The function f is defined by f(x) = 3x + 2. The function g is graphed below.
Graph of g
Which function has the greater rate of change, and what is that rate?
Pista
For g, use two marked points and compute rise ÷ run. For f, which number multiplies x?
Solución paso a paso
f(x) = 3x + 2 is in the form y = mx + b, so the rate of change of f is m = 3.
g passes through (0, -2) and (3, 4).
Rate of change of g: m = \frac{4 - (-2)}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2.
Compare: 3 > 2, so f has the greater rate of change.
Answer: f(x), with a rate of change of 3
Check: Over 3 units of x, f rises 3 \times 3 = 9 while g rises only 6 (from -2 to 4) ✓
Tip: The +2 in f(x) = 3x + 2 is the y-intercept, not the rate. And the rate of g needs both rise and run.
Explicación
f(x) = 3x + 2 está en la forma y = mx + b, así que la tasa de cambio de f es m = 3.
g pasa por (0, -2) y (3, 4).
Tasa de cambio de g: m = \frac{4 - (-2)}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2.
Compara: 3 > 2, así que f tiene la mayor tasa de cambio.
Respuesta: f(x), con una tasa de cambio de 3
Comprobación: En 3 unidades de x, f sube 3 \times 3 = 9, mientras que g sube solo 6 (de -2 a 4) ✓
Consejo: El +2 de f(x) = 3x + 2 es la intersección con el eje y, no la tasa. Y para la tasa de g necesitas tanto el cambio vertical como el cambio horizontal.
Ver en español
Pregunta
La función f está definida por f(x) = 3x + 2. La función g está graficada abajo.
¿Qué función tiene la mayor tasa de cambio y cuál es esa tasa?
Opciones
A.g(x), con una tasa de cambio de 4
B.g(x), con una tasa de cambio de 6
C.f(x), con una tasa de cambio de 3
D. Tienen la misma tasa de cambio, 2
Pista
Para g, usa dos puntos marcados y calcula cambio vertical ÷ cambio horizontal. Para f, ¿qué número multiplica a x?
Pregunta 2 de 36
Sin calculadoraCompletar
The linear function f is shown in the table. The function g is defined by g(x) = 2x + 9.
x
0
2
4
6
f(x)
5
11
17
23
How much greater is the rate of change of f than the rate of change of g?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Rate of change in a table: change in f(x) divided by change in x. Don't confuse the rate of g with its y-intercept.
Solución paso a paso
Rate of change of f: \frac{11 - 5}{2 - 0} = \frac{6}{2} = 3. (Check another pair: \frac{23 - 17}{6 - 4} = \frac{6}{2} = 3 ✓)
Rate of change of g: in g(x) = 2x + 9, the slope is 2. (The 9 is the y-intercept.)
Difference: 3 - 2 = 1.
Answer: 1
Check:f(x) = 3x + 5 fits every row: 3(4) + 5 = 17 ✓. Its slope 3 is exactly 1 more than g's slope 2 ✓
Tip: The table's x-values go up by 2, not 1, so the y-change of 6 is for 2 units of x. Divide: 6 \div 2 = 3.
Explicación
Tasa de cambio de f: \frac{11 - 5}{2 - 0} = \frac{6}{2} = 3. (Comprueba con otro par: \frac{23 - 17}{6 - 4} = \frac{6}{2} = 3 ✓)
Tasa de cambio de g: en g(x) = 2x + 9, la pendiente es 2. (El 9 es la intersección con el eje y).
Diferencia: 3 - 2 = 1.
Respuesta: 1
Comprobación:f(x) = 3x + 5 cumple con todas las filas: 3(4) + 5 = 17 ✓. Su pendiente 3 es exactamente 1 más que la pendiente 2 de g ✓
Consejo: Los valores de x de la tabla suben de 2 en 2, no de 1 en 1, así que el cambio de 6 en y corresponde a 2 unidades de x. Divide: 6 \div 2 = 3.
Ver en español
Pregunta
La función lineal f se muestra en la tabla. La función g está definida por g(x) = 2x + 9.
x
0
2
4
6
f(x)
5
11
17
23
¿Cuánto mayor es la tasa de cambio de f que la tasa de cambio de g?
Pista
La tasa de cambio en una tabla es el cambio en f(x) dividido entre el cambio en x. No confundas la tasa de g con su intersección con el eje y.
Pregunta 3 de 36
Sin calculadora
The function f is defined by f(x) = -2x + 7. The linear function g is shown in the table.
x
-1
0
1
g(x)
1
4
7
Which statement correctly compares the y-intercepts of f and g?
Pista
The y-intercept is the output when x = 0. Find f(0) and the table value under x = 0.
Solución paso a paso
The y-intercept is the output when x = 0.
f(0) = -2(0) + 7 = 7. So f's y-intercept is 7.
In the table, under x = 0, g(0) = 4. So g's y-intercept is 4.
Compare: 7 - 4 = 3, so f's y-intercept is 3 greater.
Answer: f(x): its y-intercept is 7, which is 3 more than g's y-intercept of 4.
Tip: In a table, find the column where x = 0 — not the first column and not the largest number.
Explicación
La intersección con el eje y es la salida cuando x = 0.
f(0) = -2(0) + 7 = 7. Así que la intersección con el eje y de f es 7.
En la tabla, debajo de x = 0, g(0) = 4. Así que la intersección con el eje y de g es 4.
Compara: 7 - 4 = 3, así que la intersección con el eje y de f es 3 unidades mayor.
Respuesta: f(x): su intersección con el eje y es 7, que es 3 más que la intersección con el eje y de g, que es 4.
Comprobación: La regla de g es g(x) = 3x + 4: g(1) = 7 ✓, g(-1) = 1 ✓ y g(0) = 4 ✓
Consejo: En una tabla, busca la columna donde x = 0: no es la primera columna ni el número más grande.
Ver en español
Pregunta
La función f está definida por f(x) = -2x + 7. La función lineal g se muestra en la tabla.
x
-1
0
1
g(x)
1
4
7
¿Qué enunciado compara correctamente las intersecciones con el eje y de f y g?
Opciones
A.g(x): su intersección con el eje y es 7, que es mayor que la intersección con el eje y de f.
B.f(x): su intersección con el eje y es 7, que es 6 más que la intersección con el eje y de g, que es 1.
C.g(x): su intersección con el eje y es 3, que es mayor que la intersección con el eje y de f, que es -2.
D.f(x): su intersección con el eje y es 7, que es 3 más que la intersección con el eje y de g, que es 4.
Pista
La intersección con el eje y es la salida cuando x = 0. Encuentra f(0) y el valor de la tabla debajo de x = 0.
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
Line g appears on the grid below. Function f has the rule f(x) = -x + 4.
Graph of g
Of these two functions, which one decreases faster? Give its rate of change.
Pista
Find g's slope from the two marked points (rise ÷ run). "Decreases faster" means a steeper downhill line.
Solución paso a paso
f(x) = -x + 4 means f(x) = -1x + 4, so the rate of change of f is -1.
g passes through (0, 1) and (2, -3).
Rate of change of g: m = \dfrac{-3 - 1}{2 - 0} = \dfrac{-4}{2} = -2.
Both are negative, so both decrease. Compare steepness (the size of the slope): g drops 2 per unit, f drops only 1 per unit.
Answer: g, with a rate of change of -2
Check: From x = 0 to x = 2, g falls from 1 to -3 (down 4), while f falls from 4 to 2 (down 2). g falls twice as far ✓
Tip: For decreasing functions, -2 < -1, but -2 is the faster decrease. Compare how far each one drops per step, ignoring the minus sign.
Explicación
f(x) = -x + 4 significa f(x) = -1x + 4, así que la tasa de cambio de f es -1.
g pasa por (0, 1) y (2, -3).
Tasa de cambio de g: m = \dfrac{-3 - 1}{2 - 0} = \dfrac{-4}{2} = -2.
Las dos son negativas, así que las dos disminuyen. Compara lo inclinadas que son (el tamaño de la pendiente): g baja 2 por unidad, y f baja solo 1 por unidad.
Respuesta: g, con una tasa de cambio de -2
Comprobación: De x = 0 a x = 2, g baja de 1 a -3 (baja 4), mientras que f baja de 4 a 2 (baja 2). g baja el doble ✓
Consejo: En las funciones que disminuyen, -2 < -1, pero -2 es la disminución más rápida. Compara cuánto baja cada una por paso, sin fijarte en el signo menos.
Ver en español
Pregunta
La recta g aparece en la cuadrícula de abajo. La función f tiene la regla f(x) = -x + 4.
De estas dos funciones, ¿cuál disminuye más rápido? Da su tasa de cambio.
Opciones
A.f, porque su tasa de cambio, -1, es mayor que -2
B.g, con una tasa de cambio de -4
C.g, con una tasa de cambio de -2
D.f, con una tasa de cambio de 4
Pista
Encuentra la pendiente de g con los dos puntos marcados (cambio vertical ÷ cambio horizontal). "Disminuye más rápido" significa una recta más inclinada hacia abajo.
Pregunta 5 de 36
Sin calculadoraCompletar
In a science class, students measure two bean plants. The height of Plant A is shown in the table. The height of Plant B, in centimeters, after w weeks is B(w) = 1.5w + 6.
Week w
0
3
6
9
Height of Plant A (cm)
4
10
16
22
How many more centimeters per week does Plant A grow than Plant B?
cm per week
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The weeks in the table go up by 3, not 1. Divide the change in height by the change in weeks.
Solución paso a paso
Plant A's rate: \dfrac{10 - 4}{3 - 0} = \dfrac{6}{3} = 2 cm per week. (Check another pair: \dfrac{22 - 16}{9 - 6} = 2 ✓)
Plant B's rate: in B(w) = 1.5w + 6, the coefficient of w is the rate: 1.5 cm per week. (The 6 is the starting height.)
Difference: 2 - 1.5 = 0.5.
Answer: 0.5 cm per week
Check: Over 6 weeks Plant A grows 16 - 4 = 12 cm; Plant B grows B(6) - B(0) = 15 - 6 = 9 cm. The difference is 3 cm over 6 weeks, or 3 \div 6 = 0.5 cm per week ✓
Tip: Never read a table's change of 6 as "6 per week" without checking the step in the top row. Here 6 cm takes 3 weeks.
