Pendiente a partir de una gráfica, ecuación o tabla

1. Nombra los puntos: (x_1, y_1) = (1, 2) y (x_2, y_2) = (4, 8).
2. Usa la fórmula de la pendiente: m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3}
3. Simplifica: \dfrac{6}{3} = 2.

La pendiente es 2.

Comprobación: Empezando en (1, 2), cada paso de 1 a la derecha sube 2: (2, 4), (3, 6), (4, 8); llegamos exactamente al segundo punto ✓

Consejo: "Cambio vertical sobre cambio horizontal (rise over run)": el cambio en y (arriba/abajo) va arriba y el cambio en x (de lado) va abajo.

1. La forma pendiente-intersección es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y.
2. Compara y = -3x + 7 con y = mx + b: m = -3, \qquad b = 7
3. La pendiente es el número que multiplica a x, incluido su signo.

La pendiente es -3.

Comprobación: Elige dos valores de x: x = 0 \Rightarrow y = 7; x = 1 \Rightarrow y = -3 + 7 = 4. El cambio en y es 4 - 7 = -3 para un cambio en x de 1, así que m = \frac{-3}{1} = -3 ✓

Consejo: La pendiente es el coeficiente de x solo cuando y está sola en un lado de la ecuación.

1. Usa dos puntos que estén exactamente en esquinas de la cuadrícula: (0, 0) y (2, 3).
2. Cambio vertical: de y = 0 hasta y = 3 es +3.
3. Cambio horizontal: de x = 0 a la derecha hasta x = 2 es +2.
4. Pendiente: m = \frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} = \frac{3}{2}

La pendiente es \tfrac{3}{2} (o 1.5).

Comprobación: Usa los otros dos puntos, (-2, -3) y (2, 3): \frac{3 - (-3)}{2 - (-2)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} ✓. La recta sube de izquierda a derecha, así que una pendiente positiva tiene sentido.

Consejo: Dos puntos cualesquiera de una recta dan la misma pendiente: elige puntos donde la recta cruce exactamente una intersección de la cuadrícula.

1. Nombra los puntos: (x_1, y_1) = (3, 1) y (x_2, y_2) = (7, 13).
2. Fórmula de la pendiente (está en la hoja de fórmulas del GED®): m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{13 - 1}{7 - 3} = \frac{12}{4}
3. Simplifica: \dfrac{12}{4} = 3.

La pendiente es 3.

Comprobación: Desde (3, 1), ve 1 a la derecha y 3 hacia arriba cuatro veces: (4, 4), (5, 7), (6, 10), (7, 13); llegamos al segundo punto ✓

Consejo: La fórmula usa diferencias (restas), nunca sumas. El cambio vertical (el cambio en y) va arriba y el cambio horizontal (el cambio en x) va abajo.

1. La forma pendiente-intersección es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y.
2. Reordena el lado derecho para que el término con x vaya primero (la suma se puede hacer en cualquier orden, pero cada término conserva su signo): y = 9 - 4x = -4x + 9
3. Compara con y = mx + b: m = -4 y b = 9.

La pendiente es -4.

Comprobación: Prueba dos puntos: x = 0 \Rightarrow y = 9; x = 1 \Rightarrow y = 5. Pendiente = \frac{5 - 9}{1 - 0} = -4 ✓

Consejo: La pendiente es el coeficiente de x, esté donde esté la x. El signo delante del término pertenece al coeficiente: -4x significa m = -4.

1. Resta 4x de ambos lados: 2y = -4x + 10
2. Divide cada término entre 2: y = -2x + 5
3. Ahora la ecuación tiene la forma y = mx + b con m = -2.

La pendiente es -2.

Comprobación: Halla dos puntos de la recta original. x = 0: 2y = 10, y = 5 → (0, 5). x = 1: 4 + 2y = 10, y = 3 → (1, 3). Pendiente = \frac{3 - 5}{1 - 0} = -2 ✓

Consejo: Atajo para Ax + By = C: pendiente = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{4}{2} = -2. Nunca leas la pendiente de una ecuación que no está despejada para y.

1. Usa los puntos marcados (0,\ 4) y (3,\ -2).
2. Cambio vertical: de y = 4 bajando hasta y = -2: -2 - 4 = -6
3. Cambio horizontal: de x = 0 a x = 3: 3 - 0 = 3
4. Pendiente: m = \frac{-6}{3} = -2

La pendiente es -2.

