What is the volume of the sphere shown, in terms of \pi?
Sphere with radius 6 cm
Pista
The sphere volume formula on the formula sheet is V = \tfrac{4}{3}\pi r^3. Cube the radius first.
Solución paso a paso
Formula (on the formula sheet): V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
The radius is 6 cm. Cube it: 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216.
Multiply by \tfrac{4}{3}: \tfrac{4}{3} \times 216 = \tfrac{864}{3} = 288.
So V = 288\pi.
Answer: 288\pi cm³ (about 904.8\text{ cm}^3)
Check: Divide by 3 first to keep numbers small: 216 \div 3 = 72, and 72 \times 4 = 288 ✓.
Tip: Volume is cubic, so the radius is cubed (r^3). Surface area is square, so the radius is squared (r^2). Matching the exponent to the units keeps the two formulas straight.
Explicación
Fórmula (está en la hoja de fórmulas): V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
El radio es de 6 cm. Elévalo al cubo: 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216.
Multiplica por \tfrac{4}{3}: \tfrac{4}{3} \times 216 = \tfrac{864}{3} = 288.
Así que V = 288\pi.
Respuesta: 288\pi cm³ (unos 904.8\text{ cm}^3)
Comprobación: divide primero entre 3 para que los números sean pequeños: 216 \div 3 = 72, y 72 \times 4 = 288 ✓.
Consejo: el volumen es cúbico, así que el radio se eleva al cubo (r^3). El área superficial es cuadrada, así que el radio se eleva al cuadrado (r^2). Relacionar el exponente con las unidades te ayuda a no confundir las dos fórmulas.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el volumen de la esfera que se muestra, en términos de \pi?
Opciones
A.216\pi cm³
B.288\pi cm³
C.144\pi cm³
D.48\pi cm³
Pista
La fórmula del volumen de la esfera en la hoja de fórmulas es V = \tfrac{4}{3}\pi r^3. Primero eleva el radio al cubo.
Pregunta 2 de 36
Completar
A ball has the diameter shown.
Sphere with diameter 10 in
What is the surface area of the ball, rounded to the nearest square inch?
in²
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The figure shows the diameter. The formula SA = 4\pi r^2 needs the radius.
Solución paso a paso
Find the radius: r = 10 \div 2 = 5 in.
Formula (on the formula sheet): SA = 4\pi r^2.
Square the radius: 5^2 = 25.
Multiply: SA = 4\pi(25) = 100\pi.
Evaluate: 100\pi \approx 314.16, which rounds to 314.
Answer: about 314 in²
Check: The surface area of a sphere is exactly 4 times the area of its middle circle. That circle has area \pi(5^2) = 25\pi \approx 78.5, and 4 \times 78.5 = 314 ✓.
Tip: Using the diameter (10) instead of the radius gives 400\pi \approx 1{,}257 — four times too big. Always halve the diameter first.
Explicación
Encuentra el radio: r = 10 \div 2 = 5 in.
Fórmula (está en la hoja de fórmulas): SA = 4\pi r^2.
Eleva el radio al cuadrado: 5^2 = 25.
Multiplica: SA = 4\pi(25) = 100\pi.
Calcula: 100\pi \approx 314.16, que se redondea a 314.
Respuesta: unas 314 in²
Comprobación: el área superficial de una esfera es exactamente 4 veces el área de su círculo central. Ese círculo tiene un área de \pi(5^2) = 25\pi \approx 78.5, y 4 \times 78.5 = 314 ✓.
Consejo: usar el diámetro (10) en vez del radio da 400\pi \approx 1{,}257: cuatro veces más grande. Siempre divide primero el diámetro entre dos.
Ver en español
Pregunta
Una pelota tiene el diámetro que se muestra.
¿Cuál es el área superficial de la pelota, redondeada a la pulgada cuadrada más cercana?
_____ in²
Pista
La figura muestra el diámetro. La fórmula SA = 4\pi r^2 necesita el radio.
Pregunta 3 de 36
A rubber ball has a diameter of 6 inches. What is the volume of the ball, in terms of \pi?
Pista
Find the radius first. Then use V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Solución paso a paso
Radius: r = 6 \div 2 = 3 in.
Formula: V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Cube the radius: 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27.
Multiply by \tfrac{4}{3}: 27 \div 3 = 9, and 9 \times 4 = 36.
So V = 36\pi.
Answer: 36\pi in³ (about 113.1\text{ in}^3)
Check: A sphere fits inside a cube whose edge equals the diameter. That cube holds 6^3 = 216\text{ in}^3. The ball should hold a little more than half of it: 36\pi \approx 113, and 113 \div 216 \approx 0.52 ✓.
Tip: "Diameter" in a word problem is a signal: divide by 2 before you touch the formula.
Explicación
Radio: r = 6 \div 2 = 3 in.
Fórmula: V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Eleva el radio al cubo: 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27.
Multiplica por \tfrac{4}{3}: 27 \div 3 = 9, y 9 \times 4 = 36.
Así que V = 36\pi.
Respuesta: 36\pi in³ (unas 113.1\text{ in}^3)
Comprobación: una esfera cabe dentro de un cubo cuya arista es igual al diámetro. A ese cubo le caben 6^3 = 216\text{ in}^3. A la pelota debería caberle un poco más de la mitad: 36\pi \approx 113, y 113 \div 216 \approx 0.52 ✓.
Consejo: la palabra “diámetro” en un problema verbal es una señal: divide entre 2 antes de usar la fórmula.
Ver en español
Pregunta
Una pelota de goma tiene un diámetro de 6 pulgadas. ¿Cuál es el volumen de la pelota, en términos de \pi?
Opciones
A.288\pi in³
B.108\pi in³
C.36\pi in³
D.12\pi in³
Pista
Primero halla el radio. Luego usa V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Pregunta 4 de 36
A gumball is a sphere with a radius of 1.5 cm. What is the volume of the gumball, in terms of \pi?
Pista
Use V = \tfrac{4}{3}\pi r^3. Cubing means multiplying the radius by itself three times.
Solución paso a paso
Formula (on the formula sheet): V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Multiply by \tfrac{4}{3}: \tfrac{4}{3} \times 3.375 = \tfrac{13.5}{3} = 4.5.
So V = 4.5\pi.
Answer: 4.5\pi cm³ (about 14.1 cm³)
Check: Work backwards: 4.5\pi \div \tfrac{4}{3}\pi = 4.5 \times \tfrac{3}{4} = 3.375, and \sqrt[3]{3.375} = 1.5 ✓.
Tip: With decimals, cube on the calculator with the ^ key (1.5^3). A common slip is 1.5^2 (2.25), which gives 3\pi — always count three factors.
Explicación
Fórmula (en la hoja de fórmulas): V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Eleva el radio al cubo: 1.5^3 = 1.5 \times 1.5 \times 1.5 = 2.25 \times 1.5 = 3.375.
Multiplica por \tfrac{4}{3}: \tfrac{4}{3} \times 3.375 = \tfrac{13.5}{3} = 4.5.
Así que V = 4.5\pi.
Respuesta: 4.5\pi cm³ (unos 14.1 cm³)
Comprobación: Trabaja al revés: 4.5\pi \div \tfrac{4}{3}\pi = 4.5 \times \tfrac{3}{4} = 3.375, y \sqrt[3]{3.375} = 1.5 ✓.
Consejo: Con decimales, eleva al cubo en la calculadora con la tecla ^ (1.5^3). Un error común es hacer 1.5^2 (2.25), lo que da 3\pi: cuenta siempre tres factores.
Ver en español
Pregunta
Un chicle de bola es una esfera con un radio de 1.5 cm. ¿Cuál es el volumen del chicle, en términos de \pi?
Opciones
A.2\pi\text{ cm}^3
B.4.5\pi\text{ cm}^3
C.3\pi\text{ cm}^3
D.13.5\pi\text{ cm}^3
Pista
Usa V = \tfrac{4}{3}\pi r^3. Elevar al cubo significa multiplicar el radio por sí mismo tres veces.
Pregunta 5 de 36
Completar
A bowling ball has a diameter of 8.5 inches. What is the volume of the ball? Round to the nearest cubic inch. (Ignore the finger holes.)
in³
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The sphere formula uses the radius. What is half of 8.5?
Solución paso a paso
Radius: r = 8.5 \div 2 = 4.25 in.
Formula (on the formula sheet): V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Cube the radius: 4.25^3 \approx 76.77.
Multiply: \tfrac{4}{3}\pi(76.77) \approx 321.56.
Round to the nearest whole number: 322.
Answer: about 322 in³
Check: Estimate with r \approx 4: \tfrac{4}{3}(3)(64) = 256; with r \approx 4.5: \tfrac{4}{3}(3)(91) \approx 364. Our answer, 322, is between them ✓.
