x - 3)(2x - 3). Haz los cuatro productos.
Pregunta 10 de 36
Which expression is equivalent to 3x(2x^2 - 4x + 5)?
Pista
Multiply 3x by each of the three terms. When you multiply powers of x, add the exponents.
Tip: every term gets multiplied by the number and the variable outside. A quick count: the answer has as many terms as the parentheses had (here, 3), and each power of x goes up by one.
Consejo: cada término se multiplica por el número y por la variable de afuera. Una cuenta rápida: la respuesta tiene tantos términos como tenían los paréntesis (aquí, 3), y cada potencia de x sube en uno.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a 3x(2x^2 - 4x + 5)?
Opciones
A.6x^3 - 4x + 5
B.6x^2 - 12x + 15
C.6x^3 - 12x^2 + 15
D.6x^3 - 12x^2 + 15x
Pista
Multiplica 3x por cada uno de los tres términos. Cuando multiplicas potencias de x, suma los exponentes.
Pregunta 11 de 36
Which expression is equivalent to \dfrac{x^2 + 7x + 12}{x + 3} for x \ne -3?
Pista
Factor the numerator. Find two numbers that multiply to 12 and add to 7.
Solución paso a paso
Factor x^2 + 7x + 12: we need two numbers with product 12 and sum 7. Those are 3 and 4.
So x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
Divide: \dfrac{(x + 3)(x + 4)}{x + 3}. The common factor x + 3 cancels.
Consejo: puedes comprobar cualquier respuesta de una división multiplicándola por el divisor. Si obtienes el numerador original, está bien.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a \dfrac{x^2 + 7x + 12}{x + 3} para x \ne -3?
Opciones
A.x - 4
B.x + 3
C.x + 7
D.x + 4
Pista
Factoriza el numerador. Busca dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7.
Pregunta 12 de 36
A rectangular rug is (2x + 5) feet long and (x - 1) feet wide. Which expression represents the area of the rug, in square feet?
Pista
Area of a rectangle = length × width (on the formula sheet). Multiply the two binomials with FOIL.
Solución paso a paso
Area: A = lw = (2x + 5)(x - 1).
First: 2x \cdot x = 2x^2.
Outer: 2x \cdot (-1) = -2x.
Inner: 5 \cdot x = 5x.
Last: 5 \cdot (-1) = -5.
Combine: 2x^2 - 2x + 5x - 5 = 2x^2 + 3x - 5.
The area is 2x^2 + 3x - 5 square feet.
Check: let x = 3. The rug is 11 ft by 2 ft, so its area is 22 ft². The expression gives 18 + 9 - 5 = 22 ✓
Tip: area is a product, so the answer has an x^2 term. An answer with only x-terms and constants (like 6x + 8) must be a perimeter.
Explicación
Área: A = lw = (2x + 5)(x - 1).
Primeros (First): 2x \cdot x = 2x^2.
Externos (Outer): 2x \cdot (-1) = -2x.
Internos (Inner): 5 \cdot x = 5x.
Últimos (Last): 5 \cdot (-1) = -5.
Combina: 2x^2 - 2x + 5x - 5 = 2x^2 + 3x - 5.
El área es 2x^2 + 3x - 5 pies cuadrados.
Comprobación: sea x = 3. La alfombra mide 11 ft por 2 ft, así que su área es 22 ft². La expresión da 18 + 9 - 5 = 22 ✓
Consejo: el área es un producto, así que la respuesta tiene un término con x^2. Una respuesta con solo términos con x y constantes (como 6x + 8) tiene que ser un perímetro.
Ver en español
Pregunta
Una alfombra rectangular mide (2x + 5) pies de largo y (x - 1) pies de ancho. ¿Qué expresión representa el área de la alfombra, en pies cuadrados?
Opciones
A.2x^2 - 5
B.6x + 8
C.2x^2 + 7x - 5
D.2x^2 + 3x - 5
Pista
Área de un rectángulo = largo × ancho (está en la hoja de fórmulas). Multiplica los dos binomios con FOIL.
Pregunta 13 de 36
Arrastrar y soltar
Drag the expanded form into the box under each product. Not every tile is used.
