Conteo, combinaciones y permutaciones

1. Hay 3 etapas: arroz, proteína y salsa.
2. Según el principio fundamental de conteo, multiplica el número de opciones de cada etapa: 2 \times 5 \times 4 = 40
3. Así que se pueden armar 40 tazones de burrito diferentes.

Comprobación: Para cada uno de los 2 tipos de arroz hay 5 \times 4 = 20 parejas de proteína y salsa. 2 \times 20 = 40 ✓

Consejo: "Uno de cada" de listas separadas significa multiplicar, nunca sumar. Sumar (2 + 5 + 4 = 11) solo cuenta los ingredientes, no las combinaciones entre ellos.

1. Poner en orden las 6 presentaciones: el orden importa y ningún estudiante presenta dos veces.
2. 1.er lugar: 6 opciones. 2.º: 5. 3.º: 4. 4.º: 3. 5.º: 2. 6.º: 1.
3. Multiplica: 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
4. Hay 720 órdenes diferentes.

Comprobación: 6 \times 5 = 30, 30 \times 4 = 120, 120 \times 3 = 360, 360 \times 2 = 720, 720 \times 1 = 720 ✓

Consejo: Ordenar en fila n objetos distintos siempre da n!. En la TI-30XS: 6, prb, elige !, enter.

1. Armar un conjunto tiene 3 etapas: camisa, pantalón y zapatos.
2. El principio fundamental de conteo dice que hay que multiplicar el número de opciones de cada etapa.
3. 5 \times 3 \times 4 = 60
4. Dana puede formar 60 conjuntos diferentes.

Comprobación: Cada camisa va con 3 \times 4 = 12 pares de pantalón y zapatos. Cinco camisas dan 5 \times 12 = 60 ✓

Consejo: Cuando eliges un elemento de cada una de varias listas separadas, multiplica los tamaños de las listas. Sumar (5 + 3 + 4 = 12) cuenta las prendas que hay en la maleta, no los conjuntos.

1. Los cargos tienen títulos distintos, así que el orden importa: Ana como presidenta y Ben como tesorero es distinto de lo contrario. Esto es una permutación.
2. Presidente: 11 opciones. Secretario: quedan 10. Tesorero: quedan 9.
3. Multiplica: {}_{11}P_3 = 11 \times 10 \times 9 = 990
4. Los cargos se pueden ocupar de 990 maneras.

Comprobación: Con la fórmula, \dfrac{11!}{(11-3)!} = \dfrac{11!}{8!} = 11 \times 10 \times 9 = 990 ✓

Consejo: Títulos o posiciones distintas (1.º/2.º/3.º, presidente/secretario) significan que el orden importa: usa una permutación. Usa una combinación solo cuando todas las personas elegidas tienen el mismo papel.

1. El orden de los ingredientes no cambia el vaso, así que el orden no importa → combinación.
2. Usa {}_nC_r = \dfrac{{}_nP_r}{r!} con n = 9, r = 3.
3. Permutaciones: 9 \times 8 \times 7 = 504.
4. Cada grupo de 3 ingredientes se puede ordenar de 3! = 6 maneras, así que divide: {}_9C_3 = \frac{504}{6} = 84
5. Hay 84 vasos diferentes.

Comprobación: En la TI-30XS, 9 nCr 3 da 84 ✓

Consejo: Cuando el orden no importa, primero cuenta como si importara y luego divide entre r! para quitar los órdenes repetidos.

1. La bebida es un solo artículo: una bebida caliente o un jugo. "O" dentro de una etapa significa sumar: 5 + 2 = 7 \text{ bebidas}
2. Luego eliges una bebida y un plato principal. "Y" entre etapas significa multiplicar: 7 \times 6 = 42
3. Hay 42 combos de desayuno.

Comprobación: Combos con bebida caliente: 5 \times 6 = 30. Combos con jugo: 2 \times 6 = 12. Total: 30 + 12 = 42 ✓

Consejo: Multiplica entre etapas ("y"); suma las opciones dentro de una misma etapa ("o").

1. Hay 5 preguntas, y cada una es una etapa.
2. Cada pregunta tiene 4 respuestas posibles, y la misma letra se puede volver a usar en otra pregunta (se permiten repeticiones).
3. Multiplica 4 por sí mismo 5 veces: 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5 = 1{,}024
4. Hay 1,024 hojas de respuestas diferentes.

Comprobación: 4^2 = 16, 4^3 = 64, 4^4 = 256, 4^5 = 1{,}024 ✓

Consejo: Cuando se permiten repeticiones, usa (\text{opciones por posición})^{(\text{número de posiciones})}. La base es 4 (las opciones) y el exponente es 5 (las preguntas); si los intercambias, obtienes 5^4 = 625, un error común.

1. Los premios son diferentes, así que el orden importa: ganar Mejor película no es lo mismo que ganar Tercer lugar. Esto es una permutación.
2. Mejor película: 9 opciones. Segundo lugar: quedan 8 películas. Tercer lugar: quedan 7 películas.
3. Multiplica: {}_9P_3 = 9 \times 8 \times 7 = 504
4. Los premios se pueden dar de 504 maneras.