Tip: On the TI-30XS, type 4÷3×π×4.25^3enter in one line. With \pi \approx 3.14 you get about 321.4, which rounds to 321; that answer is also accepted.
Explicación
Radio: r = 8.5 \div 2 = 4.25 in.
Fórmula (en la hoja de fórmulas): V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Comprobación: Estima con r \approx 4: \tfrac{4}{3}(3)(64) = 256; con r \approx 4.5: \tfrac{4}{3}(3)(91) \approx 364. Nuestra respuesta, 322, está entre ambos ✓.
Consejo: En la TI-30XS, escribe 4÷3×π×4.25^3enter en una sola línea. Con \pi \approx 3.14 obtienes unos 321.4, que se redondea a 321; esa respuesta también se acepta.
Ver en español
Pregunta
Una bola de boliche tiene un diámetro de 8.5 pulgadas. ¿Cuál es el volumen de la bola? Redondea a la pulgada cúbica más cercana. (No tomes en cuenta los agujeros para los dedos).
_____ in³
Pista
La fórmula de la esfera usa el radio. ¿Cuánto es la mitad de 8.5?
Pregunta 6 de 36
The tank of a city water tower is a sphere with a radius of 15 ft. A crew will paint the entire outside of the tank.
About how many square feet will they paint? Round to the nearest square foot.
Pista
Painting covers the outside, so you need surface area: 4\pi r^2.
Solución paso a paso
Paint covers a surface, so use surface area: SA = 4\pi r^2 (on the formula sheet).
Square the radius: 15^2 = 225.
Multiply: 4 \times 225 = 900, so SA = 900\pi.
Use the \pi key: 900\pi \approx 2{,}827.43, which rounds to 2{,}827.
Answer: about 2,827 ft²
Check: A sphere's surface area is exactly 4 times the area of its "equator" circle: \pi(15^2) \approx 706.9, and 4 \times 706.9 \approx 2{,}827.6 ✓ (tiny difference from rounding).
Tip: Ask "is it covering or filling?" Paint, wrapping and leather cover → square units (4\pi r^2). Water, air and sand fill → cubic units (\tfrac{4}{3}\pi r^3).
Explicación
La pintura cubre una superficie, así que usa el área superficial: SA = 4\pi r^2 (en la hoja de fórmulas).
Eleva el radio al cuadrado: 15^2 = 225.
Multiplica: 4 \times 225 = 900, así que SA = 900\pi.
Usa la tecla \pi: 900\pi \approx 2{,}827.43, que se redondea a 2{,}827.
Respuesta: unos 2,827 ft²
Comprobación: El área superficial de una esfera es exactamente 4 veces el área de su círculo del "ecuador": \pi(15^2) \approx 706.9, y 4 \times 706.9 \approx 2{,}827.6 ✓ (la pequeña diferencia viene del redondeo).
Consejo: Pregúntate: "¿se cubre o se llena?". La pintura, el papel de envolver y el cuero cubren → unidades cuadradas (4\pi r^2). El agua, el aire y la arena llenan → unidades cúbicas (\tfrac{4}{3}\pi r^3).
Ver en español
Pregunta
El tanque de una torre de agua de la ciudad es una esfera con un radio de 15 ft. Un equipo va a pintar todo el exterior del tanque.
¿Aproximadamente cuántos pies cuadrados van a pintar? Redondea al pie cuadrado más cercano.
Opciones
A.14{,}137\text{ ft}^2
B.707\text{ ft}^2
C.2{,}827\text{ ft}^2
D.188\text{ ft}^2
Pista
La pintura cubre el exterior, así que necesitas el área superficial: 4\pi r^2.
Pregunta 7 de 36
A classroom globe has a diameter of 16 inches. About how many square inches of printed map cover the entire globe? Round to the nearest square inch.
Pista
"Cover" means surface area. Use SA = 4\pi r^2 with the radius, not the diameter.
Solución paso a paso
The map covers the outside of the globe, so find the surface area.
Evaluate: 256\pi \approx 804.25, which rounds to 804.
Answer: about 804 in²
Check: Estimate with \pi \approx 3: 4 \times 3 \times 64 = 768. The answer should be a bit more than 768, and 804 is ✓.
Tip: Words like cover, paint, wrap, coat, material signal surface area (square units). Words like hold, fill, contain, capacity signal volume (cubic units).
Explicación
El mapa cubre el exterior del globo, así que encuentra el área superficial.
Calcula: 256\pi \approx 804.25, que se redondea a 804.
Respuesta: unas 804 in²
Comprobación: estima con \pi \approx 3: 4 \times 3 \times 64 = 768. La respuesta debe ser un poco más que 768, y 804 lo es ✓.
Consejo: palabras como cubrir, pintar, envolver, recubrir, material indican área superficial (unidades cuadradas). Palabras como caber, llenar, contener, capacidad indican volumen (unidades cúbicas).
Ver en español
Pregunta
Un globo terráqueo del salón de clases tiene un diámetro de 16 pulgadas. ¿Aproximadamente cuántas pulgadas cuadradas de mapa impreso cubren todo el globo? Redondea a la pulgada cuadrada más cercana.
Opciones
A. 3,217 in²
B. 2,145 in²
C. 201 in²
D. 804 in²
Pista
"Cubrir" significa área superficial. Usa SA = 4\pi r^2 con el radio, no con el diámetro.
Pregunta 8 de 36
Completar
A sphere has a volume of 972\pi cubic centimeters. What is the radius of the sphere?
cm
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Set \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 972\pi. The \pi cancels. Then undo the \tfrac{4}{3} and take a cube root.
Solución paso a paso
Formula: \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 972\pi.
Divide both sides by \pi: \tfrac{4}{3}r^3 = 972.
Multiply both sides by \tfrac{3}{4}: r^3 = 972 \times \tfrac{3}{4} = \tfrac{2916}{4} = 729.
Cube root: r = \sqrt[3]{729} = 9, because 9 \times 9 \times 9 = 729.
Consejo: deshaz los pasos en orden inverso: divide entre \pi, multiplica por \tfrac{3}{4} y luego saca la raíz cúbica. Apréndete los cubos pequeños: 2^3 = 8, 3^3 = 27, 4^3 = 64, 5^3 = 125, 6^3 = 216, 9^3 = 729, 10^3 = 1000.
Ver en español
Pregunta
Una esfera tiene un volumen de 972\pi centímetros cúbicos. ¿Cuál es el radio de la esfera?
_____ cm
Pista
Plantea \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 972\pi. La \pi se cancela. Luego deshaz el \tfrac{4}{3} y saca la raíz cúbica.
Pregunta 9 de 36
Menú
The surface area of a ball is 196\pi square inches. Complete the statements.
The radius of the ball is inches, and its diameter is inches.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Set 4\pi r^2 = 196\pi. Divide by 4\pi, then take a square root.
Solución paso a paso
Formula: 4\pi r^2 = 196\pi.
Divide both sides by 4\pi: r^2 = \dfrac{196}{4} = 49.
Square root: r = \sqrt{49} = 7 in.
Diameter is twice the radius: d = 2 \times 7 = 14 in.
Answer: radius 7 in, diameter 14 in
Check:4\pi(7^2) = 4\pi(49) = 196\pi ✓.
Tip: Working backwards from surface area ends with a square root; from volume it ends with a cube root. Read the last line of the question to see whether it wants the radius or the diameter.
Explicación
Fórmula: 4\pi r^2 = 196\pi.
Divide los dos lados entre 4\pi: r^2 = \dfrac{196}{4} = 49.
Raíz cuadrada: r = \sqrt{49} = 7 in.
El diámetro es el doble del radio: d = 2 \times 7 = 14 in.
Respuesta: radio de 7 in, diámetro de 14 in
Comprobación:4\pi(7^2) = 4\pi(49) = 196\pi ✓.
Consejo: trabajar al revés a partir del área superficial termina con una raíz cuadrada; a partir del volumen, con una raíz cúbica. Lee la última línea de la pregunta para ver si pide el radio o el diámetro.
Ver en español
Pregunta
El área superficial de una pelota es 196\pi pulgadas cuadradas. Completa los enunciados.
El radio de la pelota es _____ pulgadas, y su diámetro es _____ pulgadas.
Opciones
7
49
14
14
7
3.5
Pista
Plantea 4\pi r^2 = 196\pi. Divide entre 4\pi y luego saca la raíz cuadrada.
Pregunta 10 de 36
A mixing bowl is shaped like a hemisphere (half of a sphere) with a radius of 4 inches.
Hemisphere bowl with radius 4 in
How many cubic inches can the bowl hold? Round to the nearest tenth.
Pista
A hemisphere is half a sphere. Find the volume of the whole sphere, then take half.