(x + 4)(x - 4)
(x - 4)^2
(x + 4)^2
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Use the special products: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 and (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2.
Solución paso a paso
(x + 4)(x - 4): First x^2, Outer -4x, Inner +4x, Last -16. The middle terms cancel: x^2 - 16.
Tip: any non-zero term divided by itself is 1, not 0. Forgetting this is the most common mistake on these questions. Also keep each sign with its term: -9x^2 \div 3x is -3x, so b is negative.
Consejo: cualquier término distinto de cero dividido entre sí mismo es 1, no 0. Olvidar esto es el error más común en estas preguntas. Además, deja cada signo con su término: -9x^2 \div 3x es -3x, así que b es negativo.
Ver en español
Pregunta
Divide y escribe el resultado en la forma ax^2 + bx + c:
\frac{6x^3 - 9x^2 + 3x}{3x}
a = _____
b = _____
c = _____
Pista
Divide cada término entre 3x. Divide los coeficientes y resta los exponentes.
Pregunta 15 de 36
A small beverage company sells x cases of soda each week. Its weekly revenue, in dollars, is -x^2 + 60x, and its weekly cost, in dollars, is 12x + 150.
Profit equals revenue minus cost. Which expression represents the weekly profit, in dollars?
Pista
Write Profit = (revenue) - (cost) with parentheses around the cost, then flip the sign of each cost term.
Solución paso a paso
Profit = (-x^2 + 60x) - (12x + 150).
Distribute the minus sign: -(12x + 150) = -12x - 150.
Consejo: pon siempre entre paréntesis toda la expresión que se resta. El costo incluye los \$150 fijos, y esa cantidad también se debe restar.
Ver en español
Pregunta
Una pequeña compañía de bebidas vende x cajas de refresco cada semana. Sus ingresos semanales, en dólares, son -x^2 + 60x, y su costo semanal, en dólares, es 12x + 150.
La ganancia es igual a los ingresos menos el costo. ¿Qué expresión representa la ganancia semanal, en dólares?
Opciones
A.-x^2 + 48x + 150
B.-x^2 + 72x + 150
C.x^2 - 48x + 150
D.-x^2 + 48x - 150
Pista
Escribe Ganancia = (ingresos) - (costo) con paréntesis alrededor del costo, y luego cambia el signo de cada término del costo.
Pregunta 16 de 36
Varias respuestas
Which of these products simplify to 9x^2 - 25? Choose every correct answer.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2, a difference of squares. Expand each choice, or test each one with a value such as x = 1 (the target value is 9 - 25 = -16).
Solución paso a paso
Use (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 with a = 3x and b = 5: 9x^2 - 25 = (3x + 5)(3x - 5).
(3x - 5)(3x + 5) = 9x^2 - 25 ✓
(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25 ✗ (a square, not a difference of squares)
(5 + 3x)(3x - 5): the order of terms inside a factor does not matter, 5 + 3x = 3x + 5, so this is 9x^2 - 25 ✓
Las expresiones equivalentes son (3x - 5)(3x + 5), (5 + 3x)(3x - 5) y -(5 - 3x)(5 + 3x).
Comprobación: con x = 1, el objetivo es -16. Opción 1: (-2)(8) = -16 ✓. Opción 3: (8)(-2) = -16 ✓. Opción 6: -(2)(8) = -16 ✓. Opción 4: (8)(2) = 16 ✗.
Consejo: en una diferencia de cuadrados, el término que va primero en el factor con "menos" decide qué cuadrado es positivo: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
Ver en español
Pregunta
¿Cuáles de estos productos se simplifican a 9x^2 - 25? Elige todas las respuestas correctas.
Opciones
A.(3x - 5)(3x + 5)
B.(3x - 5)^2
C.(5 + 3x)(3x - 5)
D.(3x + 5)(5 - 3x)
E.(9x + 5)(x - 5)
F.-(5 - 3x)(5 + 3x)
Pista
9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2, una diferencia de cuadrados. Desarrolla cada opción, o prueba cada una con un valor como x = 1 (el valor buscado es 9 - 25 = -16).
Pregunta 17 de 36
Find the product (x + 3)(2x^2 - x + 4) and combine like terms. Which result is correct?
