Examen de práctica de Matemáticas del GED 4

1. "¿Cuántas porciones de \tfrac{2}{3} de taza caben en 5\tfrac{1}{3} tazas?" es una pregunta de división: 5\tfrac{1}{3} \div \tfrac{2}{3}.
2. Cambia el número mixto a fracción impropia: 5\tfrac{1}{3} = \dfrac{5 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{16}{3}.
3. Dividir entre una fracción significa multiplicar por su recíproco: \dfrac{16}{3} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{3} \times \dfrac{3}{2}.
4. Multiplica: \dfrac{16 \times 3}{3 \times 2} = \dfrac{48}{6} = 8.

Puede alimentar a 8 plantas.

Comprobación: 8 \times \tfrac{2}{3} = \tfrac{16}{3} = 5\tfrac{1}{3} tazas ✓.

Consejo: pregúntate "¿cuántos grupos de ___ caben en ___?": eso siempre es división. Como cada porción es menor que 1 taza, la respuesta debe ser mayor que 5\tfrac{1}{3}, lo que descarta de inmediato las opciones más pequeñas.

1. Numerador (multiplicar con la misma base → sumar exponentes): 3^{4} \cdot 3^{-1} = 3^{4 + (-1)} = 3^{3}.
2. Dividir (misma base → restar exponentes, el de arriba menos el de abajo): \dfrac{3^{3}}{3^{5}} = 3^{3 - 5} = 3^{-2}.
3. Un exponente negativo significa el recíproco: 3^{-2} = \dfrac{1}{3^{2}} = \dfrac{1}{9}.

El valor es \tfrac{1}{9}.

Comprobación: escríbelo con números simples: 3^4 = 81 y 3^{-1} = \tfrac{1}{3}, así que arriba queda 81 \times \tfrac{1}{3} = 27. Abajo queda 3^5 = 243. Entonces \tfrac{27}{243} = \tfrac{1}{9} ✓.

Consejo: un exponente negativo nunca hace que el número sea negativo: lo pasa al otro lado de la barra de fracción. Y al dividir potencias, resta siempre el de arriba menos el de abajo; si el exponente de abajo es mayor, el resultado va en el denominador.

1. Raíz cúbica de un número negativo: necesitamos un número n tal que n \cdot n \cdot n = -64. Como (-4)(-4)(-4) = 16 \cdot (-4) = -64, obtenemos \sqrt[3]{-64} = -4.
2. Raíz cuadrada: \sqrt{16} = 4 porque 4 \cdot 4 = 16.
3. Resta: -4 - 4 = -8.

El valor es -8.

Comprobación: (-4)^3 = -64 ✓ y 4^2 = 16 ✓. Si empiezas en -4 en una recta numérica y te mueves 4 más hacia la izquierda, llegas a -8 ✓.

Consejo: las raíces cuadradas de números negativos no son números reales, pero las raíces cúbicas de números negativos sí existen: una cantidad impar de factores negativos da un producto negativo. Memoriza los cubos 1, 8, 27, 64, 125 para la parte sin calculadora.

1. Descuento: el 15\% de $480 es 0.15 \times 480 = 72. Precio en oferta: 480 - 72 = 408 (o 480 \times 0.85 = 408).
2. Impuesto sobre el precio en oferta: el 7\% de $408 es 0.07 \times 408 = 28.56.
3. Total: 408 + 28.56 = 436.56 (o 408 \times 1.07 = 436.56).

El costo total es $436.56.

Comprobación: en un solo paso: 480 \times 0.85 \times 1.07 = 436.56 ✓. La respuesta es menor que $480 (el descuento es mayor que el impuesto), pero mayor que el precio en oferta de $408 ✓.

Consejo: no puedes simplemente combinar los porcentajes (-15\% + 7\% = -8\%), porque el impuesto se calcula sobre una cantidad diferente y más pequeña que el descuento. Usa multiplicadores: "15% de descuento" significa \times 0.85 y "agregar 7%" significa \times 1.07.

