Tip: Rise over run — the change in y goes on top. When one of the points has x = 0, you can read b directly from it. Always test both given points in your final equation.
Consejo: Cambio vertical sobre cambio horizontal (rise/run): el cambio en y va arriba. Cuando uno de los puntos tiene x = 0, puedes leer b directamente de él. Siempre prueba ambos puntos dados en tu ecuación final.
Ver en español
Pregunta
Una recta pasa por los puntos (0, 1) y (2, 7).
¿Qué ecuación representa la recta?
Opciones
A.y = \tfrac{1}{3}x + 1
B.y = 3x + 1
C.y = 3x + 7
D.y = 4x + 1
Pista
Encuentra la pendiente con \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Uno de los puntos está en el eje y: ¿qué te dice eso?
Pregunta 2 de 36
Completar
What is the slope of the line that passes through (1, 4) and (5, 12)?
m =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Slope = \dfrac{\text{change in } y}{\text{change in } x}. Subtract in the same order on top and bottom.
Solución paso a paso
Label the points: (x_1, y_1) = (1, 4) and (x_2, y_2) = (5, 12).
Change in y (rise): y_2 - y_1 = 12 - 4 = 8.
Change in x (run): x_2 - x_1 = 5 - 1 = 4.
Divide: m = \dfrac{8}{4} = 2.
Answer: m = 2
Check: Reverse the order: \dfrac{4 - 12}{1 - 5} = \dfrac{-8}{-4} = 2 ✓ Also, the line rises from left to right, so a positive slope makes sense.
Tip: Slope is the first step of writing any line through two points. With m = 2, the line here is y = 2x + 2 (since 4 = 2(1) + b gives b = 2).
Explicación
Nombra los puntos: (x_1, y_1) = (1, 4) y (x_2, y_2) = (5, 12).
Cambio en y (cambio vertical): y_2 - y_1 = 12 - 4 = 8.
Cambio en x (cambio horizontal): x_2 - x_1 = 5 - 1 = 4.
Divide: m = \dfrac{8}{4} = 2.
Respuesta: m = 2
Comprobación: Invierte el orden: \dfrac{4 - 12}{1 - 5} = \dfrac{-8}{-4} = 2 ✓ Además, la recta sube de izquierda a derecha, así que una pendiente positiva tiene sentido.
Consejo: La pendiente es el primer paso para escribir cualquier recta que pasa por dos puntos. Con m = 2, la recta aquí es y = 2x + 2 (ya que 4 = 2(1) + b da b = 2).
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por (1, 4) y (5, 12)?
m = _____
Pista
Pendiente = \dfrac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x}. Resta en el mismo orden arriba y abajo.
Pregunta 3 de 36
A line passes through the points (2, 3) and (4, 7).
Which equation represents the line in point-slope form?
Pista
Find the slope first. Then use y - y_1 = m(x - x_1) with one of the points.
(Si usas (4, 7), obtienes y - 7 = 2(x - 4): la misma recta).
Respuesta: y - 3 = 2(x - 2)
Comprobación: Desarrolla: y - 3 = 2x - 4, así que y = 2x - 1. Prueba (4, 7): 2(4) - 1 = 7 ✓
Consejo: La forma punto-pendiente usa signos menos, y cada coordenada se queda junto a su propia letra: y_1 con y, x_1 con x.
Ver en español
Pregunta
Una recta pasa por los puntos (2, 3) y (4, 7).
¿Qué ecuación representa la recta en la forma punto-pendiente?
Opciones
A.y - 3 = \tfrac{1}{2}(x - 2)
B.y + 3 = 2(x + 2)
C.y - 3 = 2(x - 2)
D.y - 2 = 2(x - 3)
Pista
Primero encuentra la pendiente. Luego usa y - y_1 = m(x - x_1) con uno de los puntos.
Pregunta 4 de 36
Completar
What is the slope of the line that passes through (-3, 8) and (5, -4)? Enter your answer as a decimal or a fraction.
m =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Slope = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Subtract in the same order on the top and the bottom.
Solución paso a paso
Label the points: (x_1, y_1) = (-3, 8) and (x_2, y_2) = (5, -4).
Change in y (rise): y_2 - y_1 = -4 - 8 = -12.
Change in x (run): x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8.
Slope: m = \dfrac{-12}{8} = -\dfrac{3}{2} = -1.5.
Answer: m = -1.5 (or -\tfrac{3}{2})
Check: Swap the order: \dfrac{8 - (-4)}{-3 - 5} = \dfrac{12}{-8} = -1.5 ✓ Same answer either way. The line goes from upper left to lower right, so a negative slope makes sense.
Tip: Subtracting a negative (5 - (-3)) is the most common slip. Rewrite it as addition before you calculate.
Explicación
Nombra los puntos: (x_1, y_1) = (-3, 8) y (x_2, y_2) = (5, -4).
Cambio en y (cambio vertical): y_2 - y_1 = -4 - 8 = -12.
Cambio en x (cambio horizontal): x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8.
Pendiente: m = \dfrac{-12}{8} = -\dfrac{3}{2} = -1.5.
Respuesta: m = -1.5 (o -\tfrac{3}{2})
Comprobación: Invierte el orden: \dfrac{8 - (-4)}{-3 - 5} = \dfrac{12}{-8} = -1.5 ✓ La misma respuesta de cualquier forma. La recta va de arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha, así que una pendiente negativa tiene sentido.
Consejo: Restar un negativo (5 - (-3)) es el error más común. Reescríbelo como suma antes de calcular.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por (-3, 8) y (5, -4)? Escribe tu respuesta como decimal o como fracción.
m = _____
Pista
Pendiente = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Resta en el mismo orden arriba y abajo.
Pregunta 5 de 36
Find a point-slope equation for the straight line that contains both (-1, 6) and (3, -2).
Pista
Find the slope first. Then use either point in y - y_1 = m(x - x_1) and watch the signs.
Forma punto-pendiente: y - 6 = -2\big(x - (-1)\big) = -2(x + 1).
Respuesta: y - 6 = -2(x + 1)
Comprobación: Prueba el otro punto (3, -2): izquierda -2 - 6 = -8; derecha -2(3 + 1) = -8 ✓.
(Si usas (3, -2) obtienes y + 2 = -2(x - 3), que es la misma recta.)
Consejo: Después de elegir una respuesta, prueba el punto que no usaste. Si funciona, la ecuación es correcta.
Ver en español
Pregunta
Encuentra una ecuación en forma punto-pendiente para la recta que contiene los puntos (-1, 6) y (3, -2).
Opciones
A.y - 6 = -2(x - 1)
B.y - 6 = -2(x + 1)
C.y + 1 = -2(x - 6)
D.y - 6 = -\tfrac{1}{2}(x + 1)
Pista
Primero encuentra la pendiente. Luego usa cualquiera de los dos puntos en y - y_1 = m(x - x_1) y fíjate en los signos.
