Este es un cálculo aproximado según tu porcentaje de aciertos en nuestros exámenes de práctica. La conversión oficial de puntajes del GED® no es pública, así que tu puntaje real puede ser diferente. Con 145 o más apruebas; 165 o más es «College Ready».
Pregunta 1 de 5 · Sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales
Sin calculadora
Ms. Okafor has 7\tfrac{1}{2} yards of ribbon to make award rosettes for her students. Each rosette uses \tfrac{5}{8} yard of ribbon.
How many rosettes can she make?
Pista
You want to know how many \tfrac{5}{8}-yard pieces fit into the whole length. Which operation answers "how many fit?"
Solución paso a paso
"How many \tfrac{5}{8}-yard pieces fit in 7\tfrac{1}{2} yards?" is a division question: 7\tfrac{1}{2} \div \tfrac{5}{8}.
Change the mixed number to an improper fraction: 7\tfrac{1}{2} = \dfrac{7 \times 2 + 1}{2} = \dfrac{15}{2}.
Dividing by a fraction means multiplying by its reciprocal: \dfrac{15}{2} \div \dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{2} \times \dfrac{8}{5}.
Cancel before multiplying: \dfrac{15}{5} = 3 and \dfrac{8}{2} = 4, so the product is 3 \times 4 = 12.
She can make 12 rosettes.
Check:12 \times \tfrac{5}{8} = \tfrac{60}{8} = 7\tfrac{4}{8} = 7\tfrac{1}{2} yards ✓ — the ribbon is used up exactly.
Tip: "How many groups of this size fit?" always means divide, and the total goes first. A quick estimate helps: each piece is a bit more than half a yard, so you get a bit fewer than 2 \times 7.5 = 15 pieces.
Explicación
"¿Cuántos trozos de \tfrac{5}{8} de yarda caben en 7\tfrac{1}{2} yardas?" es una pregunta de división: 7\tfrac{1}{2} \div \tfrac{5}{8}.
Cambia el número mixto a fracción impropia: 7\tfrac{1}{2} = \dfrac{7 \times 2 + 1}{2} = \dfrac{15}{2}.
Dividir entre una fracción es multiplicar por su recíproco: \dfrac{15}{2} \div \dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{2} \times \dfrac{8}{5}.
Simplifica antes de multiplicar: \dfrac{15}{5} = 3 y \dfrac{8}{2} = 4, así que el producto es 3 \times 4 = 12.
Puede hacer 12 rosetas.
Comprobación:12 \times \tfrac{5}{8} = \tfrac{60}{8} = 7\tfrac{4}{8} = 7\tfrac{1}{2} yardas ✓ — el listón se usa exactamente completo.
Consejo: "¿Cuántos grupos de este tamaño caben?" siempre significa dividir, y el total va primero. Una estimación rápida ayuda: cada trozo es un poco más de media yarda, así que obtienes un poco menos de 2 \times 7.5 = 15 trozos.
Ver en español
Pregunta
La Sra. Okafor tiene 7\tfrac{1}{2} yardas de listón para hacer rosetas de premio para sus estudiantes. Cada roseta usa \tfrac{5}{8} de yarda de listón.
¿Cuántas rosetas puede hacer?
Opciones
A.4\tfrac{11}{16}
B.\tfrac{1}{12}
C.11\tfrac{7}{10}
D.12
Pista
Quieres saber cuántos pedazos de \tfrac{5}{8} de yarda caben en toda la longitud. ¿Qué operación responde "¿cuántos caben?"?
Pregunta 2 de 5 · Reglas de los exponentes
Sin calculadora
Which expression is equivalent to
\dfrac{\left(3x^{-2}y^{4}\right)^{3}}{9x^{-5}y}
for all nonzero values of x and y?
Pista
Apply the power to every factor inside the parentheses first. Then divide like bases by subtracting exponents (watch the negative signs).
Solución paso a paso
Power of a product: raise each factor to the 3rd power.
3^{3} = 27
(x^{-2})^{3} = x^{-2 \cdot 3} = x^{-6}
(y^{4})^{3} = y^{12}
So the numerator is 27x^{-6}y^{12}.
Put it together: 3x^{-1}y^{11} = \dfrac{3y^{11}}{x} (a negative exponent moves the factor to the denominator).
The answer is \dfrac{3y^{11}}{x}.
Check: Try x = 1, y = 1: original = \dfrac{3^{3}}{9} = 3 and \dfrac{3 \cdot 1}{1} = 3 ✓. Try x = 2, y = 1: original = \dfrac{27 \cdot 2^{-6}}{9 \cdot 2^{-5}} = 3 \cdot 2^{-1} = 1.5, and \dfrac{3}{2} = 1.5 ✓.
Tip: Power of a power → multiply exponents. Dividing like bases → subtract exponents, and write "minus a negative" as plus. Do not forget that the coefficient 3 is cubed too.
Explicación
Potencia de un producto: eleva cada factor a la 3.ª potencia.
3^{3} = 27
(x^{-2})^{3} = x^{-2 \cdot 3} = x^{-6}
(y^{4})^{3} = y^{12}
Así, el numerador es 27x^{-6}y^{12}.
Divide los números:\dfrac{27}{9} = 3.
Divide las x (resta los exponentes): x^{-6 - (-5)} = x^{-6 + 5} = x^{-1}.
Divide las y:y^{12 - 1} = y^{11}.
Júntalo todo: 3x^{-1}y^{11} = \dfrac{3y^{11}}{x} (un exponente negativo pasa el factor al denominador).
La respuesta es \dfrac{3y^{11}}{x}.
Comprobación: Prueba x = 1, y = 1: original = \dfrac{3^{3}}{9} = 3 y \dfrac{3 \cdot 1}{1} = 3 ✓. Prueba x = 2, y = 1: original = \dfrac{27 \cdot 2^{-6}}{9 \cdot 2^{-5}} = 3 \cdot 2^{-1} = 1.5, y \dfrac{3}{2} = 1.5 ✓.
Consejo: Potencia de una potencia → multiplica los exponentes. Al dividir bases iguales → resta los exponentes, y escribe "menos un negativo" como más. No olvides que el coeficiente 3 también se eleva al cubo.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a
\dfrac{\left(3x^{-2}y^{4}\right)^{3}}{9x^{-5}y}
para todos los valores de x y y distintos de cero?
Opciones
A.\dfrac{3y^{11}}{x}
B.\dfrac{3y^{11}}{x^{11}}
C.\dfrac{y^{11}}{3x}
D.3x^{6}y^{6}
Pista
Primero aplica la potencia a cada factor dentro del paréntesis. Luego divide las bases iguales restando los exponentes (cuidado con los signos negativos).
Pregunta 3 de 5 · Valor absoluto y distancia en la recta numérica
Sin calculadoraCompletar
What is the value of the expression below?
\lvert -7 + 3 \rvert - 2\lvert 2 - 9 \rvert
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Treat each pair of absolute-value bars like parentheses: simplify inside first, then take the absolute value.
Solución paso a paso
Inside the first bars:-7 + 3 = -4, and \lvert -4 \rvert = 4.
Inside the second bars:2 - 9 = -7, and \lvert -7 \rvert = 7.
The expression is now 4 - 2 \cdot 7.
Multiply before subtracting:2 \cdot 7 = 14.
Subtract:4 - 14 = -10.
The value is -10.
Check: The absolute values themselves (4 and 7) are positive, but the final answer can still be negative because we subtract a larger number: 4 - 14 = -10 ✓. A common slip is (4 - 2) \cdot 7 = 14, which subtracts before multiplying.
Tip: Absolute value makes the number inside the bars non-negative. It does not make the whole expression positive. Also, never "distribute" bars: \lvert -7 + 3 \rvert = 4, not 7 + 3 = 10.
Explicación
Dentro de las primeras barras:-7 + 3 = -4, y \lvert -4 \rvert = 4.
Dentro de las segundas barras:2 - 9 = -7, y \lvert -7 \rvert = 7.
Ahora la expresión es 4 - 2 \cdot 7.
Multiplica antes de restar:2 \cdot 7 = 14.
Resta:4 - 14 = -10.
El valor es -10.
Comprobación: Los valores absolutos (4 y 7) son positivos, pero la respuesta final puede ser negativa porque restamos un número mayor: 4 - 14 = -10 ✓. Un error común es (4 - 2) \cdot 7 = 14, que resta antes de multiplicar.
Consejo: El valor absoluto hace que el número dentro de las barras no sea negativo. No hace positiva toda la expresión. Además, nunca "distribuyas" las barras: \lvert -7 + 3 \rvert = 4, no 7 + 3 = 10.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de la expresión de abajo?
\lvert -7 + 3 \rvert - 2\lvert 2 - 9 \rvertPista
Trata cada par de barras de valor absoluto como un paréntesis: primero simplifica adentro y luego saca el valor absoluto.
Pregunta 4 de 5 · Múltiplos y factores
Sin calculadora
Three bus routes leave the downtown transit center together at 6:00 a.m.
Route 4 leaves every 12 minutes.
Route 9 leaves every 18 minutes.
Route 15 leaves every 30 minutes.
At what time will all three routes next leave the transit center at the same time?
Pista
You need the first time that is a multiple of 12, of 18 and of 30 minutes.
Solución paso a paso
The routes leave together again after a number of minutes that is a common multiple of 12, 18 and 30. The first such time is the least common multiple (LCM).
Prime-factor each number:
12 = 2^{2} \cdot 3
18 = 2 \cdot 3^{2}
30 = 2 \cdot 3 \cdot 5
Take the highest power of each prime: 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 minutes.
Check:180 \div 12 = 15, 180 \div 18 = 10, 180 \div 30 = 6 — all whole numbers ✓. And no smaller number works: the multiples of 30 below 180 are 30, 60, 90, 120, 150, and none of them is divisible by both 12 and 18.
Tip: "Happen together again" problems use the LCM; "split into equal groups as large as possible" problems use the GCF. Listing multiples of the largest number (30, 60, 90, …) and testing each is a fast no-calculator method.
Explicación
Las rutas vuelven a salir juntas después de un número de minutos que es un múltiplo común de 12, 18 y 30. El primero de esos tiempos es el mínimo común múltiplo (mcm).
Descompón cada número en factores primos:
12 = 2^{2} \cdot 3
18 = 2 \cdot 3^{2}
30 = 2 \cdot 3 \cdot 5
Toma la mayor potencia de cada primo: 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 minutos.
Comprobación:180 \div 12 = 15, 180 \div 18 = 10, 180 \div 30 = 6 — todos son números enteros ✓. Y ningún número menor funciona: los múltiplos de 30 menores que 180 son 30, 60, 90, 120, 150, y ninguno es divisible entre 12 y 18 a la vez.
Consejo: Los problemas de "vuelven a coincidir" usan el mcm; los de "dividir en grupos iguales lo más grandes posible" usan el MCD. Hacer una lista de los múltiplos del número mayor (30, 60, 90, …) y probar cada uno es un método rápido sin calculadora.
Ver en español
Pregunta
Tres rutas de autobús salen juntas de la central de transporte del centro a las 6:00 a.m.
La ruta 4 sale cada 12 minutos.
La ruta 9 sale cada 18 minutos.
La ruta 15 sale cada 30 minutos.
¿A qué hora volverán a salir las tres rutas de la central al mismo tiempo?
Opciones
A. 9:00 a.m.
B. 6:06 a.m.
C. 6:36 a.m.
D. 7:00 a.m.
Pista
Necesitas el primer tiempo que sea múltiplo de 12, de 18 y de 30 minutos.
Pregunta 5 de 5 · Cubos y raíces cúbicas
Sin calculadoraZona activa
Four points are marked on the number line below.
Click the point that best represents \sqrt[3]{-50}.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
Can you take the cube root of a negative number? Which two perfect cubes is 50 between?
Solución paso a paso
A cube root of a negative number is allowed, and it is negative: (-a)^{3} = -a^{3}. So \sqrt[3]{-50} = -\sqrt[3]{50}, and the point must be left of 0. That rules out C and D.
Find perfect cubes near 50: 3^{3} = 27 and 4^{3} = 64. Since 27 < 50 < 64, we get 3 < \sqrt[3]{50} < 4.
Fine-tune: 50 is 23 above 27 and 14 below 64, so the cube root is a bit closer to 4. Try 3.7^{3} = 50.653, which is very close. So \sqrt[3]{50} \approx 3.7 and \sqrt[3]{-50} \approx -3.7.
Point B is at about -3.7.
The answer is point B.
Check: Point A is at about -7.1, which is -\sqrt{50} (because 7.1^{2} \approx 50) — that is a square root. Point C is +\sqrt[3]{50} (wrong sign), and D is +\sqrt{50}. Only B fits: (-3.7)^{3} \approx -50.7 ✓.
Tip: Memorize the cubes 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. Odd roots (cube roots) of negative numbers are negative; even roots (square roots) of negative numbers are not real numbers.
Explicación
La raíz cúbica de un número negativo sí existe, y es negativa: (-a)^{3} = -a^{3}. Así que \sqrt[3]{-50} = -\sqrt[3]{50}, y el punto debe estar a la izquierda de 0. Eso descarta C y D.
Busca cubos perfectos cerca de 50: 3^{3} = 27 y 4^{3} = 64. Como 27 < 50 < 64, obtenemos 3 < \sqrt[3]{50} < 4.
Afina: 50 está 23 por encima de 27 y 14 por debajo de 64, así que la raíz cúbica está un poco más cerca de 4. Prueba 3.7^{3} = 50.653, que está muy cerca. Así, \sqrt[3]{50} \approx 3.7 y \sqrt[3]{-50} \approx -3.7.
El punto B está en aproximadamente -3.7.
La respuesta es el punto B.
Comprobación: El punto A está en aproximadamente -7.1, que es -\sqrt{50} (porque 7.1^{2} \approx 50) — esa es una raíz cuadrada. El punto C es +\sqrt[3]{50} (signo incorrecto), y D es +\sqrt{50}. Solo B encaja: (-3.7)^{3} \approx -50.7 ✓.
Consejo: Memoriza los cubos 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. Las raíces impares (raíces cúbicas) de números negativos son negativas; las raíces pares (raíces cuadradas) de números negativos no son números reales.
Ver en español
Pregunta
En la recta numérica de abajo hay cuatro puntos marcados.
Haz clic en el punto que mejor representa \sqrt[3]{-50}.
Pista
¿Se puede sacar la raíz cúbica de un número negativo? ¿Entre qué dos cubos perfectos está 50?