Comprobación: La recta también cruza (2, 0). De (0, 4) a (2, 0): \frac{0 - 4}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2 ✓. La recta baja de izquierda a derecha, así que una pendiente negativa es correcta.

Consejo: Lee de izquierda a derecha, como una oración: cuesta arriba = pendiente positiva, cuesta abajo = pendiente negativa.

1. Sea (x_1, y_1) = (-3, 5) y (x_2, y_2) = (1, -3).
2. Cambio en y: y_2 - y_1 = -3 - 5 = -8
3. Cambio en x: x_2 - x_1 = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4
4. Pendiente: m = \frac{-8}{4} = -2

La pendiente es -2.

Comprobación: Invierte el orden: \frac{5 - (-3)}{-3 - 1} = \frac{8}{-4} = -2 ✓: la misma respuesta, como debe ser.

Consejo: Pon paréntesis alrededor de los números negativos antes de restar: 1 - (-3). La mayoría de los errores de pendiente son errores de signo, no de fórmula.

1. Los puntos marcados son (-4, -1) y (4, 5).
2. Cambio vertical (cambio en y): 5 - (-1) = 6.
3. Cambio horizontal (cambio en x): 4 - (-4) = 8.
4. Pendiente: m = \frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
5. La recta sube de izquierda a derecha, así que tiene sentido una pendiente positiva.

La pendiente es \tfrac{3}{4}.

Comprobación: Desde (4, 5), regresa 4 a la izquierda y 3 hacia abajo: (0, 2). La gráfica cruza el eje y en 2 ✓

Consejo: Usa puntos donde la recta pasa exactamente por cruces de la cuadrícula (los puntos marcados). Siempre simplifica la fracción y compara el signo con el dibujo: si sube, es positiva.

1. Los dos puntos tienen y = 6, así que la recta es horizontal (la recta y = 6).
2. Fórmula de la pendiente: m = \frac{6 - 6}{5 - (-2)} = \frac{0}{7}
3. Cero dividido entre cualquier número distinto de cero es 0.

La pendiente es 0.

Comprobación: Una recta horizontal no sube ni baja al moverte a la derecha, así que su cambio vertical es 0 y su pendiente es 0 ✓

Consejo: \frac{0}{\text{número}} = 0 (recta horizontal), pero \frac{\text{número}}{0} es indefinida (recta vertical). Recuerda: "Horizontal, Cero; Vertical, Indefinida".

1. Nombra: (x_1, y_1) = (-4, -1), (x_2, y_2) = (2, -5).
2. Cambio vertical: y_2 - y_1 = -5 - (-1) = -5 + 1 = -4.
3. Cambio horizontal: x_2 - x_1 = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6.
4. Pendiente: m = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}

La pendiente es -\tfrac{2}{3}.

Comprobación: Usa los puntos en el otro orden: \frac{-1 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}; la misma respuesta ✓ Además, y baja mientras x sube, así que la pendiente debe ser negativa ✓

Consejo: "Menos un negativo" se convierte en "más": -5 - (-1) = -5 + 1. Pon los negativos entre paréntesis en tu trabajo para no perder un signo.

1. Empieza con 3x - 5y = 15.
2. Resta 3x a ambos lados: -5y = -3x + 15
3. Divide cada término entre -5: y = \frac{-3}{-5}x + \frac{15}{-5} = \frac{3}{5}x - 3
4. Compara con y = mx + b: m = \tfrac{3}{5}.

La pendiente es \tfrac{3}{5}.

Comprobación: Dos puntos de la recta: x = 0 \Rightarrow -5y = 15 \Rightarrow y = -3; x = 5 \Rightarrow 15 - 5y = 15 \Rightarrow y = 0. Pendiente = \frac{0 - (-3)}{5 - 0} = \frac{3}{5} ✓

Consejo: Atajo para Ax + By = C: pendiente = -\dfrac{A}{B}. Aquí -\dfrac{3}{-5} = \dfrac{3}{5}. Un negativo dividido entre un negativo es positivo.

1. En la fórmula de la pendiente, el mismo punto debe ir primero arriba y abajo: \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
2. Arriba, Marcus usó 5 - (-3): el segundo punto menos el primero.
3. Abajo, usó 2 - 6: el primer punto menos el segundo. El orden está mezclado; ese es el error, en el Paso 1.
4. Trabajo correcto: m = \frac{5 - (-3)}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2
5. Los Pasos 2 y 3 son aritmética correcta para lo que él escribió; el error empezó en el Paso 1.