Pista
Multiply x by all three terms of the trinomial, then multiply 3 by all three terms. You should have six products before combining.
Solución paso a paso
Distribute x: x(2x^2 - x + 4) = 2x^3 - x^2 + 4x.
Distribute 3: 3(2x^2 - x + 4) = 6x^2 - 3x + 12.
Add the two results: 2x^3 - x^2 + 4x + 6x^2 - 3x + 12.
Segundo: \dfrac{8}{4}x^{3-2} = 2x, así que el término es -2x.
Tercero: \dfrac{20}{4}x^{2-2} = 5x^0 = 5.
El cociente es 3x^2 - 2x + 5.
Comprobación: multiplica de vuelta: 4x^2(3x^2 - 2x + 5) = 12x^4 - 8x^3 + 20x^2 ✓. O sea x = 1: \dfrac{12 - 8 + 20}{4} = \dfrac{24}{4} = 6 y 3 - 2 + 5 = 6 ✓
Consejo: dividir entre un monomio significa dividir cada término entre él. Recuerda que x^0 = 1: cuando los exponentes son iguales, la variable desaparece.
Ver en español
Pregunta
Un estudiante debe simplificar el cociente de abajo, donde x \ne 0. ¿Qué respuesta es correcta?
\frac{12x^4 - 8x^3 + 20x^2}{4x^2}
Opciones
A.3x^6 - 2x^5 + 5x^4
B.3x^4 - 2x^3 + 5x^2
C.3x^2 - 8x^3 + 20x^2
D.3x^2 - 2x + 5
Pista
Separa la fracción en tres fracciones, una por cada término del numerador. En cada una, divide los coeficientes y resta los exponentes.
Pregunta 19 de 36
Fencing will go all the way around a rectangular dog run that measures (x^2 + 2x) feet by (3x - 1) feet. Which polynomial gives the length of fencing needed (the perimeter), in feet?
Pista
Perimeter is the distance around: add all four sides, or use P = 2l + 2w. Do not multiply length by width; that is area.
Tip: perimeter adds lengths, so the highest power does not grow. Area multiplies lengths, so the powers add. If your "perimeter" has x^3, you found an area.
Consejo: el perímetro suma longitudes, así que la potencia más alta no crece. El área multiplica longitudes, así que las potencias se suman. Si tu "perímetro" tiene x^3, encontraste un área.
Ver en español
Pregunta
Se va a poner una cerca alrededor de todo un corral rectangular para perros que mide (x^2 + 2x) pies por (3x - 1) pies. ¿Qué polinomio da la longitud de cerca que se necesita (el perímetro), en pies?
Opciones
A.x^2 + 5x - 1
B.3x^3 + 5x^2 - 2x
C.2x^2 + 10x - 1
D.2x^2 + 10x - 2
Pista
El perímetro es la distancia alrededor: suma los cuatro lados o usa P = 2l + 2w. No multipliques el largo por el ancho; eso es el área.
Pregunta 20 de 36
Dana simplified (6x^2 - 2x + 1) - (4x^2 + 3x - 5). Her work is shown.
Step
Work
1
6x^2 - 2x + 1 - 4x^2 - 3x + 5
2
(6x^2 - 4x^2) + (-2x - 3x) + (1 + 5)
3
2x^2 + x + 6
In which step did Dana make her first error?
Pista
Check each step on its own. Did the signs flip correctly in Step 1? Are the groups in Step 2 the same terms? Is each group simplified correctly in Step 3?
Solución paso a paso
Step 1: subtracting the second polynomial flips every sign: -(4x^2 + 3x - 5) = -4x^2 - 3x + 5. Dana wrote exactly that. Correct.
Step 2: she grouped the like terms 6x^2 and -4x^2, -2x and -3x, 1 and 5, keeping every sign. Correct.
Step 3:6x^2 - 4x^2 = 2x^2 ✓ and 1 + 5 = 6 ✓, but -2x - 3x = -5x, not +x. Error.
The first error is in Step 3. The correct answer is 2x^2 - 5x + 6.
Consejo: dos términos negativos se combinan en un negativo más grande: -2x - 3x = -5x. Sustituir x = 1 es una forma rápida de comprobar cualquier paso.