Explicación
Tasa de la planta A: \dfrac{10 - 4}{3 - 0} = \dfrac{6}{3} = 2 cm por semana. (Revisa otro par: \dfrac{22 - 16}{9 - 6} = 2 ✓)
Tasa de la planta B: en B(w) = 1.5w + 6, el coeficiente de w es la tasa: 1.5 cm por semana. (El 6 es la altura inicial).
Diferencia: 2 - 1.5 = 0.5.
Respuesta: 0.5 cm por semana
Comprobación: En 6 semanas, la planta A crece 16 - 4 = 12 cm; la planta B crece B(6) - B(0) = 15 - 6 = 9 cm. La diferencia es de 3 cm en 6 semanas, o sea, 3 \div 6 = 0.5 cm por semana ✓
Consejo: Nunca leas un cambio de 6 en una tabla como "6 por semana" sin revisar el salto de la fila de arriba. Aquí, 6 cm toman 3 semanas.
Ver en español
Pregunta
En una clase de ciencias, los estudiantes miden dos plantas de frijol. La altura de la planta A se muestra en la tabla. La altura de la planta B, en centímetros, después de w semanas es B(w) = 1.5w + 6.
Semana w
0
3
6
9
Altura de la planta A (cm)
4
10
16
22
¿Cuántos centímetros más por semana crece la planta A que la planta B?
_____ cm por semana
Pista
Las semanas de la tabla aumentan de 3 en 3, no de 1 en 1. Divide el cambio en la altura entre el cambio en las semanas.
Pregunta 6 de 36
Sin calculadora
Two water tanks are draining at steady rates. The amount of water in Tank A is shown in the table. The amount of water in Tank B, in gallons, after t hours is W(t) = 380 - 25t.
Hours t
1
2
3
Water in Tank A (gal)
340
320
300
Which tank held more water at the start (t = 0), and by how much?
Pista
The table does not start at t = 0. Use the hourly change in Tank A to work back one hour.
Solución paso a paso
Tank A loses 340 - 320 = 20 gallons each hour.
Work back from t = 1 to t = 0: add one hour's loss, 340 + 20 = 360. Tank A started with 360 gallons.
Tank B at the start: W(0) = 380 - 25(0) = 380 gallons.
Compare: 380 - 360 = 20.
Answer: Tank B, by 20 gallons
Check: Tank A's rule is A(t) = 360 - 20t: A(3) = 360 - 60 = 300 ✓ matches the table.
Tip: The "start" (the y-intercept) is the value at t = 0. If the table skips 0, extend the pattern backwards one step.
Explicación
El tanque A pierde 340 - 320 = 20 galones cada hora.
Trabaja hacia atrás de t = 1 a t = 0: suma lo que se pierde en una hora, 340 + 20 = 360. El tanque A empezó con 360 galones.
El tanque B al principio: W(0) = 380 - 25(0) = 380 galones.
Compara: 380 - 360 = 20.
Respuesta: El tanque B, por 20 galones
Comprobación: La regla del tanque A es A(t) = 360 - 20t: A(3) = 360 - 60 = 300 ✓ coincide con la tabla.
Consejo: El "principio" (la intersección con el eje y) es el valor en t = 0. Si la tabla no incluye el 0, extiende el patrón un paso hacia atrás.
Ver en español
Pregunta
Dos tanques de agua se están vaciando a tasas constantes. La cantidad de agua del tanque A se muestra en la tabla. La cantidad de agua del tanque B, en galones, después de t horas es W(t) = 380 - 25t.
Horas t
1
2
3
Agua en el tanque A (gal)
340
320
300
¿Qué tanque tenía más agua al principio (t = 0) y por cuánto?
Opciones
A. El tanque B, por 20 galones
B. El tanque B, por 40 galones
C. El tanque A, por 5 galones
D. El tanque A, por 335 galones
Pista
La tabla no empieza en t = 0. Usa el cambio por hora del tanque A para retroceder una hora.
Pregunta 7 de 36
The function f is defined by f(x) = -x^2 + 6x - 4. The graph of the function g is shown.
Graph of g
Which function has the greater maximum value?
Pista
Find the vertex of f with x = -\frac{b}{2a}, then compute f at that x. Read g's highest point from the graph.
Solución paso a paso
f(x) = -x^2 + 6x - 4 has a = -1, b = 6. Since a < 0, it opens down and has a maximum.
Vertex x-coordinate: x = -\frac{6}{2(-1)} = 3.
Maximum value of f: f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 4 = -9 + 18 - 4 = 5.
From the graph, g's highest point is (2, 6), so g's maximum value is 6.
Compare: 6 > 5.
Answer: g(x); its maximum value, 6, is greater than f's maximum value, 5.
Check:f(2) = -4 + 12 - 4 = 4 and f(4) = -16 + 24 - 4 = 4 — equal, confirming the vertex of f is at x = 3 ✓
Tip: "Maximum value" means the y-coordinate of the vertex. The x-coordinate only tells you where it happens.
Explicación
f(x) = -x^2 + 6x - 4 tiene a = -1, b = 6. Como a < 0, abre hacia abajo y tiene un máximo.
Coordenada x del vértice: x = -\frac{6}{2(-1)} = 3.
Valor máximo de f: f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 4 = -9 + 18 - 4 = 5.
Según la gráfica, el punto más alto de g es (2, 6), así que el valor máximo de g es 6.
Compara: 6 > 5.
Respuesta: g(x); su valor máximo, 6, es mayor que el valor máximo de f, 5.
Comprobación:f(2) = -4 + 12 - 4 = 4 y f(4) = -16 + 24 - 4 = 4: son iguales, lo que confirma que el vértice de f está en x = 3 ✓
Consejo: "Valor máximo" significa la coordenada y del vértice. La coordenada x solo te dice dónde ocurre.
Ver en español
Pregunta
La función f está definida por f(x) = -x^2 + 6x - 4. Se muestra la gráfica de la función g.
¿Qué función tiene el mayor valor máximo?
Opciones
A.g(x); su valor máximo, 6, es mayor que el valor máximo de f, 5.
B.f(x); su máximo ocurre en x = 3, que es mayor que el de g, en x = 2.
C.f(x); su valor máximo es 23, que es mayor que el valor máximo de g, 6.
D. Ninguna; las dos gráficas abren hacia abajo, así que sus valores máximos son iguales.
Pista
Encuentra el vértice de f con x = -\frac{b}{2a} y luego calcula f en esa x. Lee el punto más alto de g en la gráfica.
Pregunta 8 de 36
Completar
The graph shows the balance in Account A over time. Account B starts with $500 and the owner adds $30 each month. Neither account earns interest.
Account A balance
After how many months will the two accounts have the same balance?
months
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find Account A's starting balance and monthly increase from the graph. Write both as equations and set them equal.
Solución paso a paso
Account A from the graph: starts at $200 (the point (0, 200)); rate = \frac{400 - 200}{4 - 0} = \frac{200}{4} = \text{\textdollar}50 per month. So A(m) = 200 + 50m.
Tip: Account B starts higher, but Account A grows faster ($50 vs. $30 per month), so A gains $20 each month on a $300 gap: 300 \div 20 = 15.
Explicación
Cuenta A según la gráfica: empieza en $200 (el punto (0, 200)); tasa = \frac{400 - 200}{4 - 0} = \frac{200}{4} = \text{\textdollar}50 por mes. Así que A(m) = 200 + 50m.
Consejo: La cuenta B empieza más alta, pero la cuenta A crece más rápido ($50 contra $30 por mes), así que A recupera $20 cada mes de una diferencia de $300: 300 \div 20 = 15.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra el saldo de la cuenta A a lo largo del tiempo. La cuenta B empieza con $500 y el dueño deposita $30 cada mes. Ninguna de las dos cuentas gana intereses.
¿Después de cuántos meses tendrán las dos cuentas el mismo saldo?
_____ meses
Pista
Encuentra en la gráfica el saldo inicial y el aumento mensual de la cuenta A. Escribe las dos como ecuaciones e iguálalas.
Pregunta 9 de 36
Two taxi companies charge a starting fee plus a fixed amount per mile.
Taxi A:C(m) = 2.50 + 1.75m, where C is the cost in dollars for m miles.
Taxi B: shown in the table.
Miles
2
4
6
Cost ($)
8.00
12.00
16.00
Which statement is true?
Pista
For Taxi B, find the cost per mile from the change in cost over the change in miles. Then work back to 0 miles to find its starting fee.
Solución paso a paso
Taxi A: starting fee $2.50 (the constant), cost per mile $1.75 (the coefficient of m).
Taxi B's cost per mile: \frac{12 - 8}{4 - 2} = \frac{4}{2} = \text{\textdollar}2.00 per mile.
Taxi B's starting fee: from 2 miles back to 0 miles, subtract 2 \times 2.00 = 4: 8.00 - 4.00 = \text{\textdollar}4.00. So B(m) = 4 + 2m.
Compare: fee $4.00 > $2.50 and per mile $2.00 > $1.75.
Answer: Taxi B has both the higher starting fee and the higher cost per mile.
Check:B(6) = 4 + 2(6) = 16 ✓ matches the table.
Tip:8 \div 2 = 4 is not the cost per mile, because the cost includes a starting fee. Use the change in cost over the change in miles.
Explicación
Taxi A: tarifa inicial $2.50 (la constante), costo por milla $1.75 (el coeficiente de m).
Costo por milla del taxi B: \frac{12 - 8}{4 - 2} = \frac{4}{2} = \text{\textdollar}2.00 por milla.
Tarifa inicial del taxi B: para regresar de 2 millas a 0 millas, resta 2 \times 2.00 = 4: 8.00 - 4.00 = \text{\textdollar}4.00. Así que B(m) = 4 + 2m.
Compara: tarifa $4.00 > $2.50 y por milla $2.00 > $1.75.
Respuesta: El taxi B tiene tanto la tarifa inicial más alta como el costo por milla más alto.
Comprobación:B(6) = 4 + 2(6) = 16 ✓ coincide con la tabla.
Consejo:8 \div 2 = 4no es el costo por milla, porque el costo incluye una tarifa inicial. Usa el cambio en el costo entre el cambio en las millas.