1. El borde va alrededor de la orilla, así que busca la circunferencia.
2. La línea de 12 ft cruza todo el círculo pasando por el centro, así que es el diámetro: d = 12 ft. (El radio es r = 6 ft).
3. Fórmula (en la hoja de fórmulas): C = \pi d (igual que 2\pi r).
4. Calcula: C = \pi \times 12 \approx 3.14159 \times 12 \approx 37.70 ft.

Necesita unos 37.7 pies de borde.

Comprobación: con 2\pi r: 2 \times \pi \times 6 \approx 37.7 ✓. Estimación: la circunferencia es un poco más de 3 veces el diámetro, y 3 \times 12 = 36 ✓.

Consejo: "alrededor" = circunferencia (pies); "cubre" = área (pies cuadrados). Revisa siempre si la medida de un círculo es un radio (del centro a la orilla) o un diámetro (de orilla a orilla).

1. Sustituye m = 8 y t = 20: 2.50 + 1.75(8) + 0.30(20).
2. Multiplica primero: 1.75 \times 8 = 14.00 y 0.30 \times 20 = 6.00.
3. Suma: 2.50 + 14.00 + 6.00 = 22.50.

La tarifa es de $22.50.

Comprobación: desglósalo en palabras: $2.50 para empezar, $1.75 por cada una de las 8 millas ($14) y 30¢ por cada uno de los 20 minutos ($6). 2.50 + 14 + 6 = 22.50 ✓.

Consejo: relaciona cada variable con su significado antes de sustituir: aquí las millas van con $1.75 y los minutos con $0.30. Un término sin variable (la tarifa base de $2.50) siempre se incluye exactamente una vez.

1. Lee las barras: Social = 95, Games (juegos) = 45, Music (música) = 30 minutos.
2. Juegos y música juntos: 45 + 30 = 75 minutos.
3. Diferencia: 95 - 75 = 20 minutos.

Kayla pasa 20 minutos más al día en aplicaciones sociales.

Comprobación: suma de nuevo: 75 + 20 = 95 ✓. El valor de cada barra está impreso encima de ella, y las alturas de las barras coinciden con la escala (la barra de Social está justo debajo de la línea de 100).

Consejo: "cuántos más" significa restar. Cuando una pregunta nombra dos categorías "juntas", súmalas primero y luego compara. Subraya las categorías exactas de la pregunta para no comparar las barras equivocadas.

1. Fórmula de la pendiente (en la hoja de fórmulas): m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
2. Sea (x_1, y_1) = (-3, 4) y (x_2, y_2) = (5, -2).
3. Cambio en y: -2 - 4 = -6.
4. Cambio en x: 5 - (-3) = 5 + 3 = 8.
5. Pendiente: m = \dfrac{-6}{8} = -\dfrac{3}{4}.

La pendiente es -\tfrac{3}{4}.

Comprobación: usa los puntos en el otro orden: \dfrac{4 - (-2)}{-3 - 5} = \dfrac{6}{-8} = -\dfrac{3}{4} ✓. Además, al moverte hacia la derecha del inicio del sendero a la cascada, el valor de y baja, así que la pendiente debe ser negativa ✓.

Consejo: restar un negativo es sumar: 5 - (-3) = 8. Revisión rápida: una recta que baja de izquierda a derecha tiene pendiente negativa.

1. Resta 3x en ambos lados: -4x - 3x + 7 \le -14, así que -7x + 7 \le -14.
2. Resta 7 en ambos lados: -7x \le -21.
3. Divide ambos lados entre -7. Dividir entre un negativo invierte el signo: x \ge \dfrac{-21}{-7}, así que x \ge 3.

La respuesta es x \ge 3.

Comprobación: prueba x = 4 (debe funcionar): a la izquierda -16 + 7 = -9, a la derecha 12 - 14 = -2, y -9 \le -2 ✓. Prueba x = 0 (debe fallar): 7 \le -14 es falso ✓. Prueba el límite x = 3: -5 \le -5 ✓ (se permite la igualdad).

Consejo: para no tener que invertir el signo, puedes pasar los términos con x al lado donde quedan positivos: suma 4x y suma 14 en ambos lados para obtener 21 \le 7x, así que 3 \le x: la misma respuesta, sin invertir el signo.