Pregunta 1 de 41 · Escribir expresiones lineales a partir de un contexto
Rosa runs a taco truck. She pays a $85 permit fee each day she parks downtown. Each taco costs her $1.20 to make, and she sells each taco for $3.50.
Which expression represents Rosa's profit, in dollars, for a day on which she sells t tacos?
Pista
Profit = money coming in − all money going out. Which costs depend on t, and which one is paid once per day?
Solución paso a paso
Money coming in (revenue): each taco sells for $3.50, so revenue is 3.50t.
Money going out (costs): each taco costs $1.20 to make, so ingredient cost is 1.20t. The permit is a fixed $85 per day, no matter how many tacos she sells.
Check: Test t = 100 tacos. Revenue = \$350, ingredients = \$120, permit = \$85, so profit = 350 - 120 - 85 = \$145. The expression gives 2.30(100) - 85 = 230 - 85 = 145 ✓.
Tip: In a profit expression the per-item amount multiplies the variable, and the one-time (fixed) cost is a constant that is subtracted. Plugging in a friendly number like 100 is a fast way to test each answer choice.
Explicación
Dinero que entra (ingresos): cada taco se vende a $3.50, así que los ingresos son 3.50t.
Dinero que sale (costos): cada taco cuesta $1.20 prepararlo, así que el costo de ingredientes es 1.20t. El permiso es un costo fijo de $85 por día, sin importar cuántos tacos venda.
Comprobación: Prueba con t = 100 tacos. Ingresos = \$350, ingredientes = \$120, permiso = \$85, así que la ganancia = 350 - 120 - 85 = \$145. La expresión da 2.30(100) - 85 = 230 - 85 = 145 ✓.
Consejo: En una expresión de ganancia, la cantidad por artículo multiplica a la variable, y el costo único (fijo) es una constante que se resta. Sustituir un número fácil como 100 es una forma rápida de probar cada opción.
Ver en español
Pregunta
Rosa tiene un camión de tacos. Paga un permiso de $85 cada día que se estaciona en el centro. Cada taco le cuesta $1.20 prepararlo, y vende cada taco a $3.50.
¿Qué expresión representa la ganancia de Rosa, en dólares, en un día en el que vende t tacos?
Opciones
A.2.30t + 85
B.2.30t - 85
C.4.70t - 85
D.3.50t - 85
Pista
Ganancia = dinero que entra − todo el dinero que sale. ¿Qué costos dependen de t y cuál se paga una vez al día?
Pregunta 2 de 41 · Tasas unitarias
City buses offer three ways to pay for one week of riding:
Fare option
Price
Single ride
$2.75 per ride
10-ride card (expires at the end of the week)
$22.50
7-day unlimited pass
$32.00
Jamal will take exactly 14 rides this week. He chooses the combination of fare options with the lowest total cost.
To the nearest cent, what will Jamal pay per ride?
Pista
List every sensible way to cover 14 rides (singles only, cards, card + singles, pass) and find the total for each before dividing.
Solución paso a paso
Find the total cost of each way to cover 14 rides:
one 10-ride card + 4 single rides: 22.50 + 4 \times 2.75 = 22.50 + 11.00 = \$33.50
one 7-day pass: \$32.00
The lowest total is the 7-day pass, $32.00.
Cost per ride: \dfrac{\$32.00}{14 \text{ rides}} \approx \$2.2857, which rounds to $2.29.
Jamal pays about $2.29 per ride.
Check:2.29 \times 14 = 32.06 \approx 32.00 ✓ (the small difference comes from rounding). The card alone is $2.25 per ride, but it only covers 10 rides, so it cannot be used for all 14.
Tip: A unit price is only a fair comparison when every option buys exactly what you need. When packages come in fixed sizes, compare total cost for the needed amount first, then divide.
Explicación
Halla el costo total de cada forma de cubrir 14 viajes:
14 viajes sencillos: 14 \times 2.75 = \$38.50
dos tarjetas de 10 viajes: 2 \times 22.50 = \$45.00 (se desperdician 6 viajes)
una tarjeta de 10 viajes + 4 viajes sencillos: 22.50 + 4 \times 2.75 = 22.50 + 11.00 = \$33.50
un pase de 7 días: \$32.00
El total más bajo es el del pase de 7 días, $32.00.
Costo por viaje: \dfrac{\$32.00}{14 \text{ viajes}} \approx \$2.2857, que se redondea a $2.29.
Jamal paga aproximadamente $2.29 por viaje.
Comprobación:2.29 \times 14 = 32.06 \approx 32.00 ✓ (la pequeña diferencia viene del redondeo). La tarjeta sola cuesta $2.25 por viaje, pero solo cubre 10 viajes, así que no sirve para los 14.
Consejo: Un precio unitario solo es una comparación justa cuando cada opción compra exactamente lo que necesitas. Cuando los paquetes vienen en tamaños fijos, primero compara el costo total de la cantidad necesaria y luego divide.
Ver en español
Pregunta
Los autobuses de la ciudad ofrecen tres formas de pagar una semana de viajes:
Opción de pasaje
Precio
Viaje sencillo
$2.75 por viaje
Tarjeta de 10 viajes (vence al final de la semana)
$22.50
Pase ilimitado de 7 días
$32.00
Jamal hará exactamente 14 viajes esta semana. Elige la combinación de opciones de pasaje con el costo total más bajo.
Redondeando al centavo más cercano, ¿cuánto pagará Jamal por viaje?
Opciones
A. $0.44
B. $2.25
C. $2.29
D. $2.39
Pista
Haz una lista de todas las formas razonables de cubrir 14 viajes (solo viajes sencillos, tarjetas, tarjeta + viajes sencillos, pase) y encuentra el total de cada una antes de dividir.
Pregunta 3 de 41 · Resolver ecuaciones lineales de una variable
Completar
Solve for x.
\dfrac{2}{3}(x - 6) + 4 = \dfrac{x + 5}{2}
x =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Clear the fractions first: multiply every term on both sides by the least common denominator of 3 and 2.
Solución paso a paso
The denominators are 3 and 2, so multiply every term by 6:
6 \cdot \dfrac{2}{3}(x - 6) + 6 \cdot 4 = 6 \cdot \dfrac{x + 5}{2}
Tip: When you multiply to clear fractions, the constant terms (like the +4) must be multiplied too — forgetting them is the most common error. Always plug your answer back into the original equation.
Explicación
Los denominadores son 3 y 2, así que multiplica cada término por 6:
6 \cdot \dfrac{2}{3}(x - 6) + 6 \cdot 4 = 6 \cdot \dfrac{x + 5}{2}
Consejo: Cuando multiplicas para eliminar fracciones, también debes multiplicar los términos constantes (como el +4) — olvidarlos es el error más común. Siempre sustituye tu respuesta en la ecuación original.
Ver en español
Pregunta
Resuelve para x.
\dfrac{2}{3}(x - 6) + 4 = \dfrac{x + 5}{2}
x = _____
Pista
Primero elimina las fracciones: multiplica cada término de los dos lados por el mínimo común denominador de 3 y 2.
Pregunta 4 de 41 · Gráficas de barras y gráficas circulares
The bar graph shows the number of riders on Bus Route 7 each month.
Bar graph of monthly riders on Bus Route 7
Between which two consecutive months was the percent increase in riders the greatest?
Pista
Percent increase = (new − old) ÷ old. A big jump in riders is not always a big percent jump.
Solución paso a paso
Only months where ridership went up count: Feb→Mar, Mar→Apr and May→Jun. (Jan→Feb and Apr→May are decreases.)
Compute each percent increase with the earlier month as the base:
Check: May→Jun has the largest increase in number of riders (9 thousand), but it starts from a bigger base (47), so its percent is smaller. February's base of 36 is the smallest, which makes its 8-thousand gain the largest percent ✓.
Tip: On the GED, "greatest increase" and "greatest percent increase" are different questions. For percent change, always divide by the original (earlier) value.
Explicación
Solo cuentan los meses en que los pasajeros aumentaron: feb→mar, mar→abr y may→jun. (Ene→feb y abr→may son disminuciones.)
Calcula cada aumento porcentual usando el mes anterior como base:
Comprobación: May→jun tiene el mayor aumento en número de pasajeros (9 mil), pero parte de una base más grande (47), así que su porcentaje es menor. La base de febrero, 36, es la más pequeña, lo que hace que su aumento de 8 mil sea el mayor porcentaje ✓.
Consejo: En el GED®, "el mayor aumento" y "el mayor aumento porcentual" son preguntas distintas. Para el cambio porcentual, siempre divide entre el valor original (anterior).
Ver en español
Pregunta
La gráfica de barras muestra el número de pasajeros de la ruta de autobús 7 cada mes.
¿Entre qué dos meses consecutivos fue mayor el aumento porcentual de pasajeros?
Opciones
A. De mayo (May) a junio (Jun)
B. De marzo (Mar) a abril (Apr)
C. De febrero (Feb) a marzo (Mar)
D. De enero (Jan) a febrero (Feb)
Pista
Aumento porcentual = (nuevo − anterior) ÷ anterior. Un gran salto en el número de pasajeros no siempre es un gran salto porcentual.
Pregunta 5 de 41 · Recta a partir de dos puntos
A city's on-demand shuttle charges a fixed booking fee plus a constant charge per mile. A 4-mile trip costs $13.20, and a 10-mile trip costs $27.60.
Which equation gives the cost C, in dollars, of a trip of m miles?
Pista
Treat the two trips as two points (m, C). Find the slope first, then use one point to find the fixed fee.
Solución paso a paso
Write the trips as points: (4,\ 13.20) and (10,\ 27.60).
Tip: "Fixed fee plus a rate" means y = mx + b, not a proportion. Dividing one cost by its miles (13.20 \div 4) mixes the fee into the rate and only works when there is no fixed fee.
Explicación
Escribe los viajes como puntos: (4,\ 13.20) y (10,\ 27.60).
Tarifa fija (intersección con el eje y): sustituye (4,\ 13.20) en C = 2.40m + b:
13.20 = 2.40(4) + b \Rightarrow 13.20 = 9.60 + b \Rightarrow b = 3.60.
Consejo: "Tarifa fija más una tasa" significa y = mx + b, no una proporción. Dividir un costo entre sus millas (13.20 \div 4) mezcla la tarifa con la tasa y solo funciona cuando no hay tarifa fija.
Ver en español
Pregunta
El servicio de transporte a pedido de una ciudad cobra una tarifa fija de reservación más un cargo constante por milla. Un viaje de 4 millas cuesta $13.20, y uno de 10 millas cuesta $27.60.
¿Qué ecuación da el costo C, en dólares, de un viaje de m millas?
Opciones
A.C = 3.30m
B.C = 2.40m + 13.20
C.C = 2.40m - 3.60
D.C = 2.40m + 3.60
Pista
Trata los dos viajes como dos puntos (m, C). Primero encuentra la pendiente y luego usa un punto para hallar la tarifa fija.
Pregunta 6 de 41 · Figuras compuestas en 2-D
The owner of a bike shop is painting the front of the wooden sign shown below. The sign is a rectangle with a semicircle on top.
Sign made of an 8 ft by 5 ft rectangle topped by a semicircle
One quart of paint covers 25 square feet, and paint is sold only in whole quarts. What is the least number of quarts the owner must buy to paint the front of the sign once?
Pista
Area of the sign = rectangle + half of a circle. What is the radius of that circle? Then think about whether you can buy part of a quart.
Solución paso a paso
Rectangle:8 \times 5 = 40 sq ft.
Semicircle: its diameter is the 8-ft top edge, so the radius is r = 4 ft.
Area = \dfrac{1}{2}\pi r^{2} = \dfrac{1}{2}\pi(4)^{2} = 8\pi \approx 25.13 sq ft.
Total area:40 + 25.13 \approx 65.13 sq ft.
Quarts needed:65.13 \div 25 \approx 2.61 quarts.
Paint comes in whole quarts, and 2 quarts would cover only 50 sq ft, so round up: 3 quarts.
The owner must buy 3 quarts.
Check: 3 quarts cover 3 \times 25 = 75 sq ft, which is at least 65.13 ✓; 2 quarts cover only 50 sq ft ✗.
Tip: For a semicircle, halve the circle's area and use the radius (half the diameter). In "how many must you buy" problems, always round up, even if the decimal is small.
Explicación
Rectángulo:8 \times 5 = 40 pies cuadrados.
Semicírculo: su diámetro es el borde superior de 8 ft, así que el radio es r = 4 ft.
Área = \dfrac{1}{2}\pi r^{2} = \dfrac{1}{2}\pi(4)^{2} = 8\pi \approx 25.13 pies cuadrados.
Área total:40 + 25.13 \approx 65.13 pies cuadrados.
Cuartos de galón necesarios:65.13 \div 25 \approx 2.61 cuartos de galón.
La pintura se vende en cuartos de galón completos, y 2 cuartos de galón cubrirían solo 50 pies cuadrados, así que redondea hacia arriba: 3 cuartos de galón.
El dueño debe comprar 3 cuartos de galón.
Comprobación: 3 cuartos de galón cubren 3 \times 25 = 75 pies cuadrados, que es al menos 65.13 ✓; 2 cuartos de galón cubren solo 50 pies cuadrados ✗.
Consejo: Para un semicírculo, toma la mitad del área del círculo y usa el radio (la mitad del diámetro). En los problemas de "cuántos debes comprar", siempre redondea hacia arriba, aunque el decimal sea pequeño.
Ver en español
Pregunta
El dueño de una tienda de bicicletas va a pintar el frente del letrero de madera que se muestra abajo. El letrero es un rectángulo con un semicírculo encima.
Un cuarto de galón de pintura cubre 25 pies cuadrados, y la pintura solo se vende en cuartos de galón completos. ¿Cuál es el menor número de cuartos de galón que debe comprar el dueño para pintar el frente del letrero una vez?
Opciones
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
Pista
Área del letrero = rectángulo + la mitad de un círculo. ¿Cuál es el radio de ese círculo? Luego piensa si puedes comprar una parte de un cuarto de galón.
Pregunta 7 de 41 · Escribir desigualdades a partir de un contexto
Menú
A school rents 3 charter buses for a field trip. Each bus has 52 seats. Every bus must carry 4 adult chaperones, and every person needs a seat. Let n be the number of students who go on the trip.
Select the correct choices to complete the inequality and the sentence.
156
The greatest number of students who can go on the trip is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Count everyone who needs a seat: students and all the chaperones on all the buses. "Every person needs a seat" sets a limit — is it a maximum or a minimum?