Comprobación: Hay {}_9C_3 = 84 grupos de tres películas, y cada grupo se puede clasificar de 3! = 6 maneras: 84 \times 6 = 504 ✓

Consejo: Los lugares clasificados (1.º, 2.º, 3.º) siempre significan que el orden importa. Cuenta hacia abajo desde n, un factor por cada lugar.

1. Solo importa el grupo de libros, no el orden, así que esto es una combinación.
2. Primero cuenta las elecciones ordenadas: 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3{,}024.
3. Cada grupo de 4 libros se puede ordenar de 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 maneras, así que divide: {}_9C_4 = \frac{3{,}024}{24} = 126
4. Jordan puede elegir 126 grupos diferentes.

Comprobación: En la TI-30XS, 9, prb, elige nCr, 4, enter da 126 ✓. Además, {}_9C_4 = {}_9C_5 (elegir 4 para leer es lo mismo que elegir 5 para no leer) ✓

Consejo: Para una combinación, multiplica r números contando hacia abajo desde n y luego divide entre r!.

1. El teléfono es una sola elección: un Android o un iPhone. Dentro de una misma etapa, "o" significa sumar: 3 + 2 = 5 \text{ teléfonos}
2. Luego eliges un teléfono y un plan de datos. Entre etapas, "y" significa multiplicar: 5 \times 4 = 20
3. Hay 20 promociones diferentes.

Comprobación: Promociones con Android: 3 \times 4 = 12. Promociones con iPhone: 2 \times 4 = 8. Total: 12 + 8 = 20 ✓

Consejo: Solo recibes un teléfono, así que los grupos de teléfonos se suman antes de multiplicar por la etapa siguiente.

1. Los miembros tienen el mismo papel, así que usa combinaciones para cada grupo.
2. Maestros: {}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
3. Padres: {}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28
4. Cualquier par de maestros puede servir con cualquier par de padres, así que multiplica: 15 \times 28 = 420
5. Hay 420 comités posibles.

Comprobación: 15 \times 28 = 15 \times 30 - 15 \times 2 = 450 - 30 = 420 ✓

Consejo: "2 de este grupo y 2 de aquel grupo" → encuentra cada combinación por separado y luego multiplica. Usar {}_{14}C_4 = 1{,}001 permitiría comités con 4 maestros y ningún padre.

1. Una ruta es un orden de las 6 casas, y cada casa se visita una vez. Eso es un ordenamiento de los 6 elementos: 6!.
2. Primera parada: 6 opciones; segunda: 5; tercera: 4; cuarta: 3; quinta: 2; última: 1.
3. 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
4. Hay 720 rutas posibles.

Comprobación: 5! = 120 y 6! = 6 \times 5! = 6 \times 120 = 720 ✓

Consejo: Cada factorial nuevo es el anterior por el número siguiente: 5! = 120, así que 6! = 720 y 7! = 5{,}040. Saber esto te ahorra tiempo.

1. Llena primero el asiento con la restricción. Rosa debe estar en la silla del medio: 1 opción.
2. Los otros 4 compañeros ocupan las 4 sillas restantes en cualquier orden: 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
3. Multiplica: 1 \times 24 = 24.
4. Hay 24 formas de sentarse.

Comprobación: Sin la regla hay 5! = 120 formas. Rosa está en cada una de las 5 sillas el mismo número de veces, así que en \tfrac{1}{5} de ellas está en el medio: 120 \div 5 = 24 ✓

Consejo: Una persona o un elemento fijo en un lugar tiene solo 1 opción. Colócalo primero y luego ordena todo lo demás.

1. El árbol tiene 2 \times 3 \times 2 = 12 ramas finales (boletos) en total.
2. Sigue solo la rama de tren (Train). Se divide en mañana (Morning), tarde (Afternoon) y noche (Evening).
3. Quédate solo con tarde y noche: 2 horas de salida.
4. Cada una se divide en solo ida (One-way) e ida y vuelta (Round-trip): 2 tipos de viaje.
5. Cuenta las ramas finales: 1 \times 2 \times 2 = 4 (tren–tarde–solo ida, tren–tarde–ida y vuelta, tren–noche–solo ida, tren–noche–ida y vuelta).
6. 4 boletos cumplen.

Comprobación: El tren tiene 3 \times 2 = 6 boletos; si quitas los 2 boletos de la mañana, quedan 6 - 2 = 4 ✓

Consejo: Un diagrama de árbol es el principio de conteo dibujado. Para contar resultados con una condición, sigue solo las ramas que la cumplen y multiplica lo que queda.

1. Un número es par cuando su último dígito es par. Llena primero esta posición con restricción.
2. Último dígito: debe ser 2, 4, 6 u 8 → 4 opciones.
3. Primer dígito: cualquiera del 1 al 9 menos el que ya se usó → 8 opciones.
4. Segundo dígito: cualquier dígito que no se haya usado → 7 opciones.
5. Tercer dígito: cualquier dígito que no se haya usado → 6 opciones.
6. Multiplica: 4 \times 8 \times 7 \times 6 = 1{,}344
7. Hay 1,344 códigos.