Ver en español
Pregunta
Dos compañías de taxis cobran una tarifa inicial más una cantidad fija por milla.
Taxi A:C(m) = 2.50 + 1.75m, donde C es el costo en dólares por m millas.
Taxi B: se muestra en la tabla.
Millas
2
4
6
Costo ($)
8.00
12.00
16.00
¿Qué enunciado es verdadero?
Opciones
A. El taxi B tiene la tarifa inicial más alta y también el costo por milla más alto.
B. El taxi A tiene la tarifa inicial más alta, pero el taxi B tiene el costo por milla más alto.
C. El taxi B cobra $4.00 por milla, más del doble de la tasa del taxi A.
D. El taxi A tiene el costo por milla más alto, pero el taxi B tiene la tarifa inicial más alta.
Pista
Para el taxi B, encuentra el costo por milla a partir del cambio en el costo sobre el cambio en las millas. Luego trabaja hacia atrás hasta 0 millas para encontrar su tarifa inicial.
Pregunta 10 de 36
Varias respuestas
The function f is defined by f(x) = x^2 + 2x - 3. The graph of the function g is shown.
Graph of g
Select all true statements.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
For f: find the vertex with x = -\frac{b}{2a}, the y-intercept f(0), and the zeros by factoring. Read the same features from g's graph.
Solución paso a paso
f:a = 1 > 0 → opens up → minimum. Vertex x = -\frac{2}{2(1)} = -1; f(-1) = 1 - 2 - 3 = -4. Minimum value -4 at x = -1.
y-intercept: f(0) = -3.
Zeros: x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -3 or x = 1.
g (graph): opens up → minimum at (2, -1), so minimum value -1 at x = 2. y-intercept 3. x-intercepts 1 and 3.
Test each statement:
Both have a minimum value ✓
f's minimum (-4) is less than g's (-1) ✓
Both cross the x-axis at x = 1 ✓
f has the greater y-intercept: -3 < 3 ✗
g's minimum occurs at x = -1: no, at x = 2 ✗
Both have a maximum value: both open up ✗
Answer: "Both have a minimum," "f's minimum value is less than g's," and "they share an x-intercept at x = 1."
Check:f(1) = 1 + 2 - 3 = 0 ✓ and the graph of g passes through (1, 0) ✓
Tip: Organize the features in a two-column table (vertex, y-int, zeros) before reading the choices.
Explicación
f:a = 1 > 0 → abre hacia arriba → mínimo. Vértice x = -\frac{2}{2(1)} = -1; f(-1) = 1 - 2 - 3 = -4. Valor mínimo -4 en x = -1.
Intersección con el eje y: f(0) = -3.
Ceros: x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -3 o x = 1.
g (gráfica): abre hacia arriba → mínimo en (2, -1), así que el valor mínimo es -1 en x = 2. Intersección con el eje y: 3. Intersecciones con el eje x: 1 y 3.
Prueba cada enunciado:
Las dos tienen un valor mínimo ✓
El mínimo de f (-4) es menor que el de g (-1) ✓
Las dos cruzan el eje x en x = 1 ✓
f tiene la mayor intersección con el eje y: -3 < 3 ✗
El mínimo de g ocurre en x = -1: no, ocurre en x = 2 ✗
Las dos tienen un valor máximo: las dos abren hacia arriba ✗
Respuesta: "Las dos tienen un mínimo", "el valor mínimo de f es menor que el de g" y "comparten una intersección con el eje x en x = 1".
Comprobación:f(1) = 1 + 2 - 3 = 0 ✓ y la gráfica de g pasa por (1, 0) ✓
Consejo: Organiza las características en una tabla de dos columnas (vértice, intersección con el eje y, ceros) antes de leer las opciones.
Ver en español
Pregunta
La función f está definida por f(x) = x^2 + 2x - 3. Se muestra la gráfica de la función g.
Selecciona todos los enunciados verdaderos.
Opciones
A. Las dos funciones tienen un valor mínimo.
B. El valor mínimo de f es menor que el valor mínimo de g.
C. Las gráficas de f y g cruzan el eje x en x = 1.
D.f tiene una intersección con el eje y mayor que la de g.
E. El mínimo de g ocurre en x = -1.
F. Las dos funciones tienen un valor máximo.
Pista
Para f: encuentra el vértice con x = -\frac{b}{2a}, la intersección con el eje y, f(0), y los ceros factorizando. Lee las mismas características en la gráfica de g.
Pregunta 11 de 36
Menú
The linear function p passes through the points (-2, 9) and (4, -3). The function q is defined by q(x) = -3x + 5.
Complete the statements.
The rate of change of p is .
As x increases, p(x) decreases q(x).
The y-intercepts of p and q are .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Use the slope formula for p. Then find p's y-intercept by substituting one point into y = mx + b.
Solución paso a paso
Slope of p: m = \frac{-3 - 9}{4 - (-2)} = \frac{-12}{6} = -2.
Compare how fast they decrease: p drops 2 per unit, q drops 3 per unit (|-2| < |-3|). So p decreases more slowly thanq.
y-intercept of p: use (-2, 9) in y = -2x + b: 9 = -2(-2) + b = 4 + b, so b = 5.
q(x) = -3x + 5 has y-intercept 5. They are the same.
Answer: rate of p = -2; p decreases more slowly than q; the y-intercepts are the same (both 5).
g: the outputs are symmetric about x = 0 (g(-1) = g(1) = 0, g(-2) = g(2) = 3), so the smallest output is g(0) = -1.
Compare: -1 < 2, so g has the smaller minimum value.
Answer: g's minimum value, -1, is less than f's minimum value, 2.
Check:f(2) = 4 - 12 + 11 = 3 and f(4) = 16 - 24 + 11 = 3, equal on both sides of x = 3, so 3 is the axis of symmetry and f(3) = 2 is the minimum ✓
Tip: The minimum value is an output (y-value). In a table, find the turning point, where the outputs stop going down and start going up.
Explicación
f: a = 1, b = -6. Como a > 0, f abre hacia arriba y tiene un mínimo.
Vértice: x = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3. Valor mínimo: f(3) = 9 - 18 + 11 = 2.
g: las salidas son simétricas respecto a x = 0 (g(-1) = g(1) = 0, g(-2) = g(2) = 3), así que la salida más pequeña es g(0) = -1.
Compara: -1 < 2, así que g tiene el valor mínimo más pequeño.
Respuesta: El valor mínimo de g, -1, es menor que el valor mínimo de f, 2.
Comprobación:f(2) = 4 - 12 + 11 = 3 y f(4) = 16 - 24 + 11 = 3, iguales a los dos lados de x = 3, así que 3 es el eje de simetría y f(3) = 2 es el mínimo ✓
Consejo: El valor mínimo es una salida (un valor de y). En una tabla, busca el punto donde cambia la dirección: donde las salidas dejan de bajar y empiezan a subir.
Ver en español
Pregunta
La función f está definida por f(x) = x^2 - 6x + 11. La función cuadrática g se muestra en la tabla.
x
-2
-1
0
1
2
g(x)
3
0
-1
0
3
¿Qué enunciado es verdadero?
Opciones
A. El valor mínimo de g, -2, es menor que el valor mínimo de f, 2.
B. El valor mínimo de f, 2, es menor que el valor mínimo de g, 3.
C. El valor mínimo de g, -1, es menor que el valor mínimo de f, 38.
D. El valor mínimo de g, -1, es menor que el valor mínimo de f, 2.
Pista
Para f, usa x = -\frac{b}{2a} y evalúa. Para g, busca en la tabla el eje de simetría y la salida más pequeña.
Pregunta 14 de 36
Completar
Two cars set out on a road trip. The fuel left in Car A's tank is shown in the table. The fuel left in Car B's tank, in gallons, after m miles is G(m) = 18 - 0.06m.
Miles driven m
0
50
100
Fuel in Car A (gal)
14
12
10
After how many miles will the two cars have the same amount of fuel left?
miles
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Write a rule for Car A: starting fuel, minus (gallons used per mile) × m. Then set the two rules equal.
Solución paso a paso
Car A's rate: \dfrac{12 - 14}{50 - 0} = \dfrac{-2}{50} = -0.04 gallon per mile. Start: 14 gallons. So A(m) = 14 - 0.04m.
Tip: Car B starts with 4 more gallons but uses 0.02 gallon more per mile. The gap closes at 0.02 per mile: 4 \div 0.02 = 200. That shortcut is a great check.
Explicación
Tasa del auto A: \dfrac{12 - 14}{50 - 0} = \dfrac{-2}{50} = -0.04 galón por milla. Inicio: 14 galones. Así que A(m) = 14 - 0.04m.
Consejo: El auto B empieza con 4 galones más, pero usa 0.02 galón más por milla. La diferencia se cierra a razón de 0.02 por milla: 4 \div 0.02 = 200. Ese atajo es una excelente comprobación.
Ver en español
Pregunta
Dos autos salen de viaje por carretera. La gasolina que queda en el tanque del auto A se muestra en la tabla. La gasolina que queda en el tanque del auto B, en galones, después de m millas es G(m) = 18 - 0.06m.
Millas recorridas m
0
50
100
Gasolina del auto A (gal)
14
12
10
¿Después de cuántas millas tendrán los dos autos la misma cantidad de gasolina?
_____ millas
Pista
Escribe una regla para el auto A: gasolina inicial menos (galones usados por milla) × m. Luego iguala las dos reglas.
Pregunta 15 de 36
A family is renting a moving truck for a 120-mile move.
Truck A costs C(m) = 29.95 + 0.79m dollars for m miles.
Truck B charges a flat fee plus a fixed amount per mile, as shown in the table.
Miles
50
100
150
Truck B cost ($)
64.50
94.50
124.50
Which truck is cheaper for this move, and by how much?
Pista
Find Truck B's cost per mile from the table (change in cost ÷ change in miles), then its flat fee. Evaluate both at 120 miles.
Solución paso a paso
Truck B's rate: \dfrac{94.50 - 64.50}{100 - 50} = \dfrac{30}{50} = 0.60 dollar per mile.
Truck B's flat fee: work back from 50 miles: 64.50 - 0.60(50) = 64.50 - 30 = 34.50. So B(m) = 34.50 + 0.60m.
Truck A at 120 miles: C(120) = 29.95 + 0.79(120) = 29.95 + 94.80 = 124.75.