Solución paso a paso
Total seats:3 \times 52 = 156.
Total chaperones: each of the 3 buses carries 4 adults, so 3 \times 4 = 12 chaperones.
People who need seats:n students + 12 chaperones = n + 12.
The number of people can be equal to or less than the number of seats, so use \le:
n + 12 \le 156
Solve: subtract 12 from both sides, n \le 144.
The inequality is n + 12 \le 156, and at most 144 students can go.
Check: With 144 students: 144 + 12 = 156 people for 156 seats — every seat is filled, which is allowed ✓. With 145 students, 157 > 156, so someone would not have a seat ✗.
Tip: "At most," "no more than," "cannot exceed" and "every person needs a seat" all mean \le. Make sure each fixed group (like chaperones) is counted for every bus.
Explicación
Asientos en total:3 \times 52 = 156.
Acompañantes en total: cada uno de los 3 autobuses lleva 4 adultos, así que 3 \times 4 = 12 acompañantes.
Personas que necesitan asiento:n estudiantes + 12 acompañantes = n + 12.
El número de personas puede ser igual o menor que el número de asientos, así que usa \le:
n + 12 \le 156
Resuelve: resta 12 en ambos lados, n \le 144.
La desigualdad es n + 12 \le 156, y pueden ir como máximo 144 estudiantes.
Comprobación: Con 144 estudiantes: 144 + 12 = 156 personas para 156 asientos — se llenan todos los asientos, lo cual está permitido ✓. Con 145 estudiantes, 157 > 156, así que alguien se quedaría sin asiento ✗.
Consejo: "Como máximo", "no más de", "no puede exceder" y "cada persona necesita un asiento" significan \le. Asegúrate de contar cada grupo fijo (como los acompañantes) en cada autobús.
Ver en español
Pregunta
Una escuela renta 3 autobuses para una excursión. Cada autobús tiene 52 asientos. Cada autobús debe llevar 4 adultos acompañantes, y cada persona necesita un asiento. Sea n el número de estudiantes que van a la excursión.
Elige las opciones correctas para completar la desigualdad y la oración.
_____ _____ 156
El mayor número de estudiantes que pueden ir a la excursión es _____.
Opciones
n + 12
n + 4
3n + 4
\le
\ge
<
144
152
168
Pista
Cuenta a todos los que necesitan asiento: los estudiantes y todos los acompañantes de todos los autobuses. "Cada persona necesita un asiento" pone un límite: ¿es un máximo o un mínimo?
Pregunta 8 de 41 · Media, mediana, moda, rango y promedio ponderado
Menú
Keisha scored these points in her first 7 basketball games of the season:
14,\ 22,\ 15,\ 19,\ 24,\ 12,\ 20
Select the correct values to complete the sentences.
To raise her mean to exactly 20 points per game after 8 games, Keisha must score points in game 8.
If she does, the median of all 8 games will be points.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
A mean of 20 over 8 games means a total of how many points? For the median of 8 numbers, sort them and average the two middle values.
Solución paso a paso
Score needed in game 8
Current total: 14 + 22 + 15 + 19 + 24 + 12 + 20 = 126 points (a mean of 126 \div 7 = 18).
A mean of 20 over 8 games needs a total of 20 \times 8 = 160 points.
With 8 values, the median is the average of the 4th and 5th: \dfrac{19 + 20}{2} = 19.5.
Keisha needs 34 points, and the new median is 19.5 points.
Check:(126 + 34) \div 8 = 160 \div 8 = 20 ✓. Four scores (12, 14, 15, 19) are below 19.5 and four (20, 22, 24, 34) are above ✓.
Tip: For "what score is needed" problems, work with totals: needed total − current total. Raising a mean by 2 points takes much more than 2 extra points, because the new score must make up the gap for every game.
Explicación
Puntos necesarios en el partido 8
Total actual: 14 + 22 + 15 + 19 + 24 + 12 + 20 = 126 puntos (una media de 126 \div 7 = 18).
Una media de 20 en 8 partidos necesita un total de 20 \times 8 = 160 puntos.
Puntos necesarios: 160 - 126 = 34.
Nueva mediana
Ordena los 8 puntajes: 12,\ 14,\ 15,\ 19,\ 20,\ 22,\ 24,\ 34.
Con 8 valores, la mediana es el promedio del 4.º y el 5.º: \dfrac{19 + 20}{2} = 19.5.
Keisha necesita 34 puntos, y la nueva mediana es de 19.5 puntos.
Comprobación:(126 + 34) \div 8 = 160 \div 8 = 20 ✓. Cuatro puntajes (12, 14, 15, 19) están por debajo de 19.5 y cuatro (20, 22, 24, 34) están por encima ✓.
Consejo: En los problemas de "qué puntaje se necesita", trabaja con totales: total necesario − total actual. Subir una media 2 puntos requiere mucho más que 2 puntos extra, porque el nuevo puntaje debe compensar la diferencia de cada partido.
Ver en español
Pregunta
Keisha anotó estos puntos en sus primeros 7 partidos de básquetbol de la temporada:
14,\ 22,\ 15,\ 19,\ 24,\ 12,\ 20
Elige los valores correctos para completar las oraciones.
Para subir su media a exactamente 20 puntos por partido después de 8 partidos, Keisha debe anotar _____ puntos en el partido 8.
Si lo hace, la mediana de los 8 partidos será de _____ puntos.
Opciones
34
20
22
160
19.5
19
21.5
20
Pista
Una media de 20 en 8 partidos significa un total de ¿cuántos puntos? Para la mediana de 8 números, ordénalos y saca el promedio de los dos valores del medio.
Pregunta 9 de 41 · Escribir ecuaciones cuadráticas a partir de un contexto
The school spirit club is making a rectangular banner. The length of the banner is 4 feet more than twice its width, and the area of the banner is 96 square feet.
What is the length of the banner, in feet?
Pista
Let w be the width. Write the length in terms of w, set length × width equal to 96, and solve the quadratic. Which solution makes sense for a length?
Solución paso a paso
Let w = width. Then length = 2w + 4.
Area: w(2w + 4) = 96, so 2w^{2} + 4w - 96 = 0.
Divide every term by 2: w^{2} + 2w - 48 = 0.
Factor: two numbers that multiply to -48 and add to 2 are 8 and -6. So (w + 8)(w - 6) = 0.
w = -8 or w = 6. A width cannot be negative, so w = 6 ft.
Length = 2(6) + 4 = 16 ft.
The banner is 16 feet long.
Check:16 \times 6 = 96 sq ft ✓, and 16 = 2(6) + 4 ✓.
Tip: After solving a quadratic word problem, (1) throw out answers that make no sense (negative lengths), and (2) re-read the question — it often asks for a different quantity than the variable you solved for.
Explicación
Sea w = ancho. Entonces el largo = 2w + 4.
Área: w(2w + 4) = 96, así que 2w^{2} + 4w - 96 = 0.
Divide cada término entre 2: w^{2} + 2w - 48 = 0.
Factoriza: dos números que multiplicados dan -48 y sumados dan 2 son 8 y -6. Así, (w + 8)(w - 6) = 0.
w = -8 o w = 6. Un ancho no puede ser negativo, así que w = 6 ft.
Consejo: Después de resolver un problema verbal con una ecuación cuadrática, (1) descarta las respuestas que no tienen sentido (longitudes negativas), y (2) vuelve a leer la pregunta — a menudo pide una cantidad distinta de la variable que resolviste.
Ver en español
Pregunta
El club de espíritu escolar está haciendo una pancarta rectangular. El largo de la pancarta es 4 pies más que el doble de su ancho, y el área de la pancarta es de 96 pies cuadrados.
¿Cuál es el largo de la pancarta, en pies?
Opciones
A. 6
B. 12
C. 16
D. 20
Pista
Sea w el ancho. Escribe el largo en términos de w, iguala largo × ancho a 96 y resuelve la ecuación cuadrática. ¿Qué solución tiene sentido para una longitud?
Pregunta 10 de 41 · Ordenar fracciones y decimales, incluso en la recta numérica
Arrastrar y soltar
Four basketball players compared their three-point shooting this season.
Ana made \tfrac{5}{16} of her attempts.
Bree's shooting rate was 0.315.
Cam made 31.8\% of her attempts.
Dee made 7 of her 22 attempts.
Drag each shooting rate into the table to order the rates from lowest to highest.
Lowest
2nd
3rd
Highest
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Write every rate as a decimal with four decimal places before comparing. Dee's rate is \tfrac{7}{22}.
Compare digit by digit: all start with 0.31. Next digits: 0.3125 < 0.3150 < 0.3180 < 0.3182.
Order from lowest to highest: \tfrac{5}{16}, 0.315, 31.8\%, \tfrac{7}{22}.
Check:\tfrac{7}{22} - 0.318 = 0.31818\ldots - 0.318 = 0.00018\ldots > 0, so Dee is just barely ahead of Cam ✓.
Tip: When values are this close, round to more places than you think you need. A repeating decimal like 0.31\overline{81} can be larger than a terminating one (0.318) that looks the same at three places.
Explicación
Convierte cada tasa a decimal (cuatro cifras decimales):
Compara dígito por dígito: todas empiezan con 0.31. Los dígitos siguientes: 0.3125 < 0.3150 < 0.3180 < 0.3182.
Orden de la más baja a la más alta: \tfrac{5}{16}, 0.315, 31.8\%, \tfrac{7}{22}.
Comprobación:\tfrac{7}{22} - 0.318 = 0.31818\ldots - 0.318 = 0.00018\ldots > 0, así que Dee supera a Cam por muy poco ✓.
Consejo: Cuando los valores están tan cerca, redondea a más cifras de las que crees necesitar. Un decimal periódico como 0.31\overline{81} puede ser mayor que uno finito (0.318) que se ve igual con tres cifras.
Ver en español
Pregunta
Cuatro jugadoras de básquetbol compararon sus tiros de tres puntos de esta temporada.
Ana encestó \tfrac{5}{16} de sus intentos.
La tasa de tiro de Bree fue de 0.315.
Cam encestó el 31.8\% de sus intentos.
Dee encestó 7 de sus 22 intentos.
Arrastra cada tasa de tiro a la tabla para ordenar las tasas de la más baja a la más alta.
La más baja
2.ª
3.ª
La más alta
_____
_____
_____
_____
Opciones
\tfrac{5}{16}
0.315
31.8\%
\tfrac{7}{22}
Pista
Escribe cada tasa como decimal con cuatro lugares decimales antes de comparar. La tasa de Dee es \tfrac{7}{22}.
Pregunta 11 de 41 · Evaluar funciones lineales y cuadráticas
The function f is defined by
f(x) = -2x^{2} + 3x - 5
What is the value of f(-3)?
Pista
Replace every x with (-3)in parentheses. Square first, then multiply by -2.
Solución paso a paso
Substitute with parentheses: f(-3) = -2(-3)^{2} + 3(-3) - 5.
Exponent first:(-3)^{2} = 9.
Multiply:-2 \cdot 9 = -18 and 3 \cdot (-3) = -9.
Add/subtract left to right:-18 - 9 - 5 = -32.
So f(-3) = -32.
Check: Use the calculator with the (-) key: -2 \times (-3)^{2} + 3 \times (-3) - 5 = -32 ✓. Note that the -2 is not squared — only the x is.
Tip: In -2x^{2}, the exponent belongs only to x. Always put a negative input in parentheses, both on paper and on the TI-30XS, so the calculator squares -3 instead of computing -(3^{2}).
Suma y resta de izquierda a derecha:-18 - 9 - 5 = -32.
Así, f(-3) = -32.
Comprobación: Usa la calculadora con la tecla (-): -2 \times (-3)^{2} + 3 \times (-3) - 5 = -32 ✓. Observa que el -2no se eleva al cuadrado — solo la x.
Consejo: En -2x^{2}, el exponente pertenece solo a x. Siempre pon una entrada negativa entre paréntesis, en papel y en la TI-30XS, para que la calculadora eleve al cuadrado -3 en lugar de calcular -(3^{2}).
Ver en español
Pregunta
La función f está definida por
f(x) = -2x^{2} + 3x - 5
¿Cuál es el valor de f(-3)?
Opciones
A.-32
B.-14
C.4
D.22
Pista
Reemplaza cada x con (-3)entre paréntesis. Primero eleva al cuadrado y luego multiplica por -2.
Pregunta 12 de 41 · Problemas de porcentaje: interés, impuesto, aumento de precio, cambio porcentual
Lincoln Adult Learning Center had 1,200 students enrolled one year. The next year, enrollment fell 15%. The year after that, enrollment rose 15%.
Which describes the overall change in enrollment from the first year to the third year?
Pista
Apply each percent to the number of students at that time, not to the original 1,200. Then compare the third year to the first.
Solución paso a paso
Year 2: a 15% decrease leaves 100\% - 15\% = 85\%: 1{,}200 \times 0.85 = 1{,}020 students.
Year 3: a 15% increase gives 115\% of year 2: 1{,}020 \times 1.15 = 1{,}173 students.
Overall change:1{,}173 - 1{,}200 = -27 students.
Percent change (divide by the original): \dfrac{-27}{1{,}200} = -0.0225 = -2.25\%.
Enrollment had a decrease of 2.25%.
Check: Use multipliers: 0.85 \times 1.15 = 0.9775, and 1 - 0.9775 = 0.0225, a 2.25% decrease ✓ — no matter what the starting enrollment was.
Tip: Equal percent decreases and increases do not cancel, because the second percent is taken of a different (smaller) amount. Multiply the growth factors (0.85 \times 1.15) to see the combined effect in one step.
Explicación
Año 2: una disminución de 15% deja 100\% - 15\% = 85\%: 1{,}200 \times 0.85 = 1{,}020 estudiantes.
Año 3: un aumento de 15% da el 115\% del año 2: 1{,}020 \times 1.15 = 1{,}173 estudiantes.
Cambio total:1{,}173 - 1{,}200 = -27 estudiantes.
Cambio porcentual (divide entre el valor original): \dfrac{-27}{1{,}200} = -0.0225 = -2.25\%.
La inscripción tuvo una disminución de 2.25%.
Comprobación: Usa multiplicadores: 0.85 \times 1.15 = 0.9775, y 1 - 0.9775 = 0.0225, una disminución de 2.25% ✓ — sin importar cuál fuera la inscripción inicial.