Pregunta 6 de 36
The table shows several points on a line.
x
0
1
2
3
y
4
7
10
13
Which equation represents the line?
Pista
How much does y change each time x goes up by 1? What is y when x = 0?
Solución paso a paso
Each time x increases by 1, y increases by 3 (4 \to 7 \to 10 \to 13). So the slope is m = \dfrac{3}{1} = 3.
Using two points from the table, (0, 4) and (1, 7): m = \dfrac{7 - 4}{1 - 0} = 3 ✓.
The table contains x = 0 with y = 4, so the y-intercept is b = 4.
Consejo: Si una tabla incluye x = 0, el valor de y ahí es la intersección con el eje y; no necesitas álgebra. Siempre prueba una fila más para estar seguro.
Ver en español
Pregunta
La tabla muestra varios puntos de una recta.
x
0
1
2
3
y
4
7
10
13
¿Qué ecuación representa la recta?
Opciones
A.y = 4x + 3
B.y = 7x
C.y = 3x + 4
D.y = 3x + 7
Pista
¿Cuánto cambia y cada vez que x aumenta 1? ¿Cuánto vale y cuando x = 0?
Pregunta 7 de 36
Which equation represents the line that passes through (-2, 5) and (4, -7)?
Pista
Compute the slope carefully — the x-values have different signs. Then substitute one point into y = mx + b.
Substitute (-2, 5) into y = -2x + b: 5 = -2(-2) + b = 4 + b.
Solve: b = 1.
Equation: y = -2x + 1.
Answer: y = -2x + 1
Check: Other point (4, -7): -2(4) + 1 = -8 + 1 = -7 ✓
Tip:4 - (-2) = 6 — subtracting a negative is adding. And a line that goes from a high point on the left, (-2, 5), to a low point on the right, (4, -7), must have a negative slope.
Sustituye (-2, 5) en y = -2x + b: 5 = -2(-2) + b = 4 + b.
Resuelve: b = 1.
Ecuación: y = -2x + 1.
Respuesta: y = -2x + 1
Comprobación: El otro punto, (4, -7): -2(4) + 1 = -8 + 1 = -7 ✓
Consejo:4 - (-2) = 6: restar un negativo es sumar. Y una recta que va de un punto alto a la izquierda, (-2, 5), a un punto bajo a la derecha, (4, -7), debe tener una pendiente negativa.
Ver en español
Pregunta
¿Qué ecuación representa la recta que pasa por (-2, 5) y (4, -7)?
Opciones
A.y = 2x + 9
B.y = -\tfrac{1}{2}x + 4
C.y = -2x + 5
D.y = -2x + 1
Pista
Calcula la pendiente con cuidado: los valores de x tienen signos diferentes. Luego sustituye un punto en y = mx + b.
Pregunta 8 de 36
The graph shows a line on the coordinate plane.
Line through (-3, 4) and (3, 0)
Which equation represents the line?
Pista
Use the two marked points to find the slope. Does the line go up or down from left to right? Where does it cross the y-axis?
Tip: On a graph, first check direction: falling left to right means a negative slope, which removes choices fast. Then count: from (-3, 4) to (3, 0) is 6 right and 4 down.
Consejo: En una gráfica, primero revisa la dirección: si baja de izquierda a derecha, la pendiente es negativa, y eso elimina opciones rápidamente. Luego cuenta: de (-3, 4) a (3, 0) hay 6 a la derecha y 4 hacia abajo.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra una recta en el plano de coordenadas.
¿Qué ecuación representa la recta?
Opciones
A.y = -\tfrac{2}{3}x + 2
B.y = \tfrac{2}{3}x + 2
C.y = -\tfrac{3}{2}x + 2
D.y = -\tfrac{2}{3}x + 3
Pista
Usa los dos puntos marcados para encontrar la pendiente. ¿La recta sube o baja de izquierda a derecha? ¿Dónde cruza el eje y?
Pregunta 9 de 36
Completar
A phone plan charges a one-time activation fee plus the same amount each month. The total paid after 3 months is $145, and the total paid after 7 months is $285.
What is the activation fee, in dollars?
$
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Each sentence gives a point (\text{months}, \text{total}). Find the monthly rate first, then the value at 0 months.
Consejo: Divide el cambio en el total entre el cambio en meses para obtener la tarifa. Un error común es $140 por mes: ese es el cambio en 4 meses, no en 1.
Ver en español
Pregunta
Un plan de teléfono cobra un cargo único de activación más la misma cantidad cada mes. El total pagado después de 3 meses es $145, y el total pagado después de 7 meses es $285.
¿Cuál es el cargo de activación, en dólares?
$_____
Pista
Cada oración da un punto (\text{meses}, \text{total}). Primero encuentra la tasa mensual y luego el valor en 0 meses.
Pregunta 10 de 36
A candle burns down at a steady rate. Two hours after it is lit, it is 10 inches tall. Five hours after it is lit, it is 7.75 inches tall.
Which equation gives the height h, in inches, of the candle t hours after it is lit?
Pista
The two points are (t, h) = (2, 10) and (5, 7.75). The candle gets shorter — what does that say about the slope?
Solución paso a paso
Points: (2, 10) and (5, 7.75).
Slope: m = \dfrac{7.75 - 10}{5 - 2} = \dfrac{-2.25}{3} = -0.75 inch per hour.
Find b with (2, 10): 10 = -0.75(2) + b = -1.5 + b.
Add 1.5: b = 11.5 inches (the height when it was lit).
Tip: The change in height (-2.25) happens over 3 hours, so divide by 3. A shrinking quantity always has a negative slope, and the starting height must be taller than 10 inches.
Explicación
Puntos: (2, 10) y (5, 7.75).
Pendiente: m = \dfrac{7.75 - 10}{5 - 2} = \dfrac{-2.25}{3} = -0.75 pulgadas por hora.
Encuentra b con (2, 10): 10 = -0.75(2) + b = -1.5 + b.
Suma 1.5: b = 11.5 pulgadas (la altura cuando se encendió).
Consejo: El cambio de altura (-2.25) ocurre en 3 horas, así que divide entre 3. Una cantidad que disminuye siempre tiene pendiente negativa, y la altura inicial debe ser mayor que 10 pulgadas.
Ver en español
Pregunta
Una vela se consume a un ritmo constante. Dos horas después de encenderla, mide 10 pulgadas de alto. Cinco horas después de encenderla, mide 7.75 pulgadas de alto.
¿Qué ecuación da la altura h, en pulgadas, de la vela t horas después de encenderla?