Truck B at 120 miles: B(120) = 34.50 + 0.60(120) = 34.50 + 72 = 106.50.
Difference: 124.75 - 106.50 = 18.25.
Answer: Truck B, by $18.25
Check:B(150) = 34.50 + 90 = 124.50 ✓ matches the table, so the rule for Truck B is right.
Tip: A lower flat fee does not mean a cheaper trip. For a long trip, the per-mile rate matters most; always evaluate both options at the actual input.
Explicación
Tasa del camión B: \dfrac{94.50 - 64.50}{100 - 50} = \dfrac{30}{50} = 0.60 dólar por milla.
Tarifa fija del camión B: trabaja hacia atrás desde 50 millas: 64.50 - 0.60(50) = 64.50 - 30 = 34.50. Así que B(m) = 34.50 + 0.60m.
Camión A en 120 millas: C(120) = 29.95 + 0.79(120) = 29.95 + 94.80 = 124.75.
Camión B en 120 millas: B(120) = 34.50 + 0.60(120) = 34.50 + 72 = 106.50.
Diferencia: 124.75 - 106.50 = 18.25.
Respuesta: El camión B, por $18.25
Comprobación:B(150) = 34.50 + 90 = 124.50 ✓ coincide con la tabla, así que la regla del camión B es correcta.
Consejo: Una tarifa fija más baja no significa un viaje más barato. En un viaje largo, lo que más importa es la tarifa por milla; siempre evalúa las dos opciones con la entrada real.
Ver en español
Pregunta
Una familia va a rentar un camión de mudanza para una mudanza de 120 millas.
El camión A cuesta C(m) = 29.95 + 0.79m dólares por m millas.
El camión B cobra una tarifa fija más una cantidad fija por milla, como se muestra en la tabla.
Millas
50
100
150
Costo del camión B ($)
64.50
94.50
124.50
¿Qué camión es más barato para esta mudanza y por cuánto?
Opciones
A. El camión B, por $18.25
B. El camión A, por $4.55
C. El camión B, por $22.80
D. El camión A, por $64.55
Pista
Encuentra en la tabla el costo por milla del camión B (cambio en el costo ÷ cambio en las millas) y luego su tarifa fija. Evalúa los dos en 120 millas.
Pregunta 16 de 36
Varias respuestas
Here are two quadratic functions: f(x) = -x^2 + 4x, and k, whose graph appears below.
Graph of k
Which statements about f and k are true? Select all that apply.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
For f: find its vertex with x = -\frac{b}{2a}, its y-intercept f(0), and its zeros by factoring out x. Read the same features of k from the graph.
Solución paso a paso
f:a = -1 < 0, so it opens down and has a maximum. Vertex x = -\dfrac{4}{2(-1)} = 2; f(2) = -4 + 8 = 4. Maximum value 4 at x = 2.
y-intercept: f(0) = 0. Zeros: -x^2 + 4x = -x(x - 4) = 0, so x = 0 or x = 4.
k (graph): opens down, highest point (-1, 9): maximum value 9 at x = -1. y-intercept 8. Zeros -4 and 2.
Test each statement:
Both have a maximum value ✓
k's maximum (9) is greater than f's (4) ✓
f's maximum occurs at x = 2, to the right of k's at x = -1 ✓
Same y-intercept? 0 \ne 8 ✗
Both cross the x-axis at x = 2? f(2) = 4, not 0 ✗
f has a minimum value of 0? f opens down, so it has no minimum ✗
Answer: "Both have a maximum," "k's maximum value is greater," and "f's maximum occurs to the right of k's."
Tip: Make a two-column feature table (opens, vertex, y-intercept, zeros) for both functions before reading the statements.
Explicación
f:a = -1 < 0, así que abre hacia abajo y tiene un máximo. Vértice x = -\dfrac{4}{2(-1)} = 2; f(2) = -4 + 8 = 4. Valor máximo 4 en x = 2.
Intersección con el eje y: f(0) = 0. Ceros: -x^2 + 4x = -x(x - 4) = 0, así que x = 0 o x = 4.
k (gráfica): abre hacia abajo, punto más alto (-1, 9): valor máximo 9 en x = -1. Intersección con el eje y: 8. Ceros: -4 y 2.
Prueba cada enunciado:
Las dos tienen un valor máximo ✓
El máximo de k (9) es mayor que el de f (4) ✓
El máximo de f está en x = 2, a la derecha del de k, que está en x = -1 ✓
¿La misma intersección con el eje y? 0 \ne 8 ✗
¿Las dos cruzan el eje x en x = 2? f(2) = 4, no 0 ✗
¿f tiene un valor mínimo de 0? f abre hacia abajo, así que no tiene mínimo ✗
Respuesta: "Las dos tienen un máximo", "el valor máximo de k es mayor" y "el máximo de f está a la derecha del de k".
Comprobación: La regla de k es k(x) = -x^2 - 2x + 8: k(-1) = -1 + 2 + 8 = 9 ✓ y k(2) = -4 - 4 + 8 = 0 ✓
Consejo: Antes de leer los enunciados, haz una tabla de características de dos columnas (hacia dónde abre, vértice, intersección con el eje y, ceros) para las dos funciones.
Ver en español
Pregunta
Aquí hay dos funciones cuadráticas: f(x) = -x^2 + 4x, y k, cuya gráfica aparece abajo.
¿Qué enunciados sobre f y k son verdaderos? Selecciona todos los que correspondan.
Opciones
A. Las dos funciones tienen un valor máximo.
B. El valor máximo de k es mayor que el valor máximo de f.
C. El máximo de f ocurre a la derecha del máximo de k.
D.f y k tienen la misma intersección con el eje y.
E. Las gráficas de f y k cruzan el eje x en x = 2.
F.f tiene un valor mínimo de 0.
Pista
Para f: encuentra su vértice con x = -\frac{b}{2a}, su intersección con el eje y, f(0), y sus ceros sacando x como factor común. Lee las mismas características de k en la gráfica.
Pregunta 17 de 36
Sin calculadoraMenú
The linear function p passes through the points (1, 7) and (5, -5). The linear function q has the value 10 when x = 0 and decreases by 4 each time x increases by 1.
Complete the statements.
The rate of change of p is .
As x increases, p(x) decreases q(x).
At x = 5, the value of p is the value of q.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Use the slope formula for p. Write q as an equation from the description. Then evaluate both at x = 5.
Solución paso a paso
Slope of p: m = \dfrac{-5 - 7}{5 - 1} = \dfrac{-12}{4} = -3.
q decreases by 4 per unit, so its rate is -4. p drops 3 per unit and q drops 4, so p decreases more slowly thanq.
Equation of q: q(x) = 10 - 4x, so q(5) = 10 - 20 = -10.
p(5) = -5 (it is one of the given points).
Compare: -5 > -10, so p(5) is greater thanq(5).
Answer: rate of p = -3; p decreases more slowly than q; at x = 5, p is greater than q.
Check:p(x) = -3x + 10: p(1) = 7 ✓ and p(5) = -5 ✓. Both lines start at 10, and q falls faster, so q must be lower at x = 5 ✓
Tip: On a number line, -5 is to the right of -10, so -5 is the greater value even though 10 is "bigger" than 5.
Explicación
Pendiente de p: m = \dfrac{-5 - 7}{5 - 1} = \dfrac{-12}{4} = -3.
q disminuye 4 por unidad, así que su tasa es -4. p baja 3 por unidad y q baja 4, así que p disminuye más despacio queq.
Ecuación de q: q(x) = 10 - 4x, así que q(5) = 10 - 20 = -10.
p(5) = -5 (es uno de los puntos dados).
Compara: -5 > -10, así que p(5) es mayor queq(5).
Respuesta: tasa de p = -3; p disminuye más despacio que q; en x = 5, p es mayor que q.
Comprobación:p(x) = -3x + 10: p(1) = 7 ✓ y p(5) = -5 ✓. Las dos rectas empiezan en 10, y q baja más rápido, así que q tiene que estar más abajo en x = 5 ✓
Consejo: En la recta numérica, -5 está a la derecha de -10, así que -5 es el valor mayor, aunque 10 sea "más grande" que 5.
Ver en español
Pregunta
La función lineal p pasa por los puntos (1, 7) y (5, -5). La función lineal q vale 10 cuando x = 0 y disminuye 4 cada vez que x aumenta 1.
Completa los enunciados.
La tasa de cambio de p es _____.
A medida que x aumenta, p(x) disminuye _____ q(x).
En x = 5, el valor de p es _____ el valor de q.
Opciones
-3
3
-\tfrac{1}{3}
más lentamente que
más rápidamente que
a la misma tasa que
mayor que
menor que
igual a
Pista
Usa la fórmula de la pendiente para p. Escribe q como ecuación a partir de la descripción. Luego evalúa las dos en x = 5.
Pregunta 18 de 36
Sin calculadoraArrastrar y soltar
Four linear functions are described on the tiles: an equation, a table of points, a description in words, and another equation.
Drag the correct function into each box. One function is not used.
Least rate of change
Greatest rate of change
Greatest y-intercept
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Write down the slope and y-intercept of each function first. For the table, use change in y over change in x; the y-intercept is the output at x = 0.
Tip: A negative rate is always less than any positive rate. And the function with the greatest rate (h) has the lowest starting value here: rate and intercept are separate properties.
Explicación
f(x) = -x + 2: pendiente -1, intersección con el eje y: 2.
g: pendiente \dfrac{6 - 5}{2 - 0} = \dfrac{1}{2}; intersección con el eje y: g(0) = 5.
h: empieza en -3 y sube 4 por cada 1 hacia la derecha: pendiente 4, intersección con el eje y: -3.
k(x) = 3x + 1: pendiente 3, intersección con el eje y: 1.
Menor tasa de cambio: -1 < \tfrac{1}{2} < 3 < 4 → f.
Mayor tasa de cambio: h (4).
Mayor intersección con el eje y: 5 > 2 > 1 > -3 → g.
k no se usa.
Respuesta: menor tasa — f; mayor tasa — h; mayor intersección con el eje y — g.
Comprobación:g(x) = \tfrac{1}{2}x + 5 da g(4) = 7 ✓, que coincide con la tabla.