1. Total de canciones: 12 + 8 + 5 = 25.
2. Que la primera canción sea country: P = \dfrac{5}{25}.
3. La canción no se repite, así que quedan 4 canciones country de 24 canciones: P(\text{2.ª country} \mid \text{1.ª country}) = \dfrac{4}{24}.
4. Los dos sucesos deben ocurrir, así que multiplica: \dfrac{5}{25} \times \dfrac{4}{24} = \dfrac{20}{600} = \dfrac{1}{30}.

La probabilidad es \tfrac{1}{30}.

Comprobación: cuenta parejas: hay 5 \times 4 = 20 formas ordenadas de elegir dos canciones country diferentes y 25 \times 24 = 600 formas ordenadas de elegir dos canciones diferentes cualesquiera. \tfrac{20}{600} = \tfrac{1}{30} ✓. En decimal, eso es alrededor de 0.033, o alrededor de 3%.

Consejo: "las dos / y" significa multiplicar. Cuando los elementos no se reponen (no hay repeticiones), resta 1 tanto a los casos favorables como al total en la segunda elección.

1. Las dos estancias dan los puntos (2, 90) y (5, 195).
2. Pendiente = costo por noche: m = \dfrac{195 - 90}{5 - 2} = \dfrac{105}{3} = 35.
3. Usa y = mx + b con el punto (2, 90): 90 = 35(2) + b, así que 90 = 70 + b y b = 20.
4. Ecuación: y = 35x + 20.

La respuesta es y = 35x + 20 (una tarifa de $20 más $35 por noche).

Comprobación: x = 2: 35(2) + 20 = 90 ✓. x = 5: 35(5) + 20 = 195 ✓.

Consejo: prueba siempre los dos puntos en tu ecuación final. Una ecuación como y = 45x funciona para la primera estancia, pero no para la segunda: una señal de que la relación tiene una tarifa fija y no es proporcional.

1. Rectángulo: A = lw = 20 \times 12 = 240 pies cuadrados.
2. Medio círculo: su diámetro es el lado de 12 ft, así que el radio es r = 6 ft. Un círculo completo sería \pi r^{2} = \pi \times 36 \approx 113.10 pies cuadrados, así que el medio círculo es \tfrac{1}{2} \times 113.10 \approx 56.55 pies cuadrados.
3. Total: 240 + 56.55 = 296.55, que se redondea a 296.5 pies cuadrados. (Exactamente: 240 + 18\pi \approx 296.549).

El área es de unos 296.5 pies cuadrados.

Comprobación: el medio círculo debe ser más pequeño que un rectángulo de 12 ft × 6 ft (72 pies cuadrados), pero más grande que la mitad de él (36 pies cuadrados). 56.5 encaja ✓. Así que el total debe estar entre 276 y 312 ✓.

Consejo: en las figuras compuestas, dibuja las partes, rotula las medidas de cada una y calcula cada área por separado. Fíjate en "medio círculo": divide el área del círculo entre 2, y recuerda que el lado recto de un medio círculo es un diámetro.

1. Sustituye t = 2.5: h(2.5) = -16(2.5)^{2} + 48(2.5) + 5.
2. Primero el exponente: (2.5)^{2} = 6.25.
3. Multiplica: -16 \times 6.25 = -100 y 48 \times 2.5 = 120.
4. Suma: -100 + 120 + 5 = 25.

Después de 2.5 segundos, el cohete está a 25 pies de altura.

Comprobación: en la TI-30XS, escribe (−) 16 × 2.5 x² + 48 × 2.5 + 5 y presiona enter: 25 ✓. La respuesta es positiva y menor que el punto más alto del cohete (h(1.5) = 41 ft), lo cual tiene sentido porque el cohete va bajando ✓.

Consejo: en -16t^{2} solo t se eleva al cuadrado, y luego el resultado se multiplica por -16, así que el término siempre es negativo (o cero). En la calculadora, pon los valores negativos entre paréntesis.

1. Rapidez promedio = distancia ÷ tiempo.
2. Convierte el tiempo a horas: 45 \text{ min} = \dfrac{45}{60} = 0.75 hora, así que el tiempo es 6.75 horas.
3. Divide: \dfrac{378}{6.75} = 56.