Solución paso a paso
Full sphere: V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{4}{3}\pi(4^3) = \tfrac{4}{3}\pi(64) = \tfrac{256}{3}\pi.
Half of it: \tfrac{1}{2} \times \tfrac{256}{3}\pi = \tfrac{128}{3}\pi.
Check: The full sphere is \tfrac{256}{3}\pi \approx 268.1; half of 268.1 is about 134.0 ✓.
Tip: Hemisphere volume = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{2}{3}\pi r^3. This shortcut is not on the formula sheet, but you can always build it from the sphere formula.
Comprobación: la esfera completa es \tfrac{256}{3}\pi \approx 268.1; la mitad de 268.1 es más o menos 134.0 ✓.
Consejo: volumen de la semiesfera = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{2}{3}\pi r^3. Este atajo no está en la hoja de fórmulas, pero siempre lo puedes armar a partir de la fórmula de la esfera.
Ver en español
Pregunta
Un tazón para mezclar tiene forma de semiesfera (media esfera) con un radio de 4 pulgadas.
¿Cuántas pulgadas cúbicas le caben al tazón? Redondea a la décima más cercana.
Opciones
A. 134.0 in³
B. 268.1 in³
C. 100.5 in³
D. 1,072.3 in³
Pista
Una semiesfera es la mitad de una esfera. Halla el volumen de la esfera completa y luego toma la mitad.
Pregunta 11 de 36
Varias respuestas
A sphere has a radius of 3 units. Select all of the statements that are true.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Compute \tfrac{4}{3}\pi r^3 and 4\pi r^2 with r = 3. Then think about what happens to r^3 when r doubles.
Solución paso a paso
Volume: \tfrac{4}{3}\pi(3^3) = \tfrac{4}{3}\pi(27) = 36\pi. Statement A is true.
Surface area: 4\pi(3^2) = 4\pi(9) = 36\pi. Statement B is true (for r = 3 the two numbers happen to match, though the units differ).
12\pi comes from 4\pi(3) without squaring. Statement C is false.
108\pi comes from 4\pi(27) without dividing by 3. Statement D is false.
Doubling the radius to 6 gives \tfrac{4}{3}\pi(216) = 288\pi, which is 288 \div 36 = 8 times as large, not 2 times. Statement E is false.
Diameter = 2 \times 3 = 6. Statement F is true.
Answer: A, B, and F
Check:36\pi \approx 113.1 for both the volume (cubic units) and surface area (square units) ✓.
Tip: When the radius is multiplied by k, surface area is multiplied by k^2 and volume by k^3.
Explicación
Volumen: \tfrac{4}{3}\pi(3^3) = \tfrac{4}{3}\pi(27) = 36\pi. El enunciado A es verdadero.
Área superficial: 4\pi(3^2) = 4\pi(9) = 36\pi. El enunciado B es verdadero (con r = 3 los dos números coinciden por casualidad, aunque las unidades son distintas).
12\pi sale de 4\pi(3) sin elevar al cuadrado. El enunciado C es falso.
108\pi sale de 4\pi(27) sin dividir entre 3. El enunciado D es falso.
Duplicar el radio a 6 da \tfrac{4}{3}\pi(216) = 288\pi, que es 288 \div 36 = 8 veces más grande, no 2 veces. El enunciado E es falso.
Diámetro = 2 \times 3 = 6. El enunciado F es verdadero.
Respuesta: A, B y F
Comprobación:36\pi \approx 113.1 tanto para el volumen (unidades cúbicas) como para el área superficial (unidades cuadradas) ✓.
Consejo: cuando el radio se multiplica por k, el área superficial se multiplica por k^2 y el volumen por k^3.
Ver en español
Pregunta
Una esfera tiene un radio de 3 unidades. Selecciona todos los enunciados que son verdaderos.
Opciones
A. El volumen es 36\pi unidades cúbicas.
B. El área superficial es 36\pi unidades cuadradas.
C. El área superficial es 12\pi unidades cuadradas.
D. El volumen es 108\pi unidades cúbicas.
E. Si el radio se duplicara, el volumen se duplicaría.
F. El diámetro es de 6 unidades.
Pista
Calcula \tfrac{4}{3}\pi r^3 y 4\pi r^2 con r = 3. Luego piensa qué le pasa a r^3 cuando r se duplica.
Pregunta 12 de 36
A candy maker has 1,000 cubic centimeters of melted chocolate. She pours it into spherical molds, each with a radius of 1 cm. What is the greatest number of complete chocolate balls she can make?
Pista
Find the volume of one ball, then divide. Can she sell part of a ball?
Solución paso a paso
Volume of one ball: V = \tfrac{4}{3}\pi(1^3) = \tfrac{4}{3}\pi \approx 4.18879\text{ cm}^3.
Number of balls: 1{,}000 \div 4.18879 \approx 238.7.
Tip: In "how many complete items" problems, round down even if the decimal is .7 or more. In "how many containers are needed" problems, round up.
Explicación
Volumen de una bolita: V = \tfrac{4}{3}\pi(1^3) = \tfrac{4}{3}\pi \approx 4.18879\text{ cm}^3.
Número de bolitas: 1{,}000 \div 4.18879 \approx 238.7.
Solo cuentan las bolitas completas, así que redondea hacia abajo: 238.
Respuesta: 238 bolitas de chocolate
Comprobación:238 \times 4.18879 \approx 996.9\text{ cm}^3 (alcanza el chocolate), pero 239 \times 4.18879 \approx 1{,}001.1\text{ cm}^3 (es demasiado) ✓.
Consejo: en los problemas de “cuántos objetos completos”, redondea hacia abajo aunque el decimal sea .7 o más. En los problemas de “cuántos recipientes se necesitan”, redondea hacia arriba.
Ver en español
Pregunta
Una fabricante de dulces tiene 1,000 centímetros cúbicos de chocolate derretido. Lo vierte en moldes esféricos, cada uno con un radio de 1 cm. ¿Cuál es el mayor número de bolitas de chocolate completas que puede hacer?
Opciones
A. 79
B. 238
C. 239
D. 318
Pista
Halla el volumen de una bolita y luego divide. ¿Puede vender una parte de una bolita?
Pregunta 13 de 36
A clear plastic hamster ball is a sphere with a radius of 7 inches. What is the volume of the space inside the ball, to the nearest cubic inch?
Pista
Volume of a sphere is \tfrac{4}{3}\pi r^3. What is 7^3?
Solución paso a paso
Formula (on the formula sheet): V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Cube the radius: 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343.
Multiply by \tfrac{4}{3}: \tfrac{4}{3}(343) = \tfrac{1{,}372}{3} \approx 457.33, so V \approx 457.33\pi.
Use the \pi key: 457.33\pi \approx 1{,}436.76, which rounds to 1{,}437.
Answer: about 1,437 in³
Check: A cube that just holds the ball has edges of 14 in and volume 14^3 = 2{,}744. A sphere fills a little more than half of its box (\approx 52\%): 0.52 \times 2{,}744 \approx 1{,}427 — close to 1,437 ✓.
Tip: Enter \tfrac{4}{3} as 4 ÷ 3 or with the n/d key, then × π × 7 ^ 3. Doing it in one line keeps full precision.
Explicación
Fórmula (en la hoja de fórmulas): V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Eleva el radio al cubo: 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343.
Multiplica por \tfrac{4}{3}: \tfrac{4}{3}(343) = \tfrac{1{,}372}{3} \approx 457.33, así que V \approx 457.33\pi.
Usa la tecla \pi: 457.33\pi \approx 1{,}436.76, que se redondea a 1{,}437.
Respuesta: unas 1,437 in³
Comprobación: Un cubo en el que la bola cabe justa tiene aristas de 14 in y un volumen de 14^3 = 2{,}744. Una esfera llena un poco más de la mitad de su caja (\approx 52\%): 0.52 \times 2{,}744 \approx 1{,}427, cerca de 1,437 ✓.
Consejo: Escribe \tfrac{4}{3} como 4 ÷ 3 o con la tecla n/d, y luego × π × 7 ^ 3. Hacerlo en una sola línea mantiene toda la precisión.
Ver en español
Pregunta
Una bola transparente de plástico para hámster es una esfera con un radio de 7 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del espacio dentro de la bola, redondeado a la pulgada cúbica más cercana?
Opciones
A.616\text{ in}^3
B.4{,}310\text{ in}^3
C.205\text{ in}^3
D.1{,}437\text{ in}^3
Pista
El volumen de una esfera es \tfrac{4}{3}\pi r^3. ¿Cuánto es 7^3?
Pregunta 14 de 36
A round marker buoy floating in a harbor is a sphere with a diameter of 24 inches. What is its volume, in terms of \pi?