Ver en español
Pregunta
Dana simplificó (6x^2 - 2x + 1) - (4x^2 + 3x - 5). Su trabajo se muestra abajo.
Paso
Trabajo
1
6x^2 - 2x + 1 - 4x^2 - 3x + 5
2
(6x^2 - 4x^2) + (-2x - 3x) + (1 + 5)
3
2x^2 + x + 6
¿En qué paso cometió Dana su primer error?
Opciones
A. Paso 1
B. Paso 2
C. No hay ningún error.
D. Paso 3
Pista
Revisa cada paso por separado. ¿Cambiaron bien los signos en el Paso 1? ¿Los grupos del Paso 2 tienen los mismos términos? ¿Cada grupo está bien simplificado en el Paso 3?
In the result, the coefficient of x^2 is and the constant term is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
"Subtract A from B" means B - A. The polynomial after the word from comes first.
Solución paso a paso
"Subtract A from B" means B - A: (5x^3 + 4x^2 - 3x) - (2x^3 - x^2 + 6).
Flip every sign of the subtracted polynomial: 5x^3 + 4x^2 - 3x - 2x^3 + x^2 - 6.
x^3-terms: 5x^3 - 2x^3 = 3x^3.
x^2-terms: 4x^2 + x^2 = 5x^2.
x-term: -3x (only one).
Constant: -6 (the first polynomial has no constant).
The result is 3x^3 + 5x^2 - 3x - 6: the coefficient of x^2 is 5 and the constant term is -6.
Check: let x = 1. B = 5 + 4 - 3 = 6, A = 2 - 1 + 6 = 7, B - A = -1. Result: 3 + 5 - 3 - 6 = -1 ✓
Tip: read "subtract ... from ..." backwards when you write it. A missing term (like the constant in B) counts as 0, so 0 - 6 = -6.
Explicación
"Restar A de B" significa B - A: (5x^3 + 4x^2 - 3x) - (2x^3 - x^2 + 6).
Cambia cada signo del polinomio que se resta: 5x^3 + 4x^2 - 3x - 2x^3 + x^2 - 6.
Términos con x^3: 5x^3 - 2x^3 = 3x^3.
Términos con x^2: 4x^2 + x^2 = 5x^2.
Término con x: -3x (solo uno).
Constante: -6 (el primer polinomio no tiene constante).
El resultado es 3x^3 + 5x^2 - 3x - 6: el coeficiente de x^2 es 5 y el término constante es -6.
Comprobación: sea x = 1. B = 5 + 4 - 3 = 6, A = 2 - 1 + 6 = 7, B - A = -1. Resultado: 3 + 5 - 3 - 6 = -1 ✓
Consejo: cuando escribas "resta ... de ...", ponlo al revés de como lo lees. Un término que falta (como la constante de B) cuenta como 0, así que 0 - 6 = -6.
Consejo: con dos variables, trata cada letra por separado: x \cdot x = x^2, pero x \cdot y se queda como xy. No olvides el último término: 5xy \cdot 1 = 5xy, no 0.
Ver en español
Pregunta
Usa la propiedad distributiva para desarrollar 5xy(2x - 3y + 1). Cuando el resultado se escribe como ax^2y + bxy^2 + cxy, ¿cuánto valen a, b y c?
a = _____
b = _____
c = _____
Pista
Multiplica 5xy por cada término. Multiplica los coeficientes y suma por separado los exponentes de x y de y.
Pregunta 23 de 36
Completar
Expand the product (2x - 7)(3x - 2). The result can be written as ax^2 + bx + c; find each coefficient.
a =
b =
c =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Use FOIL. Both binomials have a negative second term, so watch the signs of the Outer, Inner and Last products.
Solución paso a paso
First:2x \cdot 3x = 6x^2.
Outer:2x \cdot (-2) = -4x.
Inner:-7 \cdot 3x = -21x.
Last:(-7)(-2) = +14.
Combine the middle terms: -4x - 21x = -25x.
The product is 6x^2 - 25x + 14: a = 6, b = -25, c = 14.
Consejo: cuando ambos binomios tienen la forma (\_ - \_), el término del medio es negativo y la constante es positiva. Usa ese patrón para detectar errores de signo.