Opciones
A.h = 0.75t + 8.5
B.h = -0.75t + 11.5
C.h = -0.75t + 10
D.h = -2.25t + 14.5
Pista
Los dos puntos son (t, h) = (2, 10) y (5, 7.75). La vela se hace más corta: ¿qué dice eso de la pendiente?
Pregunta 11 de 36
Arrastrar y soltar
Drag each equation to the pair of points its line passes through. One equation is not used.
(0, 2) and (1, 5)
(1, 1) and (3, -3)
(-2, 0) and (2, 2)
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
For each pair, find the slope \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, then find b. Check both points in your chosen equation.
Solución paso a paso
(0, 2) and (1, 5):m = \dfrac{5 - 2}{1 - 0} = 3; (0, 2) is on the y-axis so b = 2 → y = 3x + 2.
(1, 1) and (3, -3):m = \dfrac{-3 - 1}{3 - 1} = \dfrac{-4}{2} = -2; 1 = -2(1) + b so b = 3 → y = -2x + 3.
(-2, 0) and (2, 2):m = \dfrac{2 - 0}{2 - (-2)} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}; 2 = \tfrac{1}{2}(2) + b so b = 1 → y = \tfrac{1}{2}x + 1.
Not used:y = \tfrac{1}{3}x + 2 — that slope is run over rise for the first pair.
Answer:y = 3x + 2 → first box; y = -2x + 3 → second box; y = \tfrac{1}{2}x + 1 → third box.
Consejo: Revisar el segundo punto de cada par es la forma más rápida de confirmar que coinciden.
Ver en español
Pregunta
Arrastra cada ecuación al par de puntos por donde pasa su recta. Una ecuación no se usa.
(0, 2) y (1, 5)
(1, 1) y (3, -3)
(-2, 0) y (2, 2)
_____
_____
_____
Opciones
y = 3x + 2
y = -2x + 3
y = \tfrac{1}{2}x + 1
y = \tfrac{1}{3}x + 2
Pista
Para cada par, encuentra la pendiente \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} y luego encuentra b. Comprueba los dos puntos en la ecuación que escojas.
Pregunta 12 de 36
A moving-truck company charges a daily fee plus a charge for each mile driven. A one-day rental driven 40 miles costs $59.80. A one-day rental driven 100 miles costs $89.80.
Which equation gives the cost C, in dollars, of a one-day rental driven m miles?
Pista
Use the two situations as points (m, C). Find the cost per mile, then the daily fee.
Solución paso a paso
Points: (40, 59.80) and (100, 89.80).
Rate: \dfrac{89.80 - 59.80}{100 - 40} = \dfrac{30}{60} = 0.5 dollar per mile.
Find b: 59.80 = 0.5(40) + b = 20 + b, so b = 39.80.
Equation: C = 0.5m + 39.80.
Answer: C = 0.5m + 39.80 ($0.50 per mile plus a $39.80 daily fee)
Check:0.5(100) + 39.80 = 50 + 39.80 = 89.80 ✓
Tip: Don't divide one total by its miles (59.80 \div 40) — that only works when there is no fee. Using two points separates the per-mile charge from the fixed fee.
Consejo: No dividas un total entre sus millas (59.80 \div 40): eso solo funciona cuando no hay tarifa fija. Usar dos puntos separa el cargo por milla de la tarifa fija.
Ver en español
Pregunta
Una compañía de camiones de mudanza cobra una tarifa diaria más un cargo por cada milla manejada. Un alquiler de un día con 40 millas manejadas cuesta $59.80. Un alquiler de un día con 100 millas manejadas cuesta $89.80.
¿Qué ecuación da el costo C, en dólares, de un alquiler de un día con m millas manejadas?
Opciones
A.C = 2m - 20.20
B.C = 0.5m + 59.80
C.C = 0.5m + 39.80
D.C = 1.495m
Pista
Usa las dos situaciones como puntos (m, C). Encuentra el costo por milla y luego la tarifa diaria.
Pregunta 13 de 36
The points (3, 1) and (9, 5) both lie on one straight line. Which slope-intercept equation describes it?
Pista
Find the slope as a fraction in lowest terms, then substitute one point to find b.
Tip: The extra 30 guests cost an extra $750 — that difference gives the per-guest price. Then remove the guest charges from either total to reveal the fixed fee.
Explicación
Escribe los datos como puntos (g, C): (50, 1650) y (80, 2400).
Pendiente (precio por invitado): m = \dfrac{2400 - 1650}{80 - 50} = \dfrac{750}{30} = 25 dólares por invitado.
Encuentra b: 1650 = 25(50) + b = 1250 + b, así que b = 400.
La tarifa por el salón es el costo cuando g = 0, que es b.
Consejo: Los 30 invitados adicionales cuestan $750 más; esa diferencia da el precio por invitado. Luego quita el cobro por invitados de cualquiera de los totales para descubrir la tarifa fija.
Ver en español
Pregunta
Un salón de banquetes cobra una tarifa por el salón más un precio fijo por invitado. Una fiesta para 50 invitados cuesta $1,650. Una fiesta para 80 invitados cuesta $2,400.
¿Cuál es la tarifa por el salón, en dólares?
$_____
Pista
El precio por invitado es la pendiente entre los dos puntos (invitados, costo). La tarifa por el salón es el costo para 0 invitados.
Pregunta 17 de 36
Arrastrar y soltar
Drag each pair of points to the equation of the line that passes through both points. One pair is not used.
y = 2x - 1
y = -x + 4
y = \tfrac{1}{2}x + 3
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Substitute both points of a pair into an equation. A pair belongs to a line only if both points work.
Solución paso a paso
(1, 1) and (4, 7): slope \dfrac{7 - 1}{4 - 1} = 2; 1 = 2(1) + b gives b = -1 → y = 2x - 1.
(-1, 5) and (3, 1): slope \dfrac{1 - 5}{3 - (-1)} = \dfrac{-4}{4} = -1; 5 = -1(-1) + b gives b = 4 → y = -x + 4.
(-2, 2) and (4, 5): slope \dfrac{5 - 2}{4 - (-2)} = \dfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}; 2 = \tfrac{1}{2}(-2) + b gives b = 3 → y = \tfrac{1}{2}x + 3.
Not used: (1, 1) and (7, 4). Its slope is \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}, the same as the third line, but 1 = \tfrac{1}{2}(1) + b gives b = \tfrac{1}{2}, not 3.
Tip: Matching the slope is not enough — parallel lines share a slope. Always confirm the intercept too.
Explicación
(1, 1) y (4, 7): pendiente \dfrac{7 - 1}{4 - 1} = 2; 1 = 2(1) + b da b = -1 → y = 2x - 1.
(-1, 5) y (3, 1): pendiente \dfrac{1 - 5}{3 - (-1)} = \dfrac{-4}{4} = -1; 5 = -1(-1) + b da b = 4 → y = -x + 4.