El Paso 1 está mal; la pendiente es 2.

Comprobación: Cuando x va de 2 a 6 (sube), y va de -3 a 5 (sube), así que la pendiente debe ser positiva ✓

Consejo: Mezclar el orden siempre cambia el signo. Una revisión rápida de "¿sube o baja?" lo detecta.

La inclinación se mide con el valor absoluto de la pendiente, \lvert m \rvert. El signo solo indica la dirección.

1. y = -4x + 1: m = -4, así que \lvert m \rvert = 4.
2. y = 3x + 9: m = 3, así que \lvert m \rvert = 3.
3. Recta que pasa por (0, 0) y (2, 7): m = \frac{7 - 0}{2 - 0} = 3.5, así que \lvert m \rvert = 3.5.
4. 6x - 2y = 4: -2y = -6x + 4 \Rightarrow y = 3x - 2, así que m = 3, \lvert m \rvert = 3.

Compara: 4 > 3.5 > 3. La recta más inclinada es y = -4x + 1.

Comprobación: Por cada paso de 1 a la derecha, y = -4x + 1 baja 4 unidades; ninguna otra recta cambia más de 3.5 unidades por paso ✓

Consejo: Una pendiente de -4 es más inclinada que una pendiente de 3. "Más inclinada" compara tamaños; "mayor pendiente" compara valores con signo. Lee cuál de las dos pide la pregunta.

1. Fórmula de la pendiente con los puntos dados: \frac{-10 - 2}{4 - k} = 4 \quad\Rightarrow\quad \frac{-12}{4 - k} = 4
2. Multiplica ambos lados por (4 - k): -12 = 4(4 - k) = 16 - 4k
3. Resta 16 a ambos lados: -28 = -4k.
4. Divide entre -4: k = 7.

El valor es k = 7.

Comprobación: Puntos (7, 2) y (4, -10): m = \frac{-10 - 2}{4 - 7} = \frac{-12}{-3} = 4 ✓

Consejo: En los problemas de "halla la coordenada que falta", pon la incógnita en la fórmula de la pendiente y resuelve. Luego siempre sustituye para comprobar; aquí los errores de signo son muy comunes.

1. Halla cada pendiente:
   • y = -\tfrac{1}{4}x + 3: m = -0.25, inclinación \lvert m \rvert = 0.25.
   • Recta que pasa por (0, 0) y (5, 2): m = \tfrac{2}{5} = 0.4, \lvert m \rvert = 0.4.
   • 2x + 4y = 9: 4y = -2x + 9, así que y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{9}{4}; m = -0.5, \lvert m \rvert = 0.5.
   • Recta en la que y aumenta 1 cada vez que x aumenta 3: m = \tfrac{1}{3} \approx 0.33, \lvert m \rvert \approx 0.33.
2. Compara la inclinación: 0.25 < 0.33 < 0.4 < 0.5.
3. El valor absoluto más pequeño es 0.25.

La recta menos inclinada es y = -\tfrac{1}{4}x + 3.

Comprobación: En un cambio horizontal de 12, las cuatro rectas cambian 3, 4.8, 6 y 4 unidades verticalmente; el cambio más pequeño es 3, para m = -\tfrac{1}{4} ✓

Consejo: Inclinación = \lvert m \rvert. El número con signo más pequeño (aquí, -0.5) no es el menos inclinado; de hecho, es el más inclinado de estos cuatro.

1. Para dejar sola 2y en 6x + 2y = 8, resta 6x a ambos lados: 2y = 8 - 6x = -6x + 8 Rosa escribió +6x, así que el error está en el Paso 1.
2. Sigue correctamente: divide cada término entre 2: y = -3x + 4
3. La pendiente es el coeficiente de x: m = -3.
4. En el Paso 2, Rosa dividió bien los dos términos entre 2, y en el Paso 3 leyó bien el coeficiente, pero los dos pasos se basaron en el error de signo.

El Paso 1 está mal; la pendiente es -3.

Comprobación: Dos puntos de 6x + 2y = 8: (0, 4) y (1, 1). Pendiente = \frac{1 - 4}{1 - 0} = -3 ✓

Consejo: Cuando un término pasa al otro lado del signo igual, su signo cambia (porque lo restas a ambos lados). Atajo para Ax + By = C: m = -\frac{A}{B} = -\frac{6}{2} = -3.