Consejo: Una tasa negativa siempre es menor que cualquier tasa positiva. Y aquí, la función con la mayor tasa (h) tiene el valor inicial más bajo: la tasa y la intersección son propiedades separadas.
Ver en español
Pregunta
En las fichas se describen cuatro funciones lineales: una ecuación, una tabla de puntos, una descripción en palabras y otra ecuación.
Arrastra la función correcta a cada recuadro. Una función no se usa.
Menor tasa de cambio
Mayor tasa de cambio
Mayor intersección con el eje y
_____
_____
_____
Opciones
f(x) = -x + 2
h: empieza en -3 y sube 4 por cada 1 unidad hacia la derecha
g: (0, 5), (2, 6), (4, 7)
k(x) = 3x + 1
Pista
Primero anota la pendiente y la intersección con el eje y de cada función. En la tabla, usa el cambio en y sobre el cambio en x; la intersección con el eje y es la salida en x = 0.
Pregunta 19 de 36
Two balls are thrown straight up. The height of Ball A is shown on the graph. The height of Ball B, in feet, after t seconds is
h(t) = -16t^2 + 40t + 4Height of Ball A
Which ball reaches the greater maximum height, and by how much?
Pista
Read Ball A's highest point from the graph. For Ball B, find the time of the vertex with t = -\frac{b}{2a}, then evaluate h at that time.
Solución paso a paso
Ball A: the highest point on the graph is (1.5, 40), so its maximum height is 40 ft.
Ball B: a = -16, b = 40. Vertex time t = -\dfrac{40}{2(-16)} = \dfrac{40}{32} = 1.25 seconds.
Check:h(1) = -16 + 40 + 4 = 28 and h(1.5) = -36 + 60 + 4 = 28, equal on both sides of t = 1.25, so Ball B's peak is at t = 1.25 and is higher than 28 ft ✓
Tip: Compare the heights (the y-values of the vertices), not the times. The coefficients 40 and 4 in the equation are not heights you can read off directly.
Explicación
Pelota A: el punto más alto de la gráfica es (1.5, 40), así que su altura máxima es de 40 ft.
Pelota B: a = -16, b = 40. Tiempo del vértice: t = -\dfrac{40}{2(-16)} = \dfrac{40}{32} = 1.25 segundos.
Altura máxima de la pelota B: h(1.25) = -16(1.25)^2 + 40(1.25) + 4 = -16(1.5625) + 50 + 4 = -25 + 50 + 4 = 29 ft.
Compara: 40 - 29 = 11 ft.
Respuesta: La pelota A, por 11 pies
Comprobación:h(1) = -16 + 40 + 4 = 28 y h(1.5) = -36 + 60 + 4 = 28, iguales a los dos lados de t = 1.25, así que el punto más alto de la pelota B está en t = 1.25 y es mayor que 28 ft ✓
Consejo: Compara las alturas (los valores de y de los vértices), no los tiempos. Los coeficientes 40 y 4 de la ecuación no son alturas que puedas leer directamente.
Ver en español
Pregunta
Se lanzan dos pelotas directamente hacia arriba. La altura de la pelota A se muestra en la gráfica. La altura de la pelota B, en pies, después de t segundos es
h(t) = -16t^2 + 40t + 4
¿Qué pelota alcanza la mayor altura máxima y por cuánto?
Opciones
A. La pelota A, por 11 pies
B. La pelota A, por 6 pies
C. La pelota B, porque su altura máxima es de 44 pies
D. La pelota A, por 0.25 pies
Pista
Lee en la gráfica el punto más alto de la pelota A. Para la pelota B, encuentra el tiempo del vértice con t = -\frac{b}{2a} y luego evalúa h en ese tiempo.
Pregunta 20 de 36
Sin calculadora
The function f is defined by f(x) = x^2 - 5. The function g is shown in the table.
x
2
4
6
g(x)
9
15
21
Which statement correctly compares f(4) and g(4)?
Pista
Compute f(4) from the equation. Read g(4) from the column where x = 4.
Solución paso a paso
f(4) = 4^2 - 5 = 16 - 5 = 11.
In the table, under x = 4: g(4) = 15.
Compare: 15 - 11 = 4, so g(4) is greater by 4.
Answer: g(4) is greater than f(4) by 4.
Check:g rises 6 for every 2 units, so g(x) = 3x + 3 and g(4) = 12 + 3 = 15 ✓. And f(4) = 11 is less than 15 ✓
Tip: To compare two functions at an input, put both values side by side. For a table, find the column with the same input; do not use a different column.
Explicación
f(4) = 4^2 - 5 = 16 - 5 = 11.
En la tabla, debajo de x = 4: g(4) = 15.
Compara: 15 - 11 = 4, así que g(4) es mayor por 4.
Respuesta: g(4) es mayor que f(4) por 4.
Comprobación:g sube 6 por cada 2 unidades, así que g(x) = 3x + 3 y g(4) = 12 + 3 = 15 ✓. Y f(4) = 11 es menor que 15 ✓
Consejo: Para comparar dos funciones en una entrada, pon los dos valores lado a lado. En una tabla, busca la columna con la misma entrada; no uses otra columna.
Ver en español
Pregunta
La función f está definida por f(x) = x^2 - 5. La función g se muestra en la tabla.
x
2
4
6
g(x)
9
15
21
¿Qué enunciado compara correctamente f(4) y g(4)?
Opciones
A.g(4) es mayor que f(4) por 4.
B.g(4) es mayor que f(4) por 12.
C.f(4) es mayor que g(4) por 6.
D.f(4) es mayor que g(4) por 10.
Pista
Calcula f(4) con la ecuación. Lee g(4) en la columna donde x = 4.
Pregunta 21 de 36
The graph of the function f is shown. The function g is defined by g(x) = x^2 - 4.
Graph of f
Which statement correctly compares the greatest x-intercept of each function?
Pista
Read where the graph of f crosses the x-axis. For g, solve x^2 - 4 = 0.
Solución paso a paso
x-intercepts are where the output is 0.
f (graph): the curve crosses the x-axis at x = -1 and x = 5. Greatest: 5.
g: solve x^2 - 4 = 0 → x^2 = 4 → x = 2 or x = -2. Greatest: 2.
Compare: 5 > 2.
Answer: f: 5 and g: 2, so f has the greater x-intercept.
Check:g(2) = 4 - 4 = 0 ✓. The graph of f fits f(x) = x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5), and f(5) = 0 ✓
Tip: Don't confuse the three key points of a parabola: the x-intercepts (output 0), the y-intercept (input 0) and the vertex (turning point). The graph of f shows all three.
Explicación
Las intersecciones con el eje x están donde la salida es 0.
f (gráfica): la curva cruza el eje x (x-axis) en x = -1 y x = 5. La mayor: 5.
g: resuelve x^2 - 4 = 0 → x^2 = 4 → x = 2 o x = -2. La mayor: 2.
Compara: 5 > 2.
Respuesta: f: 5 y g: 2, así que f tiene la mayor intersección con el eje x.
Comprobación:g(2) = 4 - 4 = 0 ✓. La gráfica de f corresponde a f(x) = x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5), y f(5) = 0 ✓
Consejo: No confundas los tres puntos clave de una parábola: las intersecciones con el eje x (salida 0), la intersección con el eje y (entrada 0) y el vértice (el punto donde cambia de dirección). La gráfica de f muestra los tres.
Ver en español
Pregunta
Se muestra la gráfica de la función f. La función g está definida por g(x) = x^2 - 4.
¿Qué enunciado compara correctamente la mayor intersección con el eje x de cada función?
Opciones
A.f: 5 y g: 4, así que f tiene la mayor intersección con el eje x.
B.f: 5 y g: 2, así que f tiene la mayor intersección con el eje x.
C.f: 2 y g: 2, así que son iguales.
D.f: -5 y g: 2, así que g tiene la mayor intersección con el eje x.
Pista
Lee dónde cruza la gráfica de f el eje x. Para g, resuelve x^2 - 4 = 0.
Pregunta 22 de 36
Completar
The function f is defined by f(x) = 2.5x - 1. The graph of the linear function h is shown.
Graph of h
What is the rate of change of fminus the rate of change of h?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find h's slope from the two marked points; it is negative. Subtracting a negative number means adding.
Solución paso a paso
Rate of change of f: the coefficient of x in f(x) = 2.5x - 1 is 2.5.
h passes through (-2, 7) and (4, -2).
Rate of change of h: m = \dfrac{-2 - 7}{4 - (-2)} = \dfrac{-9}{6} = -1.5.
Consejo: Aquí hay dos trampas: el cambio horizontal es 4 - (-2) = 6, no 2, y restar -1.5 da +1.5. La respuesta equivocada tentadora, 1, sale de 2.5 - 1.5.
Ver en español
Pregunta
La función f está definida por f(x) = 2.5x - 1. Se muestra la gráfica de la función lineal h.
¿Cuánto es la tasa de cambio de fmenos la tasa de cambio de h?
Pista
Encuentra la pendiente de h con los dos puntos marcados; es negativa. Restar un número negativo significa sumar.
Pregunta 23 de 36
Sin calculadoraMenú
The linear function p is shown in the table. The function q is defined by q(x) = 4 - 3x.
x
2
4
6
p(x)
1
4
7
Complete the statements.
The y-intercept of p is .
The y-intercept of q is .
The graph of crosses the y-axis at a higher point.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
The table does not show x = 0. Find p's rate per unit, then work back from x = 2 to x = 0. For q, compute q(0).
Solución paso a paso
p's rate: \dfrac{4 - 1}{4 - 2} = \dfrac{3}{2} = 1.5 per unit.
Work back from x = 2 to x = 0 (2 units left): 1 - 2(1.5) = 1 - 3 = -2. So p's y-intercept is -2.
q(0) = 4 - 3(0) = 4. So q's y-intercept is 4.
4 > -2, so the graph of q crosses the y-axis higher.
Answer: p: -2; q: 4; the graph of q crosses higher.
Comprobación:h(3) = -144 + 384 = 240 y h(5) = -400 + 640 = 240: son iguales a cada lado de t = 4, así que el punto más alto está en t = 4 ✓
Consejo: No compares los tiempos (4 s contra 3 s) ni los tiempos de aterrizaje: la pregunta es sobre alturas, los valores de y de los vértices.