(-2, 2) y (4, 5): pendiente \dfrac{5 - 2}{4 - (-2)} = \dfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}; 2 = \tfrac{1}{2}(-2) + b da b = 3 → y = \tfrac{1}{2}x + 3.
No se usa: (1, 1) y (7, 4). Su pendiente es \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}, igual que la tercera recta, pero 1 = \tfrac{1}{2}(1) + b da b = \tfrac{1}{2}, no 3.
Respuesta:(1, 1) y (4, 7) → y = 2x - 1; (-1, 5) y (3, 1) → y = -x + 4; (-2, 2) y (4, 5) → y = \tfrac{1}{2}x + 3.
Consejo: Que coincida la pendiente no basta: las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Confirma siempre también la intersección.
Ver en español
Pregunta
Arrastra cada par de puntos a la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos. Un par no se usa.
y = 2x - 1
y = -x + 4
y = \tfrac{1}{2}x + 3
_____
_____
_____
Opciones
(1, 1) y (4, 7)
(-1, 5) y (3, 1)
(-2, 2) y (4, 5)
(1, 1) y (7, 4)
Pista
Sustituye los dos puntos de un par en una ecuación. Un par corresponde a una recta solo si los dos puntos funcionan.
Pregunta 18 de 36
A hiker climbs a mountain trail at a steady rate. After 2 hours she is at an elevation of 5,300 feet. After 5 hours she is at an elevation of 6,350 feet.
Which equation gives her elevation E, in feet, after t hours of hiking?
Pista
Find the climbing rate (feet per hour) from the two data points, then find the elevation at t = 0.
Solución paso a paso
Points (t, E): (2, 5300) and (5, 6350).
Slope: m = \dfrac{6350 - 5300}{5 - 2} = \dfrac{1050}{3} = 350 feet per hour.
Find b: 5300 = 350(2) + b = 700 + b, so b = 4600. She started at 4,600 feet.
Consejo: Divide el cambio de elevación entre el cambio de tiempo (3 horas), no entre uno de los tiempos (5 horas).
Ver en español
Pregunta
Una excursionista sube por un sendero de montaña a una tasa constante. Después de 2 horas está a una elevación de 5,300 pies. Después de 5 horas está a una elevación de 6,350 pies.
¿Qué ecuación da su elevación E, en pies, después de t horas de caminata?
Opciones
A.E = 350t + 5300
B.E = 210t + 4880
C.E = 350t + 4600
D.E = 350t + 6000
Pista
Encuentra la tasa de subida (pies por hora) a partir de los dos datos y luego encuentra la elevación en t = 0.
Pregunta 19 de 36
Completar
A line passes through the points (-2, 9) and (4, -3).
At what value of x does the line cross the x-axis?
x =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Write the equation of the line first. On the x-axis, y = 0.
Find b: 9 = -2(-2) + b = 4 + b, so b = 5. The line is y = -2x + 5.
The x-intercept has y = 0: 0 = -2x + 5.
Solve: 2x = 5, so x = 2.5.
Answer: x = 2.5
Check:-2(2.5) + 5 = -5 + 5 = 0 ✓. Also, the line goes from y = 9 down to y = -3, so it must cross y = 0 between x = -2 and x = 4 — and 2.5 is in that range ✓.
Tip:y-intercept: set x = 0. x-intercept: set y = 0. Mixing these up gives the answer 5 instead of 2.5.
Encuentra b: 9 = -2(-2) + b = 4 + b, así que b = 5. La recta es y = -2x + 5.
La intersección con el eje x tiene y = 0: 0 = -2x + 5.
Resuelve: 2x = 5, así que x = 2.5.
Respuesta: x = 2.5
Comprobación:-2(2.5) + 5 = -5 + 5 = 0 ✓. Además, la recta baja de y = 9 a y = -3, así que debe cruzar y = 0 entre x = -2 y x = 4, y 2.5 está en ese intervalo ✓.
Consejo: Intersección con el eje y: haz x = 0. Intersección con el eje x: haz y = 0. Si los confundes, obtienes 5 en lugar de 2.5.
Ver en español
Pregunta
Una recta pasa por los puntos (-2, 9) y (4, -3).
¿En qué valor de x cruza la recta el eje x?
x = _____
Pista
Primero escribe la ecuación de la recta. En el eje x, y = 0.
Pregunta 20 de 36
Completar
A line passes through the points (-4, 7) and (6, -8).
What is the y-coordinate of the point where the line crosses the y-axis?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find the slope, then substitute one point into y = mx + b and solve for b.
Sustituye (-4, 7) en y = -1.5x + b:
7 = -1.5(-4) + b = 6 + b
Resuelve: b = 7 - 6 = 1.
La recta es y = -1.5x + 1; cruza el eje y en (0, 1).
Respuesta: 1
Comprobación:(6, -8): -1.5(6) + 1 = -9 + 1 = -8 ✓
Consejo:-1.5 \times (-4) = +6. Cuando ambos factores son negativos, el producto es positivo; un error de signo aquí daría b = 13.
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Pregunta
Una recta pasa por los puntos (-4, 7) y (6, -8).
¿Cuál es la coordenada y del punto donde la recta cruza el eje y?
Pista
Encuentra la pendiente, luego sustituye un punto en y = mx + b y despeja b.
Pregunta 21 de 36
The points (1, 5), (4, 11) and (k, 21) all lie on the same line.
What is the value of k?
Pista
Use the two complete points to write the equation of the line. Then substitute y = 21.
Solución paso a paso
Slope from the complete points: m = \dfrac{11 - 5}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2.
Find b: 5 = 2(1) + b, so b = 3. Line: y = 2x + 3.
The third point has y = 21 and x = k: 21 = 2k + 3.
Subtract 3: 18 = 2k. Divide by 2: k = 9.
Answer: k = 9
Check: Slope from (4, 11) to (9, 21): \dfrac{21 - 11}{9 - 4} = \dfrac{10}{5} = 2 ✓ Same slope, so the points are on one line.
Tip: "Same line" means "same slope between any two of the points." You can also solve \dfrac{21 - 11}{k - 4} = 2 directly: 10 = 2(k - 4), k = 9.
Explicación
Pendiente con los puntos completos: m = \dfrac{11 - 5}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2.
Encuentra b: 5 = 2(1) + b, así que b = 3. Recta: y = 2x + 3.
El tercer punto tiene y = 21 y x = k: 21 = 2k + 3.
Resta 3: 18 = 2k. Divide entre 2: k = 9.
Respuesta: k = 9
Comprobación: Pendiente de (4, 11) a (9, 21): \dfrac{21 - 11}{9 - 4} = \dfrac{10}{5} = 2 ✓ La misma pendiente, así que los puntos están en una misma recta.