Pista
Find the radius first. Then cube it and multiply by \tfrac{4}{3}.
Check: Divide first to keep numbers small: 1{,}728 \div 3 = 576, and 576 \times 4 = 2{,}304 ✓.
Tip: Using the diameter in a sphere formula makes the volume 2^3 = 8 times too large (8 \times 2{,}304 = 18{,}432). If an answer choice is exactly 8 times another, that is a sign of the radius–diameter trap.
Comprobación: Divide primero para trabajar con números pequeños: 1{,}728 \div 3 = 576, y 576 \times 4 = 2{,}304 ✓.
Consejo: Usar el diámetro en una fórmula de esfera hace que el volumen salga 2^3 = 8 veces demasiado grande (8 \times 2{,}304 = 18{,}432). Si una opción es exactamente 8 veces otra, es señal de la trampa del radio y el diámetro.
Ver en español
Pregunta
Una boya redonda de señalización que flota en un puerto es una esfera con un diámetro de 24 pulgadas. ¿Cuál es su volumen, en términos de \pi?
Opciones
A.2{,}304\pi\text{ in}^3
B.6{,}912\pi\text{ in}^3
C.18{,}432\pi\text{ in}^3
D.576\pi\text{ in}^3
Pista
Primero halla el radio. Luego elévalo al cubo y multiplícalo por \tfrac{4}{3}.
Pregunta 15 de 36
Varias respuestas
A science teacher shows the class a solid steel ball bearing whose diameter measures 8 cm across. Which of these facts about the ball are correct? Select all that apply.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Start with the radius. Then compute 4\pi r^2 and \tfrac{4}{3}\pi r^3 and compare with each statement.
Solución paso a paso
Radius: r = 8 \div 2 = 4 cm → statement A is true.
Surface area: 4\pi r^2 = 4\pi(16) = 64\pi cm² → statement B is true.
Volume: \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{4}{3}\pi(64) = \tfrac{256}{3}\pi \approx 268.1 cm³ → statement C is true.
Statement D, 16\pi, is only \pi r^2, the area of one flat circle → false.
Statement E, about 2,144.7 cm³, comes from cubing the diameter: \tfrac{4}{3}\pi(8^3) \approx 2{,}144.7 → false.
Answer: A, B, and C
Check:\tfrac{256}{3} \approx 85.33, and 85.33 \times 3.1416 \approx 268.1 ✓.
Tip: In select-all items, judge every statement on its own. Write down r, SA and V once, then compare — do not stop after finding one true statement.
Explicación
Radio: r = 8 \div 2 = 4 cm → la afirmación A es verdadera.
Área superficial: 4\pi r^2 = 4\pi(16) = 64\pi cm² → la afirmación B es verdadera.
Volumen: \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{4}{3}\pi(64) = \tfrac{256}{3}\pi \approx 268.1 cm³ → la afirmación C es verdadera.
La afirmación D, 16\pi, es solo \pi r^2, el área de un círculo plano → falsa.
La afirmación E, unos 2,144.7 cm³, viene de elevar el diámetro al cubo: \tfrac{4}{3}\pi(8^3) \approx 2{,}144.7 → falsa.
Respuesta: A, B y C
Comprobación:\tfrac{256}{3} \approx 85.33, y 85.33 \times 3.1416 \approx 268.1 ✓.
Consejo: En las preguntas de "selecciona todas", evalúa cada afirmación por separado. Escribe r, SA y V una vez y luego compara; no te detengas al encontrar una afirmación verdadera.
Ver en español
Pregunta
Un maestro de ciencias le muestra a la clase un balín de acero macizo cuyo diámetro mide 8 cm. ¿Cuáles de estos datos sobre el balín son correctos? Selecciona todos los que correspondan.
Opciones
A. El radio es 4 cm.
B. El área superficial es 64\pi\text{ cm}^2.
C. El volumen es aproximadamente 268.1\text{ cm}^3.
D. El área superficial es 16\pi\text{ cm}^2.
E. El volumen es aproximadamente 2{,}144.7\text{ cm}^3.
Pista
Empieza con el radio. Luego calcula 4\pi r^2 y \tfrac{4}{3}\pi r^3 y compáralos con cada afirmación.
Pregunta 16 de 36
A hotel lobby has decorative balls with a diameter of 2 ft. Covering a ball in gold leaf costs $12 per square foot.
To the nearest dollar, how much does it cost to cover one ball?
Pista
Gold leaf covers the outside, so find the surface area. Remember to use the radius, not the diameter.
Tip: Prices "per square foot" go with surface area; prices "per cubic foot" go with volume. Matching the unit in the price tells you which formula to use.
Explicación
Radio: r = 2 \div 2 = 1 ft.
Área superficial: SA = 4\pi r^2 = 4\pi(1^2) = 4\pi \approx 12.57\text{ ft}^2.
Consejo: Los precios "por pie cuadrado" van con el área superficial; los precios "por pie cúbico" van con el volumen. La unidad del precio te dice qué fórmula usar.
Ver en español
Pregunta
El vestíbulo de un hotel tiene esferas decorativas con un diámetro de 2 ft. Cubrir una esfera con hoja de oro cuesta $12 por pie cuadrado.
Redondeado al dólar más cercano, ¿cuánto cuesta cubrir una esfera?
Opciones
A. $38
B. $50
C. $151
D. $603
Pista
La hoja de oro cubre el exterior, así que halla el área superficial. Recuerda usar el radio, no el diámetro.
Pregunta 17 de 36
A ball with a radius of 4 in fits snugly inside a cylinder-shaped case. The ball touches the top, the bottom and the curved side of the case.
What is the volume of the case, in terms of \pi?
Pista
If the ball touches the top and bottom, how tall is the case compared with the ball's radius?
Solución paso a paso
The ball touches the curved side, so the case's radius equals the ball's radius: r = 4 in.
The ball touches the top and bottom, so the case's height equals the ball's diameter: h = 2 \times 4 = 8 in.
Cylinder volume (on the formula sheet): V = \pi r^2 h = \pi(4^2)(8) = \pi(16)(8) = 128\pi.
Answer: 128\pi in³ (about 402.1 in³)
Check: The ball itself is \tfrac{4}{3}\pi(64) = \tfrac{256}{3}\pi \approx 85.3\pi. A snug ball always fills \tfrac{2}{3} of its cylinder: \tfrac{2}{3} \times 128\pi = 85.3\pi ✓.
Tip: "Fits snugly" means the container's dimensions come from the ball: width and height both equal the diameter 2r.
Explicación
La pelota toca el lado curvo, así que el radio del estuche es igual al radio de la pelota: r = 4 in.
La pelota toca la tapa y el fondo, así que la altura del estuche es igual al diámetro de la pelota: h = 2 \times 4 = 8 in.
Volumen del cilindro (en la hoja de fórmulas): V = \pi r^2 h = \pi(4^2)(8) = \pi(16)(8) = 128\pi.
Respuesta: 128\pi in³ (unas 402.1 in³)
Comprobación: La pelota misma mide \tfrac{4}{3}\pi(64) = \tfrac{256}{3}\pi \approx 85.3\pi. Una pelota que cabe justa siempre llena \tfrac{2}{3} de su cilindro: \tfrac{2}{3} \times 128\pi = 85.3\pi ✓.
Consejo: "Cabe justa" significa que las medidas del recipiente vienen de la pelota: el ancho y la altura son ambos iguales al diámetro 2r.
Ver en español
Pregunta
Una pelota con un radio de 4 in cabe justa dentro de un estuche en forma de cilindro. La pelota toca la tapa, el fondo y el lado curvo del estuche.
¿Cuál es el volumen del estuche, en términos de \pi?
Opciones
A.64\pi\text{ in}^3
B.128\pi\text{ in}^3
C. aproximadamente 85.3\pi\text{ in}^3
D.512\pi\text{ in}^3
Pista
Si la pelota toca la tapa y el fondo, ¿qué altura tiene el estuche comparada con el radio de la pelota?
Pregunta 18 de 36
Completar
A spherical storage tank holds 288\pi cubic feet of propane. What is the diameter of the tank?
ft
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Set \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 288\pi. Cancel \pi, undo the \tfrac{4}{3}, and use a cube root. Then think about the diameter.
Solución paso a paso
Formula: \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 288\pi.
Divide both sides by \pi: \tfrac{4}{3}r^3 = 288.
Multiply both sides by \tfrac{3}{4}: r^3 = 288 \times \tfrac{3}{4} = 216.
Cube root: r = \sqrt[3]{216} = 6 ft (because 6 \times 6 \times 6 = 216).
Consejo: En la TI-30XS, una raíz cúbica se hace con 32nd^ (ⁿ√) 216. Apréndete de memoria los cubos pequeños (8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000), porque aparecen a menudo.
