Top block: V = 6 \times 6 \times 4 = 144\text{ in}^3.
The blocks do not overlap, so add: 400 + 144 = 544.
Answer: 544 in³
Check: The figure is smaller than one big 10 × 10 × 8 box (800\text{ in}^3) and bigger than the bottom block alone (400\text{ in}^3); 544 is between them ✓.
Tip: Composite volume = break the figure into familiar solids, find each volume, then add the pieces that are there (and subtract any holes).
Explicación
Bloque de abajo: V = lwh = 10 \times 10 \times 4 = 400\text{ in}^3.
Bloque de arriba: V = 6 \times 6 \times 4 = 144\text{ in}^3.
Los bloques no se traslapan, así que suma: 400 + 144 = 544.
Respuesta: 544 in³
Comprobación: la figura es más pequeña que una sola caja grande de 10 × 10 × 8 (800\text{ in}^3) y más grande que el bloque de abajo solo (400\text{ in}^3); 544 está entre los dos ✓.
Consejo: volumen de una figura compuesta = divide la figura en sólidos conocidos, encuentra el volumen de cada uno y luego suma las partes que están (y resta cualquier hueco).
Ver en español
Pregunta
Dos bloques rectangulares de madera están pegados como se muestra.
¿Cuál es el volumen total de la figura?
Opciones
A. 800 in³
B. 256 in³
C. 544 in³
D. 400 in³
Pista
Halla el volumen de cada bloque por separado y luego combínalos.
Pregunta 2 de 36
Completar
A solid ice-cream cone model is made of a cone topped with a hemisphere. The radius of both parts is 2 in, and the cone is 6 in tall.
Cone 6 in tall with radius 2 in, topped by a hemisphere of radius 2 in
What is the volume of the model, to the nearest tenth of a cubic inch?
in³
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Volume = cone + half of a sphere. Both use r = 2.
Solución paso a paso
Cone: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(4)(6) = 8\pi.
Hemisphere: half of \tfrac{4}{3}\pi r^3, so \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3}\pi(8) = \tfrac{16}{3}\pi.
Consejo: deja cada parte en términos de \pi y suma los números que van delante de \pi. Conviértelo a decimal una sola vez, al final.
Ver en español
Pregunta
Un modelo sólido de cono de helado está formado por un cono con una semiesfera encima. El radio de las dos partes es 2 in, y el cono mide 6 in de alto.
¿Cuál es el volumen del modelo, redondeado a la décima de pulgada cúbica más cercana?
_____ in³
Pista
Volumen = cono + la mitad de una esfera. Las dos partes usan r = 2.
Pregunta 3 de 36
A rectangular block of wood is 10 in long, 6 in wide, and 4 in tall. A cylindrical hole with a radius of 1 in is drilled straight through the block from top to bottom.
Block 10 in by 6 in by 4 in with a vertical hole of radius 1 in
To the nearest tenth of a cubic inch, what volume of wood is left?
Pista
Wood left = volume of the block − volume of the hole. The hole is a cylinder as tall as the block.
Agujero: un cilindro con r = 1 y h = 4: V = \pi r^2 h = \pi(1)(4) = 4\pi \approx 12.57\text{ in}^3.
Resta: 240 - 12.57 = 227.43.
Redondea: 227.4.
Respuesta: unas 227.4 in³
Comprobación: el agujero es pequeño, así que la respuesta debe ser un poco menos que 240 ✓.
Consejo: en los agujeros, recortes y objetos huecos, resta la parte que falta. La altura del agujero es el grosor que atraviesa (aquí, 4 in).
Ver en español
Pregunta
Un bloque rectangular de madera mide 10 in de largo, 6 in de ancho y 4 in de alto. Se perfora un agujero cilíndrico con un radio de 1 in que atraviesa el bloque de arriba abajo.
Redondeando a la décima de pulgada cúbica más cercana, ¿qué volumen de madera queda?
Opciones
A. 252.6 in³
B. 189.7 in³
C. 240.0 in³
D. 227.4 in³
Pista
Madera que queda = volumen del bloque − volumen del agujero. El agujero es un cilindro tan alto como el bloque.
Pregunta 4 de 36
A set of stage steps is built from two solid wooden boxes placed side by side. Both boxes are 6 ft long and 3 ft deep. One box is 2 ft tall, and the other is 4 ft tall.
What is the total volume of the steps?
Pista
Find the volume of each box with V = lwh, then combine them.
Check: Think of it another way: a 6 by 6 by 4 block (144 ft³) with a 6 by 3 by 2 corner missing (36 ft³): 144 - 36 = 108 ✓.
Tip: Split a composite solid into simple boxes that do not overlap, find each volume, and add. Write the pieces down so none is counted twice or missed.
Las cajas no se superponen, así que suma: 36 + 72 = 108.
Respuesta: 108 ft³
Comprobación: Piénsalo de otra forma: un bloque de 6 por 6 por 4 (144 ft³) al que le falta una esquina de 6 por 3 por 2 (36 ft³): 144 - 36 = 108 ✓.
Consejo: Divide un sólido compuesto en cajas simples que no se superpongan, halla cada volumen y suma. Anota las piezas para no contar ninguna dos veces ni olvidar alguna.
Ver en español
Pregunta
Unos escalones para un escenario están hechos de dos cajas macizas de madera colocadas lado a lado. Las dos cajas miden 6 ft de largo y 3 ft de fondo. Una caja mide 2 ft de altura y la otra mide 4 ft de altura.
¿Cuál es el volumen total de los escalones?
Opciones
A.54\text{ ft}^3
B.144\text{ ft}^3
C.108\text{ ft}^3
D.72\text{ ft}^3
Pista
Halla el volumen de cada caja con V = lwh y luego combínalos.
Pregunta 5 de 36
Completar
A metal bookend is shaped like an L. It is made of two solid rectangular pieces:
a flat base 8 in long, 5 in wide and 1 in thick, and
an upright piece 5 in wide and 1 in thick that rises 7 in above the base.
What is the total volume of metal in the bookend?
in³
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find the volume of each piece separately. The upright piece starts on top of the base, so its height is 7 in.
Solución paso a paso
Base: V = 8 \times 5 \times 1 = 40\text{ in}^3.
Upright piece: it is 5 in wide, 1 in thick and 7 in tall (above the base), so V = 5 \times 1 \times 7 = 35\text{ in}^3.
The pieces do not overlap, so add: 40 + 35 = 75.
Answer: 75 in³
Check: If the upright piece were measured from the table (8 in total), it would overlap the base by 1 in. Because the problem says it rises 7 in above the base, there is no overlap, and 40 + 35 = 75 ✓.
Tip: Read carefully where each piece starts and stops. "Above the base" means the height is measured from the top of the base, so no part is counted twice.
Explicación
Base: V = 8 \times 5 \times 1 = 40\text{ in}^3.
Pieza vertical: mide 5 in de ancho, 1 in de grosor y 7 in de altura (por encima de la base), así que V = 5 \times 1 \times 7 = 35\text{ in}^3.
Las piezas no se superponen, así que suma: 40 + 35 = 75.
Respuesta: 75 in³
Comprobación: Si la pieza vertical se midiera desde la mesa (8 in en total), se superpondría con la base en 1 in. Como el problema dice que sube 7 in por encima de la base, no hay superposición, y 40 + 35 = 75 ✓.
Consejo: Lee con cuidado dónde empieza y dónde termina cada pieza. "Por encima de la base" significa que la altura se mide desde la parte de arriba de la base, así que ninguna parte se cuenta dos veces.
Ver en español
Pregunta
Un sujetalibros de metal tiene forma de L. Está hecho de dos piezas rectangulares macizas:
una base plana de 8 in de largo, 5 in de ancho y 1 in de grosor, y
una pieza vertical de 5 in de ancho y 1 in de grosor que sube 7 in por encima de la base.
¿Cuál es el volumen total de metal del sujetalibros?
_____ in³
Pista
Halla el volumen de cada pieza por separado. La pieza vertical empieza encima de la base, así que su altura es de 7 in.
Pregunta 6 de 36
A stone monument is a cube with edges of 4 ft, topped by a square pyramid with the same 4 ft base and a height of 3 ft.
What is the total volume of the monument?
Pista
Find the cube's volume and the pyramid's volume separately. The pyramid uses \tfrac{1}{3}Bh.
Solución paso a paso
Cube: V = s^3 = 4^3 = 64\text{ ft}^3.
Pyramid: base area B = 4^2 = 16, so V = \tfrac{1}{3}(16)(3) = 16\text{ ft}^3.
Total: 64 + 16 = 80.
Answer: 80 ft³
Check: The pyramid is one-third of a 4 by 4 by 3 box (48 \div 3 = 16) ✓, and 64 + 16 = 80 ✓.
Tip: In a "house" shape, the box part uses Bh and the roof uses \tfrac{1}{3}Bh. Both share the same base area B, so find B once and use it twice.
Explicación
Cubo: V = s^3 = 4^3 = 64\text{ ft}^3.
Pirámide: área de la base B = 4^2 = 16, así que V = \tfrac{1}{3}(16)(3) = 16\text{ ft}^3.