Consejo: "La misma recta" significa "la misma pendiente entre dos puntos cualesquiera". También puedes resolver \dfrac{21 - 11}{k - 4} = 2 directamente: 10 = 2(k - 4), k = 9.
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Pregunta
Los puntos (1, 5), (4, 11) y (k, 21) están todos en la misma recta.
¿Cuál es el valor de k?
Opciones
A.8
B.9
C.33
D.45
Pista
Usa los dos puntos completos para escribir la ecuación de la recta. Luego sustituye y = 21.
Pregunta 22 de 36
A straight line contains (-3, 10) and (1, 2). Further along the same line, the y-coordinate reaches -8 at the point (k, -8).
Find k.
Pista
Find the slope from the two complete points. The third point must give the same slope.
Solución paso a paso
Slope from (-3, 10) to (1, 2): m = \dfrac{2 - 10}{1 - (-3)} = \dfrac{-8}{4} = -2.
The slope from (1, 2) to (k, -8) must also be -2:
\dfrac{-8 - 2}{k - 1} = -2
Multiply both sides by (k - 1): -10 = -2(k - 1).
Divide by -2: k - 1 = 5, so k = 6.
Answer: k = 6
Check: The line is y = -2x + 4 (since 2 = -2(1) + b gives b = 4). At x = 6: -12 + 4 = -8 ✓.
Tip: Think in steps: y must fall 10 more units from (1, 2). At 2 units down per 1 unit right, that is 5 units right: 1 + 5 = 6.
Explicación
Pendiente de (-3, 10) a (1, 2): m = \dfrac{2 - 10}{1 - (-3)} = \dfrac{-8}{4} = -2.
La pendiente de (1, 2) a (k, -8) también debe ser -2:
\dfrac{-8 - 2}{k - 1} = -2
Comprobación: La recta es y = -2x + 4 (porque 2 = -2(1) + b da b = 4). En x = 6: -12 + 4 = -8 ✓.
Consejo: Piensa en pasos: desde (1, 2), y debe bajar 10 unidades más. Bajando 2 unidades por cada 1 unidad a la derecha, eso son 5 unidades a la derecha: 1 + 5 = 6.
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Pregunta
Una recta contiene los puntos (-3, 10) y (1, 2). Más adelante en la misma recta, la coordenada y llega a -8 en el punto (k, -8).
Encuentra k.
Opciones
A.-4
B.5
C.6
D.21
Pista
Encuentra la pendiente con los dos puntos completos. El tercer punto debe dar la misma pendiente.
Pregunta 23 de 36
Varias respuestas
A new freezer cools down at a steady rate after it is switched on. 30 minutes after it is switched on, the temperature inside is 52^\circ\text{F}. 75 minutes after it is switched on, the temperature is 25^\circ\text{F}.
Let T be the temperature in ^\circ\text{F}t minutes after the freezer is switched on. Select all statements that are true.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Find the slope (degrees per minute) and the temperature at t = 0. Then test each statement.
Solución paso a paso
Points (t, T): (30, 52) and (75, 25).
Slope: m = \dfrac{25 - 52}{75 - 30} = \dfrac{-27}{45} = -0.6. The temperature drops 0.6°F per minute. ✓
Find b: 52 = -0.6(30) + b = -18 + b, so b = 70. The temperature was 70°F when it was switched on. ✓ Model: T = -0.6t + 70.
When is T = 10? 10 = -0.6t + 70 \Rightarrow -0.6t = -60 \Rightarrow t = 100 minutes. ✓
The false statements:
"52°F at the start" uses a data value as the intercept.
T = 0.6t + 70 has the wrong sign: the freezer cools, it does not warm.
"Drops about 1.67°F per minute" is run over rise (45 \div 27).
Answer: it drops 0.6°F per minute; it started at 70°F; it reaches 10°F after 100 minutes.
Check:-0.6(75) + 70 = -45 + 70 = 25 ✓.
Tip: Units help: the slope is °F per minute, so the temperature change goes on top and the time change goes on the bottom.
Explicación
Puntos (t, T): (30, 52) y (75, 25).
Pendiente: m = \dfrac{25 - 52}{75 - 30} = \dfrac{-27}{45} = -0.6. La temperatura baja 0.6°F por minuto. ✓
Encuentra b: 52 = -0.6(30) + b = -18 + b, así que b = 70. La temperatura era de 70°F cuando se encendió. ✓ Modelo: T = -0.6t + 70.
¿Cuándo es T = 10? 10 = -0.6t + 70 \Rightarrow -0.6t = -60 \Rightarrow t = 100 minutos. ✓
Los enunciados falsos:
"52°F al inicio" usa un dato como intersección.
T = 0.6t + 70 tiene el signo equivocado: el congelador se enfría, no se calienta.
"Baja unos 1.67°F por minuto" es el cambio horizontal sobre el vertical (45 \div 27).
Respuesta: baja 0.6°F por minuto; empezó a 70°F; llega a 10°F después de 100 minutos.
Comprobación:-0.6(75) + 70 = -45 + 70 = 25 ✓.
Consejo: Las unidades ayudan: la pendiente está en °F por minuto, así que el cambio de temperatura va arriba y el cambio de tiempo va abajo.
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Pregunta
Un congelador nuevo se enfría a una tasa constante después de encenderse. 30 minutos después de encenderlo, la temperatura adentro es de 52^\circ\text{F}. 75 minutos después de encenderlo, la temperatura es de 25^\circ\text{F}.
Sea T la temperatura en ^\circ\text{F}t minutos después de encender el congelador. Selecciona todos los enunciados verdaderos.
Opciones
A. La temperatura baja 0.6^\circ\text{F} por minuto.
B. La temperatura era de 70^\circ\text{F} cuando se encendió el congelador.
C. La temperatura llega a 10^\circ\text{F} 100 minutos después de encender el congelador.
D. La temperatura era de 52^\circ\text{F} cuando se encendió el congelador.
E. La temperatura se representa con T = 0.6t + 70.
F. La temperatura baja aproximadamente 1.67^\circ\text{F} por minuto.
Pista
Encuentra la pendiente (grados por minuto) y la temperatura en t = 0. Luego prueba cada enunciado.
Pregunta 24 de 36
Menú
The table shows points on a line. The x-values go up by 3 each time.
x
-2
1
4
7
y
11
5
-1
-7
Select the values that complete the equation of the line.
y =x
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
The y-values change by the same amount each step, but each step in x is 3, not 1. The table has no x = 0 column, so you must calculate b.
Solución paso a paso
From one column to the next, x increases by 3 and y decreases by 6 (for example 11 \to 5).
Slope: m = \dfrac{-6}{3} = -2.
Find b with (1, 5): 5 = -2(1) + b = -2 + b, so b = 7.
Tip: When the x-values do not go up by 1, divide the change in y by the change in x. Using -6 as the slope is the most common mistake with tables like this.