Su rapidez promedio fue de 56 millas por hora.

Comprobación: 56 \times 6.75 = 378 ✓. También, 56 \times 6 = 336 millas en las primeras 6 horas y 56 \times 0.75 = 42 millas en los últimos 45 minutos; 336 + 42 = 378 ✓.

Consejo: los minutos no son partes decimales de una hora: 45 minutos son \tfrac{3}{4} de hora = 0.75, no 0.45. Divide siempre los minutos entre 60. Una tasa "por hora" significa distancia dividida entre horas, nunca multiplicada.

1. Área = largo × ancho = (x + 5)(2x - 3).
2. Multiplica cada par de términos (FOIL: primeros, externos, internos, últimos):
   • Primeros: x \cdot 2x = 2x^{2}
   • Externos: x \cdot (-3) = -3x
   • Internos: 5 \cdot 2x = 10x
   • Últimos: 5 \cdot (-3) = -15
3. Combina los términos semejantes: 2x^{2} - 3x + 10x - 15 = 2x^{2} + 7x - 15.

El área es 2x^{2} + 7x - 15 pies cuadrados.

Comprobación: sea x = 4. El arriate mide 9 por 5, así que el área es 45. La expresión da 2(16) + 7(4) - 15 = 32 + 28 - 15 = 45 ✓.

Consejo: sustituir un número pequeño como x = 4 en el producto original y en cada opción de respuesta es una forma rápida de probar respuestas con polinomios en el GED®. Conserva el signo de cada término: el -3 hace que el producto externo sea negativo.

1. La recta pasa por (0, 100) y (6, 64).
2. Pendiente: \dfrac{64 - 100}{6 - 0} = \dfrac{-36}{6} = -6. El estado de la batería baja unos 6 puntos porcentuales por año.
3. Ecuación de la recta: y = 100 - 6x.
4. Sustituye x = 4.5: y = 100 - 6(4.5) = 100 - 27 = 73.

El estado de la batería que se predice es de alrededor de 73%.

Comprobación: en la gráfica, a la mitad entre 4 años (100 - 24 = 76) y 5 años (100 - 30 = 70) está 73 ✓. Los datos cercanos (74 y 77 a los 4 años, 70 y 72 a los 5 años) coinciden ✓.

Consejo: cuando una pregunta dice "según la recta de mejor ajuste", usa la recta, no un solo dato. Escribir la ecuación de la recta es más preciso que calcular a ojo entre las líneas de la cuadrícula.

1. Sea a = boletos de adulto y c = boletos de niño.
   • Número de boletos: a + c = 9
   • Costo: 54a + 38c = 406
2. De la primera ecuación, a = 9 - c. Sustituye: 54(9 - c) + 38c = 406.
3. Aplica la propiedad distributiva: 486 - 54c + 38c = 406, así que 486 - 16c = 406.
4. Resta 486: -16c = -80. Divide entre -16: c = 5.
5. Entonces a = 9 - 5 = 4.

El grupo compró 5 boletos de niño (y 4 boletos de adulto).

Comprobación: 4 + 5 = 9 boletos ✓ y 54(4) + 38(5) = 216 + 190 = 406 ✓.

Consejo: después de resolver un sistema, vuelve a leer la pregunta para ver qué variable pide. Sustituir cada opción de respuesta en las dos condiciones es un método de respaldo rápido: solo c = 5 (con a = 4) hace que las dos se cumplan.

1. Fórmula (en la hoja de fórmulas): V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2} h.
2. Radio = la mitad del diámetro: r = 9 \div 2 = 4.5 ft. Altura: h = 4 ft.
3. Eleva el radio al cuadrado: 4.5^{2} = 20.25.
4. Multiplica: V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 20.25 \times 4 = \dfrac{1}{3} \times 81\pi = 27\pi \approx 84.82.
5. Redondea: 84.8 pies cúbicos.

El montón tiene unos 84.8 pies cúbicos de mantillo.

Comprobación: un cilindro con la misma base y la misma altura tendría \pi \times 20.25 \times 4 \approx 254.5 pies cúbicos. Un cono es exactamente un tercio de eso: 254.5 \div 3 \approx 84.8 ✓.