Ver en español
Pregunta
Se lanzan dos cohetes de modelismo desde el suelo. La altura del cohete A se muestra en la gráfica. La altura del cohete B, en pies, después de t segundos es
h(t) = -16t^2 + 128t
¿Cuántos pies más alta es la altura máxima del cohete B que la altura máxima del cohete A?
_____ pies
Pista
Lee en la gráfica el punto más alto del cohete A. Para el cohete B, encuentra el tiempo del vértice con t = -\frac{b}{2a} y luego evalúa h en ese tiempo.
Pregunta 25 de 36
The quadratic function f is shown in the table. The function g is defined by g(x) = x^2 - 10x + 29.
x
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
10
5
2
1
2
5
10
What is the minimum value of g minus the minimum value of f?
Pista
For f, use symmetry in the table to find the lowest output. For g, use x = -\frac{b}{2a} and then evaluate g there.
Solución paso a paso
f from the table: the outputs are symmetric around x = 3 (f(2) = f(4) = 2, f(1) = f(5) = 5). The minimum value is f(3) = 1.
g from the equation:a = 1 > 0 (minimum). Vertex x = -\frac{-10}{2(1)} = 5.
g(5) = 5^2 - 10(5) + 29 = 25 - 50 + 29 = 4. The minimum value of g is 4.
Difference: 4 - 1 = 3.
Answer: 3
Check:g(4) = 16 - 40 + 29 = 5 and g(6) = 36 - 60 + 29 = 5 — equal, so x = 5 is the axis of symmetry and g(5) = 4 is the minimum ✓
Tip: Minimum values are outputs (1 and 4). The vertex x-values (3 and 5) and the y-intercepts (10 and 29) are different properties.
Explicación
f según la tabla: las salidas son simétricas alrededor de x = 3 (f(2) = f(4) = 2, f(1) = f(5) = 5). El valor mínimo es f(3) = 1.
g según la ecuación:a = 1 > 0 (mínimo). Vértice x = -\frac{-10}{2(1)} = 5.
g(5) = 5^2 - 10(5) + 29 = 25 - 50 + 29 = 4. El valor mínimo de g es 4.
Diferencia: 4 - 1 = 3.
Respuesta: 3
Comprobación:g(4) = 16 - 40 + 29 = 5 y g(6) = 36 - 60 + 29 = 5: son iguales, así que x = 5 es el eje de simetría y g(5) = 4 es el mínimo ✓
Consejo: Los valores mínimos son salidas (1 y 4). Los valores de x de los vértices (3 y 5) y las intersecciones con el eje y (10 y 29) son otras propiedades.
Ver en español
Pregunta
La función cuadrática f se muestra en la tabla. La función g está definida por g(x) = x^2 - 10x + 29.
x
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
10
5
2
1
2
5
10
¿Cuánto es el valor mínimo de g menos el valor mínimo de f?
Opciones
A. 2
B. 3
C. 19
D. 103
Pista
Para f, usa la simetría de la tabla para encontrar la salida más baja. Para g, usa x = -\frac{b}{2a} y luego evalúa g ahí.
Pregunta 26 de 36
Two candles are lit at the same time and burn at steady rates.
Candle A is 12 inches tall and burns down 0.75 inch per hour.
Candle B's height is shown in the table.
Hours burning
0
2
4
Height of Candle B (in.)
9
8
7
After how many hours will the two candles be the same height?
Pista
Write a height rule for each candle: start − (rate × hours). Set them equal and solve.
Solución paso a paso
Candle A: A(t) = 12 - 0.75t.
Candle B's rate: \dfrac{8 - 9}{2 - 0} = -0.5 inch per hour, starting at 9. So B(t) = 9 - 0.5t.
Check:A(12) = 12 - 9 = 3 in. and B(12) = 9 - 6 = 3 in. ✓ (Both candles still have height left, so the answer makes sense.)
Tip: Candle A starts 3 inches taller but burns 0.25 inch per hour faster. The gap closes at the difference of the rates: 3 \div 0.25 = 12.
Explicación
Vela A: A(t) = 12 - 0.75t.
Tasa de la vela B: \dfrac{8 - 9}{2 - 0} = -0.5 pulgada por hora, empezando en 9. Así que B(t) = 9 - 0.5t.
Iguálalas: 12 - 0.75t = 9 - 0.5t.
Suma 0.75t a los dos lados: 12 = 9 + 0.25t.
Resta 9: 3 = 0.25t. Divide: t = 3 \div 0.25 = 12.
Respuesta: 12 horas
Comprobación:A(12) = 12 - 9 = 3 in. y B(12) = 9 - 6 = 3 in. ✓ (A las dos velas todavía les queda altura, así que la respuesta tiene sentido).
Consejo: La vela A empieza 3 pulgadas más alta, pero se consume 0.25 pulgada por hora más rápido. La diferencia se cierra a la diferencia de las tasas: 3 \div 0.25 = 12.
Ver en español
Pregunta
Se encienden dos velas al mismo tiempo y se consumen a tasas constantes.
La vela A mide 12 pulgadas de alto y se consume 0.75 pulgadas por hora.
La altura de la vela B se muestra en la tabla.
Horas encendida
0
2
4
Altura de la vela B (in.)
9
8
7
¿Después de cuántas horas tendrán las dos velas la misma altura?
Opciones
A. 12 horas
B. 2.4 horas
C. 4 horas
D. 6 horas
Pista
Escribe una regla de altura para cada vela: inicio − (tasa × horas). Iguálalas y resuelve.
Pregunta 27 de 36
Marcus is choosing between two sales jobs. Both pay a weekly base amount plus a commission on sales.
Job A pays $400 per week plus 6% of his weekly sales: P(s) = 400 + 0.06s.
Job B's weekly pay is shown in the table.
Weekly sales ($)
5,000
10,000
15,000
Job B weekly pay ($)
750
1,250
1,750
If Marcus expects weekly sales of $8,000, which statement is true?
Pista
Find Job B's commission rate from the change in pay over the change in sales, then its base pay. Evaluate both jobs at $8,000.
Tip: Job A has the higher base, but Job B's higher rate wins once sales are large enough. Never compare just one feature; evaluate both functions at the actual input.
Explicación
Tasa de comisión del trabajo B: \dfrac{1250 - 750}{10{,}000 - 5000} = \dfrac{500}{5000} = 0.10 (10%).
Pago base del trabajo B: 750 - 0.10(5000) = 750 - 500 = 250. Así que B(s) = 250 + 0.10s.
Trabajo A con $8,000: P(8000) = 400 + 0.06(8000) = 400 + 480 = 880.
Trabajo B con $8,000: B(8000) = 250 + 0.10(8000) = 250 + 800 = 1050.
Diferencia: 1050 - 880 = 170.
Respuesta: El trabajo B paga $170 más por semana.
Comprobación:B(15{,}000) = 250 + 1500 = 1750 ✓ coincide con la tabla.
Consejo: El trabajo A tiene el pago base más alto, pero la tasa más alta del trabajo B gana cuando las ventas son lo bastante grandes. Nunca compares una sola característica; evalúa las dos funciones con la entrada real.
Ver en español
Pregunta
Marcus está eligiendo entre dos trabajos de ventas. Los dos pagan una cantidad base semanal más una comisión sobre las ventas.
El trabajo A paga $400 por semana más el 6% de sus ventas semanales: P(s) = 400 + 0.06s.
El pago semanal del trabajo B se muestra en la tabla.
Ventas semanales ($)
5,000
10,000
15,000
Pago semanal del trabajo B ($)
750
1,250
1,750
Si Marcus espera tener ventas semanales de $8,000, ¿qué enunciado es verdadero?
Opciones
A. El trabajo B paga $170 más por semana.
B. El trabajo A paga $150 más por semana.
C. El trabajo B paga $320 más por semana.
D. El trabajo A paga $4,150 más por semana.
Pista
Encuentra la tasa de comisión del trabajo B a partir del cambio en el pago sobre el cambio en las ventas, y luego su pago base. Evalúa los dos trabajos en $8,000.
Pregunta 28 de 36
Varias respuestas
The quadratic function f is shown in the table. The function g is defined by g(x) = -2x^2 + 8x - 6.
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
5
0
-3
-4
-3
0
Select all true statements.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
In the table, find the turning point and where f(x) = 0. For g, find the vertex with x = -\frac{b}{2a}, its y-intercept, and its zeros.
Solución paso a paso
f (table): outputs fall then rise, symmetric about x = 3, so f has a minimum of -4 at x = 3. Zeros: x = 1 and x = 5. y-intercept: 5.
Tip: "Minimum value" is the output at the vertex; "where the minimum occurs" is the input. Read each statement for which one it means.
Explicación
f (tabla): las salidas bajan y luego suben, de manera simétrica respecto a x = 3, así que f tiene un mínimo de -4 en x = 3. Ceros: x = 1 y x = 5. Intersección con el eje y: 5.
g:a = -2 < 0 → abre hacia abajo → máximo. Vértice x = -\dfrac{8}{2(-2)} = 2; g(2) = -8 + 16 - 6 = 2. Intersección con el eje y: g(0) = -6. Ceros: -2(x^2 - 4x + 3) = -2(x - 1)(x - 3) = 0 → x = 1 o x = 3.
Prueba cada enunciado:
Intersección con el eje x compartida en x = 1: f(1) = 0 y g(1) = 0 ✓
f tiene un mínimo y g tiene un máximo ✓
El vértice de g (x = 2) está a la izquierda del vértice de f (x = 3) ✓
¿g tiene la mayor intersección con el eje y? -6 < 5 ✗
¿El máximo de g es 18? No, es 2 ✗
¿El mínimo de f es 3? No, el valor mínimo es -4; 3 es donde ocurre ✗
Respuesta: la intersección con el eje x compartida en x = 1; "f tiene un mínimo y g tiene un máximo"; y "el vértice de g está a la izquierda del de f".
Consejo: El "valor mínimo" es la salida en el vértice; "dónde ocurre el mínimo" es la entrada. Lee cada enunciado para ver a cuál se refiere.
Ver en español
Pregunta
La función cuadrática f se muestra en la tabla. La función g está definida por g(x) = -2x^2 + 8x - 6.
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
5
0
-3
-4
-3
0
Selecciona todos los enunciados verdaderos.