Ver en español
Pregunta
Desarrolla el producto (2x - 7)(3x - 2). El resultado se puede escribir como ax^2 + bx + c; halla cada coeficiente.
a = _____
b = _____
c = _____
Pista
Usa FOIL. Los dos binomios tienen un segundo término negativo, así que cuida los signos de los productos externos, internos y últimos.
Pregunta 24 de 36
A rectangular banner has an area of (6x^3 + 15x^2 - 9x) square inches. Its width is 3x inches. Which expression represents the length of the banner, in inches?
Pista
Area = length \times width, so length = area \div width. Divide each term of the area by 3x.
Tip: when a problem gives an area and one side, divide to find the other side. Always check by multiplying your answer by the side you were given.
Explicación
Largo = \dfrac{\text{área}}{\text{ancho}} = \dfrac{6x^3 + 15x^2 - 9x}{3x}.
\dfrac{6x^3}{3x} = 2x^{3-1} = 2x^2.
\dfrac{15x^2}{3x} = 5x^{2-1} = 5x.
\dfrac{-9x}{3x} = -3.
El largo es 2x^2 + 5x - 3 pulgadas.
Comprobación: multiplica de vuelta: 3x(2x^2 + 5x - 3) = 6x^3 + 15x^2 - 9x ✓. Con x = 2: área = 48 + 60 - 18 = 90, ancho = 6, largo = 90 \div 6 = 15, y 2(4) + 10 - 3 = 15 ✓
Consejo: cuando un problema da un área y un lado, divide para hallar el otro lado. Comprueba siempre multiplicando tu respuesta por el lado que te dieron.
Ver en español
Pregunta
Una pancarta rectangular tiene un área de (6x^3 + 15x^2 - 9x) pulgadas cuadradas. Su ancho es de 3x pulgadas. ¿Qué expresión representa el largo de la pancarta, en pulgadas?
Opciones
A.2x^3 + 5x^2 - 3x
B.18x^4 + 45x^3 - 27x^2
C.2x^2 + 5x + 3
D.2x^2 + 5x - 3
Pista
Área = largo \times ancho, así que largo = área \div ancho. Divide cada término del área entre 3x.
Pregunta 25 de 36
Varias respuestas
Select all expressions that are equivalent to (x - 2)(x^2 + 3x - 1).
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Multiply x by each term of the trinomial, then -2 by each term. You should get 6 products before combining.
Comprobación: con x = 2: \dfrac{8 + 10 - 3}{4 - 1} = \dfrac{15}{3} = 5, y 2 + 3 = 5 ✓
Consejo: cuando el coeficiente principal no es 1, usa el primer y el último término para adivinar el factor y luego comprueba el término del medio multiplicando.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a (2x^2 + 5x - 3) \div (2x - 1) para x \ne \tfrac{1}{2}?
Opciones
A.x - 3
B.2x + 3
C.2x^2 + 3x - 2
D.x + 3
Pista
Pregúntate: ¿qué binomio multiplicado por (2x - 1) da 2x^2 + 5x - 3? Piensa en el primer y el último término.
Pregunta 27 de 36
The trinomial 3x^2 - 14x - 5 has (x - 5) as one of its factors. What is the result when 3x^2 - 14x - 5 is divided by x - 5 (with x \ne 5)?
Pista
Factor the numerator. One of its factors should be (x - 5), which cancels with the denominator.
Solución paso a paso
Look for (x - 5)(\;?\;) = 3x^2 - 14x - 5. The first term of the missing factor must be 3x (because x \cdot 3x = 3x^2).
The last term must multiply with -5 to give -5, so it is +1.
Tip: on multiple choice you can also multiply each answer by (x - 5) and see which one rebuilds the numerator. You may only cancel factors, never single terms.
Explicación
Busca (x - 5)(\;?\;) = 3x^2 - 14x - 5. El primer término del factor que falta debe ser 3x (porque x \cdot 3x = 3x^2).
El último término, multiplicado por -5, debe dar -5, así que es +1.
Consejo: en opción múltiple también puedes multiplicar cada respuesta por (x - 5) y ver cuál reconstruye el numerador. Solo puedes cancelar factores, nunca términos sueltos.