Consejo: los conos y las pirámides llevan el \tfrac{1}{3}; los cilindros y los prismas no. Antes de usar cualquier fórmula del círculo, decide si el número dado es un radio o un diámetro.

1. El ancho, la altura y la diagonal forman un triángulo rectángulo. La diagonal (55 in) está frente al ángulo recto, así que es la hipotenusa c.
2. Teorema de Pitágoras (en la hoja de fórmulas): a^{2} + b^{2} = c^{2}, así que 48^{2} + h^{2} = 55^{2}.
3. Cuadrados: 2304 + h^{2} = 3025.
4. Resta: h^{2} = 3025 - 2304 = 721.
5. Raíz cuadrada: h = \sqrt{721} \approx 26.85, que se redondea a 26.9 in.

La pantalla mide unas 26.9 pulgadas de alto.

Comprobación: 48^2 + 26.85^2 \approx 2304 + 720.9 = 3024.9 \approx 55^2 ✓. La altura debe ser más corta que la diagonal, y lo es ✓.

Consejo: cuando conoces la hipotenusa y buscas un cateto, resta los cuadrados: \text{cateto} = \sqrt{c^2 - a^2}. Si tu "cateto" sale más largo que la hipotenusa, sumaste cuando debías restar.

1. Sea w = número de semanas. Desigualdad: 420 + 65w \ge 1250.
2. Resta 420: 65w \ge 830.
3. Divide entre 65: w \ge \dfrac{830}{65} \approx 12.77.
4. Las semanas deben ser un número entero, y 12 semanas no alcanzan del todo, así que redondea hacia arriba: w = 13.

Carlos debe ahorrar durante al menos 13 semanas.

Comprobación: después de 12 semanas: 420 + 65(12) = 1200, que es menos de $1,250 ✗. Después de 13 semanas: 420 + 65(13) = 1265, que es al menos $1,250 ✓.

Consejo: en los problemas de "al menos / suficiente", la respuesta se redondea hacia arriba, aunque el decimal sea pequeño, porque el número entero menor no alcanza. Prueba siempre el número entero que está justo debajo de tu respuesta.

1. Elige dos puntos de la recta: (0, 0) y (30, 12).
2. Pendiente = \dfrac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x} = \dfrac{12 - 0}{30 - 0} = \dfrac{12}{30} = 0.4.
3. Unidades: y está en gigabytes (GB) y x en días, así que la pendiente está en GB por día.

La pendiente es 0.4 GB por día: Darius usa 0.4 gigabyte de datos cada día.

Comprobación: usa otros puntos marcados: de (10, 4) a (20, 8) la pendiente es \dfrac{8 - 4}{20 - 10} = \dfrac{4}{10} = 0.4 ✓. Además, 0.4 \times 30 = 12 GB en todo el mes ✓.

Consejo: las unidades de una pendiente siempre son "unidades de y por unidad de x". En una recta que pasa por el origen, la pendiente es la tasa unitaria, y la puedes encontrar con un solo punto: y \div x.

1. Hay 15 puntos, así que la mediana es el valor número \tfrac{15 + 1}{2} = 8 cuando los datos están en orden.
2. Cuenta los puntos desde la izquierda (primero los valores más pequeños):
   • 1 hora: 1 punto (total acumulado 1)
   • 2 horas: 2 puntos (total acumulado 3)
   • 3 horas: 4 puntos (total acumulado 7)
   • 4 horas: 3 puntos (total acumulado 10)
3. El valor número 8 cae en la columna de 4 horas (los valores 8, 9 y 10 son todos 4).

La mediana es 4 horas.

Comprobación: hay 7 valores antes de la posición de la mediana y 7 después (posiciones 9–15) ✓. Para comparar, la moda es 3 (la columna más alta), el rango es 7 - 1 = 6 y la media es \tfrac{58}{15} \approx 3.9: todas son medidas diferentes.

Consejo: en un diagrama de puntos, lleva un conteo acumulado desde la izquierda hasta llegar a la posición del medio. La columna más alta muestra la moda, no la mediana.