Opciones
A.f y g comparten una intersección con el eje x en x = 1.
B.f tiene un valor mínimo y g tiene un valor máximo.
C. El vértice de g está a la izquierda del vértice de f.
D.g tiene la mayor intersección con el eje y.
E. El valor máximo de g es 18.
F. El valor mínimo de f es 3.
Pista
En la tabla, busca el punto donde da la vuelta y dónde f(x) = 0. Para g, encuentra el vértice con x = -\frac{b}{2a}, su intersección con el eje y y sus ceros.
Pregunta 29 de 36
Two drivers track the fuel in their cars on a highway trip.
Car X had 11.2 gallons left after 30 miles and 9.4 gallons left after 90 miles.
Car Y uses 1 gallon of fuel for every 25 miles it drives.
Which car uses fuel at a faster rate per mile?
Pista
Find Car X's change in fuel per mile from the two data points. Turn "1 gallon every 25 miles" into gallons per mile.
Solución paso a paso
Car X: rate = \dfrac{9.4 - 11.2}{90 - 30} = \dfrac{-1.8}{60} = -0.03 gallon per mile, so it uses 0.03 gallon per mile.
Car Y: 1 gallon per 25 miles = \dfrac{1}{25} = 0.04 gallon per mile.
Compare the amounts used: 0.04 > 0.03, so Car Y uses fuel faster.
Answer: Car Y; it uses 0.04 gallon per mile, compared with 0.03 for Car X.
Check: In 60 miles, Car X used 1.8 gallons; Car Y would use 60 \times 0.04 = 2.4 gallons. Car Y uses more ✓
Tip: "Miles per gallon" and "gallons per mile" are opposites (reciprocals). A car that gets more miles per gallon uses less fuel per mile. Decide which rate the question wants before comparing.
Explicación
Auto X: tasa = \dfrac{9.4 - 11.2}{90 - 30} = \dfrac{-1.8}{60} = -0.03 galón por milla, así que usa 0.03 galón por milla.
Auto Y: 1 galón por cada 25 millas = \dfrac{1}{25} = 0.04 galón por milla.
Compara las cantidades usadas: 0.04 > 0.03, así que el auto Y usa gasolina más rápido.
Respuesta: El auto Y; usa 0.04 galón por milla, comparado con 0.03 del auto X.
Comprobación: En 60 millas, el auto X usó 1.8 galones; el auto Y usaría 60 \times 0.04 = 2.4 galones. El auto Y usa más ✓
Consejo: "Millas por galón" y "galones por milla" son opuestos (recíprocos). Un auto que recorre más millas por galón usa menos gasolina por milla. Decide qué tasa pide la pregunta antes de comparar.
Ver en español
Pregunta
Dos conductores registran la gasolina de sus autos en un viaje por autopista.
Al auto X le quedaban 11.2 galones después de 30 millas y 9.4 galones después de 90 millas.
El auto Y usa 1 galón de gasolina por cada 25 millas que recorre.
¿Qué auto usa gasolina a una tasa más rápida por milla?
Opciones
A. El auto X; su tasa de -0.03 es mayor que la del auto Y, -0.04.
B. El auto X; rinde unas 33 millas por galón, más que las 25 del auto Y.
C. El auto Y; usa 0.04 galones por milla, comparado con 0.03 del auto X.
D. El auto X; usa unos 0.37 galones por milla.
Pista
Encuentra el cambio de gasolina por milla del auto X con los dos datos. Convierte "1 galón cada 25 millas" en galones por milla.
Pregunta 30 de 36
Arrastrar y soltar
Four functions are given in different forms on the tiles.
Drag the functions into the boxes to order them from leasty-intercept to greatesty-intercept. Every function is used once.
Least
Greatest
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
The y-intercept is the output when x = 0. For the table and the two points, find the slope first, then work back to x = 0.
Solución paso a paso
a(x) = 2(x - 3):a(0) = 2(-3) = -6.
b (table): slope \dfrac{7 - 4}{2 - 1} = 3. Work back from x = 1 to x = 0: 4 - 3 = 1. y-intercept 1.
c (line through (2, 1) and (4, -3)): slope \dfrac{-3 - 1}{4 - 2} = -2. Work back 2 units from x = 2: 1 - (-2)(2) = 1 + 4 = 5. y-intercept 5.
Tip: For a(x) = 2(x - 3), the y-intercept is not -3: you must multiply by 2. Always compute f(0) instead of guessing from the numbers you see.
Explicación
a(x) = 2(x - 3):a(0) = 2(-3) = -6.
b (tabla): pendiente \dfrac{7 - 4}{2 - 1} = 3. Trabaja hacia atrás de x = 1 a x = 0: 4 - 3 = 1. Intersección con el eje y: 1.
c (recta que pasa por (2, 1) y (4, -3)): pendiente \dfrac{-3 - 1}{4 - 2} = -2. Trabaja 2 unidades hacia atrás desde x = 2: 1 - (-2)(2) = 1 + 4 = 5. Intersección con el eje y: 5.
Consejo: En a(x) = 2(x - 3), la intersección con el eje y no es -3: tienes que multiplicar por 2. Siempre calcula f(0) en lugar de adivinar con los números que ves.
Ver en español
Pregunta
En las fichas se dan cuatro funciones en formas diferentes.
Arrastra las funciones a los recuadros para ordenarlas de la menor intersección con el eje y a la mayor. Cada función se usa una vez.
Menor
Mayor
_____
_____
_____
_____
Opciones
a(x) = 2(x - 3)
b: (1, 4), (2, 7), (3, 10)
d(x) = -x^2 + 2x + 3
c: la recta que pasa por (2, 1) y (4, -3)
Pista
La intersección con el eje y es la salida cuando x = 0. En la tabla y en los dos puntos, primero encuentra la pendiente y luego retrocede hasta x = 0.
Pregunta 31 de 36
Completar
Two companies model their weekly profit, in thousands of dollars, from making x hundred units. A company makes a profit only between its two break-even points (the x-values where profit is 0).
Company A:P(x) = -x^2 + 14x - 40
Company B: shown in the table
x (hundreds of units)
1
2
3
6
7
8
Profit (thousands of $)
0
6
10
10
6
0
How many hundred units wider is Company B's profitable range than Company A's?
hundred units
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find Company A's break-even points by solving -x^2 + 14x - 40 = 0 (factor). Read Company B's from the table. Width = larger zero − smaller zero.
Solución paso a paso
Company A: solve -x^2 + 14x - 40 = 0. Multiply by -1: x^2 - 14x + 40 = 0. Factor: (x - 4)(x - 10) = 0, so x = 4 or x = 10.
Width of A's profitable range: 10 - 4 = 6.
Company B: the table shows profit 0 at x = 1 and x = 8.
Tip: Break-even points are the zeros (x-intercepts). The width between them is the larger zero minus the smaller one. Don't confuse them with the x-values of the highest profit (3 and 6 in the table).
Explicación
Compañía A: resuelve -x^2 + 14x - 40 = 0. Multiplica por -1: x^2 - 14x + 40 = 0. Factoriza: (x - 4)(x - 10) = 0, así que x = 4 o x = 10.
Ancho del rango con ganancias de A: 10 - 4 = 6.
Compañía B: la tabla muestra ganancia 0 en x = 1 y x = 8.
Ancho del rango con ganancias de B: 8 - 1 = 7.
Diferencia: 7 - 6 = 1.
Respuesta: 1 ciento de unidades (100 unidades) más ancho
Consejo: Los puntos de equilibrio son los ceros (las intersecciones con el eje x). El ancho entre ellos es el cero mayor menos el cero menor. No los confundas con los valores de x de mayor ganancia (3 y 6 en la tabla).
Ver en español
Pregunta
Dos compañías representan su ganancia semanal, en miles de dólares, por fabricar x cientos de unidades. Una compañía tiene ganancias solo entre sus dos puntos de equilibrio (los valores de x donde la ganancia es 0).
Compañía A:P(x) = -x^2 + 14x - 40
Compañía B: se muestra en la tabla
x (cientos de unidades)
1
2
3
6
7
8
Ganancia (miles de $)
0
6
10
10
6
0
¿Cuántos cientos de unidades más ancho es el rango con ganancias de la compañía B que el de la compañía A?
_____ cientos de unidades
Pista
Encuentra los puntos de equilibrio de la compañía A resolviendo -x^2 + 14x - 40 = 0 (factoriza). Lee los de la compañía B en la tabla. Ancho = cero mayor − cero menor.
Pregunta 32 de 36
Sin calculadoraMenú
The function f is defined by f(x) = -x^2 + 10. The function g is a line with slope 2 that passes through the point (1, 3).
Complete the statements.
f(3) =
g(3) =
At x = 3, f is g.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
For f, square first, then apply the negative sign. For g, start at (1, 3) and move 2 units right, rising 2 for each unit.
Solución paso a paso
f(3) = -(3)^2 + 10 = -9 + 10 = 1.
g: from (1, 3) to x = 3 is 2 units right; with slope 2 the output rises 2 \times 2 = 4. So g(3) = 3 + 4 = 7.
(Or find the equation: 3 = 2(1) + b, so b = 1 and g(x) = 2x + 1; g(3) = 7.)
Compare: 1 < 7, so f is less thang at x = 3.
Answer: f(3) = 1, g(3) = 7; f is less than g at x = 3.
Check:g(1) = 2 + 1 = 3 ✓ matches the given point.
Tip: In -x^2, the square is done first and the minus sign after: -(3)^2 = -9, never +9.
Explicación
f(3) = -(3)^2 + 10 = -9 + 10 = 1.
g: de (1, 3) a x = 3 hay 2 unidades hacia la derecha; con pendiente 2, la salida sube 2 \times 2 = 4. Así que g(3) = 3 + 4 = 7.
(O encuentra la ecuación: 3 = 2(1) + b, así que b = 1 y g(x) = 2x + 1; g(3) = 7).
Compara: 1 < 7, así que en x = 3, f es menor queg.
Respuesta: f(3) = 1, g(3) = 7; en x = 3, f es menor que g.
Comprobación:g(1) = 2 + 1 = 3 ✓ coincide con el punto dado.
Consejo: En -x^2, primero se eleva al cuadrado y después se aplica el signo menos: -(3)^2 = -9, nunca +9.