Ver en español
Pregunta
Un tanque de almacenamiento esférico contiene 288\pi pies cúbicos de gas propano. ¿Cuál es el diámetro del tanque?
_____ ft
Pista
Plantea \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 288\pi. Cancela \pi, deshaz el \tfrac{4}{3} y usa una raíz cúbica. Luego piensa en el diámetro.
Pregunta 19 de 36
A spherical party balloon has a surface area of 324\pi square inches. What is the radius of the balloon?
Pista
Set 4\pi r^2 = 324\pi and solve. The last step is a root — which one goes with r^2?
Solución paso a paso
Formula: 4\pi r^2 = 324\pi.
Divide both sides by 4\pi: r^2 = 324 \div 4 = 81.
Square root: r = \sqrt{81} = 9 in.
Answer: 9 in
Check:4\pi(9^2) = 4\pi(81) = 324\pi ✓.
Tip: Surface area has r^2, so you finish with a square root. Volume has r^3, so you finish with a cube root. Using the wrong formula (volume instead of area) is what produces the 6.24 trap.
Consejo: El área superficial tiene r^2, así que terminas con una raíz cuadrada. El volumen tiene r^3, así que terminas con una raíz cúbica. Usar la fórmula equivocada (volumen en lugar de área) es lo que produce la trampa de 6.24.
Ver en español
Pregunta
Un globo esférico de fiesta tiene un área superficial de 324\pi pulgadas cuadradas. ¿Cuál es el radio del globo?
Opciones
A.18\text{ in}
B. aproximadamente 6.24\text{ in}
C.9\text{ in}
D.81\text{ in}
Pista
Plantea 4\pi r^2 = 324\pi y resuelve. El último paso es una raíz: ¿cuál va con r^2?
Pregunta 20 de 36
Completar
The dome of a planetarium is a hemisphere (half of a sphere) with a radius of 10 m. The outside of the dome — the curved part only, not the floor — will be covered with new roofing.
How many square meters of roofing are needed? Round to the nearest square meter.
m²
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The curved part of a hemisphere is half of a sphere's surface area, 4\pi r^2.
Solución paso a paso
A full sphere has surface area 4\pi r^2.
The dome is half a sphere and has no floor, so its curved area is \tfrac{1}{2}(4\pi r^2) = 2\pi r^2.
Substitute r = 10: 2\pi(10^2) = 2\pi(100) = 200\pi.
Use the \pi key: 200\pi \approx 628.32, which rounds to 628.
Answer: about 628 m²
Check: A full sphere of radius 10 would be 400\pi \approx 1{,}256.6 m². Half of that is 628.3 ✓.
Tip: For a solid hemisphere (like a paperweight), add the flat circle \pi r^2 to get 3\pi r^2. For a dome or bowl, use only the curved 2\pi r^2.
Explicación
Una esfera completa tiene un área superficial de 4\pi r^2.
La cúpula es media esfera y no tiene piso, así que su área curva es \tfrac{1}{2}(4\pi r^2) = 2\pi r^2.
Sustituye r = 10: 2\pi(10^2) = 2\pi(100) = 200\pi.
Usa la tecla \pi: 200\pi \approx 628.32, que se redondea a 628.
Respuesta: unos 628 m²
Comprobación: Una esfera completa de radio 10 tendría 400\pi \approx 1{,}256.6 m². La mitad de eso es 628.3 ✓.
Consejo: Para una semiesfera maciza (como un pisapapeles), suma el círculo plano \pi r^2 y obtienes 3\pi r^2. Para una cúpula o un tazón, usa solo la parte curva 2\pi r^2.
Ver en español
Pregunta
La cúpula de un planetario es una semiesfera (la mitad de una esfera) con un radio de 10 m. El exterior de la cúpula (solo la parte curva, no el piso) se va a cubrir con un techo nuevo.
¿Cuántos metros cuadrados de techo se necesitan? Redondea al metro cuadrado más cercano.
_____ m²
Pista
La parte curva de una semiesfera es la mitad del área superficial de una esfera, 4\pi r^2.
Pregunta 21 de 36
Leo found the volume of a marble with a diameter of 4 cm. Here is his work.
V = \tfrac{4}{3}\pi r^3
r = 4 \div 2 = 2
r^3 = 2 \times 3 = 6
V = \tfrac{4}{3}\pi(6) = 8\pi\text{ cm}^3
In which step did Leo make the first mistake?
Pista
What does the small 3 in r^3 tell you to do?
Solución paso a paso
Step 1 is the correct sphere formula from the formula sheet.
Step 2 is correct: the radius is half of the 4 cm diameter, r = 2.
Step 3 is wrong. r^3 means r \times r \times r, not r \times 3. So 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8.
Correct finish: V = \tfrac{4}{3}\pi(8) = \tfrac{32}{3}\pi \approx 33.5\text{ cm}^3.
Answer: Step 3
Check:\tfrac{32}{3} \approx 10.67, and 10.67 \times 3.1416 \approx 33.5 ✓. Leo's 8\pi \approx 25.1 is too small because 6 < 8.
Tip: An exponent counts how many times a number is multiplied by itself. With small numbers, 2^3 = 8 and 2 \times 3 = 6 are close enough to confuse. A bigger number shows the difference: 5^3 = 125, but 5 \times 3 = 15.
Explicación
El paso 1 es la fórmula correcta de la esfera de la hoja de fórmulas.
El paso 2 es correcto: el radio es la mitad del diámetro de 4 cm, r = 2.
El paso 3 está mal. r^3 significa r \times r \times r, no r \times 3. Así que 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8.
Final correcto: V = \tfrac{4}{3}\pi(8) = \tfrac{32}{3}\pi \approx 33.5\text{ cm}^3.
Respuesta: Paso 3
Comprobación:\tfrac{32}{3} \approx 10.67, y 10.67 \times 3.1416 \approx 33.5 ✓. El 8\pi \approx 25.1 de Leo es demasiado pequeño porque 6 < 8.
Consejo: Un exponente indica cuántas veces un número se multiplica por sí mismo. Con números pequeños, 2^3 = 8 y 2 \times 3 = 6 se parecen tanto que es fácil confundirlos. Un número más grande muestra la diferencia: 5^3 = 125, pero 5 \times 3 = 15.
Ver en español
Pregunta
Leo halló el volumen de una canica con un diámetro de 4 cm. Este es su trabajo.
V = \tfrac{4}{3}\pi r^3
r = 4 \div 2 = 2
r^3 = 2 \times 3 = 6
V = \tfrac{4}{3}\pi(6) = 8\pi\text{ cm}^3
¿En qué paso cometió Leo el primer error?
Opciones
A. Paso 1
B. Paso 2
C. Paso 4
D. Paso 3
Pista
¿Qué te dice que hagas el 3 pequeño de r^3?
Pregunta 22 de 36
A cook has 2,000 cm³ of meatball mix. Each meatball is a sphere with a radius of 2.5 cm.
What is the greatest number of complete meatballs the cook can make?
Pista
Find the volume of one meatball. Then divide. Can the cook make part of a meatball count as a whole one?
Solución paso a paso
Volume of one meatball: V = \tfrac{4}{3}\pi(2.5^3) = \tfrac{4}{3}\pi(15.625) \approx 65.45\text{ cm}^3.
Number of meatballs: 2{,}000 \div 65.45 \approx 30.56.
Only complete meatballs count, so round down: 30.
Answer: 30 meatballs
Check:30 \times 65.45 = 1{,}963.5 \le 2{,}000 ✓, but 31 \times 65.45 = 2{,}029 > 2{,}000, so a 31st meatball is not possible ✓.
Tip: "How many complete…" or "how many can be filled" → round down. "How many containers are needed" → round up. Read the question before you round.
Explicación
Volumen de una albóndiga: V = \tfrac{4}{3}\pi(2.5^3) = \tfrac{4}{3}\pi(15.625) \approx 65.45\text{ cm}^3.
Número de albóndigas: 2{,}000 \div 65.45 \approx 30.56.
Solo cuentan las albóndigas completas, así que redondea hacia abajo: 30.
Respuesta: 30 albóndigas
Comprobación:30 \times 65.45 = 1{,}963.5 \le 2{,}000 ✓, pero 31 \times 65.45 = 2{,}029 > 2{,}000, así que no se puede hacer una albóndiga número 31 ✓.
Consejo: "¿Cuántas … completas?" o "¿cuántas se pueden llenar?" → redondea hacia abajo. "¿Cuántos recipientes se necesitan?" → redondea hacia arriba. Lee la pregunta antes de redondear.
Ver en español
Pregunta
Un cocinero tiene 2,000 cm³ de mezcla para albóndigas. Cada albóndiga es una esfera con un radio de 2.5 cm.