Ver en español
Pregunta
El trinomio 3x^2 - 14x - 5 tiene a (x - 5) como uno de sus factores. ¿Cuál es el resultado de dividir 3x^2 - 14x - 5 entre x - 5 (con x \ne 5)?
Opciones
A.3x - 1
B.3x - 13
C.3x - 29
D.3x + 1
Pista
Factoriza el numerador. Uno de sus factores debe ser (x - 5), que se cancela con el denominador.
Pregunta 28 de 36
Marcus simplified 2(x + 3)^2 - (x^2 - 4). His work is shown.
Step
Work
1
2(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 4)
2
2x^2 + 12x + 18 - x^2 - 4
3
x^2 + 12x + 14
Which statement is true?
Pista
Check the square in Step 1 with (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Then check that the minus sign in Step 2 reached every term in (x^2 - 4).
Consejo: "menos un negativo" se vuelve un más. Siempre que haya un signo menos delante de unos paréntesis, cambia cada signo de adentro, incluido el último.
Ver en español
Pregunta
Marcus simplificó 2(x + 3)^2 - (x^2 - 4). Su trabajo se muestra abajo.
Paso
Trabajo
1
2(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 4)
2
2x^2 + 12x + 18 - x^2 - 4
3
x^2 + 12x + 14
¿Qué enunciado es verdadero?
Opciones
A. El Paso 1 está mal porque (x + 3)^2 = x^2 + 9.
B. El Paso 3 está mal; el resultado correcto es 3x^2 + 12x + 14.
C. No hay ningún error; el resultado es x^2 + 12x + 14.
D. El Paso 2 está mal; el resultado correcto es x^2 + 12x + 22.
Pista
Revisa el cuadrado del Paso 1 con (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Luego revisa que el signo menos del Paso 2 haya llegado a cada término de (x^2 - 4).
Pregunta 29 de 36
Completar
The product (x + k)(x - 3) is equal to x^2 + 4x - 21 for every value of x.
What is the value of k?
k =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Multiply out (x + k)(x - 3) in terms of k. Then match the constant term (and check with the middle term).
Tip: when two polynomials are equal for every x, the coefficients of matching powers must be equal. Use one coefficient to find the unknown and another to confirm it.
Consejo: cuando dos polinomios son iguales para cualquier x, los coeficientes de las potencias correspondientes deben ser iguales. Usa un coeficiente para hallar la incógnita y otro para confirmarla.
Ver en español
Pregunta
El producto (x + k)(x - 3) es igual a x^2 + 4x - 21 para cualquier valor de x.
¿Cuál es el valor de k?
k = _____
Pista
Desarrolla (x + k)(x - 3) en términos de k. Luego iguala el término constante (y comprueba con el término del medio).
Pregunta 30 de 36
Which expression is equivalent to \left(\tfrac{1}{2}x + 3\right)(4x - 2)?
Pista
FOIL works the same with fractions: \tfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 and \tfrac{1}{2} \cdot (-2) = -1.
Consejo: elige un valor de prueba par (como x = 2) cuando un problema tiene medios; las cuentas se quedan en números enteros y la comprobación toma segundos.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a \left(\tfrac{1}{2}x + 3\right)(4x - 2)?
Opciones
A.2x^2 - 6
B.2x^2 + 13x - 6
C.2x^2 + 11x + 6
D.2x^2 + 11x - 6
Pista
FOIL funciona igual con fracciones: \tfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 y \tfrac{1}{2} \cdot (-2) = -1.
Pregunta 31 de 36
Completar
Multiply and simplify:
(x^2 - 2x + 3)(x^2 + x - 1)
The result has the form x^4 + bx^3 + cx^2 + dx - 3. Enter b, c and d.
b =
c =
d =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
There are 3 \times 3 = 9 products. Organize them by power of x (a table or box method helps). One coefficient may turn out to be 0.
Consejo: cuando los términos semejantes se cancelan por completo, el coeficiente es 0; esa potencia "falta" en la respuesta. Cuenta tus productos (aquí son 9) para no saltarte ninguno.