Total: 64 + 16 = 80.
Respuesta: 80 ft³
Comprobación: La pirámide es un tercio de una caja de 4 por 4 por 3 (48 \div 3 = 16) ✓, y 64 + 16 = 80 ✓.
Consejo: En una figura con forma de "casa", la parte de caja usa Bh y el techo usa \tfrac{1}{3}Bh. Ambas comparten la misma área de base B, así que halla B una vez y úsala dos veces.
Ver en español
Pregunta
Un monumento de piedra es un cubo con aristas de 4 ft, con una pirámide cuadrangular encima que tiene la misma base de 4 ft y una altura de 3 ft.
¿Cuál es el volumen total del monumento?
Opciones
A.112\text{ ft}^3
B.16\text{ ft}^3
C.88\text{ ft}^3
D.80\text{ ft}^3
Pista
Halla por separado el volumen del cubo y el volumen de la pirámide. La pirámide usa \tfrac{1}{3}Bh.
Pregunta 7 de 36
A storage shed is a rectangular box 8 ft long, 8 ft wide, and 6 ft tall, topped by a square-pyramid roof that is 3 ft tall (slant height 5 ft).
Shed: 8 by 8 by 6 ft box with a pyramid roof 3 ft tall and slant height 5 ft
What is the total volume of the shed, to the nearest tenth of a cubic foot?
Pista
Box volume + pyramid volume. Volume uses the pyramid's height, not its slant height.
Solución paso a paso
Box: V = 8 \times 8 \times 6 = 384\text{ ft}^3.
Roof: the base is the 8 × 8 top of the box, so B = 64. The height is 3 ft.
V = \tfrac{1}{3}Bh = \tfrac{1}{3}(64)(3) = 64\text{ ft}^3.
Add: 384 + 64 = 448.
Answer: 448.0 ft³
Check: The roof (64 ft³) is one-third of an 8 × 8 × 3 box (192 ft³) ✓.
Tip: Parts of a composite figure share measurements. The roof's base is the box's top, so you do not need a new base area. Use the slant height only for surface area.
Explicación
Caja: V = 8 \times 8 \times 6 = 384\text{ ft}^3.
Techo: la base es la parte de arriba de la caja, de 8 × 8, así que B = 64. La altura es de 3 ft.
V = \tfrac{1}{3}Bh = \tfrac{1}{3}(64)(3) = 64\text{ ft}^3.
Suma: 384 + 64 = 448.
Respuesta: 448.0 ft³
Comprobación: el techo (64 ft³) es un tercio de una caja de 8 × 8 × 3 (192 ft³) ✓.
Consejo: las partes de una figura compuesta comparten medidas. La base del techo es la parte de arriba de la caja, así que no necesitas una nueva área de la base. Usa la altura inclinada solo para el área superficial.
Ver en español
Pregunta
Un cobertizo de almacenamiento es una caja rectangular de 8 ft de largo, 8 ft de ancho y 6 ft de alto, con un techo en forma de pirámide cuadrada de 3 ft de alto (altura inclinada de 5 ft).
¿Cuál es el volumen total del cobertizo, redondeado a la décima de pie cúbico más cercana?
Opciones
A. 448.0 ft³
B. 576.0 ft³
C. 384.0 ft³
D. 490.7 ft³
Pista
Volumen de la caja + volumen de la pirámide. El volumen usa la altura de la pirámide, no su altura inclinada.
Pregunta 8 de 36
Completar
A grain silo is a cylinder with a radius of 6 ft and a height of 15 ft, topped by a hemisphere with the same radius.
Silo: cylinder radius 6 ft, height 15 ft, with a hemisphere on top
How many cubic feet of grain can the silo hold when completely full? Round to the nearest cubic foot.
ft³
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Cylinder volume \pi r^2 h plus half of a sphere's volume \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Calcula: 684\pi \approx 2{,}148.8, que se redondea a 2{,}149.
Respuesta: unos 2,149 ft³
Comprobación: cilindro \approx 1{,}696.5 y cúpula \approx 452.4; 1{,}696.5 + 452.4 = 2{,}148.9 ✓ (la pequeña diferencia viene de redondear las partes).
Consejo: cuando todas las partes tienen \pi, suma los coeficientes (540 + 144 = 684) y multiplica por \pi una sola vez. (Con \pi \approx 3.14: 2{,}148, que también se acepta).
Ver en español
Pregunta
Un silo para granos es un cilindro con un radio de 6 ft y una altura de 15 ft, con una semiesfera del mismo radio encima.
¿Cuántos pies cúbicos de grano le caben al silo cuando está completamente lleno? Redondea al pie cúbico más cercano.
_____ ft³
Pista
Volumen del cilindro \pi r^2 h más la mitad del volumen de una esfera \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Pregunta 9 de 36
Menú
A vitamin capsule is a cylinder 8 mm long with a hemisphere on each end. The radius of every part is 2 mm.
Capsule: cylinder 8 mm long, radius 2 mm, with hemispheres on both ends
Complete the statements about the capsule's outside surface.
The curved side of the cylinder part has an area of mm². The total surface area of the capsule is mm².
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
The cylinder has no flat ends here — the hemispheres cover them. Two hemispheres make one whole sphere.
Solución paso a paso
Curved side of the cylinder: circumference × length = 2\pi r h = 2\pi(2)(8) = 32\pi.
The flat circles at the ends of the cylinder are inside the capsule (covered by the hemispheres), so they are not counted.
Two hemispheres = one sphere: 4\pi r^2 = 4\pi(4) = 16\pi.
Comprobación: solo se cuentan las superficies que podrías tocar desde afuera: un tubo curvo y dos tapas redondeadas ✓.
Consejo: en el área superficial de una figura compuesta, el lugar donde se unen dos sólidos queda oculto: déjalo fuera. Esa es la mayor diferencia con el volumen de una figura compuesta.
Ver en español
Pregunta
Una cápsula de vitaminas es un cilindro de 8 mm de largo con una semiesfera en cada extremo. El radio de todas las partes es 2 mm.
Completa los enunciados sobre la superficie exterior de la cápsula.
El lado curvo de la parte cilíndrica tiene un área de _____ mm². El área superficial total de la cápsula es _____ mm².
Opciones
32\pi
40\pi
64\pi
48\pi
56\pi
\tfrac{128}{3}\pi
Pista
Aquí el cilindro no tiene extremos planos; las semiesferas los cubren. Dos semiesferas forman una esfera completa.
Pregunta 10 de 36
The shed from the figure is a box 8 ft long, 8 ft wide, and 6 ft tall with a square-pyramid roof (height 3 ft, slant height 5 ft).
Shed: 8 by 8 by 6 ft box with a pyramid roof 3 ft tall and slant height 5 ft
What is the total area of the outside surfaces of the shed, including the floor?
Pista
List the outside surfaces: 4 walls, the floor, and 4 roof triangles. The top of the box is hidden under the roof.
Solución paso a paso
Four walls, each 8 by 6: 4 \times (8 \times 6) = 4 \times 48 = 192\text{ ft}^2.
Floor: 8 \times 8 = 64\text{ ft}^2.
Roof (lateral area of the pyramid, using the slant height): \tfrac{1}{2}ps = \tfrac{1}{2}(32)(5) = 80\text{ ft}^2.
The top of the box is covered by the roof, so it is not counted.
Total: 192 + 64 + 80 = 336.
Answer: 336 ft²
Check: Each roof triangle is \tfrac{1}{2}(8)(5) = 20, and 4 \times 20 = 80 ✓.
Tip: Make a list of every face you can see from outside. Joined faces (box top, roof bottom) are inside the figure and do not count.
Explicación
Cuatro paredes, cada una de 8 por 6: 4 \times (8 \times 6) = 4 \times 48 = 192\text{ ft}^2.
Piso: 8 \times 8 = 64\text{ ft}^2.
Techo (área lateral de la pirámide, con la altura inclinada): \tfrac{1}{2}ps = \tfrac{1}{2}(32)(5) = 80\text{ ft}^2.
La parte de arriba de la caja está cubierta por el techo, así que no se cuenta.
Total: 192 + 64 + 80 = 336.
Respuesta: 336 ft²
Comprobación: cada triángulo del techo mide \tfrac{1}{2}(8)(5) = 20, y 4 \times 20 = 80 ✓.
Consejo: haz una lista de todas las caras que puedes ver desde afuera. Las caras unidas (la parte de arriba de la caja, la parte de abajo del techo) están dentro de la figura y no cuentan.
Ver en español
Pregunta
El cobertizo de la figura es una caja de 8 ft de largo, 8 ft de ancho y 6 ft de alto con un techo en forma de pirámide cuadrada (altura de 3 ft, altura inclinada de 5 ft).
¿Cuál es el área total de las superficies exteriores del cobertizo, incluido el piso?
Opciones
A. 400 ft²
B. 336 ft²
C. 304 ft²
D. 272 ft²
Pista
Haz una lista de las superficies exteriores: 4 paredes, el piso y 4 triángulos del techo. La parte de arriba de la caja queda oculta bajo el techo.