1. El paspartú agrega x a la izquierda y x a la derecha, así que el nuevo ancho es 8 + 2x. Del mismo modo, el nuevo largo es 10 + 2x.
2. Área de la foto más el paspartú: (8 + 2x)(10 + 2x) = 120.
3. Desarrolla con FOIL: 80 + 16x + 20x + 4x^{2} = 120, así que 4x^{2} + 36x + 80 = 120.
4. Iguala a cero restando 120: 4x^{2} + 36x - 40 = 0.

La ecuación es 4x^{2} + 36x - 40 = 0.

Comprobación: divide entre 4: x^{2} + 9x - 10 = 0, que se factoriza como (x + 10)(x - 1) = 0. La solución positiva es x = 1 pulgada. Entonces el tamaño enmarcado es 10 \times 12 = 120 pulgadas cuadradas ✓.

Consejo: un borde del mismo ancho agrega dos veces su ancho a cada medida. Para resolver una ecuación cuadrática, debe estar igualada a cero: primero resta el área y luego factoriza o usa la fórmula cuadrática.

1. Escribe la escala como una tasa: 2.5 millas por pulgada.
2. Convierte la longitud del mapa a decimal: 3\tfrac{3}{4} = 3.75 pulgadas.
3. Multiplica: 3.75 \times 2.5 = 9.375 millas.

El sendero mide 9.375 millas.

Comprobación: proporción: \dfrac{1 \text{ in}}{2.5 \text{ mi}} = \dfrac{3.75 \text{ in}}{x}, así que x = 3.75 \times 2.5 = 9.375 ✓. Estimación: unas 4 pulgadas × 2.5 = 10 millas, un poco más que nuestra respuesta, como se esperaba ✓.

Consejo: de longitud en el mapa a longitud real: multiplica por la escala. De longitud real a longitud en el mapa: divide. Una distancia real debe ser mucho mayor que la distancia en el mapa cuando 1 pulgada representa millas.

1. Encuentra la pendiente de la recta k. Despeja y: -3y = -2x + 12, así que y = \dfrac{2}{3}x - 4. La pendiente es \dfrac{2}{3}.
2. Pendiente perpendicular = recíproco negativo: -\dfrac{3}{2}.
3. Usa y = mx + b con el punto (4, -1): -1 = -\dfrac{3}{2}(4) + b, así que -1 = -6 + b.
4. Suma 6 en ambos lados: b = 5.
5. Ecuación: y = -\dfrac{3}{2}x + 5.

La respuesta es y = -\tfrac{3}{2}x + 5.

Comprobación: el punto: -\tfrac{3}{2}(4) + 5 = -6 + 5 = -1 ✓. Perpendicular: \tfrac{2}{3} \times \left(-\tfrac{3}{2}\right) = -1 ✓.

Consejo: nunca leas la pendiente directamente de la forma estándar Ax + By = C: primero despeja y (la pendiente es -\tfrac{A}{B}). Para rectas perpendiculares, voltea la fracción y cambia el signo.

1. Tiempo de ida: \dfrac{120 \text{ mi}}{60 \text{ mph}} = 2 horas.
2. Tiempo de regreso: \dfrac{120 \text{ mi}}{40 \text{ mph}} = 3 horas.
3. Distancia total: 120 + 120 = 240 millas. Tiempo total: 2 + 3 = 5 horas.
4. Rapidez promedio: \dfrac{240}{5} = 48 mph.

La rapidez promedio de Dev fue de 48 millas por hora.

Comprobación: como un promedio ponderado de las rapideces, ponderado por el tiempo: \dfrac{60 \times 2 + 40 \times 3}{2 + 3} = \dfrac{120 + 120}{5} = 48 ✓. La respuesta está más cerca de 40 que de 60 porque Dev pasó más tiempo manejando a 40 mph ✓.

Consejo: no puedes simplemente promediar dos tasas (\tfrac{60 + 40}{2} = 50) a menos que se pase el mismo tiempo a cada tasa. Regresa a los totales: distancia total entre tiempo total.