Ver en español
Pregunta
Multiplica y simplifica:
(x^2 - 2x + 3)(x^2 + x - 1)
El resultado tiene la forma x^4 + bx^3 + cx^2 + dx - 3. Escribe b, c y d.
b = _____
c = _____
d = _____
Pista
Hay 3 \times 3 = 9 productos. Organízalos según la potencia de x (una tabla o el método de la caja ayuda). Puede que un coeficiente resulte ser 0.
Pregunta 32 de 36
Completar
A rectangular backyard is (2x + 3) feet long and (x + 5) feet wide. A square shed with sides of x feet sits in one corner, as shown.
Rectangular yard with a square shed in one corner
The area of the yard not covered by the shed can be written as ax^2 + bx + c square feet. Enter a, b and c.
a =
b =
c =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Uncovered area = (area of the whole yard) - (area of the shed). Find each area as a polynomial first.
Consejo: los problemas de "área que sobra" siempre son área grande menos área pequeña. Es fácil pasar por alto el coeficiente a = 1: x^2 significa 1x^2.
Ver en español
Pregunta
Un patio trasero rectangular mide (2x + 3) pies de largo y (x + 5) pies de ancho. Un cobertizo cuadrado con lados de x pies está en una esquina, como se muestra.
El área del patio que no cubre el cobertizo se puede escribir como ax^2 + bx + c pies cuadrados. Escribe a, b y c.
a = _____
b = _____
c = _____
Pista
Área sin cubrir = (área de todo el patio) - (área del cobertizo). Primero halla cada área como un polinomio.
Pregunta 33 de 36
For some constant a, the product (ax + 5)(2x - 1) is equal to 6x^2 + 7x - 5 for every value of x. What is the value of a?
Pista
Expand in terms of a. Which term of the product contains a alone with x^2?
Consejo: usa el término que da la ecuación más sencilla (aquí, el término principal) y luego confirma con un segundo coeficiente para detectar errores.
Ver en español
Pregunta
Para cierta constante a, el producto (ax + 5)(2x - 1) es igual a 6x^2 + 7x - 5 para cualquier valor de x. ¿Cuál es el valor de a?
Opciones
A.-3
B.3
C.6
D.7
Pista
Desarrolla en términos de a. ¿Qué término del producto contiene solo a a junto con x^2?
Pregunta 34 de 36
Completar
A square garden has sides of x feet. A path 3 feet wide surrounds the garden on all four sides, as shown.
Square garden with a 3-foot path around it
The area of the path alone can be written as ax + b square feet. Enter a and b.
a =
b =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Path area = (area of the big outer square) − (area of the garden). How long is a side of the outer square?
Solución paso a paso
The path adds 3 ft on each side, so the outer square's side is x + 3 + 3 = x + 6 feet.
Check: if x = 10, the outer square is 16 \times 16 = 256 ft² and the garden is 100 ft², so the path is 156 ft². The expression gives 12(10) + 36 = 156 ✓
Tip: a border adds its width twice to each dimension (once on each side). Using x + 3 instead of x + 6 gives 6x + 9, a common wrong answer.
Explicación
El camino agrega 3 ft en cada lado, así que el lado del cuadrado exterior mide x + 3 + 3 = x + 6 pies.
Área del camino: (x^2 + 12x + 36) - x^2 = 12x + 36.
Así que a = 12 y b = 36.
Comprobación: si x = 10, el cuadrado exterior mide 16 \times 16 = 256 ft² y el jardín mide 100 ft², así que el camino mide 156 ft². La expresión da 12(10) + 36 = 156 ✓
Consejo: un borde agrega su ancho dos veces a cada dimensión (una vez de cada lado). Usar x + 3 en vez de x + 6 da 6x + 9, una respuesta incorrecta común.
Ver en español
Pregunta
Un jardín cuadrado tiene lados de x pies. Un camino de 3 pies de ancho rodea el jardín por los cuatro lados, como se muestra.
El área solo del camino se puede escribir como ax + b pies cuadrados. Escribe a y b.
a = _____
b = _____
Pista
Área del camino = (área del cuadrado grande de afuera) − (área del jardín). ¿Cuánto mide un lado del cuadrado de afuera?
Pregunta 35 de 36
Menú
Lena multiplied (2x - 1)(x^2 + 4x - 3). Her work is shown.