¿Cuál es el mayor número de albóndigas completas que puede hacer el cocinero?
Opciones
A. 10
B. 30
C. 31
D. 76
Pista
Halla el volumen de una albóndiga. Luego divide. ¿Puede el cocinero contar una parte de albóndiga como una entera?
Pregunta 23 de 36
Completar
A ball fits exactly inside a cube-shaped gift box, touching all six faces. Each edge of the box is 10 inches.
Ball inside a cube with 10 in edges
How many cubic inches of empty space are inside the box around the ball? Round to the nearest tenth.
in³
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Empty space = volume of the box − volume of the ball. If the ball fits exactly, what is its diameter?
Solución paso a paso
The ball touches opposite faces, so its diameter equals the edge: d = 10 in, and r = 5 in.
Volume of the box: 10^3 = 1{,}000\text{ in}^3.
Volume of the ball: \tfrac{4}{3}\pi(5^3) = \tfrac{4}{3}\pi(125) = \tfrac{500}{3}\pi \approx 523.60\text{ in}^3.
Empty space: 1{,}000 - 523.60 = 476.40.
Round to the nearest tenth: 476.4.
Answer: about 476.4 in³
Check: The ball fills 523.6 \div 1{,}000 \approx 52\% of the box — a sphere always fills a little more than half of the cube it fits in ✓.
Tip: "Fits exactly" or "inscribed" means a length is shared: here the sphere's diameter is the cube's edge. Look for that shared length in every composite problem. (With \pi \approx 3.14, the answer is 476.7, also accepted.)
Explicación
La pelota toca caras opuestas, así que su diámetro es igual a la arista: d = 10 in, y r = 5 in.
Volumen de la caja: 10^3 = 1{,}000\text{ in}^3.
Volumen de la pelota: \tfrac{4}{3}\pi(5^3) = \tfrac{4}{3}\pi(125) = \tfrac{500}{3}\pi \approx 523.60\text{ in}^3.
Espacio vacío: 1{,}000 - 523.60 = 476.40.
Redondea a la décima más cercana: 476.4.
Respuesta: unas 476.4 in³
Comprobación: la pelota llena 523.6 \div 1{,}000 \approx 52\% de la caja; una esfera siempre llena un poco más de la mitad del cubo en el que cabe ✓.
Consejo: “cabe exactamente” o “inscrita” significa que se comparte una longitud: aquí el diámetro de la esfera es la arista del cubo. Busca esa longitud compartida en todos los problemas de figuras compuestas. (Con \pi \approx 3.14, la respuesta es 476.7, que también se acepta).
Ver en español
Pregunta
Una pelota cabe exactamente dentro de una caja de regalo en forma de cubo, tocando las seis caras. Cada arista de la caja mide 10 pulgadas.
¿Cuántas pulgadas cúbicas de espacio vacío hay dentro de la caja alrededor de la pelota? Redondea a la décima más cercana.
_____ in³
Pista
Espacio vacío = volumen de la caja − volumen de la pelota. Si la pelota cabe exactamente, ¿cuál es su diámetro?
Pregunta 24 de 36
Arrastrar y soltar
A beach ball has a radius 3 times the radius of a toy ball. Drag the correct tile into each box. Two tiles are not used.
Beach ball's diameter compared with the toy ball's
Beach ball's surface area compared with the toy ball's
Beach ball's volume compared with the toy ball's
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Lengths scale by k, areas by k^2, volumes by k^3. Here k = 3.
Solución paso a paso
The scale factor for lengths is k = 3.
Diameter is a length (d = 2r), so it grows by the same factor: ×3.
Surface area 4\pi r^2 depends on r^2: 3^2 = 9 → ×9.
Answer: ×3, ×9, ×27 (the ×6 and ×81 tiles are not used)
Check: Toy ball r = 1: SA = 4\pi, V = \tfrac{4}{3}\pi. Beach ball r = 3: SA = 36\pi = 9 \times 4\pi ✓; V = 36\pi = 27 \times \tfrac{4}{3}\pi ✓.
Tip: The exponent in the formula tells you the power to use: r^1 → k, r^2 → k^2, r^3 → k^3.
Explicación
El factor de escala para las longitudes es k = 3.
El diámetro es una longitud (d = 2r), así que crece por el mismo factor: ×3.
El área superficial 4\pi r^2 depende de r^2: 3^2 = 9 → ×9.
El volumen \tfrac{4}{3}\pi r^3 depende de r^3: 3^3 = 27 → ×27.
Respuesta: ×3, ×9, ×27 (las fichas ×6 y ×81 no se usan)
Comprobación: Pelota de juguete con r = 1: SA = 4\pi, V = \tfrac{4}{3}\pi. Pelota de playa con r = 3: SA = 36\pi = 9 \times 4\pi ✓; V = 36\pi = 27 \times \tfrac{4}{3}\pi ✓.
Consejo: El exponente en la fórmula te dice qué potencia usar: r^1 → k, r^2 → k^2, r^3 → k^3.
Ver en español
Pregunta
Una pelota de playa tiene un radio que mide 3 veces el radio de una pelota de juguete. Arrastra la ficha correcta a cada recuadro. Dos fichas no se usan.
Diámetro de la pelota de playa comparado con el de la pelota de juguete
Área superficial de la pelota de playa comparada con la de la pelota de juguete
Volumen de la pelota de playa comparado con el de la pelota de juguete
_____
_____
_____
Opciones
\times 3
\times 9
\times 27
\times 6
\times 81
Pista
Las longitudes cambian según k, las áreas según k^2 y los volúmenes según k^3. Aquí k = 3.
Pregunta 25 de 36
Menú
A round paper lantern is a sphere with a surface area of 256\pi square centimeters. Complete the statements.
The radius of the lantern is cm, so its volume is about cm³.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Use 4\pi r^2 = 256\pi to find r. Then put that radius into \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Consejo: Los problemas de esferas de dos pasos suelen ir "área → radio → volumen". Halla primero el radio exacto; es la clave para obtener todas las demás medidas.
Ver en español
Pregunta
Una lámpara redonda de papel es una esfera con un área superficial de 256\pi centímetros cuadrados. Completa las afirmaciones.
El radio de la lámpara es _____ cm, así que su volumen es aproximadamente _____ cm³.
Opciones
8
64
16
2,144.7
804.2
17,157.3
Pista
Usa 4\pi r^2 = 256\pi para hallar r. Luego sustituye ese radio en \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Pregunta 26 de 36
The inside of a snow igloo is shaped like a hemisphere with a radius of 2.5 m.
What is the volume of air inside the igloo, to the nearest tenth of a cubic meter?
Pista
A hemisphere is half of a sphere. Find the sphere's volume, then take half.
Solución paso a paso
Full sphere: V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Hemisphere: half of that, V = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{2}{3}\pi r^3.
Cube the radius: 2.5^3 = 15.625.
V = \tfrac{2}{3}\pi(15.625) \approx \tfrac{2}{3}(49.087) \approx 32.72.
Round to the nearest tenth: 32.7.
Answer: about 32.7 m³
Check: The full sphere would be \tfrac{4}{3}\pi(15.625) \approx 65.4\text{ m}^3, and half of 65.4 is 32.7 ✓.
Tip: Hemisphere volume = \tfrac{2}{3}\pi r^3. Hemisphere curved area = 2\pi r^2. Both are simply "half of the sphere."
Explicación
Esfera completa: V = \tfrac{4}{3}\pi r^3.
Semiesfera: la mitad de eso, V = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{2}{3}\pi r^3.
Eleva el radio al cubo: 2.5^3 = 15.625.
V = \tfrac{2}{3}\pi(15.625) \approx \tfrac{2}{3}(49.087) \approx 32.72.
Redondea a la décima más cercana: 32.7.
Respuesta: unos 32.7 m³
Comprobación: La esfera completa sería \tfrac{4}{3}\pi(15.625) \approx 65.4\text{ m}^3, y la mitad de 65.4 es 32.7 ✓.
Consejo: Volumen de la semiesfera = \tfrac{2}{3}\pi r^3. Área curva de la semiesfera = 2\pi r^2. Ambas son simplemente "la mitad de la esfera".
Ver en español
Pregunta
El interior de un iglú de nieve tiene forma de semiesfera con un radio de 2.5 m.
¿Cuál es el volumen de aire dentro del iglú, redondeado a la décima de metro cúbico más cercana?
Opciones
A.32.7\text{ m}^3
B.65.4\text{ m}^3
C.39.3\text{ m}^3
D.98.2\text{ m}^3
Pista
Una semiesfera es la mitad de una esfera. Halla el volumen de la esfera y luego toma la mitad.