Ver en español
Pregunta
La función f está definida por f(x) = -x^2 + 10. La función g es una recta con pendiente 2 que pasa por el punto (1, 3).
Completa los enunciados.
f(3) = _____
g(3) = _____
En x = 3, f es _____ g.
Opciones
1
19
4
7
9
5
menor que
mayor que
igual a
Pista
Para f, primero eleva al cuadrado y luego aplica el signo negativo. Para g, empieza en (1, 3) y avanza 2 unidades a la derecha, subiendo 2 por cada unidad.
Pregunta 33 de 36
Two small companies track their monthly profit, in thousands of dollars.
Company A:P(x) = -2x^2 + 40x - 50, where x is the number of months since opening.
Company B: had a profit of -20 thousand dollars (a loss) in its opening month (x = 0), and its monthly profit increases by 12 thousand dollars each month.
What is the first whole month x in which Company B's monthly profit is greater than Company A's maximum monthly profit?
Pista
Find Company A's maximum profit using the vertex. Write Company B's profit as a linear function and solve an inequality.
Solución paso a paso
Company A's maximum:a = -2 < 0, so P has a maximum at x = -\frac{40}{2(-2)} = 10.
El primer mes entero mayor que 14.1\overline{6} es x = 15.
Respuesta: Mes 15
Comprobación:B(14) = -20 + 168 = 148, no es mayor que 150 ✗; B(15) = -20 + 180 = 160 > 150 ✓
Consejo: Cuando piden el "primer número entero mayor que", redondea hacia arriba y luego prueba los números enteros a ambos lados de tu respuesta.
Ver en español
Pregunta
Dos compañías pequeñas registran su ganancia mensual, en miles de dólares.
Compañía A:P(x) = -2x^2 + 40x - 50, donde x es el número de meses desde que abrió.
Compañía B: tuvo una ganancia de -20 mil dólares (una pérdida) en su mes de apertura (x = 0), y su ganancia mensual aumenta 12 mil dólares cada mes.
¿Cuál es el primer mes entero x en el que la ganancia mensual de la compañía B es mayor que la ganancia mensual máxima de la compañía A?
Opciones
A. Mes 15
B. Mes 14
C. Mes 10
D. Mes 13
Pista
Encuentra la ganancia máxima de la compañía A usando el vértice. Escribe la ganancia de la compañía B como una función lineal y resuelve una desigualdad.
Pregunta 34 de 36
Completar
A park has two fountains. Each shoots an arc of water from ground level. The height of the water in Fountain A, in feet, at a horizontal distance of x feet from the nozzle is
h(x) = -0.5x^2 + 4x
The arc of Fountain B is a parabola; some of its points are shown in the table.
Distance x (ft)
0
4
6
8
Height (ft)
0
8
9
8
How many feet farther from its nozzle does Fountain B's water land than Fountain A's?
feet
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The water lands where the height is 0 again. Solve h(x) = 0 for Fountain A. For Fountain B, use the symmetry of the table around its highest point.
Solución paso a paso
Fountain A: set -0.5x^2 + 4x = 0. Factor out x: x(-0.5x + 4) = 0.
x = 0 (the nozzle) or -0.5x + 4 = 0 → 0.5x = 4 → x = 8. The water lands 8 ft away.
Fountain B: the heights at x = 4 and x = 8 are both 8, so the axis of symmetry is x = 6 (the peak, 9 ft).
The arc starts at height 0 at x = 0, which is 6 ft left of the axis. By symmetry it lands 6 ft to the right of the axis: x = 6 + 6 = 12.
Difference: 12 - 8 = 4 ft.
Answer: 4 feet
Check: Fountain B fits -0.25x^2 + 3x: at x = 12, -0.25(144) + 36 = -36 + 36 = 0 ✓
Tip: A parabola's two zeros are the same distance from its axis of symmetry. If you know one zero and the vertex, you can find the other zero without an equation.
Explicación
Fuente A: plantea -0.5x^2 + 4x = 0. Saca x como factor común: x(-0.5x + 4) = 0.
x = 0 (la boquilla) o -0.5x + 4 = 0 → 0.5x = 4 → x = 8. El agua cae a 8 ft.
Fuente B: las alturas en x = 4 y x = 8 son las dos 8, así que el eje de simetría es x = 6 (el punto más alto, 9 ft).
El arco empieza a una altura de 0 en x = 0, que está 6 ft a la izquierda del eje. Por simetría, cae 6 ft a la derecha del eje: x = 6 + 6 = 12.
Diferencia: 12 - 8 = 4 ft.
Respuesta: 4 pies
Comprobación: La fuente B corresponde a -0.25x^2 + 3x: en x = 12, -0.25(144) + 36 = -36 + 36 = 0 ✓
Consejo: Los dos ceros de una parábola están a la misma distancia de su eje de simetría. Si conoces un cero y el vértice, puedes encontrar el otro cero sin una ecuación.
Ver en español
Pregunta
Un parque tiene dos fuentes. Cada una lanza un arco de agua desde el nivel del suelo. La altura del agua de la fuente A, en pies, a una distancia horizontal de x pies de la boquilla es
h(x) = -0.5x^2 + 4x
El arco de la fuente B es una parábola; algunos de sus puntos se muestran en la tabla.
Distancia x (pies)
0
4
6
8
Altura (pies)
0
8
9
8
¿Cuántos pies más lejos de su boquilla cae el agua de la fuente B que la de la fuente A?
_____ pies
Pista
El agua cae donde la altura vuelve a ser 0. Resuelve h(x) = 0 para la fuente A. Para la fuente B, usa la simetría de la tabla alrededor de su punto más alto.
Pregunta 35 de 36
The function f is defined by f(x) = x^2. The linear function g is shown in the table.
x
0
1
2
g(x)
6
7
8
For which value of x is f(x)less thang(x)?
Pista
Find a rule for g from the table. Then test each choice: compute f(x) and g(x) and compare.
Solución paso a paso
From the table, g starts at 6 and rises 1 per unit: g(x) = x + 6.
Check: Solve x^2 = x + 6: x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0, so the graphs meet at x = -2 and x = 3. Between them the line is above the parabola, and 2.5 is between -2 and 3 ✓
Tip: "Less than" is strict: where the functions are equal (x = 3) does not count. Testing each answer choice is often the fastest GED strategy.
Explicación
Según la tabla, g empieza en 6 y sube 1 por unidad: g(x) = x + 6.
Prueba cada opción:
x = 4: f(4) = 16, g(4) = 10. 16 > 10 ✗
x = 3: f(3) = 9, g(3) = 9. Son iguales, no menor ✗
Comprobación: Resuelve x^2 = x + 6: x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0, así que las gráficas se cruzan en x = -2 y x = 3. Entre esos valores la recta está por encima de la parábola, y 2.5 está entre -2 y 3 ✓
Consejo: "Menor que" es estricto: donde las funciones son iguales (x = 3) no cuenta. Probar cada opción de respuesta suele ser la estrategia más rápida en el GED®.
Ver en español
Pregunta
La función f está definida por f(x) = x^2. La función lineal g se muestra en la tabla.
x
0
1
2
g(x)
6
7
8
¿Para qué valor de x es f(x)menor queg(x)?
Opciones
A.x = 3
B.x = -3
C.x = 4
D.x = 2.5
Pista
Encuentra una regla para g a partir de la tabla. Luego prueba cada opción: calcula f(x) y g(x) y compáralos.
Pregunta 36 de 36
Two swimming pools are being drained. The water in Pool A is shown in the table. The water in Pool B, in gallons, after t minutes is V(t) = 10{,}000 - 75t.
Minutes t
15
40
60
Water in Pool A (gal)
9,250
7,250
5,650
Which pool is draining faster, and by how many gallons per minute?
Pista
Look carefully at the time column: the gaps are not equal. Divide each change in water by its own change in time.
Solución paso a paso
Pool A, first interval: \dfrac{7250 - 9250}{40 - 15} = \dfrac{-2000}{25} = -80 gallons per minute.
Pool A, second interval: \dfrac{5650 - 7250}{60 - 40} = \dfrac{-1600}{20} = -80 ✓ (the rate is constant, so Pool A is linear).
Pool B: V(t) = 10{,}000 - 75t drains 75 gallons per minute.
Compare: Pool A drains 80 gal/min, Pool B 75 gal/min. 80 - 75 = 5.
Tip: When table steps are uneven (25 minutes, then 20), you must divide each change by its own step. Assuming equal steps is a classic GED trap.
Explicación
Piscina A, primer intervalo: \dfrac{7250 - 9250}{40 - 15} = \dfrac{-2000}{25} = -80 galones por minuto.
Piscina A, segundo intervalo: \dfrac{5650 - 7250}{60 - 40} = \dfrac{-1600}{20} = -80 ✓ (la tasa es constante, así que la piscina A es lineal).
Piscina B: V(t) = 10{,}000 - 75t se vacía 75 galones por minuto.
Compara: la piscina A se vacía 80 gal/min y la piscina B 75 gal/min. 80 - 75 = 5.
Respuesta: La piscina A, por 5 galones por minuto
Comprobación: Regla de la piscina A: inicio = 9250 + 80(15) = 10{,}450, así que A(t) = 10{,}450 - 80t; A(60) = 10{,}450 - 4800 = 5650 ✓
Consejo: Cuando los saltos de la tabla no son iguales (25 minutos y luego 20), tienes que dividir cada cambio entre su propio salto. Suponer saltos iguales es una trampa clásica del GED®.
Ver en español
Pregunta
Se están vaciando dos piscinas. El agua de la piscina A se muestra en la tabla. El agua de la piscina B, en galones, después de t minutos es V(t) = 10{,}000 - 75t.
Minutos t
15
40
60
Agua en la piscina A (gal)
9,250
7,250
5,650
¿Qué piscina se vacía más rápido y por cuántos galones por minuto?
Opciones
A. La piscina A, por 5 galones por minuto
B. La piscina B, porque -75 es mayor que -80
C. La piscina A, por 25 galones por minuto
D. La piscina A, por unos 542 galones por minuto
Pista
Fíjate bien en la columna del tiempo: los intervalos no son iguales. Divide cada cambio en el agua entre su propio cambio en el tiempo.