Pregunta 11 de 36
Varias respuestas
A model rocket is a cylinder with radius 3 cm and height 10 cm, topped by a cone with the same radius and a height of 4 cm.
Rocket: cylinder radius 3 cm, height 10 cm, with a cone 4 cm tall (slant height 5 cm) on top
Select all of the expressions that equal the volume of the rocket, in cubic centimeters.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Volume of rocket = cylinder + cone. Use the radius 3 in both parts. Check each expression carefully.
Solución paso a paso
Cylinder: \pi r^2 h = \pi(3)^2(10) = 90\pi.
Cone: \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(3)^2(4) = 12\pi.
Cilindro del hueco (interior): \pi(1.5^2)(6) = \pi(2.25)(6) = 13.5\pi.
Resta: 24\pi - 13.5\pi = 10.5\pi.
Calcula: 10.5\pi \approx 32.99, que se redondea a 33.0.
Respuesta: unos 33.0 ft³
Comprobación: el anillo de concreto tiene solo 0.5 ft de grosor, así que debe ser mucho menos que el cilindro sólido (24\pi \approx 75.4) ✓.
Consejo: resta los volúmenes (o los radios al cuadrado), no los radios: 2^2 - 1.5^2 = 1.75, pero (2 - 1.5)^2 = 0.25.
Ver en español
Pregunta
Un tubo de drenaje de concreto es un cilindro hueco de 6 ft de largo. Su radio exterior es de 2 ft, y el hueco que lo atraviesa por el centro tiene un radio de 1.5 ft.
Redondeando a la décima de pie cúbico más cercana, ¿cuánto concreto hay en el tubo?
Opciones
A. 4.7 ft³
B. 75.4 ft³
C. 33.0 ft³
D. 131.9 ft³
Pista
Concreto = el cilindro completo − el hueco. Los dos son cilindros de 6 ft de largo.
Pregunta 13 de 36
A water tower tank is a cylinder with a radius of 10 ft and a height of 20 ft. Below it is a cone-shaped bottom with the same radius and a height of 6 ft.
What is the total volume of the tank, in terms of \pi?
Pista
Add the cylinder (\pi r^2 h) and the cone (\tfrac{1}{3}\pi r^2 h). Each part uses its own height.
Solución paso a paso
Cylinder: V = \pi r^2 h = \pi(10^2)(20) = \pi(100)(20) = 2{,}000\pi.
Cone: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(100)(6) = \tfrac{1}{3}\pi(600) = 200\pi.
Total: 2{,}000\pi + 200\pi = 2{,}200\pi.
Answer: 2{,}200\pi ft³ (about 6,912 ft³)
Check: The cone is one-third of a 6-ft-tall cylinder (600\pi), so 200\pi ✓. Total \approx 2{,}200 \times 3.1416 \approx 6{,}912 ✓.
Tip: Keep each part's own height. The cylinder uses 20 ft, the cone uses 6 ft — never add the heights and use one formula for the whole tank.
Explicación
Cilindro: V = \pi r^2 h = \pi(10^2)(20) = \pi(100)(20) = 2{,}000\pi.
Cono: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(100)(6) = \tfrac{1}{3}\pi(600) = 200\pi.
Total: 2{,}000\pi + 200\pi = 2{,}200\pi.
Respuesta: 2{,}200\pi ft³ (unos 6,912 ft³)
Comprobación: El cono es un tercio de un cilindro de 6 ft de altura (600\pi), así que 200\pi ✓. Total \approx 2{,}200 \times 3.1416 \approx 6{,}912 ✓.
Consejo: Usa la altura propia de cada parte. El cilindro usa 20 ft y el cono usa 6 ft; nunca sumes las alturas para usar una sola fórmula en todo el tanque.
Ver en español
Pregunta
El tanque de una torre de agua es un cilindro con un radio de 10 ft y una altura de 20 ft. Debajo tiene un fondo en forma de cono con el mismo radio y una altura de 6 ft.
¿Cuál es el volumen total del tanque, en términos de \pi?
Opciones
A.2{,}200\pi\text{ ft}^3
B.2{,}600\pi\text{ ft}^3
C.2{,}000\pi\text{ ft}^3
D.8{,}800\pi\text{ ft}^3
Pista
Suma el cilindro (\pi r^2 h) y el cono (\tfrac{1}{3}\pi r^2 h). Cada parte usa su propia altura.
Pregunta 14 de 36
A wooden candle holder is a cube with edges of 6 cm. A hemisphere-shaped hollow with a radius of 2.5 cm is carved into the top face to hold a candle.
To the nearest tenth of a cubic centimeter, how much wood is left in the candle holder?
Pista
Wood left = cube − the carved-out part. The carved part is half of a sphere.
Check: The hollow removes about 32.7 \div 216 \approx 15\% of the cube, and 216 \times 0.85 \approx 183.6 — close ✓.
Tip: "How much is left" → subtract the removed part. Be sure the removed part has the right shape: half a sphere is \tfrac{2}{3}\pi r^3, not \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Comprobación: El hueco quita aproximadamente 32.7 \div 216 \approx 15\% del cubo, y 216 \times 0.85 \approx 183.6, un valor cercano ✓.
Consejo: "¿Cuánto queda?" → resta la parte que se quitó. Asegúrate de que la parte quitada tenga la forma correcta: media esfera es \tfrac{2}{3}\pi r^3, no \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Ver en español
Pregunta
Un portavelas de madera es un cubo con aristas de 6 cm. En la cara de arriba se talló un hueco en forma de semiesfera con un radio de 2.5 cm para poner una vela.
Redondeado a la décima de centímetro cúbico más cercana, ¿cuánta madera queda en el portavelas?
Opciones
A.202.9\text{ cm}^3
B.183.3\text{ cm}^3
C.150.6\text{ cm}^3
D.248.7\text{ cm}^3
Pista
Madera que queda = cubo − la parte tallada. La parte tallada es la mitad de una esfera.
Pregunta 15 de 36
Menú
Two wooden cubes, each with edges of 3 in, are glued together face to face to make one rectangular block. Complete the statements.
The surface area of one cube is in², and the surface area of the glued block is in².
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
A cube has 6 square faces. When two cubes are glued, which faces can no longer be seen?
Solución paso a paso
One face of a cube: 3 \times 3 = 9\text{ in}^2.
One cube has 6 faces: 6 \times 9 = 54\text{ in}^2.
Two separate cubes: 2 \times 54 = 108\text{ in}^2.
Gluing hides two faces — one from each cube: 2 \times 9 = 18\text{ in}^2.
Glued block: 108 - 18 = 90\text{ in}^2.
Answer: 54 in² and 90 in²
Check: The block is a 6 by 3 by 3 box: SA = 2(6 \cdot 3) + 2(6 \cdot 3) + 2(3 \cdot 3) = 36 + 36 + 18 = 90 ✓.
Tip: When solids are joined, volume simply adds, but surface area does not — subtract every face that is now hidden, and remember that a joint hides a face on both pieces.
Explicación
Una cara de un cubo: 3 \times 3 = 9\text{ in}^2.
Un cubo tiene 6 caras: 6 \times 9 = 54\text{ in}^2.
Dos cubos separados: 2 \times 54 = 108\text{ in}^2.
Al pegarlos se ocultan dos caras, una de cada cubo: 2 \times 9 = 18\text{ in}^2.
Bloque pegado: 108 - 18 = 90\text{ in}^2.
Respuesta: 54 in² y 90 in²
Comprobación: El bloque es una caja de 6 por 3 por 3: SA = 2(6 \cdot 3) + 2(6 \cdot 3) + 2(3 \cdot 3) = 36 + 36 + 18 = 90 ✓.
Consejo: Cuando se unen sólidos, los volúmenes simplemente se suman, pero el área superficial no: resta cada cara que ahora queda oculta, y recuerda que una unión oculta una cara en las dos piezas.
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Pregunta
Dos cubos de madera, cada uno con aristas de 3 in, se pegan cara con cara para formar un solo bloque rectangular. Completa las afirmaciones.
El área superficial de un cubo es _____ in², y el área superficial del bloque pegado es _____ in².
Opciones
54
27
9
90
108
99
Pista
Un cubo tiene 6 caras cuadradas. Cuando se pegan dos cubos, ¿qué caras ya no se pueden ver?
Pregunta 16 de 36
A community garden bed is L-shaped. It is made of two rectangular sections, both 1.5 ft deep: one section is 8 ft by 4 ft, and the other is 4 ft by 4 ft. Soil costs $2.50 per cubic foot.
How much will it cost to fill the whole bed with soil?
Pista
Find the volume of each section, add them, and then use the price per cubic foot.
Solución paso a paso
Large section: 8 \times 4 \times 1.5 = 48\text{ ft}^3.
Small section: 4 \times 4 \times 1.5 = 24\text{ ft}^3.
Total soil: 48 + 24 = 72\text{ ft}^3.
Cost: 72 \times \$2.50 = \$180.
Answer: $180
Check: The total floor area is 32 + 16 = 48\text{ ft}^2; times the depth, 48 \times 1.5 = 72\text{ ft}^3 ✓; 72 \times 2.5 = 180 ✓.