Pregunta 27 de 36
Completar
A cylinder-shaped can holds 3 tennis balls stacked on top of each other. Each ball has a diameter of 2.6 in. The can has a radius of 1.3 in and a height of 7.8 in, so the balls fit snugly.
Cylinder can, radius 1.3 in and height 7.8 in, holding three stacked balls of diameter 2.6 in
How many cubic inches of empty space are inside the can around the balls? Round to the nearest tenth.
in³
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Empty space = volume of the can − volume of all 3 balls. Each ball's radius is half of 2.6 in.
Solución paso a paso
Can (cylinder): V = \pi r^2 h = \pi(1.3^2)(7.8) = \pi(1.69)(7.8) = 13.182\pi \approx 41.41\text{ in}^3.
One ball: r = 2.6 \div 2 = 1.3, so V = \tfrac{4}{3}\pi(1.3^3) = \tfrac{4}{3}\pi(2.197) \approx 2.929\pi.
Three balls: 3 \times 2.929\pi = 8.788\pi \approx 27.61\text{ in}^3.
Comprobación: Las pelotas que caben justas llenan \tfrac{2}{3} de su cilindro, así que la parte vacía es \tfrac{1}{3}: 41.41 \div 3 \approx 13.80 ✓.
Consejo: No olvides multiplicar por el número de pelotas. Escribir "lata − 3 × pelota" antes de calcular mantiene claro el plan.
Ver en español
Pregunta
Una lata en forma de cilindro contiene 3 pelotas de tenis apiladas una sobre otra. Cada pelota tiene un diámetro de 2.6 in. La lata tiene un radio de 1.3 in y una altura de 7.8 in, así que las pelotas caben justas.
¿Cuántas pulgadas cúbicas de espacio vacío hay dentro de la lata alrededor de las pelotas? Redondea a la décima más cercana.
_____ in³
Pista
Espacio vacío = volumen de la lata − volumen de las 3 pelotas. El radio de cada pelota es la mitad de 2.6 in.
Pregunta 28 de 36
Completar
A farm stores water in a spherical tank with a radius of 3 ft. One cubic foot holds about 7.48 gallons.
About how many gallons of water does the full tank hold? Round to the nearest gallon.
gallons
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find the volume in cubic feet first. Each cubic foot is 7.48 gallons — multiply or divide?
Convert: each cubic foot holds 7.48 gallons, so multiply: 113.10 \times 7.48 \approx 845.97.
Round to the nearest gallon: 846.
Answer: about 846 gallons
Check: Estimate: 36 \times 3 = 108 ft³ (using \pi \approx 3) and 108 \times 7.5 = 810. A little more than 810 makes sense because \pi > 3 ✓.
Tip: Gallons are smaller than cubic feet, so the number of gallons must be bigger than the number of cubic feet. If your answer got smaller, you divided by mistake.
Convierte: cada pie cúbico contiene 7.48 galones, así que multiplica: 113.10 \times 7.48 \approx 845.97.
Redondea al galón más cercano: 846.
Respuesta: unos 846 galones
Comprobación: Estima: 36 \times 3 = 108 ft³ (usando \pi \approx 3) y 108 \times 7.5 = 810. Un poco más de 810 tiene sentido porque \pi > 3 ✓.
Consejo: Los galones son más pequeños que los pies cúbicos, así que el número de galones debe ser mayor que el número de pies cúbicos. Si tu respuesta salió más pequeña, dividiste por error.
Ver en español
Pregunta
Una granja guarda agua en un tanque esférico con un radio de 3 ft. Un pie cúbico contiene aproximadamente 7.48 galones.
¿Aproximadamente cuántos galones de agua contiene el tanque lleno? Redondea al galón más cercano.
_____ galones
Pista
Primero halla el volumen en pies cúbicos. Cada pie cúbico son 7.48 galones: ¿multiplicas o divides?
Pregunta 29 de 36
A toy company makes a new bouncy ball whose volume is 8 times the volume of its original ball. Both balls are spheres.
The radius of the new ball is how many times the radius of the original ball?
Pista
Volume grows by the cube of the radius factor. Which number cubed is 8?
Solución paso a paso
Sphere volume is \tfrac{4}{3}\pi r^3, so if the radius is multiplied by k, the volume is multiplied by k^3.
We know the volume factor: k^3 = 8.
Undo the cube with a cube root: k = \sqrt[3]{8} = 2, because 2 \times 2 \times 2 = 8.
Answer: 2 times
Check: Original r = 1: V = \tfrac{4}{3}\pi. New r = 2: V = \tfrac{4}{3}\pi(8) = \tfrac{32}{3}\pi, which is 8 times \tfrac{4}{3}\pi ✓.
Tip: Going forward (radius → volume) you cube the factor. Going backward (volume → radius) you take the cube root. For areas, use square and square root.
Explicación
El volumen de la esfera es \tfrac{4}{3}\pi r^3, así que si el radio se multiplica por k, el volumen se multiplica por k^3.
Conocemos el factor del volumen: k^3 = 8.
Deshaz el cubo con una raíz cúbica: k = \sqrt[3]{8} = 2, porque 2 \times 2 \times 2 = 8.
Respuesta: 2 veces
Comprobación: Original con r = 1: V = \tfrac{4}{3}\pi. Nueva con r = 2: V = \tfrac{4}{3}\pi(8) = \tfrac{32}{3}\pi, que es 8 veces \tfrac{4}{3}\pi ✓.
Consejo: Hacia adelante (radio → volumen) elevas el factor al cubo. Hacia atrás (volumen → radio) sacas la raíz cúbica. Para las áreas, usa el cuadrado y la raíz cuadrada.
Ver en español
Pregunta
Una compañía de juguetes hace una nueva pelota que rebota cuyo volumen es 8 veces el volumen de su pelota original. Las dos pelotas son esferas.
¿Cuántas veces el radio de la pelota original es el radio de la pelota nueva?
Opciones
A. 8
B. 2
C. aproximadamente 2.83
D. 512
Pista
El volumen crece según el cubo del factor del radio. ¿Qué número elevado al cubo da 8?
Pregunta 30 de 36
A leather company covers softballs that have a diameter of 9 cm. Which expression gives the amount of leather needed to cover one ball?
Pista
Covering means surface area. Check two things in each expression: the formula and the number used for r.
Solución paso a paso
Covering a ball uses its surface area: SA = 4\pi r^2 (on the formula sheet).
The radius is half of the diameter: r = 9 \div 2 = 4.5 cm.
Check:4\pi(4.5)^2 = 81\pi, and 81\pi also equals \pi d^2 = \pi(9)^2 — a handy second form of the same formula ✓.
Tip: In "which expression" items, you do not need to calculate everything. Eliminate choices with the wrong formula (volume, circle area) and the wrong measurement (diameter in place of radius).
Explicación
Forrar una pelota usa su área superficial: SA = 4\pi r^2 (en la hoja de fórmulas).
El radio es la mitad del diámetro: r = 9 \div 2 = 4.5 cm.
Comprobación:4\pi(4.5)^2 = 81\pi, y 81\pi también es igual a \pi d^2 = \pi(9)^2, una segunda forma útil de la misma fórmula ✓.
Consejo: En las preguntas de "¿qué expresión…?", no necesitas calcular todo. Elimina las opciones con la fórmula equivocada (volumen, área del círculo) y con la medida equivocada (diámetro en lugar de radio).
Ver en español
Pregunta
Una compañía de artículos de cuero forra pelotas de softbol que tienen un diámetro de 9 cm. ¿Qué expresión da la cantidad de cuero que se necesita para forrar una pelota?
Opciones
A.4\pi(4.5)^2
B.4\pi(9)^2
C.\tfrac{4}{3}\pi(4.5)^3
D.\pi(4.5)^2
Pista
Forrar significa área superficial. Revisa dos cosas en cada expresión: la fórmula y el número que se usa para r.
Pregunta 31 de 36
Kai found the volume of a hemisphere-shaped soup bowl with a radius of 6 cm. Here is the work.
Whole sphere: \tfrac{4}{3}\pi(6^3) = 288\pi
Hemisphere: 288\pi \div 2 = 144\pi
144\pi \approx 452.4
The bowl holds about 452.4\text{ cm}^2.
In which step did Kai make the first mistake?
Pista
Check the numbers in each step, and also check the units of the final answer. What units does volume have?
Solución paso a paso
Step 1 is correct: 6^3 = 216, and \tfrac{4}{3}(216) = 288, so 288\pi.
Step 2 is correct: a hemisphere is half of a sphere, 144\pi.
Step 3 is correct: 144 \times 3.14159 \approx 452.4.
Step 4 is wrong. Volume is measured in cubic units. The answer should be about 452.4\text{ cm}^3, not cm².