Explicación
De una columna a la siguiente, x aumenta 3 y y disminuye 6 (por ejemplo, 11 \to 5).
Pendiente: m = \dfrac{-6}{3} = -2.
Encuentra b con (1, 5): 5 = -2(1) + b = -2 + b, así que b = 7.
Consejo: Cuando los valores de x no aumentan de 1 en 1, divide el cambio en y entre el cambio en x. Usar -6 como pendiente es el error más común con tablas como esta.
Ver en español
Pregunta
La tabla muestra puntos de una recta. Los valores de x aumentan de 3 en 3.
x
-2
1
4
7
y
11
5
-1
-7
Selecciona los valores que completan la ecuación de la recta.
y = _____ x _____
Opciones
-2
-6
2
-\tfrac{1}{2}
+ 7
+ 11
+ 5
+ 3
Pista
Los valores de y cambian la misma cantidad en cada paso, pero cada paso en x es 3, no 1. La tabla no tiene una columna con x = 0, así que debes calcular b.
Pregunta 25 de 36
Varias respuestas
Several equations are listed below. Select all of them whose graph contains both (-4, 1) and (2, 4).
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Find the slope. Point-slope form can use either point, and slope-intercept form is also allowed.
Point-slope with (-4, 1): y - 1 = \tfrac{1}{2}(x + 4) ✓.
Point-slope with (2, 4): y - 4 = \tfrac{1}{2}(x - 2) ✓.
Slope-intercept: 1 = \tfrac{1}{2}(-4) + b = -2 + b, so b = 3: y = \tfrac{1}{2}x + 3 ✓.
The wrong ones:
y - 1 = \tfrac{1}{2}(x - 4) uses the point (4, 1) — sign error.
y - 4 = 2(x - 2) uses run over rise for the slope.
y = \tfrac{1}{2}x + 1 uses a y-coordinate as the intercept.
Answer: y - 1 = \tfrac{1}{2}(x + 4), y - 4 = \tfrac{1}{2}(x - 2) and y = \tfrac{1}{2}x + 3.
Check: Simplify the two point-slope equations: y = \tfrac{1}{2}x + 2 + 1 = \tfrac{1}{2}x + 3 and y = \tfrac{1}{2}x - 1 + 4 = \tfrac{1}{2}x + 3 ✓. All three are the same line.
Tip: In select-all items, expect more than one correct form. Converting each to y = mx + b is the quickest way to compare them.
Punto-pendiente con (-4, 1): y - 1 = \tfrac{1}{2}(x + 4) ✓.
Punto-pendiente con (2, 4): y - 4 = \tfrac{1}{2}(x - 2) ✓.
Pendiente-intersección: 1 = \tfrac{1}{2}(-4) + b = -2 + b, así que b = 3: y = \tfrac{1}{2}x + 3 ✓.
Las incorrectas:
y - 1 = \tfrac{1}{2}(x - 4) usa el punto (4, 1): error de signo.
y - 4 = 2(x - 2) usa el cambio horizontal sobre el vertical como pendiente.
y = \tfrac{1}{2}x + 1 usa una coordenada y como intersección.
Respuesta: y - 1 = \tfrac{1}{2}(x + 4), y - 4 = \tfrac{1}{2}(x - 2) y y = \tfrac{1}{2}x + 3.
Comprobación: Simplifica las dos ecuaciones punto-pendiente: y = \tfrac{1}{2}x + 2 + 1 = \tfrac{1}{2}x + 3 y y = \tfrac{1}{2}x - 1 + 4 = \tfrac{1}{2}x + 3 ✓. Las tres son la misma recta.
Consejo: En las preguntas de seleccionar todas, espera más de una forma correcta. Convertir cada una a y = mx + b es la manera más rápida de compararlas.
Ver en español
Pregunta
Abajo hay una lista de varias ecuaciones. Selecciona todas aquellas cuya gráfica contiene los puntos (-4, 1) y (2, 4).
Opciones
A.y - 1 = \tfrac{1}{2}(x + 4)
B.y - 4 = \tfrac{1}{2}(x - 2)
C.y = \tfrac{1}{2}x + 3
D.y - 1 = \tfrac{1}{2}(x - 4)
E.y - 4 = 2(x - 2)
F.y = \tfrac{1}{2}x + 1
Pista
Encuentra la pendiente. La forma punto-pendiente puede usar cualquiera de los dos puntos, y la forma pendiente-intersección también es válida.
Pregunta 26 de 36
Look at the rising line and its two labeled points.
A rising line with labeled points (-3, -4) and (3, 0)
Which point-slope equation describes this line?
Pista
Find the slope from the two marked points. The answer choices are in point-slope form — check the signs inside the parentheses.
Point-slope form with (-3, -4): y - (-4) = \tfrac{2}{3}\big(x - (-3)\big), which is
y + 4 = \tfrac{2}{3}(x + 3)
Answer: y + 4 = \tfrac{2}{3}(x + 3)
Check: Point (3, 0): left 0 + 4 = 4; right \tfrac{2}{3}(6) = 4 ✓. In slope-intercept form, y = \tfrac{2}{3}x + 2 - 4 = \tfrac{2}{3}x - 2, which matches the graph crossing at (0, -2) ✓.
Tip: Both coordinates of (-3, -4) are negative, so both signs in point-slope form become plus: (y + 4) and (x + 3).
Forma punto-pendiente con (-3, -4): y - (-4) = \tfrac{2}{3}\big(x - (-3)\big), que es
y + 4 = \tfrac{2}{3}(x + 3)
Respuesta: y + 4 = \tfrac{2}{3}(x + 3)
Comprobación: Punto (3, 0): izquierda 0 + 4 = 4; derecha \tfrac{2}{3}(6) = 4 ✓. En forma pendiente-intersección, y = \tfrac{2}{3}x + 2 - 4 = \tfrac{2}{3}x - 2, lo que coincide con la gráfica, que cruza en (0, -2) ✓.
Consejo: Las dos coordenadas de (-3, -4) son negativas, así que ambos signos en la forma punto-pendiente se vuelven más: (y + 4) y (x + 3).
Ver en español
Pregunta
Observa la recta ascendente y sus dos puntos marcados.
¿Qué ecuación en forma punto-pendiente describe esta recta?
Opciones
A.y - 4 = \tfrac{2}{3}(x - 3)
B.y = \tfrac{3}{2}x - 2
C.y = \tfrac{2}{3}x - 4
D.y + 4 = \tfrac{2}{3}(x + 3)
Pista
Encuentra la pendiente con los dos puntos marcados. Las opciones de respuesta están en forma punto-pendiente: revisa los signos dentro de los paréntesis.