Tip: When all parts have the same depth, you can add the floor areas first and multiply by the depth once. Then apply the price to the total volume.
Comprobación: El área total del piso es 32 + 16 = 48\text{ ft}^2; por la profundidad, 48 \times 1.5 = 72\text{ ft}^3 ✓; 72 \times 2.5 = 180 ✓.
Consejo: Cuando todas las partes tienen la misma profundidad, puedes sumar primero las áreas del piso y multiplicar una sola vez por la profundidad. Luego aplica el precio al volumen total.
Ver en español
Pregunta
Una cama de cultivo de un jardín comunitario tiene forma de L. Está hecha de dos secciones rectangulares, las dos de 1.5 ft de profundidad: una sección mide 8 ft por 4 ft y la otra mide 4 ft por 4 ft. La tierra cuesta $2.50 por pie cúbico.
¿Cuánto costará llenar toda la cama de cultivo con tierra?
Opciones
A. $28.80
B. $120
C. $180
D. $240
Pista
Halla el volumen de cada sección, súmalos y luego usa el precio por pie cúbico.
Pregunta 17 de 36
A bowling trophy has a solid cylinder base with a diameter of 6 in and a height of 2 in. On top sits a solid ball with a diameter of 4 in.
Which expression gives the total volume of the trophy?
Pista
Use the cylinder and sphere volume formulas, and change each diameter to a radius first.
Solución paso a paso
Cylinder base: radius = 6 \div 2 = 3, so V = \pi(3)^2(2).
Ball: radius = 4 \div 2 = 2, so V = \tfrac{4}{3}\pi(2)^3.
The parts are joined, so add: \pi(3)^2(2) + \tfrac{4}{3}\pi(2)^3.
Check: Each term matches one part: the first has r = 3 and a height (cylinder), the second has r = 2 cubed (sphere) ✓.
Tip: For "which expression" items, check three things in order: the right formula for each piece, radii (not diameters), and + vs. - (joined vs. removed).
Explicación
Base cilíndrica: radio = 6 \div 2 = 3, así que V = \pi(3)^2(2).
Bola: radio = 4 \div 2 = 2, así que V = \tfrac{4}{3}\pi(2)^3.
Las partes están unidas, así que se suman: \pi(3)^2(2) + \tfrac{4}{3}\pi(2)^3.
Comprobación: Cada término corresponde a una parte: el primero tiene r = 3 y una altura (cilindro); el segundo tiene r = 2 al cubo (esfera) ✓.
Consejo: En las preguntas de "¿qué expresión…?", revisa tres cosas en orden: la fórmula correcta para cada pieza, los radios (no los diámetros) y + o - (unido o quitado).
Ver en español
Pregunta
Un trofeo de boliche tiene una base maciza en forma de cilindro con un diámetro de 6 in y una altura de 2 in. Encima tiene una bola maciza con un diámetro de 4 in.
¿Qué expresión da el volumen total del trofeo?
Opciones
A.\pi(6)^2(2) + \tfrac{4}{3}\pi(4)^3
B.\pi(3)^2(2) + 4\pi(2)^2
C.\pi(3)^2(2) + \tfrac{4}{3}\pi(2)^3
D.\pi(3)^2(2) \times \tfrac{4}{3}\pi(2)^3
Pista
Usa las fórmulas de volumen del cilindro y de la esfera, y primero cambia cada diámetro a radio.
Pregunta 18 de 36
Completar
A small greenhouse is a rectangular box 10 m long, 6 m wide and 3 m tall. Its roof is a rectangular pyramid with the same 10 m by 6 m base and a height of 2 m.
What is the total volume of air inside the greenhouse?
m³
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Both parts share the same base area. Use Bh for the box and \tfrac{1}{3}Bh for the roof.
Solución paso a paso
Base area (shared): B = 10 \times 6 = 60\text{ m}^2.
Box: V = Bh = 60 \times 3 = 180\text{ m}^3.
Pyramid roof: V = \tfrac{1}{3}Bh = \tfrac{1}{3}(60)(2) = 40\text{ m}^3.
Total: 180 + 40 = 220.
Answer: 220 m³
Check: The roof is one-third of a 10 by 6 by 2 box (120 \div 3 = 40) ✓, and 180 + 40 = 220 ✓.
Tip: Do not use the total height (5 m) in one formula. Each part has its own height: 3 m for the box and 2 m for the roof.
Explicación
Área de la base (compartida): B = 10 \times 6 = 60\text{ m}^2.
Caja: V = Bh = 60 \times 3 = 180\text{ m}^3.
Techo en forma de pirámide: V = \tfrac{1}{3}Bh = \tfrac{1}{3}(60)(2) = 40\text{ m}^3.
Total: 180 + 40 = 220.
Respuesta: 220 m³
Comprobación: El techo es un tercio de una caja de 10 por 6 por 2 (120 \div 3 = 40) ✓, y 180 + 40 = 220 ✓.
Consejo: No uses la altura total (5 m) en una sola fórmula. Cada parte tiene su propia altura: 3 m para la caja y 2 m para el techo.
Ver en español
Pregunta
Un invernadero pequeño es una caja rectangular de 10 m de largo, 6 m de ancho y 3 m de altura. Su techo es una pirámide rectangular con la misma base de 10 m por 6 m y una altura de 2 m.
¿Cuál es el volumen total de aire dentro del invernadero?
_____ m³
Pista
Las dos partes tienen la misma área de la base. Usa Bh para la caja y \tfrac{1}{3}Bh para el techo.
Pregunta 19 de 36
Varias respuestas
A large test tube in a science lab is a cylinder with a radius of 2 cm and a height of 9 cm, closed at the bottom by a hemisphere with the same radius.
Select all of the statements that are true.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Find the cylinder part (\pi r^2 h) and the hemisphere part (\tfrac{2}{3}\pi r^3) separately, then add.
Solución paso a paso
Cylinder: \pi(2^2)(9) = 36\pi\text{ cm}^3 → A is true.
Hemisphere: \tfrac{2}{3}\pi(2^3) = \tfrac{16}{3}\pi \approx 5.33\pi\text{ cm}^3 → B is true.
Total: 36\pi + \tfrac{16}{3}\pi = \tfrac{124}{3}\pi \approx 41.33\pi \approx 129.9\text{ cm}^3 → C is true.
D says the hemisphere is \tfrac{32}{3}\pi; that is a whole sphere → false.
E says the total is 52\pi; that adds 36\pi + 16\pi, using \pi r^3 \cdot 2 without the \tfrac{1}{3} → false.
Answer: A, B, and C
Check:41.33 \times 3.1416 \approx 129.9 ✓.
Tip: In select-all questions about composites, compute each part once, write it down, and then check every statement against your list.
Explicación
Cilindro: \pi(2^2)(9) = 36\pi\text{ cm}^3 → A es verdadera.
Semiesfera: \tfrac{2}{3}\pi(2^3) = \tfrac{16}{3}\pi \approx 5.33\pi\text{ cm}^3 → B es verdadera.
Total: 36\pi + \tfrac{16}{3}\pi = \tfrac{124}{3}\pi \approx 41.33\pi \approx 129.9\text{ cm}^3 → C es verdadera.
D dice que la semiesfera es \tfrac{32}{3}\pi; eso es una esfera completa → falsa.
E dice que el total es 52\pi; eso suma 36\pi + 16\pi, usando \pi r^3 \cdot 2 sin el \tfrac{1}{3} → falsa.
Respuesta: A, B y C
Comprobación:41.33 \times 3.1416 \approx 129.9 ✓.
Consejo: En las preguntas de "selecciona todas" sobre figuras compuestas, calcula cada parte una vez, anótala y luego compara cada afirmación con tu lista.
Ver en español
Pregunta
Un tubo de ensayo grande de un laboratorio de ciencias es un cilindro con un radio de 2 cm y una altura de 9 cm, cerrado en el fondo por una semiesfera con el mismo radio.
Selecciona todas las afirmaciones que son verdaderas.
Opciones
A. La parte del cilindro contiene 36\pi\text{ cm}^3.
B. La parte de la semiesfera contiene \tfrac{16}{3}\pi\text{ cm}^3.
C. El tubo de ensayo contiene aproximadamente 129.9\text{ cm}^3.
D. La parte de la semiesfera contiene \tfrac{32}{3}\pi\text{ cm}^3.
E. El tubo de ensayo contiene 52\pi\text{ cm}^3.
Pista
Halla por separado la parte del cilindro (\pi r^2 h) y la parte de la semiesfera (\tfrac{2}{3}\pi r^3), y luego suma.
Pregunta 20 de 36
Sam found the volume of a grain bin: a cylinder with a radius of 4 m and a height of 10 m, topped by a hemisphere with the same radius. Here is the work.
Answer: Step 2 is the first mistake — the top should be \tfrac{2}{3}\pi(4^3).
Check: Sam's total minus the correct total is 770.7 - 636.7 = 134.0 \approx \tfrac{128}{3}\pi — exactly one extra hemisphere ✓.