1. Una pendiente del 6% significa una pendiente de \frac{6}{100} = 0.06 (6 pies de bajada por cada 100 pies horizontales).
2. Como pendiente = \dfrac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}}, entonces cambio vertical = pendiente \times cambio horizontal.
3. Multiplica: \text{bajada} = 0.06 \times 1{,}500 = 90 \text{ pies}

La carretera baja 90 pies.

Comprobación: 1,500 pies son 15 grupos de 100 pies; a 6 pies por cada 100 pies, 15 \times 6 = 90 pies ✓

Consejo: Una pendiente en porcentaje es simplemente la pendiente × 100. Convierte el porcentaje a decimal (mueve el punto dos lugares a la izquierda) antes de multiplicar.

1. Los puntos marcados son (0, 400) y (8, 1600): x en millas, y en pies.
2. Cambio vertical: 1600 - 400 = 1200 pies.
3. Cambio horizontal: 8 - 0 = 8 millas.
4. Pendiente: m = \frac{1200 \text{ ft}}{8 \text{ mi}} = 150 \text{ pies por milla}

La pendiente es 150 pies por milla: el sendero sube 150 pies por cada milla que caminas.

Comprobación: Después de 4 millas: 400 + 150 \times 4 = 1000 pies. En la gráfica, la recta pasa por 1,000 en 4 millas ✓

Consejo: Cuando los ejes tienen escalas distintas (200 por cuadro hacia arriba, 2 por cuadro de lado), contar cuadros da una pendiente equivocada. Siempre usa los valores de los ejes de dos puntos.

1. Reescribe cada ecuación en la forma y = mx + b:
   • y = \dfrac{4 - x}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{x}{2} = -\tfrac{1}{2}x + 2 → m = -\tfrac{1}{2} ✓
   • y = -2x + \tfrac{1}{2} → m = -2.
   • y = \tfrac{1}{2} - x = -1x + \tfrac{1}{2} → m = -1.
   • y = \dfrac{x - 1}{2} = \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2} → m = \tfrac{1}{2}.
2. Solo y = \dfrac{4 - x}{2} tiene m = -\tfrac{1}{2}.

La respuesta es y = \dfrac{4 - x}{2}.

Comprobación: Puntos de y = \frac{4 - x}{2}: x = 0 \Rightarrow y = 2; x = 2 \Rightarrow y = 1. Pendiente = \frac{1 - 2}{2 - 0} = -\frac{1}{2} ✓

Consejo: Una barra de fracción debajo de toda una expresión divide cada término. La pendiente es el coeficiente de x después de separar: -\frac{x}{2} significa -\tfrac{1}{2}x.

1. Pendiente -\tfrac{4}{3} = cambio vertical -4 sobre cambio horizontal 3: desde cualquier punto, muévete 3 a la derecha y 4 hacia abajo para llegar a otro punto.
2. Desde (3, 2): (3 + 3,\ 2 - 4) = (6,\ -2)
3. Prueba las otras opciones con la fórmula de la pendiente desde (3, 2):
   • (7, -1): \frac{-1 - 2}{7 - 3} = -\frac{3}{4} ✗
   • (0, -2): \frac{-2 - 2}{0 - 3} = \frac{4}{3} ✗
   • (6, 6): \frac{6 - 2}{6 - 3} = \frac{4}{3} ✗

El punto (6, -2) está en la recta.

Comprobación: \frac{-2 - 2}{6 - 3} = \frac{-4}{3} ✓

Consejo: Con una pendiente negativa, los dos movimientos van en direcciones opuestas (derecha y abajo, o izquierda y arriba). Moverse a la izquierda y hacia abajo da una pendiente positiva.

1. Nombra: (x_1, y_1) = (-5, 3), (x_2, y_2) = (-1, -9).
2. Numerador: y_2 - y_1 = -9 - 3 = -12. Kim lo hizo bien.
3. Denominador: x_2 - x_1 = -1 - (-5) = -1 + 5 = 4. Kim escribió -1 - 5 y perdió el signo negativo de x_1 = -5. Ese es el error.
4. Pendiente correcta: m = \frac{-12}{4} = -3

El denominador debe ser -1 - (-5) = 4, así que la pendiente es -3.

Comprobación: De (-5, 3) a (-1, -9), x aumenta y y disminuye, así que la pendiente debe ser negativa; la respuesta positiva de Kim no podía ser correcta ✓

Consejo: Pon cada coordenada entre paréntesis al sustituir: (-1) - (-5). Así el signo negativo no desaparece.