1. La tasa unitaria del ciclista A es el coeficiente de d = 14.5t: 14.5 mph.
2. La tasa unitaria del ciclista B, según la tabla: \dfrac{27}{2} = 13.5, \dfrac{40.5}{3} = 13.5, \dfrac{67.5}{5} = 13.5. Todas las razones son iguales, así que B va a 13.5 mph.
3. Compara: 14.5 - 13.5 = 1.

El ciclista A es más rápido, por 1 milla por hora.

Comprobación: en 2 horas, A recorre 14.5 \times 2 = 29 millas y B recorre 27 millas. La diferencia es de 2 millas en 2 horas, que es 1 milla por hora ✓.

Consejo: para comparar relaciones proporcionales presentadas de formas distintas, convierte cada una en una tasa unitaria (la k de y = kx, o y \div x de una tabla). No compares una distancia de una tabla con una tasa de una ecuación.

1. Semillas: n sobres a $2.75 cada uno cuestan 2.75n dólares.
2. Tierra: 3 bolsas a $8 cada una cuestan 3 \times 8 = 24 dólares.
3. Total: 2.75n + 24.

La expresión es 2.75n + 24.

Comprobación: prueba con n = 4 sobres: 4 \times 2.75 = 11 por las semillas más $24 por la tierra = $35. La expresión da 2.75(4) + 24 = 11 + 24 = 35 ✓.

Consejo: el precio que va con la cantidad desconocida es el coeficiente de la variable. Las cantidades fijas (3 bolsas) se convierten en un número que puedes multiplicar. Probar un valor pequeño para la variable es una forma rápida de revisar cualquier expresión.

1. Fórmula (en la hoja de fórmulas): V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}.
2. Radio = la mitad del diámetro: r = 16 \div 2 = 8 in.
3. Eleva el radio al cubo: 8^{3} = 8 \times 8 \times 8 = 512.
4. Multiplica: V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 512 = \dfrac{2048\pi}{3} \approx 2144.66.
5. Redondea: 2144.7 pulgadas cúbicas.

En la pelota de playa caben unas 2,144.7 pulgadas cúbicas de aire.

Comprobación: un cubo que apenas rodea la pelota mide 16 \times 16 \times 16 = 4096 pulgadas cúbicas. Una esfera llena un poco más de la mitad de esa caja (\tfrac{\pi}{6} \approx 0.52), y 4096 \times 0.52 \approx 2130: cerca de nuestra respuesta ✓.

Consejo: "caben" o "llena" significa volumen (r^3, unidades cúbicas). "Cubre el exterior" significa área superficial (4\pi r^2, unidades cuadradas). Usar el diámetro en r^3 hace que la respuesta sea 8 veces más grande.

1. La cantidad inicial de Ben (cuando w = 0) es $60.
2. La tasa de Ben: cada paso de la tabla es de 2 semanas y agrega $90, así que la tasa es \dfrac{90}{2} = 45 dólares por semana. Ben: B(w) = 60 + 45w.
3. Iguala los ahorros: 150 + 40w = 60 + 45w.
4. Resta 40w: 150 = 60 + 5w. Resta 60: 90 = 5w. Divide entre 5: w = 18.

Tendrán la misma cantidad después de 18 semanas.

Comprobación: Ella: 150 + 40(18) = 870. Ben: 60 + 45(18) = 870 ✓. Ben empieza $90 atrás, pero gana $5 por semana, y 90 \div 5 = 18 ✓.

Consejo: cuando una tabla se salta valores (0, 2, 4, …), divide el cambio en la salida entre el cambio en la entrada para obtener la tasa real. "¿Cuándo son iguales?" significa igualar las dos expresiones y resolver.

1. Los $8 se cobran cada hora, así que el costo por horas es 8h.
2. La tarifa fija de $12 se cobra una vez.
3. Total pagado: 12 + 8h = 52.

La ecuación es 12 + 8h = 52.

Comprobación: resuélvela: 8h = 40, así que h = 5 horas. Entonces 12 + 8(5) = 12 + 40 = 52 ✓.

Consejo: en una situación de "tarifa fija más tasa", la tasa (la palabra cada o por) se multiplica por la variable, y la tarifa fija se suma sola. Resolver la ecuación que elegiste y compararla con la historia es una forma rápida de confirmarla.