Tip: Sketch or name each part before choosing formulas: "cylinder + half sphere." The word "hemisphere" means you take half of \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Explicación
El paso 1 es correcto: \pi(16)(10) = 160\pi.
El paso 2 está mal. La parte de arriba es una semiesfera, la mitad de una esfera: \tfrac{2}{3}\pi(4^3) = \tfrac{128}{3}\pi. Sam usó una esfera completa.
Total correcto: 160\pi + \tfrac{128}{3}\pi = \tfrac{608}{3}\pi \approx 636.7\text{ m}^3.
Respuesta: El paso 2 es el primer error; la parte de arriba debe ser \tfrac{2}{3}\pi(4^3).
Comprobación: El total de Sam menos el total correcto es 770.7 - 636.7 = 134.0 \approx \tfrac{128}{3}\pi: exactamente una semiesfera de más ✓.
Consejo: Dibuja o nombra cada parte antes de elegir las fórmulas: "cilindro + media esfera". La palabra "semiesfera" significa que tomas la mitad de \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Ver en español
Pregunta
Sam halló el volumen de un silo para grano: un cilindro con un radio de 4 m y una altura de 10 m, con una semiesfera del mismo radio encima. Este es su trabajo.
Cilindro: \pi(4^2)(10) = 160\pi
Parte de arriba: \tfrac{4}{3}\pi(4^3) = \tfrac{256}{3}\pi
¿Qué afirmación sobre el trabajo de Sam es verdadera?
Opciones
A. El paso 1 es el primer error; el cilindro debería ser \pi(4)(10).
B. El paso 3 es el primer error; las partes se deberían restar.
C. No hay ningún error; el silo contiene aproximadamente 770.7 m³.
D. El paso 2 es el primer error; la parte de arriba debería ser \tfrac{2}{3}\pi(4^3).
Pista
Revisa qué forma tiene la parte de arriba y qué fórmula le corresponde.
Pregunta 21 de 36
An aquarium is made of a main tank 24 in long, 12 in wide and 12 in tall, plus an attached filter box 6 in by 6 in by 12 in. (There are 1{,}728 cubic inches in 1 cubic foot.)
What is the total volume of the aquarium in cubic feet?
Pista
Add the two volumes in cubic inches first. Then think: how many cubic inches make one cubic foot?
Solución paso a paso
Main tank: 24 \times 12 \times 12 = 3{,}456\text{ in}^3.
Convierte: 1\text{ ft}^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1{,}728\text{ in}^3, así que 3{,}888 \div 1{,}728 = 2.25.
Respuesta: 2.25 ft³
Comprobación: Convierte primero las longitudes: tanque principal 2 \times 1 \times 1 = 2\text{ ft}^3; caja de filtro 0.5 \times 0.5 \times 1 = 0.25\text{ ft}^3; total 2.25 ✓.
Consejo: Para unidades cúbicas, el factor de conversión se eleva al cubo: 12^3 = 1{,}728 para in³ → ft³, y 3^3 = 27 para ft³ → yd³.
Ver en español
Pregunta
Un acuario está formado por un tanque principal de 24 in de largo, 12 in de ancho y 12 in de altura, más una caja de filtro unida de 6 in por 6 in por 12 in. (Hay 1{,}728 pulgadas cúbicas en 1 pie cúbico).
¿Cuál es el volumen total del acuario en pies cúbicos?
Opciones
A.2.25\text{ ft}^3
B.324\text{ ft}^3
C.27\text{ ft}^3
D.2\text{ ft}^3
Pista
Primero suma los dos volúmenes en pulgadas cúbicas. Luego piensa: ¿cuántas pulgadas cúbicas forman un pie cúbico?
Pregunta 22 de 36
Completar
The model rocket from the figure is a cylinder with radius 3 cm and height 10 cm, topped by a cone with the same radius, a height of 4 cm, and a slant height of 5 cm.
Rocket: cylinder radius 3 cm, height 10 cm, with a cone 4 cm tall (slant height 5 cm) on top
The whole outside of the rocket, including the flat bottom, will be painted. What is the area to be painted, to the nearest tenth of a square centimeter?
cm²
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Count three outside surfaces: the bottom circle, the curved side of the cylinder, and the curved side of the cone. The joint between the cylinder and cone is hidden.
Solución paso a paso
Bottom circle: \pi r^2 = \pi(9) = 9\pi.
Curved side of the cylinder: 2\pi r h = 2\pi(3)(10) = 60\pi.
Curved side of the cone (uses slant height): \pi r s = \pi(3)(5) = 15\pi.
The top of the cylinder and the base of the cone are glued together, so neither is painted.
Total: 9\pi + 60\pi + 15\pi = 84\pi \approx 263.89, which rounds to 263.9.
Answer: about 263.9 cm²
Check:3^2 + 4^2 = 5^2, so the slant height 5 fits the cone ✓. Each surface was counted once ✓.
Tip: Surface area of a composite figure ≠ the sum of the full surface areas of the parts. Add each part's full SA and you would wrongly include two hidden circles (18\pi extra). (With \pi \approx 3.14: 263.8, also accepted.)
Explicación
Círculo del fondo: \pi r^2 = \pi(9) = 9\pi.
Lado curvo del cilindro: 2\pi r h = 2\pi(3)(10) = 60\pi.
Lado curvo del cono (usa la altura inclinada): \pi r s = \pi(3)(5) = 15\pi.
La parte de arriba del cilindro y la base del cono están pegadas, así que ninguna de las dos se pinta.
Total: 9\pi + 60\pi + 15\pi = 84\pi \approx 263.89, que se redondea a 263.9.
Respuesta: unos 263.9 cm²
Comprobación:3^2 + 4^2 = 5^2, así que la altura inclinada 5 corresponde al cono ✓. Cada superficie se contó una sola vez ✓.
Consejo: el área superficial de una figura compuesta ≠ la suma de las áreas superficiales completas de las partes. Si sumas el área superficial completa de cada parte, incluirías por error dos círculos ocultos (18\pi de más). (Con \pi \approx 3.14: 263.8, que también se acepta).
Ver en español
Pregunta
El cohete de modelismo de la figura es un cilindro con radio de 3 cm y altura de 10 cm, con un cono encima del mismo radio, 4 cm de altura y una altura inclinada de 5 cm.
Se va a pintar todo el exterior del cohete, incluido el fondo plano. ¿Cuál es el área que se va a pintar, redondeada a la décima de centímetro cuadrado más cercana?
_____ cm²
Pista
Cuenta tres superficies exteriores: el círculo del fondo, el lado curvo del cilindro y el lado curvo del cono. La unión entre el cilindro y el cono queda oculta.
Pregunta 23 de 36
A storage bin is a cube with edges of 6 ft, topped by a square pyramid with the same base. The total volume of the bin is 288 ft³.
What is the height of the pyramid?
Pista
Subtract the cube's volume from the total to get the pyramid's volume. Then solve V = \tfrac{1}{3}Bh for h.
Solución paso a paso
Cube: 6^3 = 216\text{ ft}^3.
Pyramid volume: 288 - 216 = 72\text{ ft}^3.
Pyramid base: B = 6^2 = 36\text{ ft}^2.
Solve: 72 = \tfrac{1}{3}(36)h = 12h, so h = 72 \div 12 = 6 ft.
Tip: To find a missing part of a composite, first peel off the parts you know: total − known part = unknown part. Then work backwards with that part's formula only.
Explicación
Cubo: 6^3 = 216\text{ ft}^3.
Volumen de la pirámide: 288 - 216 = 72\text{ ft}^3.
Base de la pirámide: B = 6^2 = 36\text{ ft}^2.
Resuelve: 72 = \tfrac{1}{3}(36)h = 12h, así que h = 72 \div 12 = 6 ft.
Consejo: Para hallar una parte que falta en una figura compuesta, primero quita las partes que conoces: total − parte conocida = parte desconocida. Luego trabaja al revés solo con la fórmula de esa parte.
Ver en español
Pregunta
Un depósito es un cubo con aristas de 6 ft, con una pirámide cuadrangular de la misma base encima. El volumen total del depósito es de 288 ft³.
¿Cuál es la altura de la pirámide?
Opciones
A. aproximadamente 0.67\text{ ft}
B.6\text{ ft}
C.2\text{ ft}
D.24\text{ ft}
Pista
Resta el volumen del cubo del total para obtener el volumen de la pirámide. Luego despeja h en V = \tfrac{1}{3}Bh.
Pregunta 24 de 36
A wooden block is a cube with edges of 4 in. A small cube with edges of 1 in is cut out of one corner of the block.
What is the surface area of the block after the corner is cut out?
Pista
Cutting the corner removes three 1-in squares from the outside. What new faces appear in the notch?
Cutting the corner removes three 1 in × 1 in squares from three outside faces: -3\text{ in}^2.
The notch exposes three new 1 in × 1 in faces inside the cut: +3\text{ in}^2.
New surface area: 96 - 3 + 3 = 96.
Answer: 96 in² (unchanged)
Check: Look at the block from the front, top and side: each view still shows a full 4 by 4 outline (16 in²), and each of the 6 directions still adds up to 16 in² ✓.