Comprobación: Sin la regla de "par" habría 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3{,}024 códigos. Cuatro de los nueve dígitos son pares, así que \tfrac{4}{9} de los códigos deben ser pares: 3{,}024 \times \tfrac{4}{9} = 1{,}344 ✓

Consejo: Siempre llena primero la posición con más restricciones y después cuenta las posiciones que quedan.

1. El orden no importa y los números no se pueden repetir, así que esto es una combinación: {}_{20}C_5.
2. Conteo ordenado: 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 = 1{,}860{,}480.
3. Cada conjunto de 5 números se puede ordenar de 5! = 120 maneras, así que divide: \frac{1{,}860{,}480}{120} = 15{,}504
4. Hay 15,504 conjuntos posibles.

Comprobación: En la TI-30XS, 20 nCr 5 = 15,504 ✓. Además, 15{,}504 \times 120 = 1{,}860{,}480 ✓

Consejo: Las jugadas de lotería, los comités y las manos de cartas son combinaciones. Solo sería una permutación si los números tuvieran que coincidir en el orden exacto.

1. Llena primero la posición con la restricción. Primer dígito: cualquiera del 1 al 9 → 9 opciones.
2. Segundo dígito: cualquiera de los 10 dígitos excepto el que ya se usó. Ahora el 0 sí se permite, así que hay 10 - 1 = 9 opciones.
3. Tercer dígito: 10 - 2 = 8 opciones.
4. Cuarto dígito: 10 - 3 = 7 opciones.
5. Multiplica: 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4{,}536
6. Hay 4,536 códigos.

Comprobación: Todos los códigos sin repetición: 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5{,}040. Códigos que empiezan con 0: 1 \times 9 \times 8 \times 7 = 504. 5{,}040 - 504 = 4{,}536 ✓

Consejo: En la segunda posición, el 0 vuelve a ser una opción. Por eso tiene 9 opciones, no 8.

1. Elegir 2 personas cuando el orden no importa: {}_nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}
2. Iguálalo a 45: \frac{n(n-1)}{2} = 45 \quad\Rightarrow\quad n(n-1) = 90
3. Busca dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 90: 10 \times 9 = 90.
4. Así que n = 10. El equipo tiene 10 empleados.

Comprobación: {}_{10}C_2 = \dfrac{10 \times 9}{2} = \dfrac{90}{2} = 45 ✓

Consejo: En un problema de conteo "hacia atrás", muchas veces lo más rápido es probar cada opción de respuesta en la fórmula. Prueba 9: \frac{9 \times 8}{2} = 36 ✗. Prueba 10: 45 ✓.

1. Los cargos son diferentes, así que el orden importa: {}_nP_2 = n(n-1).
2. Iguálalo al número de maneras: n(n-1) = 132
3. Busca dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 132. Como \sqrt{132} \approx 11.5, prueba 12 y 11: 12 \times 11 = 132 ✓
4. Entonces, n = 12. El club tiene 12 miembros.

Comprobación: 12 opciones para presidente y luego 11 para vicepresidente: 12 \times 11 = 132 ✓

Consejo: Para n(n-1) = N, la respuesta está justo por encima de \sqrt{N}. Probar las opciones también es rápido: 11 \times 10 = 110 ✗, 12 \times 11 = 132 ✓.

1. Regla A: 4 posiciones, 26 opciones en cada una: 26^4 = 26 \times 26 \times 26 \times 26 = 456{,}976
2. Regla B: 6 posiciones, 10 opciones en cada una: 10^6 = 1{,}000{,}000
3. Compara: 1{,}000{,}000 > 456{,}976, así que la Regla B permite más.
4. Diferencia: 1{,}000{,}000 - 456{,}976 = 543{,}024.
5. La Regla B, por 543,024 contraseñas.

Comprobación: 26^2 = 676 y 676^2 = 456{,}976 ✓; 456{,}976 + 543{,}024 = 1{,}000{,}000 ✓

Consejo: Tener más posiciones puede ganarle a tener más opciones por posición. Calcula siempre los dos conteos; no juzgues solo porque el alfabeto es más grande.

1. Ahora: 4 \times 6 \times 3 = 72 burritos.
2. Tortilla nueva: 5 \times 6 \times 3 = 90 → un aumento de 90 - 72 = 18.
3. Relleno nuevo: 4 \times 7 \times 3 = 84 → un aumento de 84 - 72 = 12.
4. Salsa nueva: 4 \times 6 \times 4 = 96 → un aumento de 96 - 72 = 24.
5. El mayor aumento viene de una salsa nueva (+24).

Comprobación: Un producto nuevo en una lista se combina con cada combinación de las otras dos listas. Salsa nueva: 4 \times 6 = 24 burritos nuevos ✓; tortilla nueva: 6 \times 3 = 18 ✓; relleno nuevo: 4 \times 3 = 12 ✓

Consejo: Agregar un producto a la lista más pequeña es lo que más ayuda, porque ese producto se combina con el producto de las listas más grandes.