Este es un cálculo aproximado según tu porcentaje de aciertos en nuestros exámenes de práctica. La conversión oficial de puntajes del GED® no es pública, así que tu puntaje real puede ser diferente. Con 145 o más apruebas; 165 o más es «College Ready».
Consejo: No hace falta desarrollar (x + 2)^2. Cuando un grupo al cuadrado es igual a un número, saca \pm\sqrt{\ } de inmediato: es más rápido y evita errores.
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Pregunta
Dos números diferentes x cumplen (x + 2)^2 = 81. Escribe el menor.
x = _____
Pista
Primero deshaz el cuadrado con \pm. Así tendrás dos ecuaciones lineales pequeñas.
Pregunta 3 de 10 · Escribir ecuaciones cuadráticas a partir de un contexto
Completar
The product of two consecutive positive odd integers is 143.
What is the smaller integer?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Odd numbers are 2 apart. If the smaller one is n, what is the next odd number?
Solución paso a paso
Let n = the smaller odd integer. The next odd integer is n + 2.
Equation: n(n + 2) = 143
Standard form: n^2 + 2n - 143 = 0.
Find two numbers that multiply to -143 and add to 2: 13 and -11.
Factor: (n + 13)(n - 11) = 0, so n = 11 or n = -13.
The integers are positive, so n = 11. The smaller integer is 11 (the pair is 11 and 13).
Check:11 \times 13 = 143 ✓; both are odd and 2 apart ✓
Tip: A quick estimate helps: \sqrt{143} \approx 12, so the two odd numbers sit on either side of 12 — 11 and 13.
Explicación
Sea n = el entero impar menor. El siguiente entero impar es n + 2.
Ecuación: n(n + 2) = 143
Forma estándar: n^2 + 2n - 143 = 0.
Busca dos números que multiplicados den -143 y sumados den 2: 13 y -11.
Factoriza: (n + 13)(n - 11) = 0, así que n = 11 o n = -13.
Los enteros son positivos, así que n = 11. El entero menor es 11 (la pareja es 11 y 13).
Comprobación:11 \times 13 = 143 ✓; los dos son impares y se separan por 2 ✓
Consejo: Una estimación rápida ayuda: \sqrt{143} \approx 12, así que los dos números impares quedan a cada lado de 12: 11 y 13.
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Pregunta
El producto de dos enteros impares positivos consecutivos es 143.
¿Cuál es el entero menor?
Pista
Los números impares están separados por 2. Si el menor es n, ¿cuál es el siguiente número impar?
Pregunta 4 de 10 · Escribir ecuaciones cuadráticas a partir de un contexto
Sin calculadora
A bakery sells 200 loaves of bread a day at $4 each. The owner estimates that for every $0.50 increase in price, she will sell 10 fewer loaves.
Let x be the number of $0.50 increases. Which expression gives the daily revenue, in dollars?
Pista
Revenue = (price per loaf) × (number of loaves). Write each one in terms of x.
Solución paso a paso
Price: each increase adds $0.50, so after x increases the price is 4 + 0.5x dollars.
Loaves sold: each increase loses 10 loaves, so she sells 200 - 10x loaves.
Revenue = price × number sold:
R = (4 + 0.5x)(200 - 10x)
The expression is (4 + 0.5x)(200 - 10x).
Check: Try x = 2: price 4 + 1 = \$5, loaves 200 - 20 = 180, revenue 5 \times 180 = \$900. The expression gives (5)(180) = 900 ✓. At x = 0 it gives 4 \times 200 = \$800, today's revenue ✓
Tip: Test your model with x = 0 (it should give today's numbers) and x = 1 (one step of change).
Explicación
Precio: cada aumento suma $0.50, así que después de x aumentos el precio es 4 + 0.5x dólares.
Panes vendidos: cada aumento hace perder 10 panes, así que vende 200 - 10x panes.
The solutions are x \approx 1.3 and x \approx -5.3.
Check: The two solutions should add to -\tfrac{b}{a} = -4: 1.3 + (-5.3) = -4 ✓. And 1.3^2 + 4(1.3) - 7 = 1.69 + 5.2 - 7 \approx -0.1 (close to 0 because of rounding) ✓
Tip: Divide the whole numerator by 2a, not just the square root.