Consejo: Una disminución y un aumento del mismo porcentaje no se cancelan, porque el segundo porcentaje se calcula sobre una cantidad distinta (más pequeña). Multiplica los factores de cambio (0.85 \times 1.15) para ver el efecto combinado en un solo paso.
Ver en español
Pregunta
El Centro de Aprendizaje para Adultos Lincoln tenía 1,200 estudiantes inscritos un año. Al año siguiente, la inscripción bajó 15%. Al año después de ese, la inscripción subió 15%.
¿Qué describe el cambio total en la inscripción del primer año al tercer año?
Opciones
A. Una disminución de 2.25%
B. Sin cambio
C. Una disminución de 2.30%
D. Una disminución de 27%
Pista
Aplica cada porcentaje al número de estudiantes que había en ese momento, no a los 1,200 originales. Luego compara el tercer año con el primero.
Pregunta 13 de 41 · La tasa unitaria como pendiente
The table shows the distance a commuter train has traveled at several times after leaving the station. The train moves at a constant speed.
Time (minutes)
4
10
18
25
Distance (miles)
3.2
8.0
14.4
20.0
What is the train's speed in miles per hour?
Pista
The slope of distance vs. time is the speed, but the table gives it in miles per minute. How many minutes are in an hour?
Solución paso a paso
Slope between two rows: \dfrac{8.0 - 3.2}{10 - 4} = \dfrac{4.8}{6} = 0.8 miles per minute.
Confirm with another pair: \dfrac{20.0 - 14.4}{25 - 18} = \dfrac{5.6}{7} = 0.8 ✓. (Also 3.2 \div 4 = 0.8, so the line passes through the origin.)
Convert to miles per hour: there are 60 minutes in an hour, so
0.8 \ \dfrac{\text{mi}}{\text{min}} \times 60 \ \dfrac{\text{min}}{\text{h}} = 48 \ \dfrac{\text{mi}}{\text{h}}
The train's speed is 48 miles per hour.
Check: At 48 mph the train goes 48 miles in 60 minutes, so in 25 minutes it goes 48 \times \tfrac{25}{60} = 20 miles, matching the table ✓.
Tip: The slope of a distance–time table is a unit rate in the table's units. Always compare those units with the units the question asks for, and convert at the end.
Explicación
Pendiente entre dos filas: \dfrac{8.0 - 3.2}{10 - 4} = \dfrac{4.8}{6} = 0.8 millas por minuto.
Confirma con otro par: \dfrac{20.0 - 14.4}{25 - 18} = \dfrac{5.6}{7} = 0.8 ✓. (Además, 3.2 \div 4 = 0.8, así que la recta pasa por el origen.)
Convierte a millas por hora: una hora tiene 60 minutos, así que
0.8 \ \dfrac{\text{mi}}{\text{min}} \times 60 \ \dfrac{\text{min}}{\text{h}} = 48 \ \dfrac{\text{mi}}{\text{h}}
La rapidez del tren es de 48 millas por hora.
Comprobación: A 48 mph el tren recorre 48 millas en 60 minutos, así que en 25 minutos recorre 48 \times \tfrac{25}{60} = 20 millas, lo que coincide con la tabla ✓.
Consejo: La pendiente de una tabla de distancia y tiempo es una tasa unitaria en las unidades de la tabla. Siempre compara esas unidades con las que pide la pregunta, y convierte al final.
Ver en español
Pregunta
La tabla muestra la distancia que ha recorrido un tren de cercanías en varios momentos después de salir de la estación. El tren se mueve a rapidez constante.
Tiempo (minutos)
4
10
18
25
Distancia (millas)
3.2
8.0
14.4
20.0
¿Cuál es la rapidez del tren en millas por hora?
Opciones
A. 0.8
B. 1.25
C. 48
D. 75
Pista
La pendiente de distancia contra tiempo es la rapidez, pero la tabla la da en millas por minuto. ¿Cuántos minutos hay en una hora?
Pregunta 14 de 41 · Conteo, combinaciones y permutaciones
A school's academic quiz team has 7 seniors and 5 juniors. The coach will choose 4 students to compete in the state final. The 4 students must include exactly 2 seniors and exactly 2 juniors. The order in which students are chosen does not matter.
How many different groups of 4 students are possible?
Pista
Count the ways to choose the seniors and the ways to choose the juniors separately. Then decide: do you add or multiply them?
Solución paso a paso
Order does not matter, so use combinations: _{n}C_{r} = \dfrac{n!}{r!(n - r)!}.
Each pair of seniors can go with each pair of juniors (fundamental counting principle), so multiply: 21 \times 10 = 210.
There are 210 possible groups.
Check: Without the 2-and-2 rule there would be _{12}C_{4} = 495 groups. Our answer must be smaller, because groups like "4 seniors" or "3 seniors + 1 junior" are not allowed ✓.
Tip: "This AND that" choices are multiplied. Use permutations only when positions or order matter (president/vice president, 1st/2nd place). On the TI-30XS, use the prb key to find _{n}C_{r}.
Explicación
El orden no importa, así que usa combinaciones: _{n}C_{r} = \dfrac{n!}{r!(n - r)!}.
Último año: elige 2 de 7: _{7}C_{2} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 formas.
Cada par de último año puede ir con cada par de penúltimo año (principio fundamental de conteo), así que multiplica: 21 \times 10 = 210.
Hay 210 grupos posibles.
Comprobación: Sin la regla de 2 y 2 habría _{12}C_{4} = 495 grupos. Nuestra respuesta debe ser menor, porque grupos como "4 de último año" o "3 de último año + 1 de penúltimo año" no están permitidos ✓.
Consejo: Las elecciones de "esto Y aquello" se multiplican. Usa permutaciones solo cuando importan los puestos o el orden (presidente/vicepresidente, 1.er/2.º lugar). En la TI-30XS, usa la tecla prb para hallar _{n}C_{r}.
Ver en español
Pregunta
El equipo de concursos académicos de una escuela tiene 7 estudiantes de último año y 5 de penúltimo año. El entrenador elegirá a 4 estudiantes para competir en la final estatal. Los 4 estudiantes deben incluir exactamente 2 de último año y exactamente 2 de penúltimo año. El orden en que se elige a los estudiantes no importa.
¿Cuántos grupos diferentes de 4 estudiantes son posibles?
Opciones
A. 31
B. 210
C. 495
D. 840
Pista
Cuenta por separado las formas de elegir a los de último año y las formas de elegir a los de penúltimo año. Luego decide: ¿las sumas o las multiplicas?
Pregunta 15 de 41 · Operaciones con polinomios
Which expression is equivalent to
(2x - 3)(x^{2} + 4x - 5)?
Pista
Multiply each term of (2x - 3) by each of the three terms in the second factor — that is 6 products. Then combine like terms.
Solución paso a paso
Multiply 2x by each term: 2x \cdot x^{2} = 2x^{3}, 2x \cdot 4x = 8x^{2}, 2x \cdot (-5) = -10x.
Multiply -3 by each term: -3 \cdot x^{2} = -3x^{2}, -3 \cdot 4x = -12x, -3 \cdot (-5) = +15.
Write all six products: 2x^{3} + 8x^{2} - 10x - 3x^{2} - 12x + 15.
Combine like terms:
x^{2} terms: 8x^{2} - 3x^{2} = 5x^{2}
x terms: -10x - 12x = -22x
The product is 2x^{3} + 5x^{2} - 22x + 15.
Check: Let x = 1. Original: (2 - 3)(1 + 4 - 5) = (-1)(0) = 0. Answer: 2 + 5 - 22 + 15 = 0 ✓. Let x = 2: (1)(4 + 8 - 5) = 7 and 16 + 20 - 44 + 15 = 7 ✓.
Tip: Count your products: a 2-term factor times a 3-term factor gives 2 \times 3 = 6 products before combining. Carry the sign with each term — the "-3" is negative in all three of its products.
Explicación
Multiplica 2x por cada término: 2x \cdot x^{2} = 2x^{3}, 2x \cdot 4x = 8x^{2}, 2x \cdot (-5) = -10x.
Multiplica -3 por cada término: -3 \cdot x^{2} = -3x^{2}, -3 \cdot 4x = -12x, -3 \cdot (-5) = +15.
Escribe los seis productos: 2x^{3} + 8x^{2} - 10x - 3x^{2} - 12x + 15.
Consejo: Cuenta tus productos: un factor de 2 términos por un factor de 3 términos da 2 \times 3 = 6 productos antes de combinar. Lleva el signo con cada término — el "-3" es negativo en sus tres productos.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a
(2x - 3)(x^{2} + 4x - 5)?
Opciones
A.2x^{3} + 8x^{2} - 10x - 3
B.2x^{3} + 5x^{2} - 22x + 15
C.2x^{3} + 5x^{2} - 22x - 15
D.2x^{3} + 5x^{2} + 2x + 15
Pista
Multiplica cada término de (2x - 3) por cada uno de los tres términos del segundo factor: son 6 productos. Luego combina los términos semejantes.
Pregunta 16 de 41 · Figuras compuestas en 3-D
A snack stand at a summer baseball league sells shaved ice in a paper cone. The cone is filled to the top and then topped with a dome of ice shaped like a hemisphere (half of a sphere), as shown.
Cone with a hemisphere on top; radius 1.5 in, cone height 4 in
To the nearest tenth of a cubic inch, what is the total volume of shaved ice?
Pista
Volume = cone + half a sphere. Both use the same radius. Look up both volume formulas on the formula sheet.
Solución paso a paso
Cone (formula sheet: V = \tfrac{1}{3}\pi r^{2}h) with r = 1.5 in, h = 4 in:
V_{\text{cone}} = \tfrac{1}{3}\pi(1.5)^{2}(4) = \tfrac{1}{3}\pi(2.25)(4) = 3\pi \approx 9.42 in³.
Hemisphere (half of V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}):
V_{\text{hemi}} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3}\pi(1.5)^{3} = \tfrac{2}{3}\pi(3.375) = 2.25\pi \approx 7.07 in³.
Total:3\pi + 2.25\pi = 5.25\pi \approx 16.49 in³.
The total volume is about 16.5 cubic inches.
Check: A full sphere of radius 1.5 would be 4.5\pi \approx 14.1 in³; half of it (7.07) plus a cone smaller than a cylinder of the same size (\pi(2.25)(4) \approx 28.3, and one third of that is 9.42) gives 16.5 ✓.
Tip: For composite solids, find each piece with its own formula and add. Read the figure carefully: 1.5 in is a radius, and the cone's 1/3 and the hemisphere's 1/2 are easy to forget.
Explicación
Cono (hoja de fórmulas: V = \tfrac{1}{3}\pi r^{2}h) con r = 1.5 in, h = 4 in:
V_{\text{cono}} = \tfrac{1}{3}\pi(1.5)^{2}(4) = \tfrac{1}{3}\pi(2.25)(4) = 3\pi \approx 9.42 in³.
Semiesfera (la mitad de V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}):
V_{\text{semi}} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3}\pi(1.5)^{3} = \tfrac{2}{3}\pi(3.375) = 2.25\pi \approx 7.07 in³.
Total:3\pi + 2.25\pi = 5.25\pi \approx 16.49 in³.
El volumen total es de aproximadamente 16.5 pulgadas cúbicas.
Comprobación: Una esfera completa de radio 1.5 sería 4.5\pi \approx 14.1 in³; la mitad (7.07) más un cono menor que un cilindro del mismo tamaño (\pi(2.25)(4) \approx 28.3, y un tercio de eso es 9.42) da 16.5 ✓.
Consejo: En los sólidos compuestos, halla cada parte con su propia fórmula y suma. Lee la figura con cuidado: 1.5 in es un radio, y es fácil olvidar el 1/3 del cono y el 1/2 de la semiesfera.
Ver en español
Pregunta
Un puesto de botanas de una liga de béisbol de verano vende raspados en un cono de papel. El cono se llena hasta el borde y luego se le pone encima un domo de hielo con forma de semiesfera (media esfera), como se muestra.
Redondeando a la décima de pulgada cúbica más cercana, ¿cuál es el volumen total de hielo raspado?
Opciones
A. 16.5
B. 23.6
C. 35.3
D. 94.2
Pista
Volumen = cono + media esfera. Los dos usan el mismo radio. Busca las dos fórmulas de volumen en la hoja de fórmulas.
Pregunta 17 de 41 · Desigualdades de la vida real
Completar
A school club is selling handmade candles to raise money. The club spent $180 on candle molds. Each candle costs $4.75 in wax and wicks, and the club sells each candle for $12.
What is the least number of candles the club must sell to make a profit of at least $450?
candles
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Profit per candle is price minus cost per candle. Write an inequality with the $180 molds subtracted, then think about whether to round up or down.
Solución paso a paso
Profit on each candle:12.00 - 4.75 = \$7.25.
Total profit for c candles: 7.25c - 180 (the molds are a one-time cost).
Write the inequality: 7.25c - 180 \ge 450.
Add 180: 7.25c \ge 630.
Divide by 7.25: c \ge 86.89\ldots
The club can only sell whole candles, and 86 is not enough, so round up to 87.
Tip: With "at least" goals, a decimal answer is rounded up even if the decimal is below .5 — rounding down would miss the goal. Always test the whole number just below your answer.
Explicación
Ganancia por cada vela:12.00 - 4.75 = \$7.25.
Ganancia total con c velas: 7.25c - 180 (los moldes son un costo único).
Escribe la desigualdad: 7.25c - 180 \ge 450.
Suma 180: 7.25c \ge 630.
Divide entre 7.25: c \ge 86.89\ldots
El club solo puede vender velas completas, y 86 no alcanza, así que redondea hacia arriba a 87.
Consejo: Con metas de "al menos", una respuesta decimal se redondea hacia arriba aunque el decimal sea menor que .5 — redondear hacia abajo no alcanzaría la meta. Siempre prueba el número entero justo debajo de tu respuesta.
Ver en español
Pregunta
Un club escolar vende velas hechas a mano para recaudar dinero. El club gastó $180 en moldes para velas. Cada vela cuesta $4.75 en cera y mechas, y el club vende cada vela a $12.
¿Cuál es el menor número de velas que debe vender el club para tener una ganancia de al menos $450?
_____ velas
Pista
La ganancia por vela es el precio menos el costo por vela. Escribe una desigualdad restando los $180 de los moldes y luego piensa si debes redondear hacia arriba o hacia abajo.
Pregunta 18 de 41 · Diagramas de dispersión y datos de dos variables
A coach recorded how many hours per week each player on a basketball team practices on their own and how many points per game the player scores. The scatter plot and a trend line are shown.