Step
Work
1
2x(x^2 + 4x - 3) - 1(x^2 + 4x - 3)
2
2x^3 + 8x^2 - 6x - x^2 + 4x + 3
3
2x^3 + 7x^2 - 2x + 3
Lena's first error is in . The correct product is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
In Step 2, multiply -1 by each of x^2, 4x and -3 yourself and compare with Lena's three terms.
Solución paso a paso
Step 1: splitting (2x - 1) into 2x and -1 and distributing each is correct.
Step 2:2x(x^2 + 4x - 3) = 2x^3 + 8x^2 - 6x ✓. Then -1(x^2 + 4x - 3) = -x^2 - 4x + 3. Lena wrote +4x instead of -4x. Error.
Consejo: multiplicar por -1 cambia cada signo de los paréntesis. Comprueba tu respuesta final con x = 1; toma diez segundos y detecta la mayoría de los errores.
Ver en español
Pregunta
Lena multiplicó (2x - 1)(x^2 + 4x - 3). Su trabajo se muestra abajo.
Paso
Trabajo
1
2x(x^2 + 4x - 3) - 1(x^2 + 4x - 3)
2
2x^3 + 8x^2 - 6x - x^2 + 4x + 3
3
2x^3 + 7x^2 - 2x + 3
El primer error de Lena está en _____. El producto correcto es _____.
Opciones
el Paso 1
el Paso 2
el Paso 3
ningún paso (el trabajo es correcto)
2x^3 + 7x^2 - 10x + 3
2x^3 + 7x^2 - 2x + 3
2x^3 + 9x^2 - 10x + 3
2x^3 + 7x^2 - 10x - 3
Pista
En el Paso 2, multiplica tú mismo -1 por cada uno de x^2, 4x y -3, y compara con los tres términos de Lena.
Pregunta 36 de 36
A polynomial q(x) satisfies (x - 2) \cdot q(x) = x^3 - 7x + 6 for every value of x. Which expression is q(x)?
Pista
q(x) = (x^3 - 7x + 6) \div (x - 2). Remember that x^3 - 7x + 6 has nox^2-term; write it as x^3 + 0x^2 - 7x + 6 before dividing.
Solución paso a paso
q(x) = \dfrac{x^3 + 0x^2 - 7x + 6}{x - 2} (insert 0x^2 as a placeholder).
Synthetic division with 2 (from x - 2), coefficients 1, 0, -7, 6:
bring down 1;
1 \cdot 2 = 2, 0 + 2 = 2;
2 \cdot 2 = 4, -7 + 4 = -3;
-3 \cdot 2 = -6, 6 + (-6) = 0 (remainder 0 ✓).
The quotient coefficients 1, 2, -3 give x^2 + 2x - 3.
Tip: a missing power needs a 0 placeholder in long or synthetic division. On multiple choice, multiplying each choice by (x - 2) is often just as fast.
Explicación
q(x) = \dfrac{x^3 + 0x^2 - 7x + 6}{x - 2} (pon 0x^2 para ocupar el lugar).
División sintética con 2 (de x - 2), coeficientes 1, 0, -7, 6:
baja el 1;
1 \cdot 2 = 2, 0 + 2 = 2;
2 \cdot 2 = 4, -7 + 4 = -3;
-3 \cdot 2 = -6, 6 + (-6) = 0 (residuo 0 ✓).
Los coeficientes del cociente 1, 2, -3 dan x^2 + 2x - 3.
Consejo: una potencia que falta necesita un 0 que ocupe su lugar en la división larga o sintética. En opción múltiple, multiplicar cada opción por (x - 2) suele ser igual de rápido.
Ver en español
Pregunta
Un polinomio q(x) cumple que (x - 2) \cdot q(x) = x^3 - 7x + 6 para cualquier valor de x. ¿Qué expresión es q(x)?
Opciones
A.x^2 - 2x - 3
B.x^2 + 2x + 3
C.x - 5
D.x^2 + 2x - 3
Pista
q(x) = (x^3 - 7x + 6) \div (x - 2). Recuerda que x^3 - 7x + 6no tiene término con x^2; escríbelo como x^3 + 0x^2 - 7x + 6 antes de dividir.