Tip: Removing material does not always reduce surface area. Count the faces that disappear and the new faces that appear. (The volume does drop: 64 - 1 = 63\text{ in}^3.)
Cortar la esquina quita tres cuadrados de 1 in × 1 in de tres caras exteriores: -3\text{ in}^2.
El corte deja a la vista tres caras nuevas de 1 in × 1 in dentro del hueco: +3\text{ in}^2.
Nueva área superficial: 96 - 3 + 3 = 96.
Respuesta: 96 in² (no cambia)
Comprobación: Mira el bloque de frente, desde arriba y de lado: cada vista sigue mostrando un contorno completo de 4 por 4 (16 in²), y cada una de las 6 direcciones sigue sumando 16 in² ✓.
Consejo: Quitar material no siempre reduce el área superficial. Cuenta las caras que desaparecen y las caras nuevas que aparecen. (El volumen sí baja: 64 - 1 = 63\text{ in}^3).
Ver en español
Pregunta
Un bloque de madera es un cubo con aristas de 4 in. De una esquina del bloque se corta un cubo pequeño con aristas de 1 in.
¿Cuál es el área superficial del bloque después de cortar la esquina?
Opciones
A.90\text{ in}^2
B.99\text{ in}^2
C.96\text{ in}^2
D.93\text{ in}^2
Pista
Cortar la esquina quita tres cuadrados de 1 in del exterior. ¿Qué caras nuevas aparecen en la muesca?
Pregunta 25 de 36
Completar
A water tank is a cylinder with a radius of 2 ft and a height of 5 ft, with a hemisphere-shaped bottom of the same radius.
Water tank: cylinder radius 2 ft, height 5 ft, with a hemisphere bottom of radius 2 ft
A hose fills the empty tank at 3 cubic feet per minute. To the nearest minute, how long does it take to fill the tank?
minutes
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Total volume = cylinder + hemisphere. Then divide by the rate to get minutes.
Solución paso a paso
Cylinder: \pi r^2 h = \pi(2^2)(5) = 20\pi\text{ ft}^3.
Time: 79.59 \div 3 \approx 26.53 minutes, which rounds to 27.
Answer: about 27 minutes
Check: In 27 minutes the hose delivers 27 \times 3 = 81\text{ ft}^3, just over the 79.6 ft³ needed; in 26 minutes only 78 ft³ ✓.
Tip: Rate problems are "volume ÷ rate = time." Find the full composite volume first; forgetting the hemisphere would give 62.8 \div 3 \approx 21 minutes.
Explicación
Cilindro: \pi r^2 h = \pi(2^2)(5) = 20\pi\text{ ft}^3.
Tiempo: 79.59 \div 3 \approx 26.53 minutos, que se redondea a 27.
Respuesta: unos 27 minutos
Comprobación: En 27 minutos la manguera echa 27 \times 3 = 81\text{ ft}^3, un poco más de los 79.6 ft³ necesarios; en 26 minutos solo echa 78 ft³ ✓.
Consejo: Los problemas de tasas son "volumen ÷ tasa = tiempo". Halla primero el volumen completo de la figura compuesta; si olvidas la semiesfera, obtienes 62.8 \div 3 \approx 21 minutos.
Ver en español
Pregunta
Un tanque de agua es un cilindro con un radio de 2 ft y una altura de 5 ft, con un fondo en forma de semiesfera del mismo radio.
Una manguera llena el tanque vacío a 3 pies cúbicos por minuto. Redondeado al minuto más cercano, ¿cuánto tiempo tarda en llenarse el tanque?
_____ minutos
Pista
Volumen total = cilindro + semiesfera. Luego divide entre la tasa para obtener los minutos.
Pregunta 26 de 36
Menú
A playground tunnel is a solid rectangular block 8 ft long, 4 ft wide and 3 ft tall. A half-cylinder tunnel with a radius of 1.5 ft is cut through the block along its 8 ft length.
Block 8 ft long, 4 ft wide, 3 ft tall with a half-cylinder tunnel of radius 1.5 ft cut through its length
Complete the expression for the volume of material in the structure.
V =
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Start with the whole block, then decide: is the tunnel added or removed? A half-cylinder is half of \pi r^2 h.
Check: The tunnel's opening is a half circle 3 ft wide and 1.5 ft high, which fits inside the 4 ft by 3 ft end of the block, so subtracting makes sense ✓.
Tip: For "material left" problems the model is always whole − removed. Then check the removed piece: full or half, radius or diameter.
Comprobación: La entrada del túnel es un semicírculo de 3 ft de ancho y 1.5 ft de altura, que cabe dentro del extremo de 4 ft por 3 ft del bloque, así que restar tiene sentido ✓.
Consejo: En los problemas de "material que queda", el modelo siempre es total − lo que se quita. Luego revisa la pieza quitada: completa o media, radio o diámetro.
Ver en español
Pregunta
Un túnel de un parque infantil es un bloque rectangular macizo de 8 ft de largo, 4 ft de ancho y 3 ft de altura. A lo largo de sus 8 ft se corta a través del bloque un túnel en forma de medio cilindro con un radio de 1.5 ft.
Completa la expresión del volumen de material de la estructura.
V = _____ _____ _____
Opciones
8 \cdot 4 \cdot 3
2(8 \cdot 4 + 8 \cdot 3 + 4 \cdot 3)
8 + 4 + 3
-
+
\times
\tfrac{1}{2}\pi(1.5)^2(8)
\pi(1.5)^2(8)
\tfrac{1}{2}\pi(3)^2(8)
Pista
Empieza con el bloque completo y luego decide: ¿el túnel se suma o se quita? Un medio cilindro es la mitad de \pi r^2 h.
Pregunta 27 de 36
A propane tank is a cylinder 6 ft long with a hemisphere on each end. Every part has a radius of 1.5 ft. One cubic foot holds about 7.48 gallons.
About how many gallons does the tank hold? Round to the nearest gallon.
Pista
Two hemispheres make one whole sphere. Find the total volume in cubic feet, then convert to gallons.
Convert: 56.55 \times 7.48 \approx 422.98, about 423 gallons.
Answer: about 423 gallons
Check: Estimate: 18 \times 3 = 54 ft³ and 54 \times 7.5 = 405; the real value is a bit more since \pi > 3 ✓.
Tip: A capsule shape (cylinder with a hemisphere on both ends) is "cylinder + one full sphere." That shortcut saves a step and prevents counting only one end.
Convierte: 56.55 \times 7.48 \approx 422.98, unos 423 galones.
Respuesta: unos 423 galones
Comprobación: Estima: 18 \times 3 = 54 ft³ y 54 \times 7.5 = 405; el valor real es un poco mayor porque \pi > 3 ✓.
Consejo: Una forma de cápsula (cilindro con una semiesfera en cada extremo) es "cilindro + una esfera completa". Ese atajo te ahorra un paso y evita que cuentes un solo extremo.
Ver en español
Pregunta
Un tanque de gas propano es un cilindro de 6 ft de largo con una semiesfera en cada extremo. Todas las partes tienen un radio de 1.5 ft. Un pie cúbico contiene aproximadamente 7.48 galones.
¿Aproximadamente cuántos galones contiene el tanque? Redondea al galón más cercano.
Opciones
A. aproximadamente 8 galones
B. aproximadamente 370 galones
C. aproximadamente 317 galones
D. aproximadamente 423 galones
Pista
Dos semiesferas forman una esfera completa. Halla el volumen total en pies cúbicos y luego conviértelo a galones.
Pregunta 28 de 36
Rae found the outside surface area of a solid figure: a cylinder with a radius of 2 in and a height of 6 in, topped by a hemisphere with the same radius. Here is the work.
Curved side of cylinder: 2\pi(2)(6) = 24\pi
Bottom circle: \pi(2^2) = 4\pi
Top circle: \pi(2^2) = 4\pi
Curved hemisphere: 2\pi(2^2) = 8\pi
Total: 40\pi\text{ in}^2. In which step did Rae make the first mistake?
Pista
Imagine painting the solid. Which surfaces can you actually touch with a brush?
Solución paso a paso
Step 1 is correct: the cylinder's curved side is 2\pi r h = 24\pi.
Step 2 is correct: the bottom of the cylinder is exposed.
Step 3 is wrong: the top circle of the cylinder is covered by the hemisphere, so it is not on the outside.
Step 4 is correct: the hemisphere's curved surface is 2\pi r^2 = 8\pi.
Comprobación: El total de Rae, 40\pi, es exactamente un círculo (4\pi) más que 36\pi: la cara oculta ✓.
Consejo: Para el área superficial de una figura compuesta, anota solo las caras que puedes tocar desde afuera. Donde se unen dos partes, desaparecen las dos caras que se tocan.
Ver en español
Pregunta
Rae halló el área superficial exterior de un cuerpo macizo: un cilindro con un radio de 2 in y una altura de 6 in, con una semiesfera del mismo radio encima. Este es su trabajo.