Pregunta 27 de 36
An electric company charges a monthly service fee plus a fixed price for each kilowatt-hour (kWh) used. One month a customer used 400 kWh and paid $68.60. The next month she used 650 kWh and paid $102.85.
What is the monthly service fee?
Pista
Find the price per kWh from the two months. Then remove the energy charges from either bill.
Solución paso a paso
Points (k, C): (400, 68.60) and (650, 102.85).
Price per kWh (slope): m = \dfrac{102.85 - 68.60}{650 - 400} = \dfrac{34.25}{250} = 0.137 dollars per kWh.
Energy charge for 400 kWh: 0.137 \times 400 = 54.80.
Consejo: Con decimales de dinero, usa la calculadora y luego comprueba con el otro dato. Si coincide hasta el centavo, tu tarifa es correcta.
Ver en español
Pregunta
Una compañía de electricidad cobra una tarifa de servicio mensual más un precio fijo por cada kilovatio-hora (kWh) usado. Un mes, una clienta usó 400 kWh y pagó $68.60. Al mes siguiente usó 650 kWh y pagó $102.85.
¿Cuál es la tarifa de servicio mensual?
Opciones
A. $13.80
B. $34.25
C. $54.80
D. $68.60
Pista
Encuentra el precio por kWh a partir de los dos meses. Luego quita el cobro por energía de cualquiera de las dos facturas.
Pregunta 28 de 36
Andre found the equation of the line through (-3, 4) and (1, -8). His work is shown.
Substitute (4, 5) into y = 0.6x + b: 5 = 0.6(4) + b = 2.4 + b.
Subtract: b = 5 - 2.4 = 2.6.
Answer: 2.6 (or \tfrac{13}{5})
Check: Use the other point (-6, -1): 0.6(-6) + 2.6 = -3.6 + 2.6 = -1 ✓.
Tip: The y-intercept of a line through two points does not have to be a whole number. Converting the slope to a decimal (\tfrac{3}{5} = 0.6) makes the rest easy on the calculator.
Sustituye (4, 5) en y = 0.6x + b: 5 = 0.6(4) + b = 2.4 + b.
Resta: b = 5 - 2.4 = 2.6.
Respuesta: 2.6 (o \tfrac{13}{5})
Comprobación: Usa el otro punto (-6, -1): 0.6(-6) + 2.6 = -3.6 + 2.6 = -1 ✓.
Consejo: La intersección con el eje y de una recta que pasa por dos puntos no tiene que ser un número entero. Convertir la pendiente a decimal (\tfrac{3}{5} = 0.6) facilita el resto en la calculadora.
Ver en español
Pregunta
Encuentra dónde toca el eje vertical la recta que pasa por (-6, -1) y (4, 5). Escribe esa coordenada y como decimal o como fracción.
y = _____
Pista
Encuentra la pendiente y luego sustituye un punto en y = mx + b. La respuesta no es un número entero.
Pregunta 30 de 36
A line passes through the points (-2, -7) and (3, 8).
Which point also lies on this line?
Pista
Write the equation of the line, then test each answer choice in it.
Tip: Large numbers make careful setup even more important. Write the points with their units, find the slope, and let the calculator do the arithmetic.
Explicación
Puntos: (2, 21400) y (5, 15250).
Pendiente: m = \dfrac{15{,}250 - 21{,}400}{5 - 2} = \dfrac{-6{,}150}{3} = -2{,}050 dólares por año. El carro pierde $2,050 por año ✓
Encuentra b: 21{,}400 = -2{,}050(2) + b = -4{,}100 + b, así que b = 25{,}500. El precio de compra es $25,500 ✓
Modelo: V = -2{,}050t + 25{,}500.
Después de 10 años: V = -2{,}050(10) + 25{,}500 = -20{,}500 + 25{,}500 = 5{,}000 ✓
Afirmaciones falsas: "precio de compra de $21,400" es el valor a los 2 años, no a los 0; "$6,150 por año" es el cambio en 3 años.
Respuesta: el carro pierde $2,050 por año; se compró por $25,500; vale $5,000 después de 10 años.
Consejo: Con números grandes, es aún más importante plantear el problema con cuidado. Escribe los puntos con sus unidades, encuentra la pendiente y deja que la calculadora haga las operaciones.
Ver en español
Pregunta
Un carro pierde valor a un ritmo constante. Dos años después de comprarlo, el carro valía $21,400. Cinco años después de comprarlo, valía $15,250.
Sea V el valor del carro en dólares t años después de la compra. Selecciona todas las afirmaciones que son verdaderas.
Opciones
A. El carro pierde $2,050 de valor cada año.
B. El carro se compró por $25,500.
C. El modelo predice que el carro valdrá $5,000 diez años después de comprarlo.
D. El carro se compró por $21,400.
E. El carro pierde $6,150 de valor cada año.
Pista
Escribe las dos situaciones como puntos (t, V). Encuentra el cambio por año (la pendiente) y el valor en t = 0, y luego prueba cada afirmación.
Pregunta 32 de 36
Completar
A line passes through the points (-4, 5) and (6, k). The line crosses the y-axis at (0, 7).
What is the value of k?
k =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The y-intercept is a second complete point. Use it with (-4, 5) to find the slope.
Solución paso a paso
Two complete points are known: (-4, 5) and the y-intercept (0, 7).
The point (6, k) is on the line: k = \tfrac{1}{2}(6) + 7 = 3 + 7 = 10.
Answer: k = 10
Check: Slope from (-4, 5) to (6, 10): \dfrac{10 - 5}{6 - (-4)} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} ✓.
Tip: A y-intercept given as a point (0, b) is just another point on the line. Once you see two complete points, the problem becomes a normal two-point problem.
Explicación
Conoces dos puntos completos: (-4, 5) y la intersección con el eje y, (0, 7).
El punto (6, k) está en la recta: k = \tfrac{1}{2}(6) + 7 = 3 + 7 = 10.
Respuesta: k = 10
Comprobación: Pendiente de (-4, 5) a (6, 10): \dfrac{10 - 5}{6 - (-4)} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} ✓.
Consejo: Una intersección con el eje y dada como punto (0, b) es simplemente otro punto de la recta. Cuando ves dos puntos completos, el problema se vuelve un problema normal de dos puntos.
Ver en español
Pregunta
Una recta pasa por los puntos (-4, 5) y (6, k). La recta cruza el eje y en (0, 7).
¿Cuál es el valor de k?
k = _____
Pista
La intersección con el eje y es un segundo punto completo. Úsalo con (-4, 5) para encontrar la pendiente.
Pregunta 33 de 36
Varias respuestas
A print shop charges a setup fee plus a fixed price per flyer. An order of 200 flyers costs $46. An order of 500 flyers costs $85.
Let C be the cost in dollars of an order of n flyers. Select all statements that are true.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Find the price per flyer from the two orders, then the setup fee. Be suspicious of any statement that just doubles or divides a total.