Scatter plot of practice hours vs. points per game with a trend line
Which statement best describes the meaning of the slope of the trend line?
Pista
Find the slope using the two marked points on the line. Then say it in words: change in points for each change of 1 hour.
Solución paso a paso
The trend line passes through the marked points (2, 8) and (10, 28).
Slope= \dfrac{\text{change in } y}{\text{change in } x} = \dfrac{28 - 8}{10 - 2} = \dfrac{20}{8} = 2.5.
Units: y is points per game, x is hours of practice per week, so the slope is 2.5 points per game for each hour of weekly practice.
In words: each additional hour of practice per week is associated with about 2.5 more points per game.
Answer: Each additional hour of weekly practice is associated with about 2.5 more points per game.
Check: The y-intercept is 8 - 2.5(2) = 3, so the line is y = 2.5x + 3. At x = 10: 2.5(10) + 3 = 28 ✓. The 3 is the intercept (predicted points with 0 hours), not the slope.
Tip: Interpret a slope as "y-units per one x-unit." Keep the order: points per hour, not hours per point. A trend line shows an association, not proof that practice alone causes the points.
Explicación
La línea de tendencia pasa por los puntos marcados (2, 8) y (10, 28).
Pendiente= \dfrac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x} = \dfrac{28 - 8}{10 - 2} = \dfrac{20}{8} = 2.5.
Unidades: y son puntos por partido, x son horas de práctica por semana, así que la pendiente es de 2.5 puntos por partido por cada hora de práctica semanal.
En palabras: cada hora adicional de práctica por semana se asocia con unos 2.5 puntos más por partido.
Respuesta: Cada hora adicional de práctica semanal se asocia con unos 2.5 puntos más por partido.
Comprobación: La intersección con el eje y es 8 - 2.5(2) = 3, así que la recta es y = 2.5x + 3. En x = 10: 2.5(10) + 3 = 28 ✓. El 3 es la intersección (puntos predichos con 0 horas), no la pendiente.
Consejo: Interpreta una pendiente como "unidades de ypor cada unidad de x". Respeta el orden: puntos por hora, no horas por punto. Una línea de tendencia muestra una asociación, no prueba que solo la práctica cause los puntos.
Ver en español
Pregunta
Un entrenador registró cuántas horas por semana practica por su cuenta cada jugador de un equipo de básquetbol y cuántos puntos por partido anota. Se muestran el diagrama de dispersión y una línea de tendencia.
¿Qué enunciado describe mejor el significado de la pendiente de la línea de tendencia?
Opciones
A. Cada punto adicional por partido se asocia con unas 2.5 horas más de práctica por semana.
B. Se predice que un jugador que no practica anotará unos 2.5 puntos por partido.
C. Cada hora adicional de práctica por semana se asocia con unos 2.5 puntos más por partido.
D. Cada hora adicional de práctica por semana se asocia con unos 3 puntos más por partido.
Pista
Encuentra la pendiente usando los dos puntos marcados en la línea. Luego dila con palabras: el cambio en puntos por cada cambio de 1 hora.
Pregunta 19 de 41 · Ecuaciones lineales de la vida real
The yearbook committee is comparing two print shops for a flyer.
Shop A charges a $18 setup fee plus $0.12 per page.
Shop B charges a $6 setup fee plus $0.18 per page.
For how many pages will the two shops charge exactly the same total amount?
Pista
Write a cost expression for each shop and set them equal. Then collect the page terms on one side.
Tip: "When are they equal?" problems: set the two expressions equal and solve. A quick sense check: Shop B starts $12 cheaper but costs 6¢ more per page, so it takes 12 \div 0.06 = 200 pages to use up that $12 head start.
Consejo: En los problemas de "¿cuándo son iguales?", iguala las dos expresiones y resuelve. Una comprobación rápida: la imprenta B empieza $12 más barata, pero cuesta 6¢ más por página, así que se necesitan 12 \div 0.06 = 200 páginas para gastar esa ventaja de $12.
Ver en español
Pregunta
El comité del anuario está comparando dos imprentas para un volante.
La imprenta A cobra una tarifa de preparación de $18 más $0.12 por página.
La imprenta B cobra una tarifa de preparación de $6 más $0.18 por página.
¿Con cuántas páginas cobrarán las dos imprentas exactamente la misma cantidad total?
Opciones
A. 200
B. 400
C. 40
D. 100
Pista
Escribe una expresión del costo para cada imprenta e iguálalas. Luego junta los términos de las páginas en un lado.
Pregunta 20 de 41 · Pendiente a partir de una gráfica, ecuación o tabla
Completar
What is the slope of the line that passes through the points (-4,\ 7) and (6,\ -8)?
Slope =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Slope = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Keep the points in the same order on top and bottom, and be careful subtracting negatives.
Solución paso a paso
Label the points: (x_1, y_1) = (-4, 7) and (x_2, y_2) = (6, -8).
Use the slope formula (on the formula sheet): m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
Top: -8 - 7 = -15.
Bottom: 6 - (-4) = 6 + 4 = 10.
m = \dfrac{-15}{10} = -1.5 (or -\tfrac{3}{2}).
The slope is -1.5.
Check: Use the points in the other order: \dfrac{7 - (-8)}{-4 - 6} = \dfrac{15}{-10} = -1.5 ✓. The line falls from left to right (as x goes from -4 to 6, y drops from 7 to -8), so a negative slope makes sense.
Tip: Subtracting a negative is adding: 6 - (-4) = 10. Writing 6 - 4 = 2 is the most common slope mistake.
Explicación
Nombra los puntos: (x_1, y_1) = (-4, 7) y (x_2, y_2) = (6, -8).
Usa la fórmula de la pendiente (está en la hoja de fórmulas): m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
Arriba: -8 - 7 = -15.
Abajo: 6 - (-4) = 6 + 4 = 10.
m = \dfrac{-15}{10} = -1.5 (o -\tfrac{3}{2}).
La pendiente es -1.5.
Comprobación: Usa los puntos en el otro orden: \dfrac{7 - (-8)}{-4 - 6} = \dfrac{15}{-10} = -1.5 ✓. La recta baja de izquierda a derecha (cuando x va de -4 a 6, y baja de 7 a -8), así que una pendiente negativa tiene sentido.
Consejo: Restar un negativo es sumar: 6 - (-4) = 10. Escribir 6 - 4 = 2 es el error más común al calcular la pendiente.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-4,\ 7) y (6,\ -8)?
Pendiente = _____
Pista
Pendiente = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Mantén los puntos en el mismo orden arriba y abajo, y ten cuidado al restar negativos.
Pregunta 21 de 41 · Factores de escala y dibujos a escala
On the blueprint of a new school, \tfrac{1}{4} inch represents 1 foot. A rectangular classroom on the blueprint measures 7\tfrac{1}{2} inches by 6 inches.
What is the actual area of the classroom, in square feet?
Pista
Convert each blueprint length to real feet first, then multiply. How many feet does 1 whole inch represent?
Solución paso a paso
Since \tfrac{1}{4} inch represents 1 foot, 1 inch represents 4 feet.
Actual length: 7.5 \times 4 = 30 ft.
Actual width: 6 \times 4 = 24 ft.
Actual area: 30 \times 24 = 720 sq ft.
The classroom's area is 720 square feet.
Check: The blueprint area is 7.5 \times 6 = 45 sq in. Because each length is multiplied by 4, the area is multiplied by 4^{2} = 16: 45 \times 16 = 720 ✓.
Tip: A scale factor for lengths is squared for areas (and cubed for volumes). The safest method is to convert each length to real units before computing area.
Explicación
Como \tfrac{1}{4} de pulgada representa 1 pie, 1 pulgada representa 4 pies.
Largo real: 7.5 \times 4 = 30 ft.
Ancho real: 6 \times 4 = 24 ft.
Área real: 30 \times 24 = 720 pies cuadrados.
El área del salón es de 720 pies cuadrados.
Comprobación: El área en el plano es 7.5 \times 6 = 45 pulgadas cuadradas. Como cada longitud se multiplica por 4, el área se multiplica por 4^{2} = 16: 45 \times 16 = 720 ✓.
Consejo: Un factor de escala para longitudes se eleva al cuadrado para áreas (y al cubo para volúmenes). El método más seguro es convertir cada longitud a unidades reales antes de calcular el área.
Ver en español
Pregunta
En el plano de una escuela nueva, \tfrac{1}{4} de pulgada representa 1 pie. Un salón rectangular mide 7\tfrac{1}{2} pulgadas por 6 pulgadas en el plano.
¿Cuál es el área real del salón, en pies cuadrados?
Opciones
A. 45
B. 108
C. 180
D. 720
Pista
Convierte primero cada longitud del plano a pies reales y luego multiplica. ¿Cuántos pies representa 1 pulgada completa?
Pregunta 22 de 41 · Identificar funciones
Which set of ordered pairs represents y as a function of x?
Pista
In a function, each x-value (input) is paired with exactly oney-value (output). Look for any x that appears twice with different y's.
Solución paso a paso
A relation is a function when no input (x) is paired with two different outputs (y). Repeated outputs are allowed.
Check each set:
\{(1, 4), (2, 4), (3, 5), (4, 5)\}: the inputs 1, 2, 3, 4 are all different. The outputs repeat (4, 4 and 5, 5), but that is fine. Function.
\{(2, 3), (2, 5), \ldots\}: input 2 gives both 3 and 5. Not a function.
\{(3, 1), \ldots, (3, -1), \ldots\}: input 3 gives both 1 and -1. Not a function.
\{(4, 2), (4, -2), \ldots\}: input 4 gives both 2 and -2. Not a function.
The function is \{(1, 4), (2, 4), (3, 5), (4, 5)\}.
Check: Think of a vending machine: each button (input) must give one specific snack (output). Two buttons giving the same snack is fine; one button giving two different snacks is not ✓.
Tip: Scan only the first numbers. If any first number repeats with a different second number, it is not a function. On a graph, this is the vertical line test.
Explicación
Una relación es una función cuando ninguna entrada (x) está emparejada con dos salidas (y) distintas. Las salidas repetidas están permitidas.
Revisa cada conjunto:
\{(1, 4), (2, 4), (3, 5), (4, 5)\}: las entradas 1, 2, 3, 4 son todas distintas. Las salidas se repiten (4, 4 y 5, 5), pero eso está bien. Función.
\{(2, 3), (2, 5), \ldots\}: la entrada 2 da 3 y también 5. No es función.
\{(3, 1), \ldots, (3, -1), \ldots\}: la entrada 3 da 1 y también -1. No es función.
\{(4, 2), (4, -2), \ldots\}: la entrada 4 da 2 y también -2. No es función.
La función es \{(1, 4), (2, 4), (3, 5), (4, 5)\}.
Comprobación: Piensa en una máquina expendedora: cada botón (entrada) debe dar una botana específica (salida). Que dos botones den la misma botana está bien; que un botón dé dos botanas distintas, no ✓.
Consejo: Revisa solo los primeros números. Si algún primer número se repite con un segundo número distinto, no es función. En una gráfica, esto es la prueba de la recta vertical.
Ver en español
Pregunta
¿Qué conjunto de pares ordenados representa a y como función de x?
Opciones
A.\{(2, 3),\ (2, 5),\ (4, 6),\ (5, 7)\}
B.\{(3, 1),\ (5, 2),\ (3, -1),\ (6, 4)\}
C.\{(4, 2),\ (4, -2),\ (9, 3),\ (0, 0)\}
D.\{(1, 4),\ (2, 4),\ (3, 5),\ (4, 5)\}
Pista
En una función, cada valor de x (entrada) se empareja con exactamente un valor de y (salida). Busca cualquier x que aparezca dos veces con valores de y diferentes.
Pregunta 23 de 41 · Teorema de Pitágoras
A school's rectangular sports field is 100 yards long and 60 yards wide. Instead of walking along two sides of the field to get from one corner to the opposite corner, Malik walks straight across along the diagonal.
To the nearest tenth of a yard, how many yards shorter is Malik's walk?
Pista
The diagonal is the hypotenuse of a right triangle with legs 100 and 60. Then compare it to the walk along two sides.
Solución paso a paso
Walk along two sides:100 + 60 = 160 yd.
Diagonal: the length and width are the legs of a right triangle, so by the Pythagorean theorem (formula sheet):
c^{2} = 100^{2} + 60^{2} = 10{,}000 + 3{,}600 = 13{,}600c = \sqrt{13{,}600} \approx 116.62 yd.
Savings:160 - 116.62 = 43.38 \approx 43.4 yd.
Malik's walk is about 43.4 yards shorter.
Check: The diagonal must be longer than the longest side (100) but shorter than the two sides together (160), and 100 < 116.6 < 160 ✓.
Tip: Read what is asked: the diagonal (116.6) is a step, not the answer. On the TI-30XS, press 2ndx² (√), type 100 x² + 60 x² under the root, and press enter. If the screen shows an exact root (20\sqrt{34}), press toggle to see 116.6…
Explicación
Caminar por dos lados:100 + 60 = 160 yd.
Diagonal: el largo y el ancho son los catetos de un triángulo rectángulo, así que por el teorema de Pitágoras (hoja de fórmulas):
c^{2} = 100^{2} + 60^{2} = 10{,}000 + 3{,}600 = 13{,}600c = \sqrt{13{,}600} \approx 116.62 yd.
Ahorro:160 - 116.62 = 43.38 \approx 43.4 yd.
El camino de Malik es aproximadamente 43.4 yardas más corto.
Comprobación: La diagonal debe ser más larga que el lado más largo (100), pero más corta que los dos lados juntos (160), y 100 < 116.6 < 160 ✓.
Consejo: Lee lo que se pregunta: la diagonal (116.6) es un paso, no la respuesta. En la TI-30XS, oprime 2ndx² (√), escribe 100 x² + 60 x² dentro de la raíz y oprime enter. Si la pantalla muestra una raíz exacta (20\sqrt{34}), oprime toggle para ver 116.6…
Ver en español
Pregunta
El campo deportivo rectangular de una escuela mide 100 yardas de largo y 60 yardas de ancho. En lugar de caminar por dos lados del campo para ir de una esquina a la esquina opuesta, Malik camina en línea recta por la diagonal.
Redondeando a la décima de yarda más cercana, ¿cuántas yardas más corto es el camino de Malik?
Opciones
A. 43.4
B. 80.0
C. 116.6
D. 147.4
Pista
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 100 y 60. Luego compárala con el recorrido por dos lados.