Lado curvo del cilindro: 2\pi(2)(6) = 24\pi
Círculo de abajo: \pi(2^2) = 4\pi
Círculo de arriba: \pi(2^2) = 4\pi
Semiesfera curva: 2\pi(2^2) = 8\pi
Total: 40\pi\text{ in}^2. ¿En qué paso cometió Rae el primer error?
Opciones
A. Paso 3
B. Paso 2
C. Paso 4
D. Paso 1
Pista
Imagina que pintas el cuerpo. ¿Qué superficies puedes tocar de verdad con una brocha?
Pregunta 29 de 36
Varias respuestas
A concrete planter is a cube with edges of 3 ft. A cylinder-shaped hollow for soil, with a radius of 1 ft and a depth of 2 ft, is formed in its top.
Select all of the statements that are true.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Concrete = cube − hollow. Compute the hollow with \pi r^2 h, then test each statement.
Solución paso a paso
Cube: 3^3 = 27\text{ ft}^3.
Hollow (soil space): \pi(1^2)(2) = 2\pi \approx 6.28\text{ ft}^3 → A is true.
Concrete: 27 - 2\pi \approx 27 - 6.28 = 20.72 \approx 20.7\text{ ft}^3 → B is true.
C (about 33.3 ft³) adds the hollow instead of subtracting → false.
D (about 25.1 ft³) uses the diameter: \pi(2^2)(2) = 8\pi \approx 25.1 → false.
Fraction that is concrete: 20.72 \div 27 \approx 0.77, which is more than \tfrac{3}{4} = 0.75 → E is true.
Answer: A, B, and E
Check:20.72 + 6.28 = 27 ✓, so concrete and soil together fill the cube.
Tip: "More than three-fourths" is a fraction comparison: divide part by whole, then compare decimals (0.77 > 0.75).
Explicación
Cubo: 3^3 = 27\text{ ft}^3.
Hueco (espacio para la tierra): \pi(1^2)(2) = 2\pi \approx 6.28\text{ ft}^3 → A es verdadera.
Concreto: 27 - 2\pi \approx 27 - 6.28 = 20.72 \approx 20.7\text{ ft}^3 → B es verdadera.
C (unos 33.3 ft³) suma el hueco en lugar de restarlo → falsa.
D (unos 25.1 ft³) usa el diámetro: \pi(2^2)(2) = 8\pi \approx 25.1 → falsa.
Fracción que es concreto: 20.72 \div 27 \approx 0.77, que es más de \tfrac{3}{4} = 0.75 → E es verdadera.
Respuesta: A, B y E
Comprobación:20.72 + 6.28 = 27 ✓, así que el concreto y la tierra juntos llenan el cubo.
Consejo: "Más de tres cuartos" es una comparación de fracciones: divide la parte entre el total y luego compara los decimales (0.77 > 0.75).
Ver en español
Pregunta
Una maceta de concreto es un cubo con aristas de 3 ft. En la parte de arriba tiene un hueco en forma de cilindro para la tierra, con un radio de 1 ft y una profundidad de 2 ft.
Selecciona todas las afirmaciones que son verdaderas.
Opciones
A. El espacio para la tierra tiene un volumen de 2\pi\text{ ft}^3.
B. La maceta contiene aproximadamente 20.7\text{ ft}^3 de concreto.
C. La maceta contiene aproximadamente 33.3\text{ ft}^3 de concreto.
D. El espacio para la tierra tiene un volumen de aproximadamente 25.1\text{ ft}^3.
E. Más de \tfrac{3}{4} del volumen del cubo es concreto.
Pista
Concreto = cubo − hueco. Calcula el hueco con \pi r^2 h y luego revisa cada afirmación.
Pregunta 30 de 36
A concrete pipe is a hollow cylinder 20 in long. Its outer radius is 5 in, and its inner radius is 4 in. Tom found the volume of concrete like this:
Thickness of the wall: 5 - 4 = 1 in
Volume: treat the wall as a cylinder with radius 1 in, so \pi(1^2)(20) = 20\pi
20\pi \approx 62.8\text{ in}^3
In which step did Tom make the first mistake?
Pista
A hollow pipe is a big cylinder with a smaller cylinder removed. Does a 1-in-thick ring have the same area as a 1-in-radius circle?
Solución paso a paso
Step 1 is a true fact: the wall is 5 - 4 = 1 in thick.
Step 2 is wrong. The wall is a ring around the hole, not a thin cylinder of radius 1. The right method is outer cylinder − inner cylinder.
Check: The ring's area is \pi(25 - 16) = 9\pi, not \pi(1^2) = \pi; times 20 in gives 180\pi ✓. Tom's answer is 9 times too small.
Tip: Never subtract the radii first. Square each radius, subtract the areas (or volumes), and only then multiply by the length.
Explicación
El paso 1 es un dato verdadero: la pared mide 5 - 4 = 1 in de grosor.
El paso 2 está mal. La pared es un anillo alrededor del hueco, no un cilindro delgado de radio 1. El método correcto es cilindro exterior − cilindro interior.
Comprobación: El área del anillo es \pi(25 - 16) = 9\pi, no \pi(1^2) = \pi; por 20 in da 180\pi ✓. La respuesta de Tom es 9 veces demasiado pequeña.
Consejo: Nunca restes primero los radios. Eleva al cuadrado cada radio, resta las áreas (o los volúmenes) y solo entonces multiplica por la longitud.
Ver en español
Pregunta
Un tubo de concreto es un cilindro hueco de 20 in de largo. Su radio exterior es de 5 in y su radio interior es de 4 in. Tom halló el volumen de concreto así:
Grosor de la pared: 5 - 4 = 1 in
Volumen: tratar la pared como un cilindro de radio 1 in, entonces \pi(1^2)(20) = 20\pi
20\pi \approx 62.8\text{ in}^3
¿En qué paso cometió Tom el primer error?
Opciones
A. Paso 1
B. Paso 3
C. No hay ningún error
D. Paso 2
Pista
Un tubo hueco es un cilindro grande al que se le quita un cilindro más pequeño. ¿Un anillo de 1 in de grosor tiene la misma área que un círculo de 1 in de radio?
Pregunta 31 de 36
A propane tank is a cylinder with a radius of 3 ft, topped by a hemisphere with the same radius. The total volume of the tank is 72\pi cubic feet.
Tank: cylinder of radius 3 ft with a hemisphere on top; heights unknown
What is the total height of the tank, from the bottom to the top of the dome?
Pista
Find the hemisphere's volume first. Whatever is left belongs to the cylinder. Then remember the dome adds its radius to the height.
Tip: In "work backwards" composite problems, subtract the part you can compute, solve for the unknown part, and then reread what the question wants — here the total height.
Consejo: en los problemas de figuras compuestas donde trabajas al revés, resta la parte que puedes calcular, despeja la parte desconocida y luego vuelve a leer lo que pide la pregunta: aquí, la altura total.
Ver en español
Pregunta
Un tanque de propano es un cilindro con un radio de 3 ft, con una semiesfera del mismo radio encima. El volumen total del tanque es 72\pi pies cúbicos.
¿Cuál es la altura total del tanque, desde el fondo hasta la parte de arriba de la cúpula?
Opciones
A. 6 ft
B. 7 ft
C. 8 ft
D. 9 ft
Pista
Primero halla el volumen de la semiesfera. Lo que queda le corresponde al cilindro. Luego recuerda que la cúpula agrega su radio a la altura.
Pregunta 32 de 36
Arrastrar y soltar
A cylindrical hole with radius 1 in is drilled straight through a block that is 10 in long, 6 in wide, and 4 in tall.
Block 10 in by 6 in by 4 in with a vertical hole of radius 1 in
Before drilling, the block's surface area was 2(60 + 40 + 24) = 248 in². Drag a tile into each box. Not all tiles are used.
Area of the two circles removed from the top and bottom
Area of the new inside wall of the hole
Total surface area after drilling
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Drilling takes away two circles but creates a new curved surface inside the hole (a cylinder's side with no ends).
Solución paso a paso
Two circles are cut out (top and bottom openings): 2 \times \pi r^2 = 2\pi(1^2) = 2\pi.
The inside of the hole is the curved side of a cylinder with r = 1 and h = 4: 2\pi r h = 2\pi(1)(4) = 8\pi.
Comprobación: perforar un agujero aumenta esta área superficial, porque la pared interior (8\pi) es más grande que los dos círculos que se quitan (2\pi) ✓.
Consejo: un agujero disminuye el volumen, pero puede aumentar el área superficial. Pregúntate siempre: ¿qué superficies desaparecieron y cuáles nuevas aparecieron?
Ver en español
Pregunta
Se perfora un agujero cilíndrico con radio de 1 in que atraviesa un bloque de 10 in de largo, 6 in de ancho y 4 in de alto.
Antes de perforarlo, el área superficial del bloque era 2(60 + 40 + 24) = 248 in². Arrastra una ficha a cada casilla. No se usan todas las fichas.
Área de los dos círculos que se quitan de arriba y de abajo
Área de la nueva pared interior del agujero
Área superficial total después de perforar
_____
_____
_____
Opciones
2\pi
8\pi
248 + 6\pi
248 - 2\pi
16\pi
248 + 10\pi
Pista
Al perforar se quitan dos círculos, pero se crea una nueva superficie curva dentro del agujero (el lado de un cilindro sin extremos).