Solución paso a paso
Points (n, C): (200, 46) and (500, 85).
Price per flyer: m = \dfrac{85 - 46}{500 - 200} = \dfrac{39}{300} = 0.13 dollars. ✓
Setup fee: 46 = 0.13(200) + b = 26 + b, so b = 20. ✓ Model: C = 0.13n + 20.
"1,000 volantes cuestan $170" duplica el precio de 500 volantes, lo que cuenta dos veces la tarifa de preparación.
"Cada volante cuesta $0.23" divide $46 entre 200, lo que reparte la tarifa de preparación en el precio de cada volante.
C = 0.17n divide $85 entre 500 e ignora la tarifa de preparación.
Respuesta: cada volante adicional cuesta $0.13; la tarifa de preparación es $20; 1,000 volantes cuestan $150.
Comprobación:0.13(500) + 20 = 65 + 20 = 85 ✓.
Consejo: Total ÷ cantidad da el precio por artículo solo cuando no hay una tarifa fija. Si hay tarifa, usa el cambio en el costo ÷ el cambio en la cantidad.
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Pregunta
Una imprenta cobra una tarifa de preparación más un precio fijo por volante. Un pedido de 200 volantes cuesta $46. Un pedido de 500 volantes cuesta $85.
Sea C el costo en dólares de un pedido de n volantes. Selecciona todos los enunciados verdaderos.
Opciones
A. Cada volante adicional cuesta $0.13.
B. La tarifa de preparación es de $20.
C. Un pedido de 1,000 volantes cuesta $150.
D. Un pedido de 1,000 volantes cuesta $170.
E. Cada volante cuesta $0.23.
F. El costo se representa con C = 0.17n.
Pista
Encuentra el precio por volante a partir de los dos pedidos y luego la tarifa de preparación. Desconfía de cualquier enunciado que solo duplica o divide un total.
Pregunta 34 de 36
Ray pays off a loan with equal weekly payments. The table shows the amount he still owes after some of the weeks.
Week, w
2
5
9
Amount owed, A (dollars)
1,860
1,545
1,125
Which equation models the amount owed A after w weeks?
Pista
The weeks are not evenly spaced. Find the change in A divided by the change in w, then work back to week 0.
Solución paso a paso
Slope from (2, 1860) to (5, 1545): m = \dfrac{1545 - 1860}{5 - 2} = \dfrac{-315}{3} = -105. He pays $105 per week.
Confirm with (5, 1545) and (9, 1125): \dfrac{1125 - 1545}{9 - 5} = \dfrac{-420}{4} = -105 ✓.
Find b: 1860 = -105(2) + b = -210 + b, so b = 2070. The loan was $2,070 at the start.
Consejo: Los saltos desiguales en una tabla son una trampa: la bajada de la semana 2 a la semana 5 es de $315, pero abarca 3 semanas. Divide siempre entre el cambio en x.
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Pregunta
Ray paga un préstamo con pagos semanales iguales. La tabla muestra la cantidad que todavía debe después de algunas semanas.
Semana, w
2
5
9
Cantidad que debe, A (dólares)
1,860
1,545
1,125
¿Qué ecuación representa la cantidad que debe, A, después de w semanas?
Opciones
A.A = 105w + 1650
B.A = -105w + 2070
C.A = -105w + 1860
D.A = -315w + 2490
Pista
Las semanas no están espaciadas de manera uniforme. Encuentra el cambio en A dividido entre el cambio en w y luego trabaja hacia atrás hasta la semana 0.
Pregunta 35 de 36
A kayak rental costs a fixed fee plus an hourly rate. Renting for 2 hours costs $38 and renting for 5 hours costs $77. Tomás wrote an equation for the cost C of renting for h hours.
In b = y_1 - m x_1, the x-value and the y-value must come from the same point.
Solución paso a paso
Step 1 is correct: (hours, cost) pairs.
Step 2 is correct: $39 more for 3 more hours is $13 per hour.
Step 3 is wrong: Tomás used y = 77 from the 5-hour point but x = 2 from the 2-hour point. He must use one point:
b = 38 - 13(2) = 12 \quad\text{or}\quad b = 77 - 13(5) = 12
The correct model is C = 13h + 12 (fixed fee $12).
Answer: Step 3 mixes coordinates from different points; the fee is $12.
Check:13(2) + 12 = 38 ✓ and 13(5) + 12 = 77 ✓. Tomás's model gives 13(2) + 51 = 77 for 2 hours, which is wrong.
Tip: After finding b, test both data points. A correct line must reproduce every given value.
Explicación
El Paso 1 es correcto: pares de (horas, costo).
El Paso 2 es correcto: $39 más por 3 horas más son $13 por hora.
El Paso 3 está mal: Tomás usó y = 77 del punto de 5 horas, pero x = 2 del punto de 2 horas. Debe usar un solo punto:
b = 38 - 13(2) = 12 \quad\text{o}\quad b = 77 - 13(5) = 12
El modelo correcto es C = 13h + 12 (tarifa fija de $12).
Respuesta: el Paso 3 mezcla coordenadas de puntos distintos; la tarifa es $12.
Comprobación:13(2) + 12 = 38 ✓ y 13(5) + 12 = 77 ✓. El modelo de Tomás da 13(2) + 51 = 77 para 2 horas, lo cual es incorrecto.
Consejo: Después de encontrar b, prueba ambos datos. Una recta correcta debe reproducir todos los valores dados.
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Pregunta
La renta de un kayak cuesta una tarifa fija más una tarifa por hora. Rentarlo por 2 horas cuesta $38 y rentarlo por 5 horas cuesta $77. Tomás escribió una ecuación para el costo C de rentarlo por h horas.
Check: Reverse the order: \dfrac{4 - (-6)}{-2.5 - 1.5} = \dfrac{10}{-4} = -2.5 ✓. The y-values fall as x rises, so the slope is negative ✓.
Tip: Decimal coordinates follow exactly the same rules. On the calculator, use the (-) key for negative numbers and put the whole top and bottom in parentheses.
Comprobación: Invierte el orden: \dfrac{4 - (-6)}{-2.5 - 1.5} = \dfrac{10}{-4} = -2.5 ✓. Los valores de y bajan cuando x sube, así que la pendiente es negativa ✓.
Consejo: Las coordenadas decimales siguen exactamente las mismas reglas. En la calculadora, usa la tecla (-) para los números negativos y pon todo el numerador y todo el denominador entre paréntesis.
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Pregunta
Una recta contiene los puntos (-2.5, 4) y (1.5, -6). ¿Cuál es su pendiente m? Escribe tu respuesta como decimal o como fracción.
m = _____
Pista
Usa la fórmula de la pendiente con los decimales. Ten cuidado al restar un decimal negativo.