Pregunta 24 de 41 · Resolver ecuaciones cuadráticas
What are the solutions of the equation below?
3x^{2} + 2x = 8
Pista
First get 0 on one side. Then factor (or use the quadratic formula on the formula sheet).
Tip: The zero-product rule only works when one side is 0. When the leading coefficient isn't 1, remember to divide by it: 3x - 4 = 0 gives x = \tfrac{4}{3}, not 4.
Comprobación:x = -2: 3(4) + 2(-2) = 12 - 4 = 8 ✓. x = \tfrac{4}{3}: 3 \cdot \tfrac{16}{9} + \tfrac{8}{3} = \tfrac{16}{3} + \tfrac{8}{3} = \tfrac{24}{3} = 8 ✓.
Comprobación con la fórmula cuadrática: x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{6} = \dfrac{-2 \pm 10}{6}, lo que da \tfrac{8}{6} = \tfrac{4}{3} y -2 ✓.
Consejo: La regla del producto cero solo funciona cuando un lado es 0. Cuando el coeficiente principal no es 1, recuerda dividir entre él: 3x - 4 = 0 da x = \tfrac{4}{3}, no 4.
Ver en español
Pregunta
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación de abajo?
3x^{2} + 2x = 8
Opciones
A.x = -2 y x = \tfrac{4}{3}
B.x = 2 y x = -\tfrac{4}{3}
C.x = 8 y x = 2
D.x = -2 y x = 4
Pista
Primero deja 0 en un lado. Luego factoriza (o usa la fórmula cuadrática de la hoja de fórmulas).
Pregunta 25 de 41 · Escribir expresiones racionales a partir de un contexto
A school club rents a bus for $480. The cost is split equally among the n students who go. Then 4 more students sign up, and the $480 is split equally among all of the students.
Which expression gives how many dollars less each student pays after the 4 students join?
Pista
Write the cost per student before (\tfrac{480}{n}) and after. Then subtract, using a common denominator.
Solución paso a paso
Before: each of n students pays \dfrac{480}{n} dollars.
After: there are n + 4 students, so each pays \dfrac{480}{n + 4} dollars.
Savings per student = before − after: \dfrac{480}{n} - \dfrac{480}{n + 4}.
Tip: To subtract fractions with different denominators, multiply each by the missing factor — never subtract (or add) the denominators. Testing a friendly number such as n = 20 quickly eliminates wrong choices.
Explicación
Antes: cada uno de los n estudiantes paga \dfrac{480}{n} dólares.
Después: hay n + 4 estudiantes, así que cada uno paga \dfrac{480}{n + 4} dólares.
Ahorro por estudiante = antes − después: \dfrac{480}{n} - \dfrac{480}{n + 4}.
Consejo: Para restar fracciones con denominadores distintos, multiplica cada una por el factor que le falta — nunca restes (ni sumes) los denominadores. Probar un número fácil como n = 20 elimina rápido las opciones incorrectas.
Ver en español
Pregunta
Un club escolar renta un autobús por $480. El costo se divide en partes iguales entre los n estudiantes que van. Después se inscriben 4 estudiantes más, y los $480 se dividen en partes iguales entre todos los estudiantes.
¿Qué expresión da cuántos dólares menos paga cada estudiante después de que se unen los 4 estudiantes?
Opciones
A.\dfrac{480}{n + 4}
B.\dfrac{1920}{n(n + 4)}
C.-120
D.\dfrac{1920}{2n + 4}
Pista
Escribe el costo por estudiante antes (\tfrac{480}{n}) y después. Luego resta usando un denominador común.
Pregunta 26 de 41 · Media, mediana, moda, rango y promedio ponderado
Completar
In Mr. Diaz's GED prep class, the course grade is a weighted average:
Category
Weight
Lena's average
Unit tests
40%
80
Homework
20%
95
Final exam
40%
?
What score does Lena need on the final exam to earn a course grade of exactly 82?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Multiply each average by its weight (as a decimal) and add. Set the total equal to 82 and solve for the final-exam score.
Solución paso a paso
Let F be the final exam score. Write each weight as a decimal: 40% = 0.40, 20% = 0.20, 40% = 0.40.
Check:0.40(80) + 0.20(95) + 0.40(77.5) = 32 + 19 + 31 = 82 ✓. Note the simple average \frac{80 + 95 + 77.5}{3} \approx 84.2 is not her grade, because the categories count differently.
Tip: In a weighted average, each value counts in proportion to its weight. Check that the weights add to 100% (40 + 20 + 40 = 100), then work backwards from the target with inverse operations.
Explicación
Sea F la calificación del examen final. Escribe cada peso como decimal: 40% = 0.40, 20% = 0.20, 40% = 0.40.
Multiplica: 32 + 19 + 0.40F = 82, así que 51 + 0.40F = 82.
Resta 51: 0.40F = 31.
Divide entre 0.40: F = 31 \div 0.40 = 77.5.
Lena necesita 77.5 en el examen final.
Comprobación:0.40(80) + 0.20(95) + 0.40(77.5) = 32 + 19 + 31 = 82 ✓. Observa que el promedio simple \frac{80 + 95 + 77.5}{3} \approx 84.2no es su calificación, porque las categorías cuentan de forma distinta.
Consejo: En un promedio ponderado, cada valor cuenta en proporción a su peso. Comprueba que los pesos sumen 100% (40 + 20 + 40 = 100) y luego trabaja hacia atrás desde la meta con operaciones inversas.
Ver en español
Pregunta
En la clase de preparación para el GED® del Sr. Díaz, la calificación del curso es un promedio ponderado:
Categoría
Peso
Promedio de Lena
Exámenes de unidad
40%
80
Tareas
20%
95
Examen final
40%
?
¿Qué calificación necesita Lena en el examen final para obtener una calificación del curso de exactamente 82?
Pista
Multiplica cada promedio por su peso (como decimal) y suma. Iguala el total a 82 y despeja la calificación del examen final.
Pregunta 27 de 41 · Características clave de gráficas y tablas
Zona activa
A school club sells tickets to a talent show. The graph shows the club's predicted profit for different ticket prices.
The club does not want to lose money. Click the point that shows the highest ticket price the club can charge without losing money.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
"Not losing money" means profit is 0 or more. Where on the graph is the profit exactly 0, and which of those prices is higher?
Solución paso a paso
"Not losing money" means profit \ge 0: the graph is on or above the x-axis.
The graph touches the x-axis (profit = 0) at two prices: point A at $2 and point C at $12. These are the break-even points (the x-intercepts).
Between $2 and $12 the profit is positive; above $12 the graph drops below the axis, so the club would lose money.
The highest price with profit \ge 0 is $12, which is point C (12, 0).
Check: Point B (7, 500) is the vertex — the price that gives the greatest profit, which is a different question. Point D (0, −480) is the y-intercept: giving tickets away loses $480. Point A ($2) also breaks even, but it is the lowest such price ✓.
Tip: Know the key features by their meaning: x-intercepts = where the output is 0 (break-even), y-intercept = output when the input is 0, vertex = maximum or minimum. Read the question for the exact feature it wants.
Explicación
"No perder dinero" significa ganancia \ge 0: la gráfica está sobre el eje x o por encima de él.
La gráfica toca el eje x (ganancia = 0) en dos precios: el punto A en $2 y el punto C en $12. Estos son los puntos de equilibrio (las intersecciones con el eje x).
Entre $2 y $12 la ganancia es positiva; por encima de $12 la gráfica baja del eje, así que el club perdería dinero.
El precio más alto con ganancia \ge 0 es $12, que es el punto C (12, 0).
Comprobación: El punto B (7, 500) es el vértice — el precio que da la mayor ganancia, que es otra pregunta. El punto D (0, −480) es la intersección con el eje y: regalar los boletos hace perder $480. El punto A ($2) también es de equilibrio, pero es el precio más bajo de ese tipo ✓.
Consejo: Conoce las características clave por su significado: intersecciones con el eje x = donde la salida es 0 (equilibrio), intersección con el eje y = la salida cuando la entrada es 0, vértice = máximo o mínimo. Lee la pregunta para saber qué característica exacta pide.
Ver en español
Pregunta
Un club escolar vende boletos para un concurso de talentos. La gráfica muestra la ganancia que el club predice para distintos precios de boleto.
El club no quiere perder dinero. Haz clic en el punto que muestra el precio de boleto más alto que el club puede cobrar sin perder dinero.
Pista
"No perder dinero" significa que la ganancia es 0 o más. ¿En qué parte de la gráfica la ganancia es exactamente 0, y cuál de esos precios es más alto?
Pregunta 28 de 41 · Escribir ecuaciones lineales a partir de un contexto
A youth soccer league signed up 84 players. Early-bird registration cost $35 per player, and regular registration cost $40 per player. The league collected $3,150 in all.
If e is the number of players who paid the early-bird price, which equation can be used to find e?
Pista
If e players paid early, how many paid the regular price? Then write "money from early + money from regular = total money."
Solución paso a paso
Early-bird players: e. Since there are 84 players in all, regular players: 84 - e.
Tip: When two groups make up a known total, write the second group as "total minus the first" (84 - e). Each price must multiply the number of people who paid that price, and the equation must be about one kind of quantity (here, dollars).
Explicación
Jugadores con inscripción anticipada: e. Como hay 84 jugadores en total, jugadores con inscripción normal: 84 - e.
Dinero de los jugadores con inscripción anticipada: 35e.
Dinero de los jugadores con inscripción normal: 40(84 - e).
Dinero total: 35e + 40(84 - e) = 3{,}150.
La ecuación es 35e + 40(84 - e) = 3{,}150.
Comprobación: Resuélvela: 35e + 3{,}360 - 40e = 3{,}150 \Rightarrow -5e = -210 \Rightarrow e = 42. Entonces hay 42 con inscripción anticipada y 42 con inscripción normal: 35(42) + 40(42) = 1{,}470 + 1{,}680 = 3{,}150 ✓.
Consejo: Cuando dos grupos forman un total conocido, escribe el segundo grupo como "el total menos el primero" (84 - e). Cada precio debe multiplicar al número de personas que pagaron ese precio, y la ecuación debe tratar de un solo tipo de cantidad (aquí, dólares).
Ver en español
Pregunta
Una liga juvenil de fútbol inscribió a 84 jugadores. La inscripción anticipada costaba $35 por jugador, y la inscripción normal costaba $40 por jugador. La liga recaudó $3,150 en total.
Si e es el número de jugadores que pagaron el precio de inscripción anticipada, ¿qué ecuación se puede usar para encontrar e?
Opciones
A.35e + 40e = 3{,}150
B.35(84 - e) + 40e = 3{,}150
C.35e + 40(84 - e) = 3{,}150
D.35e + 40(84 - e) = 84
Pista
Si e jugadores pagaron antes, ¿cuántos pagaron el precio normal? Luego escribe "dinero de inscripción anticipada + dinero de inscripción normal = dinero total".
Pregunta 29 de 41 · Diagramas de puntos, histogramas y diagramas de caja
Varias respuestas
The box plots summarize the points scored per game by two high school basketball teams, the Hawks and the Comets, during one season.
Box plots of points per game for the Hawks and the Comets
Select all the statements that are supported by the box plots.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Read the five-number summary for each team (min, Q1, median, Q3, max). Range = max − min; IQR = Q3 − Q1. Each section of a box plot holds about 25% of the data.
Solución paso a paso
Read the five-number summaries:
Hawks: min 52, Q_1 = 60, median 68, Q_3 = 74, max 90.
Comets: min 48, Q_1 = 62, median 70, Q_3 = 78, max 84.
Medians: Comets 70 > Hawks 68. Statement A is true.
Ranges: Hawks 90 - 52 = 38; Comets 84 - 48 = 36. The Hawks' range is greater. Statement B is true.
IQRs: Hawks 74 - 60 = 14; Comets 78 - 62 = 16. The Comets' IQR is greater. Statement C is true.
Statement D: 78 is the Comets' Q_3, so only about 25% of their games were above 78, not half. False.
Statement E: a box plot shows the median, not the mean. The Hawks' mean cannot be read from the plot. False.
The supported statements are A, B and C.
Check: A team can have a larger range but a smaller IQR (the Hawks do), because range depends only on the two extreme games while IQR measures the middle 50% ✓.
Tip: Box plots split data into four parts with about 25% each. The line inside the box is the median; you can never get the mean from a box plot alone.
Medianas: Comets 70 > Hawks 68. El enunciado A es verdadero.
Rangos: Hawks 90 - 52 = 38; Comets 84 - 48 = 36. El rango de los Hawks es mayor. El enunciado B es verdadero.
Rangos intercuartílicos (RIC): Hawks 74 - 60 = 14; Comets 78 - 62 = 16. El RIC de los Comets es mayor. El enunciado C es verdadero.
Enunciado D: 78 es el Q_3 de los Comets, así que solo alrededor del 25% de sus partidos superaron 78, no la mitad. Falso.
Enunciado E: un diagrama de caja muestra la mediana, no la media. La media de los Hawks no se puede leer en el diagrama. Falso.
Los enunciados respaldados son A, B y C.
Comprobación: Un equipo puede tener un rango mayor pero un RIC menor (como los Hawks), porque el rango depende solo de los dos partidos extremos, mientras que el RIC mide el 50% central ✓.
Consejo: Los diagramas de caja dividen los datos en cuatro partes, cada una con alrededor del 25%. La línea dentro de la caja es la mediana; nunca puedes obtener la media solo con un diagrama de caja.
Ver en español
Pregunta
Los diagramas de caja resumen los puntos anotados por partido por dos equipos de básquetbol de preparatoria, los Hawks y los Comets, durante una temporada.
Selecciona todos los enunciados que están respaldados por los diagramas de caja.
Opciones
A. Los Comets tuvieron una mediana de puntos más alta que los Hawks.
B. Los puntos de los Hawks tuvieron un rango mayor que los de los Comets.
C. Los puntos de los Comets tuvieron un rango intercuartil mayor que los de los Hawks.
D. Los Comets anotaron más de 78 puntos en aproximadamente la mitad de sus partidos.
E. La media de puntos de los Hawks fue de 68 puntos.
Pista
Lee el resumen de cinco números de cada equipo (mín., Q1, mediana, Q3, máx.). Rango = máx. − mín.; rango intercuartil = Q3 − Q1. Cada sección de un diagrama de caja contiene aproximadamente el 25% de los datos.