Pregunta 33 de 36
Completar
An industrial storage tank is shaped like a capsule: a cylinder with a hemisphere on each end. The radius of every part is 3 ft, and the total volume is 99\pi cubic feet.
How long is the cylinder part of the tank?
ft
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The two hemispheres together form one whole sphere. Subtract its volume from 99\pi, then solve \pi r^2 h for h.
Solución paso a paso
Two hemispheres = one sphere: \tfrac{4}{3}\pi(3^3) = \tfrac{4}{3}\pi(27) = 36\pi\text{ ft}^3.
Consejo: En los problemas de figuras compuestas que se resuelven al revés, deja todo en términos de \pi. La \pi se cancela al final, así que no hay que redondear nada.
Ver en español
Pregunta
Un tanque industrial de almacenamiento tiene forma de cápsula: un cilindro con una semiesfera en cada extremo. El radio de todas las partes es de 3 ft, y el volumen total es de 99\pi pies cúbicos.
¿Qué longitud tiene la parte cilíndrica del tanque?
_____ ft
Pista
Las dos semiesferas juntas forman una esfera completa. Resta su volumen de 99\pi y luego despeja h en \pi r^2 h.
Pregunta 34 de 36
An ice-cream cone is filled to the top with ice cream, and a hemisphere-shaped scoop sits on top. The cone's opening has a diameter of 5 cm, the cone is 11 cm deep, and the scoop has the same diameter as the opening.
Which expression gives the total volume of ice cream?
Pista
The ice cream fills a cone and a hemisphere. Use the radius (half of 5) in both formulas.
Solución paso a paso
Radius: r = 5 \div 2 = 2.5 cm (for both parts).
Cone: \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(2.5)^2(11).
Hemisphere: half of \tfrac{4}{3}\pi r^3, which is \tfrac{2}{3}\pi(2.5)^3.
Check: Each term has the right power: the cone has r^2 times a height, the hemisphere has r^3 ✓, and both use r = 2.5 ✓.
Tip: Eliminate wrong expressions one feature at a time: radius vs. diameter, \tfrac{1}{3} on the cone, \tfrac{2}{3} (half sphere) vs. \tfrac{4}{3} (whole sphere).
Explicación
Radio: r = 5 \div 2 = 2.5 cm (para las dos partes).
Cono: \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi(2.5)^2(11).
Semiesfera: la mitad de \tfrac{4}{3}\pi r^3, que es \tfrac{2}{3}\pi(2.5)^3.
Comprobación: Cada término tiene la potencia correcta: el cono tiene r^2 por una altura y la semiesfera tiene r^3 ✓, y ambos usan r = 2.5 ✓.
Consejo: Elimina las expresiones incorrectas revisando un detalle a la vez: radio o diámetro, el \tfrac{1}{3} del cono, \tfrac{2}{3} (media esfera) o \tfrac{4}{3} (esfera completa).
Ver en español
Pregunta
Un cono de helado está lleno de helado hasta arriba, y encima tiene una bola de helado en forma de semiesfera. La boca del cono tiene un diámetro de 5 cm, el cono tiene 11 cm de profundidad y la bola tiene el mismo diámetro que la boca.
El helado llena un cono y una semiesfera. Usa el radio (la mitad de 5) en las dos fórmulas.
Pregunta 35 de 36
A storage tank is a cylinder with a radius of 5 ft and a height of 12 ft, topped by a hemisphere with the same radius. The tank sits on the ground, so the bottom will not be painted. One gallon of paint covers 200 square feet, and paint is sold only in whole gallons.
How many gallons of paint must be bought to paint the tank?
Pista
Add only the surfaces that get paint: the cylinder's curved side and the hemisphere's curved top. Then divide by 200 and think about whole gallons.
Solución paso a paso
Cylinder's curved side: 2\pi r h = 2\pi(5)(12) = 120\pi\text{ ft}^2.
Leave out the bottom (on the ground) and the cylinder's top circle (covered by the hemisphere).
Total to paint: 120\pi + 50\pi = 170\pi \approx 534.1\text{ ft}^2.
Gallons: 534.1 \div 200 \approx 2.67. Two gallons are not enough, so buy 3.
Answer: 3 gallons
Check: 3 gallons cover 600\text{ ft}^2 \ge 534.1 ✓, but 2 gallons cover only 400\text{ ft}^2 ✗.
Tip: When you must buy enough of something, always round up — even 2.1 gallons means buying 3.
Explicación
Lado curvo del cilindro: 2\pi r h = 2\pi(5)(12) = 120\pi\text{ ft}^2.
Parte de arriba curva de la semiesfera: 2\pi r^2 = 2\pi(25) = 50\pi\text{ ft}^2.
Deja fuera el fondo (está sobre el suelo) y el círculo de arriba del cilindro (cubierto por la semiesfera).
Total que hay que pintar: 120\pi + 50\pi = 170\pi \approx 534.1\text{ ft}^2.
Galones: 534.1 \div 200 \approx 2.67. Dos galones no alcanzan, así que compra 3.
Respuesta: 3 galones
Comprobación: 3 galones cubren 600\text{ ft}^2 \ge 534.1 ✓, pero 2 galones cubren solo 400\text{ ft}^2 ✗.
Consejo: Cuando debes comprar lo suficiente de algo, redondea siempre hacia arriba: incluso 2.1 galones significa comprar 3.
Ver en español
Pregunta
Un tanque de almacenamiento es un cilindro con un radio de 5 ft y una altura de 12 ft, con una semiesfera del mismo radio encima. El tanque está sobre el suelo, así que el fondo no se va a pintar. Un galón de pintura cubre 200 pies cuadrados, y la pintura solo se vende en galones completos.
¿Cuántos galones de pintura hay que comprar para pintar el tanque?
Opciones
A. 4 galones
B. 7 galones
C. 3 galones
D. 2 galones
Pista
Suma solo las superficies que se pintan: el lado curvo del cilindro y la parte de arriba curva de la semiesfera. Luego divide entre 200 y piensa en galones completos.
Pregunta 36 de 36
Completar
A contractor pours a concrete driveway apron and curb. The slab is 18 ft long, 12 ft wide and 6 in thick. Along one 18-ft edge is a curb that is 18 ft long, 6 in wide and 1 ft tall (standing on the ground beside the slab).
Concrete is ordered in cubic yards (1\text{ yd}^3 = 27\text{ ft}^3). How many cubic yards are needed, to the nearest tenth?
yd³
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Change every inch measurement to feet first (12 in = 1 ft). Add the two volumes in cubic feet, then convert to cubic yards.
Solución paso a paso
Convert inches to feet: 6\text{ in} = 0.5\text{ ft}.
Slab: 18 \times 12 \times 0.5 = 108\text{ ft}^3.
Curb: 18 \times 0.5 \times 1 = 9\text{ ft}^3.
Total: 108 + 9 = 117\text{ ft}^3.
Convert: 117 \div 27 \approx 4.33, which rounds to 4.3\text{ yd}^3.
Answer: about 4.3 yd³
Check:4.3 \times 27 = 116.1 and 4.4 \times 27 = 118.8; 117 ft³ lies between them and is closer to 116.1 ✓.
Tip: Mixed units are the biggest trap in volume problems. Put every length in the same unit before multiplying — using 6 instead of 0.5 here would make the slab 12 times too big.
Explicación
Convierte las pulgadas a pies: 6\text{ in} = 0.5\text{ ft}.
Losa: 18 \times 12 \times 0.5 = 108\text{ ft}^3.
Bordillo: 18 \times 0.5 \times 1 = 9\text{ ft}^3.
Total: 108 + 9 = 117\text{ ft}^3.
Convierte: 117 \div 27 \approx 4.33, que se redondea a 4.3\text{ yd}^3.
Respuesta: unas 4.3 yd³
Comprobación:4.3 \times 27 = 116.1 y 4.4 \times 27 = 118.8; 117 ft³ está entre ambos y más cerca de 116.1 ✓.
Consejo: Las unidades mezcladas son la trampa más grande en los problemas de volumen. Pon todas las longitudes en la misma unidad antes de multiplicar; usar 6 en lugar de 0.5 aquí haría la losa 12 veces demasiado grande.
Ver en español
Pregunta
Un contratista vierte concreto para la entrada de un garaje y un bordillo. La losa mide 18 ft de largo, 12 ft de ancho y 6 in de grosor. A lo largo de uno de los bordes de 18 ft hay un bordillo de 18 ft de largo, 6 in de ancho y 1 ft de altura (apoyado en el suelo junto a la losa).
El concreto se pide en yardas cúbicas (1\text{ yd}^3 = 27\text{ ft}^3). ¿Cuántas yardas cúbicas se necesitan, redondeado a la décima más cercana?
_____ yd³
Pista
Primero cambia todas las medidas en pulgadas a pies (12 in = 1 ft). Suma los dos volúmenes en pies cúbicos y luego conviértelos a yardas cúbicas.