Las soluciones son x \approx 1.3 y x \approx -5.3.
Comprobación: Las dos soluciones deben sumar -\tfrac{b}{a} = -4: 1.3 + (-5.3) = -4 ✓. Y 1.3^2 + 4(1.3) - 7 = 1.69 + 5.2 - 7 \approx -0.1 (cerca de 0 por el redondeo) ✓
Consejo: Divide todo el numerador entre 2a, no solo la raíz cuadrada.
Ver en español
Pregunta
¿Cuáles son las soluciones de x^2 + 4x - 7 = 0, redondeadas a la décima más cercana?
Opciones
A.x \approx 1.3 y x \approx -5.3
B.x \approx -1.3 y x \approx 5.3
C.x \approx 2.6 y x \approx -10.6
D. No hay soluciones reales
Pista
Usa x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} con a = 1. Fíjate en el signo de c dentro de la raíz cuadrada.
Pregunta 6 de 10 · Resolver ecuaciones cuadráticas
Sin calculadora
The table shows some values of y = x^2 + x - 12.
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
0
-6
-10
-12
-12
-10
-6
0
Based on the table, what are the solutions of x^2 + x - 12 = 0?
Pista
A solution makes x^2 + x - 12 equal to 0. Look for the columns where y = 0.
Solución paso a paso
Solving x^2 + x - 12 = 0 means finding the x-values that make y = 0.
Scan the y row for 0. It appears in two columns: x = -4 and x = 3.
So the solutions are x = -4 and x = 3.
A quadratic has at most two solutions, so we have found them all.
Check: Factor: x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3), which gives x = -4 or x = 3 ✓. Also (-4)^2 + (-4) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0 ✓
Tip: In a table, the solutions are the x-values in the columns where y = 0 — never the y-values themselves, and not where y is smallest.
Explicación
Resolver x^2 + x - 12 = 0 significa encontrar los valores de x que hacen y = 0.
Busca el 0 en la fila de y. Aparece en dos columnas: x = -4 y x = 3.
Así que las soluciones son x = -4 y x = 3.
Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos soluciones, así que ya las encontramos todas.
Comprobación: Factoriza: x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3), que da x = -4 o x = 3 ✓. También (-4)^2 + (-4) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0 ✓
Consejo: En una tabla, las soluciones son los valores de x en las columnas donde y = 0; nunca los valores de y, ni donde y es más pequeño.
Ver en español
Pregunta
La tabla muestra algunos valores de y = x^2 + x - 12.
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
0
-6
-10
-12
-12
-10
-6
0
Según la tabla, ¿cuáles son las soluciones de x^2 + x - 12 = 0?
Opciones
A.x = 4 y x = -3
B.x = -4 y x = 3
C.x = -1 y x = 0
D.x = 0 y x = -12
Pista
Una solución hace que x^2 + x - 12 sea igual a 0. Busca las columnas donde y = 0.
Pregunta 7 de 10 · Escribir ecuaciones cuadráticas a partir de un contexto
Completar
A rectangular pool is 30 feet by 20 feet. A concrete walkway of the same width, x feet, surrounds the pool on all sides. The area of the walkway alone is 336 square feet.
Pool with surrounding walkway of width x
How wide is the walkway, in feet?
feet
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Walkway area = (area of the big outer rectangle) − (area of the pool). Each outer dimension is the pool dimension plus 2x.
Solución paso a paso
Outer rectangle: (30 + 2x) by (20 + 2x). Pool area: 30 \times 20 = 600.
Walkway area = outer area − pool area: (30 + 2x)(20 + 2x) - 600 = 336
Tip: When only the border's area is given, subtract the inner area. Forgetting this (setting the outer area equal to 336) gives an impossible equation, since the pool alone is already 600 ft².
Explicación
Rectángulo exterior: (30 + 2x) por (20 + 2x). Área de la piscina: 30 \times 20 = 600.
Área del camino = área exterior − área de la piscina: (30 + 2x)(20 + 2x) - 600 = 336
Consejo: Cuando solo se da el área del borde, resta el área interior. Si lo olvidas (igualando el área exterior a 336), obtienes una ecuación imposible, porque la piscina sola ya mide 600 ft².