Pregunta 30 de 41 · Rectas paralelas y perpendiculares
On a city planning map, a light-rail line follows the line y = \tfrac{2}{3}x - 4. A new bike path will be perpendicular to the light-rail line and will pass through the point (6, -1).
Which equation describes the bike path?
Pista
Perpendicular slopes are negative reciprocals. Then substitute (6, -1) into y = mx + b to find b.
Solución paso a paso
The light-rail slope is \tfrac{2}{3}.
A perpendicular slope is the negative reciprocal: flip \tfrac{2}{3} to \tfrac{3}{2} and change the sign: m = -\tfrac{3}{2}.
Substitute the point (6, -1) into y = mx + b:
-1 = -\tfrac{3}{2}(6) + b \Rightarrow -1 = -9 + b \Rightarrow b = 8.
Tip: Parallel lines have equal slopes; perpendicular lines have slopes whose product is -1 (flip and change sign). Always find b by substituting the given point — do not reuse the original line's intercept.
Explicación
La pendiente del tren ligero es \tfrac{2}{3}.
Una pendiente perpendicular es el recíproco negativo: invierte \tfrac{2}{3} a \tfrac{3}{2} y cambia el signo: m = -\tfrac{3}{2}.
Sustituye el punto (6, -1) en y = mx + b:
-1 = -\tfrac{3}{2}(6) + b \Rightarrow -1 = -9 + b \Rightarrow b = 8.
Consejo: Las rectas paralelas tienen pendientes iguales; las rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es -1 (invierte y cambia el signo). Siempre halla b sustituyendo el punto dado — no reutilices la intersección de la recta original.
Ver en español
Pregunta
En un mapa de planeación de una ciudad, una línea de tren ligero sigue la recta y = \tfrac{2}{3}x - 4. Una nueva ciclovía será perpendicular a la línea del tren ligero y pasará por el punto (6, -1).
¿Qué ecuación describe la ciclovía?
Opciones
A.y = \tfrac{2}{3}x - 5
B.y = -\tfrac{3}{2}x - 10
C.y = \tfrac{3}{2}x - 10
D.y = -\tfrac{3}{2}x + 8
Pista
Las pendientes perpendiculares son recíprocas y de signo contrario. Luego sustituye (6, -1) en y = mx + b para encontrar b.
Pregunta 31 de 41 · Cilindros
Completar
A trash can at a bus stop is shaped like a cylinder with a radius of 10 inches. It holds 7,540 cubic inches when full.
To the nearest inch, how tall is the trash can?
inches
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Use V = \pi r^{2} h from the formula sheet. You know V and r; solve for h.
Solución paso a paso
Formula sheet: V = \pi r^{2}h.
Substitute what you know: 7{,}540 = \pi(10)^{2}h = 100\pi h.
100\pi \approx 314.16, so 7{,}540 = 314.16h.
Divide: h = \dfrac{7{,}540}{314.16} \approx 24.0 inches.
The trash can is about 24 inches tall.
Check:\pi(10)^{2}(24) = 2{,}400\pi \approx 7{,}539.8 cubic inches, which rounds to 7,540 ✓.
Tip: For "work backwards" volume problems, substitute the known values first, simplify the numbers next to h, and divide. Remember to square the radius (10^{2} = 100), not double it.
Explicación
Hoja de fórmulas: V = \pi r^{2}h.
Sustituye lo que sabes: 7{,}540 = \pi(10)^{2}h = 100\pi h.
100\pi \approx 314.16, así que 7{,}540 = 314.16h.
Divide: h = \dfrac{7{,}540}{314.16} \approx 24.0 pulgadas.
El bote de basura mide aproximadamente 24 pulgadas de alto.
Comprobación:\pi(10)^{2}(24) = 2{,}400\pi \approx 7{,}539.8 pulgadas cúbicas, que se redondea a 7,540 ✓.
Consejo: En los problemas de volumen en los que trabajas hacia atrás, primero sustituye los valores conocidos, luego simplifica los números junto a h y divide. Recuerda elevar el radio al cuadrado (10^{2} = 100), no multiplicarlo por 2.
Ver en español
Pregunta
Un bote de basura en una parada de autobús tiene forma de cilindro con un radio de 10 pulgadas. Le caben 7,540 pulgadas cúbicas cuando está lleno.
Redondeando a la pulgada más cercana, ¿cuánto mide de alto el bote de basura?
_____ pulgadas
Pista
Usa V = \pi r^{2} h de la hoja de fórmulas. Conoces V y r; despeja h.
Pregunta 32 de 41 · Comparar relaciones proporcionales
Two trains travel at constant speeds. The graph shows the distance traveled by Train X. The distance d, in miles, traveled by Train Y in t minutes is given by the equation d = 0.75t.
Graph of distance vs. time for Train X through (15, 12)
In 40 minutes, which train travels farther, and by how many miles?
Pista
Find Train X's rate (miles per minute) from the marked point. Then find each train's distance in 40 minutes.
Solución paso a paso
Train X's rate: the graph is a straight line through the origin and (15, 12), so its rate is \dfrac{12}{15} = 0.8 miles per minute.
Train Y's rate: in d = 0.75t the coefficient is the rate, 0.75 miles per minute.
Distances in 40 minutes:
Train X: 0.8 \times 40 = 32 miles (the graph also shows (40, 32)).
Train Y: 0.75 \times 40 = 30 miles.
Difference: 32 - 30 = 2 miles.
Train X travels 2 miles farther.
Check: Difference in rates: 0.8 - 0.75 = 0.05 mi/min; over 40 minutes, 0.05 \times 40 = 2 miles ✓.
Tip: To compare proportional relationships given in different forms, turn each one into a unit rate (y per 1 unit of x). For a graph, divide y by x at any point on the line.
Explicación
Tasa del tren X: la gráfica es una recta que pasa por el origen y por (15, 12), así que su tasa es \dfrac{12}{15} = 0.8 millas por minuto.
Tasa del tren Y: en d = 0.75t el coeficiente es la tasa, 0.75 millas por minuto.
Distancias en 40 minutos:
Tren X: 0.8 \times 40 = 32 millas (la gráfica también muestra (40, 32)).
Tren Y: 0.75 \times 40 = 30 millas.
Diferencia: 32 - 30 = 2 millas.
El tren X recorre 2 millas más.
Comprobación: Diferencia de tasas: 0.8 - 0.75 = 0.05 mi/min; en 40 minutos, 0.05 \times 40 = 2 millas ✓.
Consejo: Para comparar relaciones proporcionales dadas en formas distintas, convierte cada una en una tasa unitaria (y por cada unidad de x). En una gráfica, divide y entre x en cualquier punto de la recta.
Ver en español
Pregunta
Dos trenes viajan a rapidez constante. La gráfica muestra la distancia recorrida por el tren X. La distancia d, en millas, que recorre el tren Y en t minutos está dada por la ecuación d = 0.75t.
En 40 minutos, ¿qué tren recorre más distancia y por cuántas millas?
Opciones
A. El tren X, por 2 millas
B. El tren Y, por unas 21.3 millas
C. El tren X, por 0.05 millas
D. El tren X, por 32 millas
Pista
Encuentra la tasa del tren X (millas por minuto) con el punto marcado. Luego encuentra la distancia de cada tren en 40 minutos.
Pregunta 33 de 41 · Probabilidad de eventos simples y compuestos
Records show that Rafael's morning bus arrives on time 85% of the time. Assume each day is independent of the others.
Rafael takes the bus on 5 workdays. To the nearest tenth of a percent, what is the probability that the bus is late on at least one of the 5 days?
Pista
"At least one" is easiest with the complement: 1 − P(the bus is on time all 5 days).
Solución paso a paso
The opposite (complement) of "late on at least one day" is "on time every day."
Days are independent, so multiply: P(\text{on time all 5}) = 0.85^{5}.
Complement: P(\text{late at least once}) = 1 - 0.4437 = 0.5563 \approx 55.6\%.
The probability is about 55.6%.
Check: The answer must be more than the 15% chance for a single day (more days, more chances to be late) but less than 100% ✓. Adding 5 \times 15\% = 75\% overcounts days with more than one late bus.
Tip: For "at least one" questions, use 1 - P(\text{none}). On the TI-30XS, type 0.85 ^ 5 then subtract the result from 1.
Explicación
Lo opuesto (el complemento) de "llega tarde al menos un día" es "llega a tiempo todos los días".
Los días son independientes, así que multiplica: P(\text{a tiempo los 5}) = 0.85^{5}.
Complemento: P(\text{tarde al menos una vez}) = 1 - 0.4437 = 0.5563 \approx 55.6\%.
La probabilidad es de aproximadamente 55.6%.
Comprobación: La respuesta debe ser mayor que la probabilidad de 15% para un solo día (más días, más oportunidades de llegar tarde), pero menor que 100% ✓. Sumar 5 \times 15\% = 75\% cuenta de más los días con más de un retraso.
Consejo: En las preguntas de "al menos uno", usa 1 - P(\text{ninguno}). En la TI-30XS, escribe 0.85 ^ 5 y luego resta el resultado de 1.
Ver en español
Pregunta
Los registros muestran que el autobús de la mañana de Rafael llega a tiempo el 85% de las veces. Supón que cada día es independiente de los demás.
Rafael toma el autobús 5 días de trabajo. Redondeando a la décima de punto porcentual más cercana, ¿cuál es la probabilidad de que el autobús llegue tarde al menos uno de los 5 días?
Opciones
A. 44.4%
B. 55.6%
C. 75.0%
D. 15.0%
Pista
"Al menos uno" es más fácil con el complemento: 1 − P(el autobús llega a tiempo los 5 días).
Pregunta 34 de 41 · Operaciones con expresiones racionales
Arrastrar y soltar
Drag the simplified form of each rational expression into its box. Assume no denominator equals 0. Not every tile will be used.
\dfrac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}
\dfrac{x^{2} + 2x - 15}{x - 3}
\dfrac{2x^{2} - 8}{4x + 8}
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Factor the top and bottom completely (difference of squares, trinomials, common factors), then cancel only factors that match.
Solución paso a paso
\dfrac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}: the top is a difference of squares, (x - 3)(x + 3); the bottom factors as (x + 2)(x + 3). Cancel (x + 3): \dfrac{x - 3}{x + 2}.
\dfrac{x^{2} + 2x - 15}{x - 3}: the top factors as (x + 5)(x - 3) (since 5 \cdot (-3) = -15 and 5 + (-3) = 2). Cancel (x - 3): x + 5.
Tip: You may cancel only common factors (things multiplied), never terms that are added. Crossing out the x^{2}'s in \tfrac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6} is the classic trap.
Explicación
\dfrac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}: el numerador es una diferencia de cuadrados, (x - 3)(x + 3); el denominador se factoriza como (x + 2)(x + 3). Cancela (x + 3): \dfrac{x - 3}{x + 2}.
\dfrac{x^{2} + 2x - 15}{x - 3}: el numerador se factoriza como (x + 5)(x - 3) (porque 5 \cdot (-3) = -15 y 5 + (-3) = 2). Cancela (x - 3): x + 5.
Consejo: Solo puedes cancelar factores comunes (cosas que se multiplican), nunca términos que se suman. Tachar las x^{2} en \tfrac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6} es la trampa clásica.
Ver en español
Pregunta
Arrastra la forma simplificada de cada expresión racional a su recuadro. Supón que ningún denominador es igual a 0. No se usarán todas las fichas.
\dfrac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}
\dfrac{x^{2} + 2x - 15}{x - 3}
\dfrac{2x^{2} - 8}{4x + 8}
_____
_____
_____
Opciones
\dfrac{x - 3}{x + 2}
x + 5
\dfrac{x - 2}{2}
\dfrac{-9}{5x + 6}
x - 5
Pista
Factoriza completamente el numerador y el denominador (diferencia de cuadrados, trinomios, factores comunes) y luego cancela solo los factores que coincidan.
Pregunta 35 de 41 · Resolver desigualdades lineales
Which inequality is equivalent to
5 - 2(3x + 1) \le 4x - 17?
Pista
Distribute the -2 to both terms in the parentheses. If you ever divide by a negative number, flip the inequality sign.
Solución paso a paso
Distribute -2:5 - 6x - 2 \le 4x - 17.
Combine like terms on the left:3 - 6x \le 4x - 17.
Collect x terms (subtract 4x): 3 - 10x \le -17.
Subtract 3:-10x \le -20.
Divide by -10 and flip the sign:x \ge 2.
The solution is x \ge 2.
Check: Try x = 3 (in the solution): 5 - 2(10) = -15 and 4(3) - 17 = -5; -15 \le -5 ✓. Try x = 0 (not in it): 5 - 2 = 3 and -17; 3 \le -17 is false ✓. Boundary x = 2: 5 - 14 = -9 and 8 - 17 = -9, equal ✓.
Tip: Flip the inequality only when you multiply or divide both sides by a negative. Moving terms by adding or subtracting never flips it. Test one number from your answer in the original inequality.
Explicación
Aplica la propiedad distributiva con -2:5 - 6x - 2 \le 4x - 17.
Combina términos semejantes a la izquierda:3 - 6x \le 4x - 17.
Junta los términos con x (resta 4x): 3 - 10x \le -17.
Resta 3:-10x \le -20.
Divide entre -10 e invierte el signo:x \ge 2.
La solución es x \ge 2.
Comprobación: Prueba x = 3 (está en la solución): 5 - 2(10) = -15 y 4(3) - 17 = -5; -15 \le -5 ✓. Prueba x = 0 (no está): 5 - 2 = 3 y -17; 3 \le -17 es falso ✓. Límite x = 2: 5 - 14 = -9 y 8 - 17 = -9, son iguales ✓.
Consejo: Invierte la desigualdad solo cuando multiplicas o divides ambos lados entre un número negativo. Mover términos sumando o restando nunca la invierte. Prueba un número de tu respuesta en la desigualdad original.
Ver en español
Pregunta
¿Qué desigualdad es equivalente a
5 - 2(3x + 1) \le 4x - 17?
Opciones
A.x \le 2
B.x \ge 2.4
C.x \ge 2
D.x \ge 1.4
Pista
Aplica la propiedad distributiva del -2 a los dos términos del paréntesis. Si en algún momento divides entre un número negativo, invierte el signo de la desigualdad.
Pregunta 36 de 41 · Problemas de la vida real de varios pasos
Last week a small bakery sold 340 muffins at $2.75 each and 125 loaves of bread at $5.40 each. Ingredients for the week cost $412.50. The bakery also paid 3 workers, each for 22 hours at $14.50 per hour.