Answer: Step 4
Check: Area uses two lengths multiplied (cm × cm = cm²), and volume uses three (cm × cm × cm = cm³). Since r is cubed here, the answer must be in cm³ ✓.
Tip: On the GED, answer choices sometimes differ only by units. Always ask: "Is this a length, an area or a volume?"
Explicación
El paso 1 es correcto: 6^3 = 216, y \tfrac{4}{3}(216) = 288, así que 288\pi.
El paso 2 es correcto: una semiesfera es la mitad de una esfera, 144\pi.
El paso 3 es correcto: 144 \times 3.14159 \approx 452.4.
El paso 4 está mal. El volumen se mide en unidades cúbicas. La respuesta debe ser unos 452.4\text{ cm}^3, no cm².
Respuesta: Paso 4
Comprobación: El área multiplica dos longitudes (cm × cm = cm²), y el volumen multiplica tres (cm × cm × cm = cm³). Como aquí r se eleva al cubo, la respuesta debe estar en cm³ ✓.
Consejo: En el GED®, a veces las opciones solo se diferencian por las unidades. Pregúntate siempre: "¿Es una longitud, un área o un volumen?"
Ver en español
Pregunta
Kai halló el volumen de un tazón para sopa en forma de semiesfera con un radio de 6 cm. Este es su trabajo.
Esfera completa: \tfrac{4}{3}\pi(6^3) = 288\pi
Semiesfera: 288\pi \div 2 = 144\pi
144\pi \approx 452.4
El tazón contiene aproximadamente 452.4\text{ cm}^2.
¿En qué paso cometió Kai el primer error?
Opciones
A. Paso 1
B. Paso 4
C. Paso 2
D. Paso 3
Pista
Revisa los números de cada paso y también las unidades de la respuesta final. ¿Qué unidades tiene el volumen?
Pregunta 32 de 36
A decorative glass ball has a volume of about 523.6 cubic inches. What is the diameter of the ball, to the nearest inch?
Pista
Solve \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 523.6 for r^3, take the cube root, and remember what the question asks for.
Tip: A quick way on the calculator: r^3 = \dfrac{3V}{4\pi}. Then use the cube root (3, then 2nd^, then the number). Always re-read the question at the end: radius or diameter?
Explicación
Fórmula: \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 523.6.
Multiplica los dos lados por 3: 4\pi r^3 = 1{,}570.8.
Consejo: una forma rápida en la calculadora: r^3 = \dfrac{3V}{4\pi}. Luego usa la raíz cúbica (3, luego 2nd^ y luego el número). Al final, vuelve a leer siempre la pregunta: ¿radio o diámetro?
Ver en español
Pregunta
Una bola decorativa de vidrio tiene un volumen de unas 523.6 pulgadas cúbicas. ¿Cuál es el diámetro de la bola, redondeado a la pulgada más cercana?
Opciones
A. 5 in
B. 10 in
C. 125 in
D. 11 in
Pista
Despeja r^3 en \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 523.6, saca la raíz cúbica y recuerda lo que pide la pregunta.
Pregunta 33 de 36
Arrastrar y soltar
A weather balloon is a sphere. Drag the correct tile into each box to show how its measurements change. Two tiles are not used.
Surface area when the radius is doubled
Volume when the radius is doubled
Volume when the radius is tripled
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Surface area depends on r^2 and volume depends on r^3. Try r = 1 and r = 2.
Solución paso a paso
Surface area is 4\pi r^2 and volume is \tfrac{4}{3}\pi r^3. The constants (4\pi and \tfrac{4}{3}\pi) stay the same, so only r^2 and r^3 matter.
Radius doubled, surface area: r^2 goes from 1^2 = 1 to 2^2 = 4 → ×4.
Radius doubled, volume: r^3 goes from 1^3 = 1 to 2^3 = 8 → ×8.
Radius tripled, volume: r^3 goes from 1 to 3^3 = 27 → ×27.
Answer: ×4, ×8, ×27 (the ×2 and ×9 tiles are not used)
Check: With real numbers, r = 3: V = 36\pi. With r = 9: V = \tfrac{4}{3}\pi(729) = 972\pi, and 972 \div 36 = 27 ✓.
Tip: Scale factor k on lengths → k^2 on areas → k^3 on volumes. This works for every solid, not just spheres.
Explicación
El área superficial es 4\pi r^2 y el volumen es \tfrac{4}{3}\pi r^3. Las constantes (4\pi y \tfrac{4}{3}\pi) no cambian, así que solo importan r^2 y r^3.
Radio duplicado, área superficial: r^2 pasa de 1^2 = 1 a 2^2 = 4 → ×4.
Radio duplicado, volumen: r^3 pasa de 1^3 = 1 a 2^3 = 8 → ×8.
Radio triplicado, volumen: r^3 pasa de 1 a 3^3 = 27 → ×27.
Respuesta: ×4, ×8, ×27 (las fichas ×2 y ×9 no se usan)
Comprobación: con números reales, r = 3: V = 36\pi. Con r = 9: V = \tfrac{4}{3}\pi(729) = 972\pi, y 972 \div 36 = 27 ✓.
Consejo: un factor de escala k en las longitudes → k^2 en las áreas → k^3 en los volúmenes. Esto funciona con todos los sólidos, no solo con las esferas.
Ver en español
Pregunta
Un globo meteorológico es una esfera. Arrastra la ficha correcta a cada casilla para mostrar cómo cambian sus medidas. Dos fichas no se usan.
Área superficial cuando el radio se duplica
Volumen cuando el radio se duplica
Volumen cuando el radio se triplica
_____
_____
_____
Opciones
\times 4
\times 8
\times 27
\times 2
\times 9
Pista
El área superficial depende de r^2 y el volumen depende de r^3. Prueba con r = 1 y r = 2.
Pregunta 34 de 36
An art student has a cylinder of clay with a radius of 3 cm and a height of 16 cm. She rolls all of the clay into small balls, each with a radius of 1 cm, without wasting any.
How many balls can she make?
Pista
The total volume stays the same. Find the cylinder's volume and one ball's volume, then divide. Keeping \pi in both makes it cancel.
Solución paso a paso
Cylinder: V = \pi r^2 h = \pi(3^2)(16) = 144\pi\text{ cm}^3.
One ball: V = \tfrac{4}{3}\pi(1^3) = \tfrac{4}{3}\pi\text{ cm}^3.
Comprobación:108 \times \tfrac{4}{3}\pi = 144\pi ✓, exactamente la arcilla del cilindro, sin que sobre nada.
Consejo: Cuando un sólido se derrite o se le cambia la forma, el volumen queda igual. Deja las respuestas en términos de \pi para que la \pi se cancele y la división sea exacta.
Ver en español
Pregunta
Una estudiante de arte tiene un cilindro de arcilla con un radio de 3 cm y una altura de 16 cm. Hace con toda la arcilla bolitas, cada una con un radio de 1 cm, sin desperdiciar nada.
¿Cuántas bolitas puede hacer?
Opciones
A. 13
B. 36
C. 108
D. 144
Pista
El volumen total no cambia. Halla el volumen del cilindro y el volumen de una bolita, y luego divide. Si dejas \pi en los dos, se cancela.
Pregunta 35 de 36
A gift shop has a ball-shaped glass vase with a radius of 6 in and a cube-shaped glass vase with edges of 9 in.
Which vase holds more, and by about how much?
Pista
Find both volumes in cubic inches: \tfrac{4}{3}\pi r^3 for the ball and s^3 for the cube. Then subtract.
Check:28 \times 500 = 14{,}000 cm³, very close to the ball's 14,137 cm³ ✓.
Tip: In rate problems, write the units: \dfrac{\text{cm}^3}{\text{cm}^3\text{/s}} = \text{s}. Also halve the diameter before cubing — doing it after (or never) multiplies the error by 8.
Comprobación:28 \times 500 = 14{,}000 cm³, muy cerca de los 14,137 cm³ de la pelota ✓.
Consejo: En los problemas de tasas, escribe las unidades: \dfrac{\text{cm}^3}{\text{cm}^3\text{/s}} = \text{s}. Además, divide el diámetro entre 2 antes de elevar al cubo; hacerlo después (o no hacerlo) multiplica el error por 8.
Ver en español
Pregunta
Una bomba infla una pelota redonda de ejercicio hasta que su diámetro es de 30 cm. La bomba mete 500 centímetros cúbicos de aire por segundo.
Empezando desde desinflada, ¿aproximadamente cuántos segundos tarda en llenarse la pelota?
Opciones
A. aproximadamente 85 segundos
B. aproximadamente 6 segundos
C. aproximadamente 226 segundos
D. aproximadamente 28 segundos
Pista
Halla el volumen de la pelota (¡usa el radio!). Luego divide entre la cantidad de aire que se bombea cada segundo.