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Pregunta
Una piscina rectangular mide 30 pies por 20 pies. Un camino de concreto del mismo ancho, x pies, rodea la piscina por todos los lados. El área del camino solo es 336 pies cuadrados.
¿Qué ancho tiene el camino, en pies?
_____ pies
Pista
Área del camino = (área del rectángulo exterior grande) − (área de la piscina). Cada dimensión exterior es la dimensión de la piscina más 2x.
Pregunta 8 de 10 · Escribir ecuaciones cuadráticas a partir de un contexto
A rectangular parking lot is 20 feet longer than it is wide. Its area is 2,400 square feet.
What is the width of the parking lot?
Pista
Write w(w + 20) = 2400, move everything to one side, and factor. Then read which dimension the question wants.
Solución paso a paso
Let w = width. Length = w + 20. Area:
w(w + 20) = 2400 \;\Rightarrow\; w^2 + 20w - 2400 = 0
Factor: two numbers with product -2400 and sum 20 → 60 and -40:
(w + 60)(w - 40) = 0
So w = -60 or w = 40. A width cannot be negative, so w = 40.
The width is 40 feet (the length is 60 feet).
Check:40 \times 60 = 2{,}400 ✓ and 60 - 40 = 20 ✓
Tip: Don't take \sqrt{2400} — that only works for a square. A rectangle with different sides needs the full quadratic.
Explicación
Sea w = el ancho. Largo = w + 20. Área:
w(w + 20) = 2400 \;\Rightarrow\; w^2 + 20w - 2400 = 0
Factoriza: dos números con producto -2400 y suma 20 → 60 y -40:
(w + 60)(w - 40) = 0
Así que w = -60 o w = 40. Un ancho no puede ser negativo, así que w = 40.
Consejo: Cuando simplifiques \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}, divide los dos términos del numerador entre 2.
Ver en español
Pregunta
Antes de usar la fórmula cuadrática, hay que poner la ecuación x^2 = 6x - 4 en forma estándar. ¿Qué expresión, completamente simplificada, da sus soluciones?
Opciones
A.3 \pm \sqrt{5}
B.-3 \pm \sqrt{5}
C.3 \pm \sqrt{13}
D.6 \pm \sqrt{5}
Pista
Primero escríbela en la forma ax^2 + bx + c = 0. Luego usa la fórmula y simplifica \sqrt{20}.
Pregunta 10 de 10 · Escribir ecuaciones cuadráticas a partir de un contexto
A community theater charges $12 per ticket and sells 300 tickets per show. A survey shows that for every $1 increase in the ticket price, the theater will sell 15 fewer tickets.
Let x be the number of $1 increases. Which equation can be used to find the value(s) of x that would bring in $3,825 per show?
Pista
Revenue = (price per ticket) × (number of tickets). Write each one in terms of x.
Solución paso a paso
Price per ticket after x increases: 12 + x dollars.
Tickets sold: each increase loses 15 tickets, so 300 - 15x.
Al resolverla: 3600 - 180x + 300x - 15x^2 = 3825 \Rightarrow -15x^2 + 120x - 225 = 0. Divide entre -15: x^2 - 8x + 15 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x - 5) = 0, así que x = 3 o x = 5: un precio de boleto de $15 o $17.
Consejo: En los problemas de ingresos, un factor sube con x (el precio) y el otro baja (la cantidad vendida). Multiplícalos; nunca los sumes.
Ver en español
Pregunta
Un teatro comunitario cobra $12 por boleto y vende 300 boletos por función. Una encuesta muestra que por cada $1 que sube el precio del boleto, el teatro venderá 15 boletos menos.
Sea x el número de aumentos de $1. ¿Qué ecuación se puede usar para hallar el valor o los valores de x que darían $3,825 por función?
Opciones
A.(12 + x)(300 + 15x) = 3825
B.12x(300 - 15x) = 3825
C.(12 + x)(300 - 15x) = 3825
D.(12 + x) + (300 - 15x) = 3825
Pista
Ingresos = (precio por boleto) × (número de boletos). Escribe cada uno en función de x.