What was the bakery's profit for the week?
Pista
Profit = total sales − total costs. Find sales from both products and costs from ingredients and all three workers.
Check: Work in another order: 1{,}610 - 412.50 = 1{,}197.50 left after ingredients; 1{,}197.50 - 957 = 240.50 ✓.
Tip: In multi-step money problems, list every source of income and every cost before computing. Watch for amounts that apply "each" — here the hourly pay applies to each of 3 workers.
Explicación
Ventas de panecillos:340 \times \$2.75 = \$935.00.
Ventas de pan:125 \times \$5.40 = \$675.00.
Ventas totales:935 + 675 = \$1{,}610.00.
Mano de obra:3 \times 22 \times 14.50 = 66 \times 14.50 = \$957.00.
Costos totales:412.50 + 957.00 = \$1{,}369.50.
Ganancia:1{,}610.00 - 1{,}369.50 = \$240.50.
La ganancia de la panadería fue de $240.50.
Comprobación: Hazlo en otro orden: 1{,}610 - 412.50 = 1{,}197.50 quedan después de los ingredientes; 1{,}197.50 - 957 = 240.50 ✓.
Consejo: En los problemas de dinero de varios pasos, haz una lista de cada fuente de ingresos y cada costo antes de calcular. Fíjate en las cantidades que se aplican a "cada uno" — aquí el pago por hora se aplica a cada uno de los 3 trabajadores.
Ver en español
Pregunta
La semana pasada, una pequeña panadería vendió 340 panecillos a $2.75 cada uno y 125 barras de pan a $5.40 cada una. Los ingredientes de la semana costaron $412.50. La panadería también les pagó a 3 trabajadores, cada uno por 22 horas a $14.50 por hora.
¿Cuál fue la ganancia de la panadería en la semana?
Opciones
A.-\$434.50
B. $240.50
C. $878.50
D. $1,197.50
Pista
Ganancia = ventas totales − costos totales. Encuentra las ventas de los dos productos y los costos de los ingredientes y de los tres trabajadores.
Pregunta 37 de 41 · Recta a partir de la pendiente y un punto
Completar
A line has a slope of -\tfrac{5}{3} and passes through the point (6,\ 4).
What is the y-intercept of the line?
b =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Substitute the slope and the point into y = mx + b, then solve for b.
Solución paso a paso
Slope-intercept form: y = mx + b, with m = -\tfrac{5}{3}.
Substitute the point (6, 4): 4 = -\tfrac{5}{3}(6) + b.
Multiply: -\tfrac{5}{3} \cdot 6 = -10, so 4 = -10 + b.
Add 10 to both sides: b = 14.
The y-intercept is 14, and the line is y = -\tfrac{5}{3}x + 14.
Check: At x = 6: -\tfrac{5}{3}(6) + 14 = -10 + 14 = 4 ✓. Also, from (0, 14), going right 6 means going down \tfrac{5}{3} \times 6 = 10, landing at (6, 4) ✓.
Tip: You can also use point-slope form from the formula sheet, y - y_1 = m(x - x_1), and then simplify to y = mx + b. Either way, solve for b carefully: 4 = -10 + b means b = 4 + 10, not 4 - 10.
Explicación
Forma pendiente-intersección: y = mx + b, con m = -\tfrac{5}{3}.
Sustituye el punto (6, 4): 4 = -\tfrac{5}{3}(6) + b.
Multiplica: -\tfrac{5}{3} \cdot 6 = -10, así que 4 = -10 + b.
Suma 10 en ambos lados: b = 14.
La intersección con el eje y es 14, y la recta es y = -\tfrac{5}{3}x + 14.
Comprobación: En x = 6: -\tfrac{5}{3}(6) + 14 = -10 + 14 = 4 ✓. Además, desde (0, 14), avanzar 6 a la derecha significa bajar \tfrac{5}{3} \times 6 = 10, y llegas a (6, 4) ✓.
Consejo: También puedes usar la forma punto-pendiente de la hoja de fórmulas, y - y_1 = m(x - x_1), y luego simplificar a y = mx + b. De cualquier forma, despeja b con cuidado: 4 = -10 + b significa b = 4 + 10, no 4 - 10.
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Pregunta
Una recta tiene una pendiente de -\tfrac{5}{3} y pasa por el punto (6,\ 4).
¿Cuál es la intersección con el eje y de la recta?
b = _____
Pista
Sustituye la pendiente y el punto en y = mx + b, y luego despeja b.
Pregunta 38 de 41 · Resolver ecuaciones cuadráticas
Completar
In a gym class, a student serves a volleyball. The height h of the ball, in feet, t seconds after the serve is modeled by
h = -16t^{2} + 24t + 6
If no one hits it, after how many seconds will the ball reach the floor? Round to the nearest hundredth of a second.
seconds
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The ball reaches the floor when h = 0. This quadratic does not factor nicely — use the quadratic formula on the formula sheet and keep the positive answer.
Solución paso a paso
The floor is height 0, so solve -16t^{2} + 24t + 6 = 0.
t = \dfrac{-24 + 30.984}{-32} = \dfrac{6.984}{-32} \approx -0.22 (negative time — reject).
t = \dfrac{-24 - 30.984}{-32} = \dfrac{-54.984}{-32} \approx 1.718.
Round: t \approx 1.72 seconds.
The ball reaches the floor after about 1.72 seconds.
Check:h(1.72) = -16(2.9584) + 24(1.72) + 6 = -47.33 + 41.28 + 6 = -0.05 \approx 0 ✓ (the tiny error is from rounding).
Tip: When a is negative, the "minus" branch of \pm often gives the positive answer — compute both and keep the one that makes sense. Watch the sign of -4ac: with a = -16 it becomes +384.
Explicación
El piso es la altura 0, así que resuelve -16t^{2} + 24t + 6 = 0.
Consejo: Cuando a es negativo, la rama "menos" de \pm suele dar la respuesta positiva — calcula ambas y quédate con la que tiene sentido. Fíjate en el signo de -4ac: con a = -16 se convierte en +384.
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Pregunta
En una clase de educación física, un estudiante saca un balón de voleibol. La altura h del balón, en pies, t segundos después del saque se representa con
h = -16t^{2} + 24t + 6
Si nadie lo golpea, ¿después de cuántos segundos llegará el balón al piso? Redondea a la centésima de segundo más cercana.
_____ segundos
Pista
El balón llega al piso cuando h = 0. Esta ecuación cuadrática no se factoriza fácilmente: usa la fórmula cuadrática de la hoja de fórmulas y quédate con la respuesta positiva.
Pregunta 39 de 41 · Graficar ecuaciones lineales
Ms. Chen tells her class to graph the line 6x - 5y = 30 by plotting its two intercepts.
Which two points should the students plot?
Pista
For the x-intercept, set y = 0. For the y-intercept, set x = 0. Watch the sign of the -5y term.
Solución paso a paso
x-intercept (set y = 0): 6x - 5(0) = 30 \Rightarrow 6x = 30 \Rightarrow x = 5. Point (5, 0).
y-intercept (set x = 0): 6(0) - 5y = 30 \Rightarrow -5y = 30 \Rightarrow y = -6. Point (0, -6).
Plot (5, 0) and (0, -6) and draw the line through them.
The students should plot (5, 0) and (0, -6).
Check:6(5) - 5(0) = 30 ✓ and 6(0) - 5(-6) = 0 + 30 = 30 ✓. The slope from (0, -6) to (5, 0) is \tfrac{6}{5}, matching y = \tfrac{6}{5}x - 6 (the equation solved for y) ✓.
Tip: The intercept method is the fastest way to graph an equation in standard form Ax + By = C. An x-intercept always has y = 0, so it is written (\text{number}, 0) — do not swap the coordinates.
Explicación
Intersección con el eje x (haz y = 0): 6x - 5(0) = 30 \Rightarrow 6x = 30 \Rightarrow x = 5. Punto (5, 0).
Intersección con el eje y (haz x = 0): 6(0) - 5y = 30 \Rightarrow -5y = 30 \Rightarrow y = -6. Punto (0, -6).
Marca (5, 0) y (0, -6) y traza la recta que pasa por ellos.
Los estudiantes deben marcar (5, 0) y (0, -6).
Comprobación:6(5) - 5(0) = 30 ✓ y 6(0) - 5(-6) = 0 + 30 = 30 ✓. La pendiente de (0, -6) a (5, 0) es \tfrac{6}{5}, lo que coincide con y = \tfrac{6}{5}x - 6 (la ecuación despejada para y) ✓.
Consejo: El método de las intersecciones es la forma más rápida de graficar una ecuación en forma estándar Ax + By = C. Una intersección con el eje x siempre tiene y = 0, así que se escribe (\text{número}, 0) — no intercambies las coordenadas.
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Pregunta
La Sra. Chen les pide a sus estudiantes que grafiquen la recta 6x - 5y = 30 marcando sus dos intersecciones con los ejes.
¿Qué dos puntos deben marcar los estudiantes?
Opciones
A.(5, 0) y (0, 6)
B.(0, 5) y (-6, 0)
C.(-5, 0) y (0, 6)
D.(5, 0) y (0, -6)
Pista
Para la intersección con el eje x, haz y = 0. Para la intersección con el eje y, haz x = 0. Cuidado con el signo del término -5y.
Pregunta 40 de 41 · Sistemas de dos ecuaciones lineales
For the spring play, a high school sold adult tickets for $8 each and student tickets for $5 each. The school sold 412 tickets in all and collected $2,555.
How many student tickets were sold?
Pista
Write one equation for the number of tickets and one for the money. Substitute to solve — and check which variable the question asks for.
Tip: Solve for the variable the question asks about, or solve for both and double-check which is which. Plugging the answer choices into both equations is a fast backup on the GED.
Explicación
Sea a = boletos de adulto y s = boletos de estudiante.
Consejo: Resuelve para la variable que pide la pregunta, o resuelve para ambas y verifica cuál es cuál. Sustituir las opciones de respuesta en las dos ecuaciones es un respaldo rápido en el GED®.
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Pregunta
Para la obra de primavera, una preparatoria vendió boletos de adulto a $8 cada uno y boletos de estudiante a $5 cada uno. La escuela vendió 412 boletos en total y recaudó $2,555.
¿Cuántos boletos de estudiante se vendieron?
Opciones
A. 165
B. 206
C. 247
D. 511
Pista
Escribe una ecuación para el número de boletos y otra para el dinero. Sustituye para resolver, y fíjate qué variable pide la pregunta.
Pregunta 41 de 41 · Comparar funciones en distintas formas
A school is renting a van for a field trip. Two companies charge a fixed fee plus a cost per mile.
Company A: The cost C, in dollars, for m miles is C = 0.45m + 39.
Company B:
Miles driven
50
100
150
Cost (dollars)
64
84
104
Which statement is true?
Pista
Find Company B's rate per mile (slope) and fixed fee (cost at 0 miles) from the table. Then compare each part with Company A's equation.
Solución paso a paso
Company A: rate $0.45 per mile, fixed fee $39.
Company B's rate (slope from the table): \dfrac{84 - 64}{100 - 50} = \dfrac{20}{50} = \$0.40 per mile.
Company B's fixed fee:64 = 0.40(50) + b \Rightarrow 64 = 20 + b \Rightarrow b = \$44.
When are the costs equal?0.45m + 39 = 0.40m + 44 \Rightarrow 0.05m = 5 \Rightarrow m = 100 miles. Both cost $84 there.
So Company B charges less per mile ($0.40 vs $0.45) but has a higher fixed fee ($44 vs $39), and the two cost the same at 100 miles.
Answer: Company B charges less per mile, and the two companies charge the same for a 100-mile trip.
Check: Company A at 100 miles: 0.45(100) + 39 = 45 + 39 = 84, which matches Company B's table value of $84 ✓. At 50 miles, A costs 22.50 + 39 = \$61.50 while B costs $64, so they are not equal at 50 miles.
Tip: To compare functions in different forms, pull the same two features out of each: rate of change (slope) and starting value (intercept). A table's intercept is not usually listed — work it out from the slope and one row.
Explicación
Compañía A: tasa de $0.45 por milla, tarifa fija de $39.
Tasa de la compañía B (pendiente de la tabla): \dfrac{84 - 64}{100 - 50} = \dfrac{20}{50} = \$0.40 por milla.
Tarifa fija de la compañía B:64 = 0.40(50) + b \Rightarrow 64 = 20 + b \Rightarrow b = \$44.
¿Cuándo son iguales los costos?0.45m + 39 = 0.40m + 44 \Rightarrow 0.05m = 5 \Rightarrow m = 100 millas. Ahí ambas cuestan $84.
Así, la compañía B cobra menos por milla ($0.40 contra $0.45), pero tiene una tarifa fija más alta ($44 contra $39), y las dos cuestan lo mismo a las 100 millas.
Respuesta: La compañía B cobra menos por milla, y las dos compañías cobran lo mismo por un viaje de 100 millas.
Comprobación: La compañía A a 100 millas: 0.45(100) + 39 = 45 + 39 = 84, que coincide con el valor de $84 de la tabla de la compañía B ✓. A 50 millas, A cuesta 22.50 + 39 = \$61.50 mientras que B cuesta $64, así que no son iguales a 50 millas.
Consejo: Para comparar funciones en formas distintas, saca las mismas dos características de cada una: la tasa de cambio (pendiente) y el valor inicial (intersección). La intersección de una tabla normalmente no aparece — calcúlala con la pendiente y una fila.
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Pregunta
Una escuela va a rentar una camioneta para una excursión. Dos compañías cobran una tarifa fija más un costo por milla.
Compañía A: El costo C, en dólares, por m millas es C = 0.45m + 39.
Compañía B:
Millas recorridas
50
100
150
Costo (dólares)
64
84
104
¿Qué enunciado es verdadero?
Opciones
A. La compañía B cobra menos por milla, y las dos compañías cobran lo mismo por un viaje de 100 millas.
B. La compañía A cobra menos por milla, y las dos compañías cobran lo mismo por un viaje de 100 millas.
C. La compañía B cobra menos por milla, y las dos compañías cobran lo mismo por un viaje de 50 millas.
D. La compañía B cobra menos por milla y tiene una tarifa fija más baja que la compañía A.
Pista
Encuentra con la tabla la tasa por milla (pendiente) y la tarifa fija (costo con 0 millas) de la compañía B. Luego compara cada parte con la ecuación de la compañía A.